高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)重難點(diǎn)突破11導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題(六大題型)(原卷版+解析)

重難點(diǎn)突破11導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題目錄方法技巧總結(jié)一、常見的同構(gòu)函數(shù)圖像函數(shù)表達(dá)式圖像函數(shù)表達(dá)式圖像函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)過定點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)方法技巧總結(jié)二：同構(gòu)式的基本概念與導(dǎo)數(shù)壓軸題1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式2、同構(gòu)式的應(yīng)用：（1）在方程中的應(yīng)用：如果方程和呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可視為方程的兩個(gè)根（2）在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系．可比較大小或解不等式．<同構(gòu)小套路>①指對(duì)各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵；②常用“母函數(shù)”：，；尋找“親戚函數(shù)”是關(guān)鍵；③信手拈來湊同構(gòu)，湊常數(shù)、、參數(shù)；④復(fù)合函數(shù)（親戚函數(shù)）比大小，利用單調(diào)性求參數(shù)范圍．（3）在解析幾何中的應(yīng)用：如果滿足的方程為同構(gòu)式，則為方程所表示曲線上的兩點(diǎn)．特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方程（4）在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于與的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解3、常見的指數(shù)放縮：4、常見的對(duì)數(shù)放縮：5、常見三角函數(shù)的放縮：6、學(xué)習(xí)指對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，曾經(jīng)提到過兩個(gè)這樣的恒等式：（1）且時(shí)，有（2）當(dāng)且時(shí)，有再結(jié)合指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算的法則，可以得到下述結(jié)論（其中）（3）（4）（5）（6）再結(jié)合常用的切線不等式lnxx-1，等，可以得到更多的結(jié)論，這里僅以第（3）條為例進(jìn)行引申：（7）；（8）；7、同構(gòu)式問題中通常構(gòu)造親戚函數(shù)與，常見模型有：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③8、乘法同構(gòu)、加法同構(gòu)（1）乘法同構(gòu)，即乘同構(gòu)，如；（2）加法同構(gòu)，即加同構(gòu)，如，（3）兩種構(gòu)法的區(qū)別：=1\*GB3①乘法同構(gòu)，對(duì)變形要求低，找親戚函數(shù)與易實(shí)現(xiàn)，但構(gòu)造的函數(shù)與均不是單調(diào)函數(shù)；=2\*GB3②加法同構(gòu)，要求不等式兩邊互為反函數(shù)，構(gòu)造后的函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可直接由函數(shù)不等式求參數(shù)范圍；題型一：不等式同構(gòu)例1．（2023·四川達(dá)州·高二?？茧A段練習(xí)）已知，且，，，則（

）A． B．C． D．例2．（2023·湖北黃石·高二?？计谥校┮阎?，，，則（

）A． B．C． D．例3．（2023·陜西榆林·高二?？计谀┮阎猘，b，，且，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．變式1．（2023·河南·高二校聯(lián)考期中）已知，，，則，，的大小順序是（

）A． B．C． D．變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列選項(xiàng)中一定成立的是（

）A． B．C． D．變式3．（2023·江西贛州·高二江西省信豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足對(duì)恒成立，且實(shí)數(shù)，滿足，則下列關(guān)系式恒成立的是（

）A． B． C． D．題型二：同構(gòu)變形例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)下列不等式或方程進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的同構(gòu)函數(shù)．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．題型三：零點(diǎn)同構(gòu)例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，滿足，則（

）A． B． C． D．6例6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)?形式相同的兩個(gè)式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式．若關(guān)于的方程和關(guān)于b的方程可化為同構(gòu)方程，則的值為（

）A． B．e C． D．1例7．（2023·安徽池州·高三池州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)和有相同的最大值.(1)求；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.變式4．（2023·安徽安慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)?形式相同的兩個(gè)式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式.若關(guān)于的方程和關(guān)于的方程可化為同構(gòu)方程.（1）求的值；（2）已知函數(shù).若斜率為的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求證：.變式5．（2023·上海浦東新·高一上海南匯中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若函?shù)滿足條件：存在，使在上的值域?yàn)椋ㄆ渲?，則稱為區(qū)間上的“倍縮函數(shù)”.(1)證明：函數(shù)為區(qū)間上的“倍縮函數(shù)”；(2)若存在，使函數(shù)為上的“倍縮函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)給定常數(shù)，以及關(guān)于的函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使為區(qū)間上的“1倍縮函數(shù)”.若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．變式7．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)和有相同的最大值，并且.(1)求；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.變式9．（2023·江蘇常州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)和有相同的最大值.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：存在直線，其與兩曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.題型四：利用同構(gòu)解決不等式恒成立問題例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）完成下列各問（1）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（2）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是_______；（3）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是_______；（4）已知不等式對(duì)任意正數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（5）已知函數(shù)，其中，若恒成立，則實(shí)數(shù)a與b的大小關(guān)系是_______；（6）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（7）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（8）已知不等式，對(duì)恒成立，則k的最大值為_______；（9）若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知.設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為___________.例10．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值為__________.變式10．設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最小值為A． B． C． D．變式11．設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，，不等式恒成立，則的最大值為A． B． C． D．變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式13．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)請(qǐng)?jiān)谙铝孝佗谥羞x擇一個(gè)作答（注意：若選兩個(gè)分別作答則按選①給分）.①若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；②若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型五：利用同構(gòu)求最值例11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）“朗博變形”是借助指數(shù)運(yùn)算或?qū)?shù)運(yùn)算，將化成，的變形技巧.已知函數(shù)，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．例12．（2023·全國·高二期末）已知函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．例13．（2023·江西·臨川一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知大于1的正數(shù)，滿足，則正整數(shù)的最大值為（

）A．7 B．8 C．5 D．11變式16．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知兩個(gè)實(shí)數(shù)、滿足，在上均恒成立，記、的最大值分別為、，那么A． B． C． D．題型六：利用同構(gòu)證明不等式例14．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明．例15．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立；（3）求證：當(dāng)時(shí)，．例16．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）證明：．變式17．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得極值，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，求證：．變式18．已知函數(shù)，函數(shù)，，．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．（3）證明：當(dāng)時(shí)，．

重難點(diǎn)突破11導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題目錄方法技巧總結(jié)一、常見的同構(gòu)函數(shù)圖像函數(shù)表達(dá)式圖像函數(shù)表達(dá)式圖像函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)過定點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)方法技巧總結(jié)二：同構(gòu)式的基本概念與導(dǎo)數(shù)壓軸題1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式2、同構(gòu)式的應(yīng)用：（1）在方程中的應(yīng)用：如果方程和呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可視為方程的兩個(gè)根（2）在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系．可比較大小或解不等式．<同構(gòu)小套路>①指對(duì)各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵；②常用“母函數(shù)”：，；尋找“親戚函數(shù)”是關(guān)鍵；③信手拈來湊同構(gòu)，湊常數(shù)、、參數(shù)；④復(fù)合函數(shù)（親戚函數(shù)）比大小，利用單調(diào)性求參數(shù)范圍．（3）在解析幾何中的應(yīng)用：如果滿足的方程為同構(gòu)式，則為方程所表示曲線上的兩點(diǎn)．特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方程（4）在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于與的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解3、常見的指數(shù)放縮：4、常見的對(duì)數(shù)放縮：5、常見三角函數(shù)的放縮：6、學(xué)習(xí)指對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，曾經(jīng)提到過兩個(gè)這樣的恒等式：（1）且時(shí)，有（2）當(dāng)且時(shí)，有再結(jié)合指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算的法則，可以得到下述結(jié)論（其中）（3）（4）（5）（6）再結(jié)合常用的切線不等式lnxx-1，等，可以得到更多的結(jié)論，這里僅以第（3）條為例進(jìn)行引申：（7）；（8）；7、同構(gòu)式問題中通常構(gòu)造親戚函數(shù)與，常見模型有：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③8、乘法同構(gòu)、加法同構(gòu)（1）乘法同構(gòu)，即乘同構(gòu)，如；（2）加法同構(gòu)，即加同構(gòu)，如，（3）兩種構(gòu)法的區(qū)別：=1\*GB3①乘法同構(gòu)，對(duì)變形要求低，找親戚函數(shù)與易實(shí)現(xiàn)，但構(gòu)造的函數(shù)與均不是單調(diào)函數(shù)；=2\*GB3②加法同構(gòu)，要求不等式兩邊互為反函數(shù)，構(gòu)造后的函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可直接由函數(shù)不等式求參數(shù)范圍；題型一：不等式同構(gòu)例1．（2023·四川達(dá)州·高二?？茧A段練習(xí)）已知，且，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)函數(shù)，，當(dāng)，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)，此時(shí)單調(diào)遞減，由題，，，得，因?yàn)?，所以，則，且，所以.故選：A.例2．（2023·湖北黃石·高二?？计谥校┮阎遥?，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，則，即在上單調(diào)遞減，∴，即，設(shè)，則，即在上單調(diào)遞增，又∵，∴.故選：.例3．（2023·陜西榆林·高二校考期末）已知a，b，，且，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，，，因?yàn)椋?，即，而a，b，，所以，故選：C變式1．（2023·河南·高二校聯(lián)考期中）已知，，，則，，的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，，?gòu)造函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)，令，解得：，列表得：+0-極大值所以在上單增.因?yàn)?，所以，即故選:D.變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列選項(xiàng)中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】構(gòu)造，，則恒成立，則，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，，又，所以，D錯(cuò)誤，因?yàn)?，所以，，所以，所以，A錯(cuò)誤，B正確.令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，所以因?yàn)椋?，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以，即因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，C錯(cuò)誤故選：B變式3．（2023·江西贛州·高二江西省信豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足對(duì)恒成立，且實(shí)數(shù)，滿足，則下列關(guān)系式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以，所以，對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，，，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，，，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以即，故D正確.故選：D.題型二：同構(gòu)變形例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)下列不等式或方程進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的同構(gòu)函數(shù)．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【解析】(1)顯然，則，.(2)顯然，則，.(3)顯然，則，.(4)顯然，則，.(5)，.(6)，，.(7)，.(8)，.題型三：零點(diǎn)同構(gòu)例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，滿足，則（

）A． B． C． D．6【答案】B【解析】可化為：.記，定義域?yàn)镽.因?yàn)?，所以在R上單調(diào)遞增.又，所以為奇函數(shù).所以由可得：，所以2.故選：B例6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)?形式相同的兩個(gè)式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式．若關(guān)于的方程和關(guān)于b的方程可化為同構(gòu)方程，則的值為（

）A． B．e C． D．1【答案】A【解析】對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)，得①，對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)，得，即②，因?yàn)榉匠挞佗跒閮蓚€(gè)同構(gòu)方程，所以，解得，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以方程的解只有一個(gè)，所以，所以．故選：A例7．（2023·安徽池州·高三池州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)和有相同的最大值.(1)求；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.【解析】（1），當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，由，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，于是有.（2）由（1）知，兩個(gè)函數(shù)圖象如下圖所示：由圖可知：當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線與兩曲線和恰好有三個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)且，由，又，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，又，又，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，；于是有.變式4．（2023·安徽安慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)?形式相同的兩個(gè)式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式.若關(guān)于的方程和關(guān)于的方程可化為同構(gòu)方程.（1）求的值；（2）已知函數(shù).若斜率為的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求證：.【解析】（1）對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)，得(1),對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)，得即，因?yàn)?1)(2)方程為兩個(gè)同構(gòu)方程，所以，解得，設(shè)，則,所以在單調(diào)遞增，所以方程的解只有一個(gè),所以，所以，故.（2）由（1）知：所以要證，即證明等價(jià)于令，則只要證明即可，由知，，故等價(jià)于證設(shè)則，即在單調(diào)遞增，故，即.設(shè)則，即在單調(diào)遞增，故，即。由上可知成立，則.變式5．（2023·上海浦東新·高一上海南匯中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若函?shù)滿足條件：存在，使在上的值域?yàn)椋ㄆ渲?，則稱為區(qū)間上的“倍縮函數(shù)”.(1)證明：函數(shù)為區(qū)間上的“倍縮函數(shù)”；(2)若存在，使函數(shù)為上的“倍縮函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)給定常數(shù)，以及關(guān)于的函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使為區(qū)間上的“1倍縮函數(shù)”.若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上的值域?yàn)椋@然有，所以函數(shù)為區(qū)間上的“倍縮函數(shù)”.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的“倍縮函數(shù)”，則函數(shù)在上的值域?yàn)?，于是得，即是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則方程有兩個(gè)不等實(shí)根，令，則關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等的正實(shí)根，因此，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒有意義，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）常數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)?，并且，假定存在?shí)數(shù)，使為區(qū)間上的“1倍縮函數(shù)”，則函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，由，及知，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，即，若，即，則函數(shù)在區(qū)間上的值域中有數(shù)0，矛盾，若，即，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，有，即，整理得，顯然無解，若，即，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，有，即是方程的兩個(gè)不等實(shí)根且，而方程，于是得方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，從而，解得，而，即有，解方程得：，所以當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使為區(qū)間上的“1倍縮函數(shù)”，，當(dāng)時(shí)，不存在實(shí)數(shù)，使為區(qū)間上的“1倍縮函數(shù)”.變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，．函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單減區(qū)間為．（2）要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)實(shí)根，即有兩個(gè)實(shí)根．即．整理為，設(shè)函數(shù)，則上式為，因?yàn)楹愠闪ⅲ詥握{(diào)遞增，所以．所以只需使有兩個(gè)根，設(shè)．由（1）可知，函數(shù)）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單減區(qū)間為，故函數(shù)在處取得極大值，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，要想有兩個(gè)根，只需，解得：．所以a的取值范圍是．變式7．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【解析】（1）的定義域?yàn)椋?，若，則，此時(shí)無最小值，故.的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈担?，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無根，故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：當(dāng)時(shí)，即即，當(dāng)時(shí)，即即，因此若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且①時(shí)，此時(shí)，顯然與兩條曲線和共有0個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；②時(shí)，此時(shí)，故與兩條曲線和共有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；③時(shí)，首先，證明與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為其次，證明與曲線和有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為再次，證明存在b，使得因?yàn)?，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點(diǎn)，因?yàn)椋栽谏洗嬖诹泓c(diǎn)，取一零點(diǎn)為，令即可，此時(shí)取則此時(shí)存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，最后證明，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，因?yàn)樗裕忠驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，即，所以，同理，因?yàn)?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即，，所以，又因?yàn)椋?，即直線與兩條曲線和從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)和有相同的最大值，并且.(1)求；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.【解析】（1），.若，則時(shí)，時(shí)，所以在定義域內(nèi)先減后增，無最大值.若，則，最大值為0，但不滿足.若，令，得.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.所以x=1時(shí)取得最大值，最大值為.，.若，則時(shí)，時(shí)，所以在定義域內(nèi)先減后增，無最大值.若，則，最大值為0，但不滿足.若，令，得.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.所以時(shí)取得最大值，最大值為.綜上，，解得.（2）由（1）知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，有唯一的零點(diǎn)，有唯一的零點(diǎn)1.它們的大致圖像如圖所示，設(shè)曲線與在上交于點(diǎn)A，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線與曲線還有另一個(gè)交點(diǎn)B，設(shè)，，，不妨設(shè)直線與曲線還有另一個(gè)交點(diǎn)，則，則，故①，同理得②，由①②知，與是直線與曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故C是存在的.因?yàn)榍?，所以，又，所以，，從而有，故結(jié)論成立.變式9．（2023·江蘇常州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)和有相同的最大值.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：存在直線，其與兩曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，顯然無最小值，舍去.當(dāng)時(shí)，令在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；，，易知m>0令當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；.（2）在單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；；在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；,在上有唯一的零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn).綜上，存在唯一的使，即與有唯一的交點(diǎn)，令，構(gòu)造，顯然與單調(diào)性相同，且在上有一個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)零點(diǎn)為，構(gòu)造與單調(diào)性相同，且，一個(gè)零點(diǎn)為，另一個(gè)零點(diǎn).故存在直線與和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，.且由，而有在單調(diào)遞增；且由，而，由在上單調(diào)遞減；，，由，從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.題型四：利用同構(gòu)解決不等式恒成立問題例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）完成下列各問（1）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（2）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是_______；（3）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是_______；（4）已知不等式對(duì)任意正數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（5）已知函數(shù)，其中，若恒成立，則實(shí)數(shù)a與b的大小關(guān)系是_______；（6）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（7）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（8）已知不等式，對(duì)恒成立，則k的最大值為_______；（9）若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；【答案】

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；

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；

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；

；

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.【解析】解析：（1），．又，，令，得或，令，得，所以在，遞減，在遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，（2），當(dāng)時(shí)，原不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，，由于，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以．（3），當(dāng)時(shí)，原不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，，由（1）中可得，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以．（4），由于，所以．（5）．由于，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以．（6），由于，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，則，所以．（7），由于，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，則，所以．（8），由于，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以，則，所以．（9），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．由有解，，，易知在上遞增，在遞減，所以故答案為:；；；；；；；；例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知.設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為___________.【答案】【解析】因?yàn)閮H在時(shí)取等號(hào)，故為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，故由設(shè)實(shí)數(shù)，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，可得，恒成立，，即恒成立，當(dāng)時(shí)，，恒成立，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，恒成立，當(dāng)時(shí)，遞增，則不等式恒成立等價(jià)于恒成立，即恒成立，故需，設(shè)，，在，上遞增，在，遞減，，故的最小值為，故答案為：例10．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值為__________.【答案】【解析】可變?yōu)?，再變形可得，，設(shè)，原不等式等價(jià)于，因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，，當(dāng)時(shí)，，所以由可得，，因?yàn)?，所以．設(shè)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，即．當(dāng)時(shí)，不等式在恒成立；當(dāng)時(shí)，，無論是否存在，使得在上恒成立，都可判斷實(shí)數(shù)m的最小值為．故答案為：．變式10．設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最小值為A． B． C． D．【解析】解：實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，即為，設(shè)，，，令，可得，由指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)在第一象限的圖象，可得和有且只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減．即有在處取得極小值，且為最小值．即有，令，可得，．則當(dāng)時(shí)，不等式恒成立．則的最小值為．另解1：由于與互為反函數(shù)，故圖象關(guān)于對(duì)稱，考慮極限情況，恰為這兩個(gè)函數(shù)的公切線，此時(shí)斜率，再用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率的表達(dá)式為，即可得的最小值為．另解2：不等式恒成立，即為，即有，可令，可得在遞增，由選項(xiàng)可得，所以，若，則，所以，即有，由的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，遞減．時(shí)，遞增，可得時(shí)，取得最大值．則，的最小值為．故選：．變式11．設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，，不等式恒成立，則的最大值為A． B． C． D．【解析】解：因?yàn)閷?duì)任意的，，不等式恒成立，所以，即，令，，則，故在上單調(diào)遞增，由題意得，所以，即對(duì)任意的，恒成立，故只需，易得在，上單調(diào)遞增，故（e），所以．故選：．變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，由，可得，不等式兩邊同時(shí)除以可得，即，令，，其中，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，且，由，可得，所以，對(duì)任意的，，即，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，解得.故選：B.變式13．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)請(qǐng)?jiān)谙铝孝佗谥羞x擇一個(gè)作答（注意：若選兩個(gè)分別作答則按選①給分）.①若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；②若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，解得，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；所以，無極小值.（2）若選①：由恒成立，即恒成立，整理得：，即，設(shè)函數(shù)，則上式為，因?yàn)楹愠闪?，所以單調(diào)遞增，所以，即，令，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在處取得極大值，的最大值為，故，即.故當(dāng)時(shí)，恒成立.若選擇②：由關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，得有兩個(gè)實(shí)根，整理得，即，設(shè)函數(shù)，則上式為，因?yàn)楹愠闪?，所以單調(diào)遞增，所以，即，令，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在處取得極大值，的最大值為，又因?yàn)樗砸胗袃蓚€(gè)根，只需要，即，所以的取值范圍為.題型五：利用同構(gòu)求最值例11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）“朗博變形”是借助指數(shù)運(yùn)算或?qū)?shù)運(yùn)算，將化成，的變形技巧.已知函數(shù)，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，即，所以，，令，則對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，所以，令，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，故選：B.例12．（2023·全國·高二期末）已知函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，所以，則．于是．所以．構(gòu)造函數(shù)，易知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．所以，．于是，令，則．在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．所以，即．故選：A例13．（2023·江西·臨川一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】的定義域?yàn)?，所以?.，，則，又因?yàn)?，所以，令，則，，當(dāng)時(shí)，，遞增，所以，則，，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，所以的最小值為，即B選項(xiàng)正確.故選：B變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，所以，所以，所以，由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以，故選：A變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知大于1的正數(shù)，滿足，則正整數(shù)的最大值為（

）A．7 B．8 C．5 D．11【答案】C【解析】，，令，，則，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上遞增，在，上遞減，則的最大值是，令，，則，當(dāng)時(shí)，此題無解，故，則時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)，解得：，故在遞減，在，遞增，則的最小值是，若成立，只需，即，即，兩邊取對(duì)數(shù)可得：，，故的最大正整數(shù)為5，故選：C．變式16．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知兩個(gè)實(shí)數(shù)、滿足，在上均恒成立，記、的最大值分別為、，那么A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證明出，可得出，，求得，，可求得、的值，由此可得出合適的選項(xiàng).設(shè)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；