高二數(shù)學(xué)同步備課(人教A版2019選修第一冊)2.2.1直線的點斜式方程(分層作業(yè))(原卷版+解析)

2.2.1直線的點斜式方程（分層作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·全國·高二）如果，，那么直線不經(jīng)過的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）直線可能是（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）方程表示（

）A．通過點的所有直線 B．通過點且不垂直于y軸的所有直線C．通過點且不垂直于x軸的所有直線 D．通過點且除去x軸的所有直線4．（2021·全國·高二課時練習(xí)）下列不可以表示與軸垂直的直線的方程是（

）A． B． C． D．5．（2021·黑龍江·齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校高二期中）直線的傾斜角為(

)A． B． C． D．6．（2022·福建福州·高二期中）直線的傾斜角是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線l1：y＝ax＋b與直線l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象只可能是（

）A． B．C． D．8．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）若表示兩條直線，則實數(shù)的值為（

）A．3 B．2 C．1 D．09．（2021·全國·高二課時練習(xí)）下列命題，錯誤的個數(shù)是（

）①任意一條直線一定是某個一次函數(shù)的圖像；②關(guān)于x的一次函數(shù)的圖像是一條直線；③以一個二元方程的解為坐標(biāo)的點都在某條直線上，則這個方程叫做這條直線的方程；④若一條直線上所有點的坐標(biāo)都是某個方程的解，則這條直線叫做這個方程的直線．A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）（多選）已知等邊三角形ABC的兩個頂點，，則BC邊所在直線的方程可能是（

）A． B．C． D．11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l過點，且與直線以及x軸圍成一個底邊在x軸上的等腰三角形，則（

）A．直線l的方程為 B．直線l與直線的傾斜角互補C．直線l在y軸上的截距為1 D．這樣的直線l有兩條三、填空題12．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知直線的傾斜角，且過點，則該直線的方程為__．13．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為，則實數(shù)______.14．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線與重合，則______.15．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線過點，且其傾斜角是直線的傾斜角的，則直線的方程為______．16．（2021·浙江·高二期中）傾斜角為90°且與點距離為2的直線方程為______．四、解答題17．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，分別畫出經(jīng)過點P，且斜率為k的直線：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，斜率不存在18．（2021·黑龍江·大慶中學(xué)高二開學(xué)考試）已知中，、、，寫出滿足下列條件的直線方程．(1)BC邊上的高線的方程；(2)BC邊的垂直平分線的方程．19．（2022·全國·高二課時練習(xí)）寫出下列直線的方程，并在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出這些直線，通過觀察，指出方程表示的直線具有的與k取值無關(guān)的特征：(1)經(jīng)過點，斜率為1；(2)經(jīng)過點，斜率為；(3)經(jīng)過點，斜率為0．20．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點，且與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，O是坐標(biāo)原點，若________，求直線l的方程．試從下列所給的條件中任選一個補充在橫線處，并解答．①；②的面積是6．21．（2021·全國·高二課時練習(xí)）若直線l沿x軸向左平移3個單位長度，再沿y軸向上平移1個單位長度后，回到原來的位置．試求直線l的斜率．22．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點確定的直線方程是，求a，b的值．【能力提升】一、單選題1．（2022·全國·高二單元測試）已知直線：，直線是直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的直線，則直線的方程是（

）A． B．C． D．2．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知，，則下列直線的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線不過第二象限，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知直線l過點，且與軸和軸圍成一個內(nèi)角為的直角三角形，則滿足條件的直線l的方程可以是（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2021·上海·高二專題練習(xí)）當(dāng)變化時方程表示一系列的直線，現(xiàn)從中選取四條圍成一個正方形，則該正方形的面積為________．6．（2021·上海市奉賢中學(xué)高二階段練習(xí)）經(jīng)過的直線與兩直線和分別交于兩點,且滿足則直線的方程為__________.7．（2021·浙江·蘭溪市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）過點且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_______________.8．（2021·全國·高二課時練習(xí)）若直線不過第一象限，則實數(shù)取值范圍是__________．四、解答題9．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，過點作直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A，B．(1)求面積的最小值及此時直線l的方程；(2)求當(dāng)取得最小值時直線l的方程．10．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點為整點，有下列5個命題：①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點；②如果k與b都是無理數(shù)，則直線不經(jīng)過任何整點；③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個不同的整點；④直線經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)；⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線.寫出2個你認(rèn)為正確命題的編號，并說明理由.11．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）過點作直線l分別與x，y軸正半軸交于點A，B.(1)若是等腰直角三角形，求直線l的方程；(2)對于①最小，②面積最小，若選擇___________作為條件，求直線l的方程.12．（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）若兩條相交直線，的傾斜角分別為，，斜率均存在，分別為，，且，若，滿足______（從①；②兩個條件中，任選一個補充在上面問題中并作答），求：(1)，滿足的關(guān)系式；(2)若，交點坐標(biāo)為，同時過，過，在（1）的條件下，求出，滿足的關(guān)系；(3)在（2）的條件下，若直線上的一點向右平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度，仍在該直線上，求實數(shù)，的值．13．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過、、三點，是直線上的動點，是過點且互相垂直的兩條直線，其中交軸于點，交圓于、兩點．（1）若，求直線的方程；（2）若是使恒成立的最小正整數(shù)，求三角形的面積的最小值．14．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標(biāo)為.（1）當(dāng)與軸垂直時，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，證明：.2.2.1直線的點斜式方程（分層作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·全國·高二）如果，，那么直線不經(jīng)過的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】將直線化為，結(jié)合已知條件即可判斷不經(jīng)過的象限.【詳解】由題設(shè)，直線可寫成，又，，∴，，故直線過二、三、四象限，不過第一象限.故選：A.2．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）直線可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線斜率的正負(fù)值與定點即可判斷結(jié)果．【詳解】因為，所以AC錯；當(dāng)時，，故B對；故選：B3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）方程表示（

）A．通過點的所有直線 B．通過點且不垂直于y軸的所有直線C．通過點且不垂直于x軸的所有直線 D．通過點且除去x軸的所有直線【答案】C【分析】根據(jù)直線的點斜式方程的知識確定正確答案.【詳解】為直線的點斜式方程，只能表示斜率存在的直線，且直線過點．故選：C4．（2021·全國·高二課時練習(xí)）下列不可以表示與軸垂直的直線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)表示與軸垂直的直線方程的特征和點斜式方程的適用范圍進行求解即可.【詳解】對于A，即表示與軸垂直的直線，故A不符合題意；對于B，表示軸，與軸垂直，故B不符合題意；對于C，即表示與軸垂直的直線，故C不符合題意；對于D，對于斜率不存在的直線，其方程不能用點斜式表示，故D符合題意.故選：D5．（2021·黑龍江·齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校高二期中）直線的傾斜角為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線方程的形式即可判斷直線的傾斜角.【詳解】∵直線垂直于x軸，故其傾斜角為.故選：D.6．（2022·福建福州·高二期中）直線的傾斜角是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】由直線方程得斜率，由斜率得傾斜角．【詳解】直線的斜率為1，傾斜角為45°，故選：B．7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線l1：y＝ax＋b與直線l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象只可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線的斜率和縱截距的正負(fù)進行判斷．【詳解】對B，斜率為正，在軸上的截距也為正，故不可能有斜率為負(fù)的情況.故B錯.當(dāng)時，和斜率均為正，且截距均為正.僅D選項滿足.故選：D8．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）若表示兩條直線，則實數(shù)的值為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】由題可得方程左邊一定可以表示為兩個一次式的乘積，設(shè)比較系數(shù)可求出.【詳解】若表示兩條直線，則其左邊一定可以表示為兩個一次式的乘積，又因缺少項，則可設(shè)，即，則，解得.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是判斷出方程左邊一定可以表示為兩個一次式的乘積，可設(shè)為.9．（2021·全國·高二課時練習(xí)）下列命題，錯誤的個數(shù)是（

）①任意一條直線一定是某個一次函數(shù)的圖像；②關(guān)于x的一次函數(shù)的圖像是一條直線；③以一個二元方程的解為坐標(biāo)的點都在某條直線上，則這個方程叫做這條直線的方程；④若一條直線上所有點的坐標(biāo)都是某個方程的解，則這條直線叫做這個方程的直線．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)曲線與方程一一對應(yīng)的充要條件，對命題一一判斷即可．【詳解】①直線不是一次函數(shù)，故錯；②一次函數(shù)的圖像是一條射線，故錯；③方程的解為坐標(biāo)的點都在直線上，但這個方程不是這條直線的方程，故錯；④曲線與方程一一對應(yīng)用的充要條件是曲線上所有點的坐標(biāo)都是方程的解，同時方程的所有解也是曲線上的點坐標(biāo)，故錯．故選：D二、多選題10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）（多選）已知等邊三角形ABC的兩個頂點，，則BC邊所在直線的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由題得直線BC的傾斜角為60°或120°，由點斜式直線方程得解.【詳解】解：由題得直線BC的傾斜角為60°或120°，故直線BC斜率為或，由點斜式得所求直線的方程為或．故選：BC11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l過點，且與直線以及x軸圍成一個底邊在x軸上的等腰三角形，則（

）A．直線l的方程為 B．直線l與直線的傾斜角互補C．直線l在y軸上的截距為1 D．這樣的直線l有兩條【答案】ABC【分析】由題意可得l與的傾斜角互補，所以可求出直線的方程，然后逐個分析判斷【詳解】因為直線l與及x軸圍成一個底邊在x軸上的等腰三角形，所以l與的傾斜角互補，故B正確；由直線的斜率為，知直線l的斜率為，可得直線l的方程為，即l的方程為，故A正確；令，得，所以l在y軸上的截距為1，故C正確；過點且斜率為的直線只有一條，故D錯誤．故選：ABC．三、填空題12．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知直線的傾斜角，且過點，則該直線的方程為__．【答案】【分析】根據(jù)直線的傾斜角求出斜率，再根據(jù)點斜式寫出直線方程，化為一般式方程．【詳解】解：直線的傾斜角，所以直線的斜率為又因為直線過點，所以直線的方程為，．故答案為：．13．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為，則實數(shù)______.【答案】12【分析】求出橫截距和縱截距，根據(jù)題設(shè)條件得到關(guān)于的方程，解方程后可得實數(shù)的值.【詳解】令，則；令，則，故，解得.故答案為：.【點睛】本題考查直線的截距，注意截距不是距離，橫截距是直線與軸交點的橫坐標(biāo)，縱截距是直線與軸交點的縱坐標(biāo)，本題屬于基礎(chǔ)題.14．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線與重合，則______.【答案】-2【分析】將直線方程整理為，利用重合關(guān)系可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由得：與重合

，解得：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查根據(jù)直線位置關(guān)系求解參數(shù)值的問題，屬于基礎(chǔ)題.15．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線過點，且其傾斜角是直線的傾斜角的，則直線的方程為______．【答案】【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系得所求直線的傾斜角，進而得斜率，即可得解.【詳解】因為直線的傾斜角為120°，所以直線的傾斜角為60°，斜率,又直線過點，所以直線的方程為，即．故答案為：16．（2021·浙江·高二期中）傾斜角為90°且與點距離為2的直線方程為______．【答案】或【分析】結(jié)合傾斜角以及直線的位置關(guān)系求出滿足條件的直線方程即可．【詳解】所求直線的傾斜角是，所求直線和直線平行，與直線距離為2的直線方程為：或，故答案為：或．四、解答題17．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，分別畫出經(jīng)過點P，且斜率為k的直線：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，斜率不存在【分析】小問1：根據(jù)點斜式求直線方程，從而畫圖；小問2：根據(jù)點斜式求直線方程，從而畫圖；小問3：根據(jù)點斜式求直線方程，從而畫圖；小問4：直線方程為，即可作圖．(1)經(jīng)過點，且斜率為的直線方程為，圖象如下：(2)經(jīng)過點，且斜率為的直線方程為，圖象如下：(3)經(jīng)過點，且斜率為的直線方程為，圖象如下：(4)經(jīng)過點，且斜率不存在的直線方程為，圖象如下：18．（2021·黑龍江·大慶中學(xué)高二開學(xué)考試）已知中，、、，寫出滿足下列條件的直線方程．(1)BC邊上的高線的方程；(2)BC邊的垂直平分線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）BC邊上的高線過點A且垂直于BC，由點斜式即可得解；（2）BC邊的垂直平分線過BC中點且垂直于BC，由點斜式即可得解.（1）因為，所以BC邊上的高線的斜率，故BC邊上的高線的方程為：,即所求直線方程為：.（2）因為，所以BC邊上的垂直平分線的斜率，又BC的中點為，故BC邊的垂直平分線的方程為：，即所求直線方程為：.19．（2022·全國·高二課時練習(xí)）寫出下列直線的方程，并在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出這些直線，通過觀察，指出方程表示的直線具有的與k取值無關(guān)的特征：(1)經(jīng)過點，斜率為1；(2)經(jīng)過點，斜率為；(3)經(jīng)過點，斜率為0．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用直線的點斜式方程求解；（2）利用直線的點斜式方程求解；（3）利用直線的點斜式方程求解；(1)經(jīng)過點，斜率為1，利用直線的點斜式方程得，即(2)經(jīng)過點，斜率為，利用直線的點斜式方程得，即(3)經(jīng)過點，斜率為0，利用直線的點斜式方程得，即觀察得，方程表示的直線過定點20．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點，且與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，O是坐標(biāo)原點，若________，求直線l的方程．試從下列所給的條件中任選一個補充在橫線處，并解答．①；②的面積是6．【答案】．【分析】任選條件①②，解法都是設(shè)直線l的方程為，代入已知條件解方程組得，從而得直線方程．【詳解】選條件①：設(shè)直線l的方程為，由題意可知，得，所以直線l的方程為，即；選條件②：設(shè)直線l的方程為．由題意可得，解得，所以直線l的方程為，即．21．（2021·全國·高二課時練習(xí)）若直線l沿x軸向左平移3個單位長度，再沿y軸向上平移1個單位長度后，回到原來的位置．試求直線l的斜率．【答案】【分析】設(shè)直線l的方程為，平移后的方程為，根據(jù)截距相同，求得k.【詳解】由題知直線斜率存在，故設(shè)直線l的方程為，則根據(jù)平移過程知，平移后的方程為，該直線與原直線相同，則.則.22．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點確定的直線方程是，求a，b的值．【答案】，【分析】將點的坐標(biāo)代入直線方程得到方程，解得即可；【詳解】解：依題意點都在直線上，所以，，解得、；【能力提升】一、單選題1．（2022·全國·高二單元測試）已知直線：，直線是直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的直線，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由正切的和角公式與直線方程的點斜式求解即可【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，又直線是直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的直線，所以直線的傾斜角為，故直線的斜率為，故直線的方程是，即，故選：D．2．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知，，則下列直線的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線斜率與軸上的截距的關(guān)系判斷選項即可得解.【詳解】，直線的方程在軸上的截距不小于2，且當(dāng)時，軸上的截距為2，故D正確，當(dāng)時，,故B不正確，當(dāng)時，或，由圖象知AC正確.故選：B3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線不過第二象限，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】分、兩種情況討論，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實數(shù)的不等式（組），由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】若，可得，直線的方程為，該直線不過第二象限，合乎題意；若，可得，直線的斜截式方程為，若直線不過第二象限，則，解得.綜上所述，.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于對直線的斜率是否存在進行分類討論，在斜率存在的前題下，一般從直線的斜率與縱截距或直線在兩坐標(biāo)軸上的截距來進行分析，結(jié)合已知條件列不等式（組）求解.二、多選題4．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知直線l過點，且與軸和軸圍成一個內(nèi)角為的直角三角形，則滿足條件的直線l的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由題意，求出直線的傾斜角可以是或或或，從而可得直線斜率，利用點斜式可寫出直線方程，最后檢驗即可得答案.【詳解】解：由題意，直線的傾斜角可以是或或或，所以直線的斜率或或或，所以直線的方程可以為或或或，由，整理得，此時直線過原點，無法與軸和軸圍成直角三角形.故選：ABC.三、填空題5．（2021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）當(dāng)變化時方程表示一系列的直線，現(xiàn)從中選取四條圍成一個正方形，則該正方形的面積為________．【答案】4【分析】設(shè)圓，圓心，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，則表示單位圓的切線方程，從而得到單位圓內(nèi)切于該正方形求解.【詳解】設(shè)圓，圓心，圓心到直線的距離為：，所以表示單位圓的切線方程，從中選取四條圍成一個正方形，從而得到單位圓內(nèi)切于該正方形如圖所示：所以正方形的邊長為2，面積為4．故答案為：4【點睛】本題主要考查直線方程以及直線與圓的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.6．（2021·上海市奉賢中學(xué)高二階段練習(xí)）經(jīng)過的直線與兩直線和分別交于兩點,且滿足則直線的方程為__________.【答案】【分析】先討論可得當(dāng)直線的斜率不存在時，不滿足條件，設(shè)出直線的斜截式方程，結(jié)合，求出直線的斜率，可得直線的方程．【詳解】解：當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線與兩直線和的交點、的坐標(biāo)分別為，，則，不滿足，故直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為：，則直線與兩直線和的交點、的橫坐標(biāo)分別為，，，，解得：，故直線的方程為：；故答案為：【點睛】本題考查的知識點是直線的方程，直線的交點坐標(biāo)，分類討論思想，難度中檔．7．（2021·浙江·蘭溪市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）過點且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_______________.【答案】或【分析】分類討論直線是否過原點確定直線方程即可.【詳解】當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線方程為，則，直線方程為，即，當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，直線的斜率為，直線方程為，整理可得：.故答案為或．【點睛】本題主要考查直線方程的求解，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.8．（2021·全國·高二課時練習(xí)）若直線不過第一象限，則實數(shù)取值范圍是__________．【答案】【分析】整理直線為,由題可得,進而求解即可【詳解】由題,整理直線為,因為直線不過第一象限,則,解得,故答案為：【點睛】本題考查直線方程的圖象性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想四、解答題9．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，過點作直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A，B．(1)求面積的最小值及此時直線l的方程；(2)求當(dāng)取得最小值時直線l的方程．【答案】(1)6，(2)【分析】（1）設(shè)直線方程為，，求出兩點坐標(biāo)，從而求得面積，由基本不等式得最小值，從而得此時直線方程；（2）設(shè)，，由A，P，B三點共線得，計算，用基本不等式求得最小值，并求得值得直線方程．（1）∵點在第一象限，且直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸相交，∴直線l的斜率，則設(shè)直線l的方程為，，令，得；令，得．∴．∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．∴面積的最小值為6．此時直線l的方程為，即．（2）設(shè)，，，．∵A，P，B三點共線，∴，整理得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴當(dāng)取得最小值時，直線l的方程為，即．10．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點為整點，有下列5個命題：①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點；②如果k與b都是無理數(shù)，則直線不經(jīng)過任何整點；③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個不同的整點；④直線經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)；⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線.寫出2個你認(rèn)為正確命題的編號，并說明理由.【答案】①③⑤正確，可以任選2個，理由詳見解析【分析】給直線分別取不同的方程，可得到②和④的反例，同時找到符合條件①和⑤的直線；通過過原點的直線經(jīng)過兩個不同的整點可證得其經(jīng)過無窮多個整點，③正確.【詳解】①令直線為：，則其不與坐標(biāo)軸平行且不經(jīng)過任何整點，①正確；②令直線為：，則直線經(jīng)過整點，②錯誤；③令直線為：，過兩個不同的整點，則，兩式作差得：即直線經(jīng)過整點直線經(jīng)過無窮多個整點，③正確；④令直線為：，則不過整點，④錯誤；⑤令直線為：，則其只經(jīng)過一個整點，⑤正確.本題正確結(jié)果：①③⑤可以任選2個.11．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）過點作直線l分別與x，y軸正半軸交于點A，B.(1)若是等腰直角三角形，求直線l的方程；(2)對于①最小，②面積最小，若選擇___________作為條件，求直線l的方程.【答案】(1)(2)選①：；選②：.【分析】（1）由題意，求出直線l的傾斜角為，進而可得直線l的斜率，最后利用點斜式即可寫出直線l的方程；（2）設(shè)，，直線的方程為，把點代入可得，若選①：，由基本不等式等號成立的條件，即可求得直線l的方程；若選②：，由基本不等式等號成立的條件，即可求得直線l的方程．（1）解：因為過點作直線l分別與x，y軸正半軸交于點A、B，且是等腰直角三角形，所以直線l的傾斜角為，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即；（2）解：設(shè)，，直線l的方程為，代入點可得，若選①：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時直線l的斜率，所以直線l的方程為，即；若選②：由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即面積最小為4，此時直線l的斜率，所以直線l的方程為，即.12．（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）若兩條相交直線，的傾斜角分別為，，斜率均存在，分別為，，且，若，滿足______（從①；②兩個條件中，任選一個補充在上面問題中并作答），求：(1)，滿足的關(guān)系式；(2)若，交點坐標(biāo)為，同時過，過，在（1）的條件下，求出，滿足的關(guān)系；(3)在（2）的條件下，若直線上的一點向右平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度，仍在該直線上，求實數(shù)，的值．【分析】（1）依題意，，若選①利用誘導(dǎo)公式計算可得；若選②根據(jù)兩直線垂直的充要條件得解；（2）首先表示出直線、，再將點代入方程，再結(jié)合（1）的結(jié)論計算可得；（3）按照函數(shù)的平移變換規(guī)則將直線進行平移變換，即可求出，從而求出直線的方程，即可求出，再根據(jù)（1）求出直線的方程，即可求出的值；（1）解：依題意，，且，均不為或，若選①，則，則，即；若選②，則（2）解：依題意直線：，直線：，又過，所以且，即且，又過，所以且，即且；若選①，則，所以，即且、；若選②，則，所以，即且、；（3）解：直線：，將直線向右平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度得到