山東省德州市禹城市2021-2022學年九年級上學期期末考試數(shù)學試題

山東省德州市禹城市2021-2022學年九年級上學期期末考試數(shù)學試題一、選擇題（每小題4分，共48分）。1．（4分）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x﹣1＝0有實數(shù)根，則a滿足（）A．a(chǎn)≥﹣2 B．a(chǎn)＞﹣2且a≠2 C．a(chǎn)≥﹣2且a≠2 D．a(chǎn)≠22．（4分）若在“正三角形、平行四邊形、菱形、正五邊形、正六邊形”這五種圖形中隨機抽取一種圖形，則抽到的圖形屬于中心對稱圖形的概率是（）A． B． C． D．3．（4分）下列關(guān)于反比例函數(shù)y＝﹣的說法正確的是（）A．圖象必經(jīng)過點（2，4） B．圖象在第二四象限內(nèi) C．在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小 D．當x＞﹣1時，y＞84．（4分）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，∠C＝55°，則∠P等于（）A．110° B．70° C．140° D．55°5．（4分）在平面直角坐標系中，平移二次函數(shù)y＝﹣2x2﹣16x﹣31的圖象能夠與二次函數(shù)y＝﹣2x2的圖象重合，則平移方式為（）A．向左平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度 B．向左平移4個單位長度，再向下平移1個單位長度 C．向右平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度 D．向右平移4個單位長度，再向下平移1個單位長度6．（4分）如圖，點O是△ABC的內(nèi)心，∠A＝62°，則∠BOC＝（）A．59° B．31° C．124° D．121°7．（4分）將一副三角板如圖疊放，則△AOB與△DOC的面積比是（）A． B． C． D．8．（4分）如圖，AD是△ABC的高，AB＝15，AC＝12，AD＝10，則△ABC的外接圓直徑AE長為（）A．20 B．18 C．16 D．109．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以C為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)一定角度后成△A′B'C，此時B′恰好落在斜邊AB的中點上，則∠ACA'＝（）A．30° B．45° C．60° D．70°10．（4分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)且a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)y＝的圖象可能是（）A． B． C． D．11．（4分）如圖，將矩形ABCD繞其右下角的頂點順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至圖①位置，繼續(xù)繞右下角的頂點順時針旋轉(zhuǎn)90°至圖②位置，以此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2022次．若AB＝4，AD＝3，則頂點A在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑總長為（）A．2021π B．3030π C．3032π D．3034.5π12．（4分）關(guān)于函數(shù)y＝|﹣x2﹣2x+3|，下列說法正確的個數(shù)有（）個①此函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝1；②該函數(shù)的最大值為4，最小值為0；③該函數(shù)的圖象與直線y＝4有3個交點；④若點A（﹣1，y1），B（﹣，y2），C（2，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y2＜y3．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（每小題4分，共24分）13．（4分）某商店今年6月份盈利2400元，8月份的盈利達到3456元，且從6月到8月，每月盈利的平均增長率都相同，則每月盈利的平均增長率為．14．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，點E在DC上，將矩形ABCD沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，那么線段EF的值為．15．（4分）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r＝2cm，扇形的圓心角θ＝160°，則該圓錐的母線長l為cm．16．（4分）飛機著陸后滑行的距離s（單位：m）關(guān)于滑行的時間；（單位：s）的函數(shù)解析式是s＝60t﹣1.5t2．飛機著陸后滑行秒能停下來．17．（4分）如圖，雙曲線y＝經(jīng)過Rt△BOC斜邊上的點A，且滿足，與BC交于點D，S△BOD＝21，則反比例函數(shù)解析式為．18．（4分）已知，在正方形ABCD中，AB＝4，點E在邊AB上，且BE＝1，以點B為圓心，BE長為半徑畫⊙B，點P在⊙B上移動，連接AP．（Ⅰ）如圖①，在點P移動過程中，AP長度的最小值是．（Ⅱ）如圖②，將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AP′，連接BP′，在點P移動過程中，BP′長度的最小值是．三、解答題（78分）19．（8分）解下列方程：（1）x2﹣2x＝﹣2；（2）（x+1）x＝6x+6．20．（12分）如圖所示，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標系，△ABC的頂點都在格點上．（1）將△ABC向右平移5個單位長度得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；（2）畫出△A1B1C1關(guān)于原點O的中心對稱圖形△A2B2C2；（3）若將△ABC繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到△A?B?C?，請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標；（4）以原點為位似中心，相似比為2，在第四象限內(nèi)將△ABC放大，畫出放大后的圖形△A3B3C3．21．（10分）電影“長津湖”的熱映，讓今年國慶節(jié)多了幾分英雄氣．現(xiàn)有電影票一張，明明和磊磊打算通過玩擲骰子的游戲決定誰擁有．游戲規(guī)則是：在一枚均勻的正方體骰子的每個面上分別標上數(shù)字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各擲一次骰子，若兩次朝上的點數(shù)之和是3的倍數(shù)，則明明獲勝，電影票歸明明所有，否則磊磊獲勝．（1）用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結(jié)果；（2）你認為這個游戲規(guī)則對明明和磊磊公平嗎？請說明理由．22．（10分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象，交于A、B兩點A（m，6），B（3，n）．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）求△OAB的面積；（3）根據(jù)圖象直接寫出不等式kx+b＜的解集．23．（12分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O外，∠ABC的平分線與⊙O交于點D，∠C＝90°．（1）CD與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由；（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的長．24．（12分）如圖①，有一塊三角形余料△ABC，它的邊BC＝120mm，高AD＝80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，AD交PN于點E，則加工成的正方形零件的邊長為多少毫米？小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題：（1）如果原題中所要加工的零件是一個矩形，且此矩形由兩個并排放置的正方形組成．如圖②，此時，這個矩形零件的相鄰兩邊長又分別是多少毫米？（2）如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖③，這樣，此矩形零件的相鄰兩邊長就不能確定，但這個矩形的面積有最大值，求這個矩形的面積達到最大值時矩形零件的相鄰兩邊長又分別是多少毫米？25．（14分）如圖1，已知拋物線與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C，點C坐標為（0，3）．（1）求拋物線的解析式．（2）在y軸上是否存在一點D，使以B，C，D為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求點D坐標．（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△BCP為直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．參考答案一、選擇題（每小題4分，共48分）。1．（4分）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x﹣1＝0有實數(shù)根，則a滿足（）A．a(chǎn)≥﹣2 B．a(chǎn)＞﹣2且a≠2 C．a(chǎn)≥﹣2且a≠2 D．a(chǎn)≠2【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x﹣1＝0有實數(shù)根，∴△≥0且a﹣2≠0，∴Δ＝16﹣4（﹣1）（a﹣2）＝16+4a﹣8＝8+4a≥0且a≠2，∴a≥﹣2且a≠2．故選：C．2．（4分）若在“正三角形、平行四邊形、菱形、正五邊形、正六邊形”這五種圖形中隨機抽取一種圖形，則抽到的圖形屬于中心對稱圖形的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：這五種圖形中，平行四邊形、菱形和正六邊形是中心對稱圖形，所以這五種圖形中隨機抽取一種圖形，則抽到的圖形屬于中心對稱圖形的概率＝．故選：C．3．（4分）下列關(guān)于反比例函數(shù)y＝﹣的說法正確的是（）A．圖象必經(jīng)過點（2，4） B．圖象在第二四象限內(nèi) C．在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小 D．當x＞﹣1時，y＞8【解答】解：A、2×4＝8≠﹣8，圖象不經(jīng)過點（2，4），不符合題意；B、∵﹣8＜0，∴圖象在第二四象限內(nèi)，符合題意；C、∵﹣8＜0，∴圖象在第二四象限內(nèi)，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，不符合題意；D、∵當﹣1＜x＜0時，y＞8，不符合題意．故選：B．4．（4分）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，∠C＝55°，則∠P等于（）A．110° B．70° C．140° D．55°【解答】解：連接OB、OA，如圖，∵PA、PB分別與圓O相切于A、B兩點，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P，∵∠C＝55°，∴∠AOB＝2∠C＝110°，∴∠P＝180°﹣110°＝70°，故選：B．5．（4分）在平面直角坐標系中，平移二次函數(shù)y＝﹣2x2﹣16x﹣31的圖象能夠與二次函數(shù)y＝﹣2x2的圖象重合，則平移方式為（）A．向左平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度 B．向左平移4個單位長度，再向下平移1個單位長度 C．向右平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度 D．向右平移4個單位長度，再向下平移1個單位長度【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣2x2﹣16x﹣31＝﹣2（x+4）2+1，將其向右平移4個單位，再向下平移1個單位得到二次函數(shù)y＝﹣2x2．故選：D．6．（4分）如圖，點O是△ABC的內(nèi)心，∠A＝62°，則∠BOC＝（）A．59° B．31° C．124° D．121°【解答】解：∵∠BAC＝62°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣62°＝118°，∵點O是△ABC的內(nèi)心，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×118°＝59°，∴∠BOC＝180°﹣59°＝121°．故選：D．7．（4分）將一副三角板如圖疊放，則△AOB與△DOC的面積比是（）A． B． C． D．【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD；根據(jù)題意，AB＝BC，CD＝BC，即CD＝AB；∴＝（）2＝，故選C．8．（4分）如圖，AD是△ABC的高，AB＝15，AC＝12，AD＝10，則△ABC的外接圓直徑AE長為（）A．20 B．18 C．16 D．10【解答】解：連接BE，∵AE是直徑，AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ABE＝90°，∵∠C＝∠E，∴△ADC∽△ABE，∴＝，∴＝，∴AE＝18，故選：B．9．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以C為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)一定角度后成△A′B'C，此時B′恰好落在斜邊AB的中點上，則∠ACA'＝（）A．30° B．45° C．60° D．70°【解答】解：∵∠ACB＝90°，點B'是AB的中點，∴BB'＝B'C，∵以C為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)一定角度后成△A′B'C，∴BC＝B'C，∠BCB'＝∠ACA'，∴△BCB'是等邊三角形，∴∠BCB'＝∠ACA'＝60°，故選C．10．（4分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)且a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)y＝的圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：由二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象可知，a＞0，b＜0，c＜0，則一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，反比例函數(shù)y＝的圖象在二四象限，故選：C．11．（4分）如圖，將矩形ABCD繞其右下角的頂點順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至圖①位置，繼續(xù)繞右下角的頂點順時針旋轉(zhuǎn)90°至圖②位置，以此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2022次．若AB＝4，AD＝3，則頂點A在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑總長為（）A．2021π B．3030π C．3032π D．3034.5π【解答】解：∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝BD＝5，轉(zhuǎn)動一次A的路線長是：＝2π，轉(zhuǎn)動第二次的路線長是：＝π，轉(zhuǎn)動第三次的路線長是：＝π，轉(zhuǎn)動第四次的路線長是：0，以此類推，每四次循環(huán)，故頂點A轉(zhuǎn)動四次經(jīng)過的路線長為：π+π+2π＝6π，∵2022÷4＝505…2，∴頂點A在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑總長為：6π×505+2π+＝3034.5π，故選：D．12．（4分）關(guān)于函數(shù)y＝|﹣x2﹣2x+3|，下列說法正確的個數(shù)有（）個①此函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝1；②該函數(shù)的最大值為4，最小值為0；③該函數(shù)的圖象與直線y＝4有3個交點；④若點A（﹣1，y1），B（﹣，y2），C（2，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y2＜y3．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：∵函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，∴函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝﹣1，故①錯誤；∴函數(shù)y＝|﹣x2﹣2x+3|的最小值為0，無最大值，故②錯誤；∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3的頂點為（﹣1，4），∴函數(shù)y＝|﹣x2﹣2x+3|的圖象與直線y＝4有3個交點，故③正確；∵點A（﹣1，y1），B（﹣，y2），C（2，y3）在該函數(shù)圖象上，∴y1＝|﹣1+2+3|＝4，y2＝|﹣+1+3|＝，y3＝|﹣4﹣4+3|＝5，∴y2＜y1＜y3．故④錯誤；故選：A．二、填空題（每小題4分，共24分）13．（4分）某商店今年6月份盈利2400元，8月份的盈利達到3456元，且從6月到8月，每月盈利的平均增長率都相同，則每月盈利的平均增長率為20%．【解答】解：設(shè)從6月到8月，每月盈利的平均增長率為x，由題意可得：2400（1+x）2＝3456，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），答：每月盈利的平均增長率為20%．故答案為：20%．14．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，點E在DC上，將矩形ABCD沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，那么線段EF的值為．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上的F處，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，BF＝＝4，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，設(shè)CE＝x，則DE＝EF＝3﹣x，在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴EF＝3﹣x＝．故答案為：．15．（4分）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r＝2cm，扇形的圓心角θ＝160°，則該圓錐的母線長l為cm．【解答】解：扇形的弧長＝2×2π＝4πcm，＝4π解得：l＝cm．故答案為：．16．（4分）飛機著陸后滑行的距離s（單位：m）關(guān)于滑行的時間；（單位：s）的函數(shù)解析式是s＝60t﹣1.5t2．飛機著陸后滑行20秒能停下來．【解答】解：s＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，則當t＝20時，s取得最大值，此時s＝600，故飛機著陸后滑行20秒停下來．故答案為：20．17．（4分）如圖，雙曲線y＝經(jīng)過Rt△BOC斜邊上的點A，且滿足，與BC交于點D，S△BOD＝21，則反比例函數(shù)解析式為y＝．【解答】解：過A作AE⊥x軸，垂足為E，則∠AEO＝∠BCO＝90°，∵∠AOE＝∠BOC，∴△AOE∽△BOC，∴＝（）2，∵，∴＝，∴＝（）2＝，∵點A，D分別在雙曲線雙曲線y＝上，∴S△AOE＝S△DOC＝k．∴S△BOC＝S△BOD+S△DOC＝21+k，∴＝∴k＝8，∴反比例函數(shù)解析式為y＝．故答案為：y＝．18．（4分）已知，在正方形ABCD中，AB＝4，點E在邊AB上，且BE＝1，以點B為圓心，BE長為半徑畫⊙B，點P在⊙B上移動，連接AP．（Ⅰ）如圖①，在點P移動過程中，AP長度的最小值是3．（Ⅱ）如圖②，將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AP′，連接BP′，在點P移動過程中，BP′長度的最小值是4﹣1．【解答】解：（Ⅰ）∵點P在⊙B上移動，∴當點P在線段AB上時，AP的長度有最小值，最小值＝AB﹣PB＝4﹣1＝3，故答案為3；（Ⅱ）如圖，連接BP，由旋轉(zhuǎn)得：AP＝AP′，∠PAP′＝90°，∴∠PAB+∠BAP′＝90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAP′+∠DAP′＝90°，∴∠PAB＝∠DAP′，在△P'AD和△PAB中，∴△P′AD≌△PAB（SAS），∴P′D＝PB＝1，∴點P在以點D為圓心，DP'為半徑的圓上，∴當P′在對角線BD上時，BP′最小，在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝4，∴BD＝＝＝4，∴BP′＝BD﹣P′D＝4﹣1，即BP′長度的最小值為4﹣1．故答案為：4﹣1．三、解答題（78分）19．（8分）解下列方程：（1）x2﹣2x＝﹣2；（2）（x+1）x＝6x+6．【解答】解：（1）x2﹣2x＝﹣2，x2﹣2x+2＝0，a＝1，b＝﹣2，c＝2，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝12＞0，x＝＝＝±，所以x1＝+，x2＝﹣；（2）（x+1）x＝6x+6，（x+1）x﹣6（x+1）＝0，（x+1）（x﹣6）＝0，x+1＝0或x﹣6＝0，所以x1＝﹣1，x2＝6．20．（12分）如圖所示，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標系，△ABC的頂點都在格點上．（1）將△ABC向右平移5個單位長度得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；（2）畫出△A1B1C1關(guān)于原點O的中心對稱圖形△A2B2C2；（3）若將△ABC繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到△A?B?C?，請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標；（4）以原點為位似中心，相似比為2，在第四象限內(nèi)將△ABC放大，畫出放大后的圖形△A3B3C3．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，△A2B2C2即為所求；（3）根據(jù)圖形可知：旋轉(zhuǎn)中心的坐標為：（﹣2.5，0）；（4）如圖，△A3B3C3即為所求；21．（10分）電影“長津湖”的熱映，讓今年國慶節(jié)多了幾分英雄氣．現(xiàn)有電影票一張，明明和磊磊打算通過玩擲骰子的游戲決定誰擁有．游戲規(guī)則是：在一枚均勻的正方體骰子的每個面上分別標上數(shù)字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各擲一次骰子，若兩次朝上的點數(shù)之和是3的倍數(shù)，則明明獲勝，電影票歸明明所有，否則磊磊獲勝．（1）用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結(jié)果；（2）你認為這個游戲規(guī)則對明明和磊磊公平嗎？請說明理由．【解答】解：（1）列表得：1234561（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）共有36種等可能的結(jié)果數(shù)；（2）不公平，理由如下：由表可知共有36種等可能結(jié)果，其中兩次朝上的點數(shù)之和是3的倍數(shù)有12種結(jié)果，不是3的倍數(shù)的有24種結(jié)果，則明明獲勝的概率是＝，磊磊獲勝的概率是＝，∵＜，∴這個游戲規(guī)則對明明和磊磊不公平．22．（10分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象，交于A、B兩點A（m，6），B（3，n）．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）求△OAB的面積；（3）根據(jù)圖象直接寫出不等式kx+b＜的解集．【解答】解：（1）∵A（m，6），B（3，n）在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴m＝1，n＝2，即點A（1，6），B（3，2），代入一次函數(shù)y＝kx+b，得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣2x+8；（2）設(shè)直線與x軸交于點D，令﹣2x+8＝0，得x＝4，即D（4，0）．∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝×4×6﹣×4×2＝8．（3）由圖可得，kx+b＜＞時，0＜x＜1或x＞3．23．（12分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O外，∠ABC的平分線與⊙O交于點D，∠C＝90°．（1）CD與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由；（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的長．【解答】解：（1）相切．理由如下：連接OD，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠CBD＝∠ABD，又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥CB，∴∠ODC＝∠C＝90°，∴CD與⊙O相切；（2）若∠CDB＝60°，可得∠ODB＝30°，∴∠AOD＝60°，又∵AB＝6，∴AO＝3，∴的長＝＝π．24．（12分）如圖①，有一塊三角形余料△ABC，它的邊BC＝120mm，高AD＝80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，AD交PN于點E，則加工成的正方形零件的邊長為多少毫米？小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題：（1）如果原題中所要加工的零件是一個矩形，且此矩形由兩個并排放置的正方形組成．如圖②，此時，這個矩形零件的相鄰兩邊長又分別是多少毫米？（2）如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖③，這樣，此矩形零件的相鄰兩邊長就不能確定，但這個矩形的面積有最大值，求這個矩形的面積達到最大值時矩形零件的相鄰兩邊長又分別是多少毫米？【解答】解：（1）設(shè)矩形的邊