新課標人教A版數(shù)學必修2導學案

高一數(shù)學必修2導學案答案

【答案01】棱柱、棱錐、棱臺的結構特征

問題1：若干個平面多變性能夠圍成的幾何體叫做多面體。圍成多面體的各個多邊形叫做多

面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點

問題2：一個平面圖形繞它旋轉所在的平面內的?條定直線旋轉所形成的封閉幾何體叫做旋轉

體。這條定直線叫做旋轉體的軸。

問題3：兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,

由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面

叫做棱柱的側面；相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱；側面與地面的公共頂點叫做棱柱的頂

點。四棱柱表示為棱柱AC',按邊分三、四、五棱柱。按側棱分直棱柱、斜棱柱、正棱柱。

有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做

棱錐。這個多邊形面叫做棱錐的底面；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面；各側面

的公共頂點叫做棱錐的頂點；相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱。四棱錐表示為棱錐S-ABCD

按邊分三、四、五棱錐，按底面多邊形分正棱錐，一般棱錐。

用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺。

四棱臺表示為棱臺ABCD-A'B'C'D'按邊分三、四、五棱臺，按底面多邊形分正棱臺，一般

棱臺。

問題4：四棱柱（底面變成平行四邊形）一平行六面體（側棱與底面垂直）一直平行六面體（底

面為矩形）一長方體（底面為正方形）一正四棱柱（側棱與底面邊長相等）一正方形。

問題5：

⑴不一定是，例：

（2）不是，如五棱柱等

例1：是

例2：3個

達標檢測：LA2.A3.A4.A5.C6.D7.

【答案02］圓柱、錐、臺、球、組合體的結構特征

問題1：它們都是旋轉體

問題2：以矩形的?邊所在直線為旋轉軸，其余三邊形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱。旋轉

軸叫做圓柱的軸，垂直與軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的底面，平行于軸的邊旋轉而成的

曲面叫做圓柱的側面，不垂直與軸的邊都叫做圓柱側面的母線。表示圓柱00'。

以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做

圓錐。表示為圓錐S0。

用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺。表示為00'。

問題3：以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做球體。半圓的

圓心叫做球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。表示為球0。

問題4：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體；一種是由簡單幾何體拼接而成；一

種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而形成。

例1解：把圓柱的側面沿AB剪開，然后展開成平面圖形（矩形），連接AB'

則AB'即為螞蟻爬行的最短距離

AB'=2\l+7r2

例2：8cmBB'

達標訓練：

1.A2.D3.C4.C5.C6.D7.8倍

【答案03］空間幾何體的三視圖

問題1：由于光的照射，在不透明的物體后面的屏幕上可以留下這個物體的影子，這種現(xiàn)象叫

做投影。光線叫做投影線，留下物體影子的屏幕叫做投影面。

問題2：光由一點向外散射形成的投影叫做中心投影；在一束平行光線照射下形成的投影叫做

平行投影。

問題3：光線從幾何體的前面向后面的正投影等到的投影圖叫做兒何體的正視圖；光線從幾何

體的左面向右面的正投影等到的投影圖叫做幾何體的側視圖；光線從幾何體的上面向下面的

正投影等到的投影圖叫做幾何體的俯視圖。

例1：見教材12頁

長對正，高平齊，寬相等。

例2：見教材13頁

達標訓練：

1.D2.C

【答案04］空間幾何體的直觀圖

例1：見教材16頁

例2：見教材17頁

例3：見教材18頁

/Z2

達標訓練：1.A2.理一

16

【答案05］空間幾何體結構周測試

1.D2.C3.B4.D5.B6.C7.C8.D9.B10.All.V7412.4113.B14.②

④

15.解：設長方體的長、寬、高分別為：a、b、c.

由已知得：2帥+2bc+2ac=11,4。+4b+4c=24

IJq-+/?、+，-J(a+b+c)--(2ab+2bc+2ac)5

16.(1)解：設所求圓柱的底面半徑為r,則

2,

：.S=2rx%=——x+4x

3

(2)當x=3時，Smm=6

【答案06］空間幾何體的表面積和體積

問題1：棱柱的側面展開圖是由多個長方形組成的平面圖形.棱錐的側面展開圖是由多個三

角形組成的平面圖形.棱臺的側面展開圖是由多個梯形組成的平面圖形.所以棱柱、棱錐、

棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側面展開圖還是平面圖形，計算它們的表面

積就是計算它的各個側面面積和底面面積之和。

例1:分析：我們知道四面體的展開圖是由四個全等的正三角形所組成的；那么我們就解:

先求AABC的面積，易求SAABC='孑，四面體S-ABC的表面積S=4x4二=6a2

圓柱的側面展開圖是矩形S衣=2"+2m/=2"(r+/)

問題2：圓錐的側面展開圖是扇形+m7=+/)

圓臺的側面展開圖是扇環(huán)S&=7r(r,2+r2+r,l+rl)

例2：解：由圓臺的表面積公式得花盆外壁的表面積

5=^x[(—)2+—xl5+—xl5]-^-x(—)2?1OOO(CW2)=O.1(/?72)

2222

柱體體積：Y=Sh

問題3：椎體體積：V=！S〃

3

臺體體積：丫=；(5+網(wǎng)+5，)人

例3：解：六角螺帽的體積是六棱住體積與圓柱體積的差，即

V=^xl22x6xl0-3.14x(y)2X10?2,956((.7H3)

螺帽的個數(shù)為5.8x1000(7.8x2.956)?252

達標訓練：1.D2.D3.D4.D5.A6.16〃7.28

【答案07]球的體積和表面積

知識鏈接:以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球.

半圓的半徑在球體中分別叫做球的半徑.設球的半徑為R,截面圓半徑為r,球心與截面圓圓心

的距離為d,則R、r、d三者之間的關系「二/”二^

問題1:答案見教材32頁

4R0

問題2:V=-TTR3,S=4〃R2

3

例1：見教材27頁

445125

例2：V=—冗爐=一〃?(一)3=---7rcmy

3326

變式1:解:設空心鋼球的內徑為2xcm,則鋼球的質量是

796?弓y-g萬馬=]42

2x之4.5

達標測試：

1--4CBBD5.86.326兀7.50%8,1：272：3739.73:91:3

10.1211.2500萬

【答案08］空間幾何體習題課

例1.(DC⑵D例2.A例3.D4.C例5.B例6.B

達標測試：1---6CADBA

9.—^―10.2^T(V3+1)

【答案09］平面

問題1.生活中的一些物體通常呈平面形，課桌面,黑板面，海面都給我們以平面的印象，兒何

里所說的平面，就是從這樣的一些物體中抽象出來的，但是，兒何里的平面是無限延展的。

問題2.水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45°,且橫邊畫成鄰邊的2倍長

(如圖)

A

問題3.平面的表示平面通常用希臘字母a、8、丫等表示，如平面a、平面B等，也可以用

表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面

ABCD等。

如果幾個平面畫在一起，當一個平面的一部分被另一個平面遮住時.，應畫成虛線或不畫

Aea

問題4.AeaB^a

例1、XXXXV

問題5.不一定一定

問題6.公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內

符號表示為

問題7.公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

符號表示為：A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面a,

使AGa、Bea、CGa0

問題8.公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共

直線。

符號表示為：PGanB=>anP=L,且PdL

達標：

①三點確定個平曲⑨蛤根據(jù)公理2③不一定

（l）AwaB更a

（2）/￡am生a

⑶ac/?=/

Pea

ar\f3=1

Pel

(5)mua

Qcl

Icm=P

Q電a

【答案10]空間直線與直線的位置關系1

問題1.共同特征是：既不相交，也不共面，即不在同一個平面內。

思考.通過觀察思考后發(fā)現(xiàn)：直線AB'與直線CC'既不平行也不相交，還不共面。即不在同

一平面內。

問題2.我們把不同在任何一個平面內兩條直線叫做異面直線。

問題3:「it面百線.「相交：同一平面內，有且只有一個公共點

1八一,I平行：同一平面內，沒有公共點

I異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點

問題4.1.2.3.5.是異面直線

問題5.1和5對

例1.AD、DC、CC|、DDrD]C|、B?

問題6.AB與GHAB與CDEF與GH

問題7.有平行

例2.（考慮到學生第一次接觸空間四邊形，先結自制模

型簡單介紹什么叫空間四邊形，再分析如何證明）

分析：如何判定一個四邊形是平行四邊形？

怎樣證明EH〃FG?證明關鍵是什么？

證明：如圖，連結BD.

：E、H分別是AB、AD的中點

EH是△ABD的中位線EH=LBD

2

...EH〃BD,

同理，F(xiàn)G〃BD,FG=-BD

2

EH#FG,且EH=FG

...四邊形EFGH是平行四邊形。

變式練習：菱形梯形

達標：1.相交或異面2（1）平行⑵異面4.D5.C

【答案11]空間直線與直線的位置關系2

知識鏈接1：我們把不同在任何一個平面內兩條直線叫做異面直線。

2.平行,相交,異面

3.平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

符號表示為：設a、b、c是三條直線

a〃b=>a〃c

b//cJ

NADC+/AiBiCi=180°

問題1.從圖中可看出,ZADC=ZA1D1C1

問題2.那么這兩個角相等或互補

問題3.在平面內，兩條直線相交成四個角，其中不大于90度的角稱為它們的夾角，用以刻畫兩

直線的錯開程度，如圖.

在空間，如圖所示，正方體ABCD—EFGH中，異面直線AB與HF的錯開程度可以怎樣來刻畫

異面直線所成角的定義：如圖，已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點。作直線a'//a,

b'〃b則把a'與b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線所成的角（或夾角）.

異面直線所成的角的范圍（0°,90°]

問題4.這個角的大小與0點的位置無關.

例:L解（1）與直線84成異面直線有AD、CD、8￡、CQ、G。、?D

（2）?.?耳8〃GCNA/f是異面直線34和G。所成的角易求得所成的角為45

例2.90°、90°、90°、45°、60°例3.60°

達標:1.⑴⑶⑹對(2)(4)⑸錯2.A3.D4.45°

【答案12］直線與平面、平面與平面的位置關系

問題1.問題2.結論.直線與平面的位置關系有且只有三種：

(1)直線在平面內一一有無數(shù)個公共點；)

(2)直線與平面相交一一有且只有一個公共點：

(3)直線與平面平行一一沒有公共點；

問題3.4.見教材49頁

問題5.6見教材50頁

例1B例2.D

達標1—6ADCCBC

【答案13］直線與平面平行的判定平面與平面平行的判定

實例探究：平行

問題1.(1)a與b共面于分(因為a〃b)(2)不可能相交

判斷對錯：XXX

例1.證明：連接BD

因為AE=EB,AF=FD,

所以EF〃BD

EF.平面BCD,BDU平面BCD

由直線與平面平行的判定定理得

EF〃平面BCD

練習1.證明：設4G中點為匕連結NF,FCI”

：N為A4中點，NF〃G4又：BC〃G4，M是BC的中點，\/出耳

；.MC〃Gg，NFCM為平行四邊形二MN〃平面A4G。/’/

問題3.不一定平行A區(qū)」

判斷對錯：XXV

例2.證明：因為ABCD-A￡G2為正方體，

所以48=4片，。?〃4耳?！?4月，

又ABHA\B］,=所以AG〃A3,

AG=A8,所以2GA4為平行四邊形。

所以GBu平面QB。，D\AHC\B。又O/(X平面G^O,C/u平面

由直線與平面的判定定理得■A〃平面G8D,同理。由〃平面，又

所以平面A8QJ/平面C/O。

練習2:證明：連結BM、BN、BG并延長交AC、AD,CD分別于卡、F、H?

VM,N、G分別為△ABC、AABD,ABCD的重心,

連結PF、FH、PH有MN〃PF,又PFu平面ACD,；.MN〃平面ACD。

同理：MG〃平面ACD,MGCIMN=M,

平面MNG〃平面ACD

(2)分析：因為aMNG所在的平面與aACD所在的平面相互平行，因此，求兩三角形的面積

之比，實則求這兩個三角形的對應邊之比。

2]1

.,.MG=-PH,又PH=—AD,；.MG=—AD

323

同理：NG=-AC,MN=-CD,

二AMNGSAACD,其相似比為1：3,

達標1.C

2.平行或相交3.平行4.平行.證明略

【答案14］直線與平面、平面與平面平行的性質

A問題1：1)平行或異面2)過這條直線做一個平面與原平面相交，交線即是。

A問題2:異面或平行

A問題3：由于直線a與平面a內的任何直線無公共點，所以過直線a的某一平面，若與平

面a相交，則直線a就平行于這條交線

B自主探究1：已知：a〃a,aUB,an3=b0求證：a〃b。_

證明：由2〃(1,知la與a無公共點，又因為a與b在同一平面B內，

貝Ua〃b/b,

例1：(1)過p畫一條直線與B'C平行，即可

⑵1〃B/C,B，C〃面AC,則［平行于面AC

例2：如圖：已知a〃b,且@〃明過a做B與a交于c,則2〃(:，又有a〃b,則6〃的由

直線與平面平行的判定定理知b〃a

自主探究2:由a〃6,any=a,3Ay=b知a,b無公共點，又a,b在同一平面Y內，

貝a〃b

例3:略

達標檢測：

1：略2:B3;C4:C5:C6:平行或在內7：平行或相交

【答案15］直線與平面垂直的判定

例1：解：在和AA8。中，A

*/AB=8m,BC=BD=6m,AC=AD=1m

AB2+BC2=62+S2=102=AC2

AB2+BD2=62+82=IO2=AD2

：.ZABC=ZABD=90°

即ABYBC,ABLBD

又???B,C,O不共線

AB!_平面BCD,即旗桿和地面垂直;

例2：已知a//b,aA.a,則b-La嗎？

已知：a//b,a±a.求證；bla

證明：設m是a內的任意一條直線

a.La

mua

muan￡>_La

例3：1)45°,2)30°

達標檢測：

1)D；2)D3)解：連結BD交AC于0,

VE,F是正方形ABCD邊AD,AB的中點,AC±BD,

AEFIAC.

GCl^EABCD

力=卜nEFlGC.

EFc平面ABCD

VACnGC=C,

；.EFJ_平面GMC.

【答案16］平面與平面垂直的判定

例1：取BD中點0,連OA,0C,則/AOC為二面角A-BD-C的平面角。

由勾股定理知AO=OC=1,再由余弦定理（或勾股定理）知NA0C=90°

判斷對錯：XXJ

例2：證明：設在。。所在平面為a,由已知條件，

PAla,BC在a中，所以P4_L8C.

因為C是圓周上不同于A,8的任意一點，

AB是O。的直徑，所以ZBC4是直角，即6C_LAC.

又因為PA與AC是^PAC所在平面內的兩條相交直線，

所以，平面PAC,

又因為BC在平面PBC內，

所以，平面PAC_L平面尸8c.

例3：證明:⑴；PA_L平面ABC,APA1BC,又NABC=90°,即BCJ_AB,，BCJ_平面PAB,

平面PAB_L平面PBC。

⑵由⑴知BC_L平面PAB,；.BCJ_AE,又，AEJ_PB,...AE_L平面PBC,...平面AEFJ_平面PBC。

⑶由⑵知AE_L平面PBC,AAE1PC,又AF_LPC,...PC_L平面AEF,上平面AEF_L平面PAC。

達標檢測：

1)D2)D3)D4)A

【答案17】直線與面垂直的性質

問題2：證明:假定b不平行于a,設acb=O,b'是經(jīng)過點。的兩直線a平行的直線.

a//b',ala,:.b'1a即經(jīng)過同一點。的兩直線b,b'都與a垂直,這是不可能的，因此b

〃a.

達標檢測：

1)2)略3)C4)D5)A6)B

【答案18］平面與面垂直的性質

探究1：在B內作直線BELCD,垂足為B,則/ABE是二面角a-CD-0的二面角，由a_L0

知，AB±BE,又AB_LCD,BE與CD是。內的兩條相交直線，所以AB_LB。

探究2：2)D

問題3:如右圖，設aC0=c,過點P在平面a內作直

線b，c,根據(jù)平面平面垂直的性質定理有b_L0。

因為過一點有且只有一條直線與平面B垂直，所以直

線a與直線b重合，因此，有aua。

例1：解：在a內作垂直于a與B交線的直線b,

因為a_L0,所以b_LB，

因為a_LB，所以a〃b,

又因為a<za,所以a〃a,

即直線a與平面a平行。

探究3：垂直

達標檢測：

1)略2)B

3)解:在AABD中,3AB=AD,取BD的中點E,

連結AE,則AE為BD的中線；.AE_LBD

又：面BCDn面ABD=BD,面ABD±面BCD

；.AE_L面BCD

【答案19】《空間線面、面面關系》習題課1

例1：1.B.2.C.3.B

題型二：

B例2如圖6-79,AABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F,

G分別是EB和AB的中點。

求證：FG_L平面ABC；FD〃平面ABC。

證明:連CG

由于F,G分別是EB和AB的中點，則FG//EA.

圖6一79

又EA垂直于平面ABC,則FG_L平面ABC.

由于DC垂直于平面ABC,則DC//FG

而DC=FG=a.

所以四邊形FGCD為平行四邊形.

所以FD//GC

又GCuABC,FDuABC,

所以FD〃平面ABC

B例3如圖，PA1矩形廂在管J平面的中點.

(1)求證：MN〃平面PA。；(2)求證：MNLCD；

⑴證明:過點N作NF//CD交PD于F,連AF

根據(jù)題意可知NF=AM,NF〃AM

則四邊形AMNF為平行四邊形.

所以AF//NM

又AFuPAD,NMctPAD

則MN〃平面PAO

(2)由于PA，矩形胭足的平面，所以PA,A8

又由于AO，4B,AOcPA=A

所以A8，PAOJ^AB〃CD

則CD1PAD，又AFuPAO,則CD±AF

又AF〃NM,則MNLCO.

題型三：一面直線角、線面角、二面角的問題

例4D

例5A

例6：四面體ABCS中，SA,SB,SC兩兩垂直，/SBA=45。，/SBC=6O。，M為AB的中點，求

(1)BC與平面SAB所成的角。

(2)SC與平面ABC所成角的正切值。

答⑴60°;(2)—

6

【達標檢測】

2/on

1.A;2C.3;D,4.D;5.B6.V,7.12;8.60°;9,d或2d.10.

(1)45°(2)60°

11.P為AABC所在平面外一點,AP=AC,BP=BC,D為PC的中點,

證明：直線PC與平面ABD垂直

證明：由于AP=AC,BP=BC,D為PC的中點，

則AOJ.PC,8。J.PC，又ADcBD=D

則直線PC與平面ABD垂直

12.如圖，PA_L平面ABC,AE1PB,AB1BC,AFJ_PC,PA=AB=BC=2(1)求證：平面AEFJ_平面

PBC；

(2)求二面角P—BC—A的大小：

由于曲則_ABC,PA1BC

XBC&LAB,BC±PAB,

而解uPAB,BC1AE,

H⑴VT證Hr明l：

又岫iPB,AE±PBC

又解uAEF

則面循FLPBC

⑵45°

【答案20］空間線面、面面關系習題課2

例1：(1)D(2)B

例2:證明：

(1)連接EF,BD因為ABCD-A|B|GD是正方體

.-.BB1//DDI,BBI=DD1

則四邊形BDD|B1為平行四邊形，所以BD〃B|D|

又因為E,F為AB,AD的中點

EF//BDEF//B,D,

EF<ZCB[D],E[D]uCB,D1

EF//CB.D,

⑵因為ABCD-ABGD是正方體

AAt±AiDt,AAl±A,B,

AAtJ_A|B|C]D],EJD,uA]B|C|D|

AAt，BQ

又因為A|4G2是正方形

AiC]±B|D|,A4|cA|C|=At

BD1AA.C.C,叩|uCBD

AA]C|C_LCB|D|

例3：解：過B點作BE平行且等于AC,連接CE,ED

BE平行且等于AC

二.四邊形ABEC為平行四邊形

/EBD為異面直線AC與BD所成的角或其補角

CE=AB=CD=10,

?.?BD=8,BE=6

■(1)證明：連結A|C|交B|D|于點E,連接AE

ABCD-A|B|GD|是正方體

AAj/ZCC.JlAAj=CC(

,四邊形AA|GC為平行四邊形

二C/AC且AC=AC

ABCD為正方形，。為AC中點

同理：E為A|G

AO//EC,HAO=EC]

二四邊形AOCF為平行四邊形

/.AE//C,O,又?CQ(X面AB|D1,AEu面AB1D1

，CQ〃面AB|D|

(2)???ABCD-A|B|C|D]是正方體

A±面A]B]C]D[,；B]D1u面A[B]C[D]

AA,1B,D,,vA|B￡D|是正方形

A|C|,LB|D|\Ajf")A?=A,

BQi_L面人人?°,???A.Cu面AA￡1C

RR1A,C

同理：AD,IA^A^PIB.D,=D,

A,C_L面AB]D]

(3)連結AB1交A》與點F,連接BF,CF,BC，AC

；.F為AB1的中點，設正方體棱長為2

AB=BB1=2,AC=B.C=272

BFJ.AB|,CFJ.AB1

.?.NCFB為二面角B-ABrC的平面角

XCBJ.面ABB|A|

.?.NCBF為90。，CB=2,BF=V^

tanZCFB=V2

達標訓練：「6：CADBBC

7.平行菱形8.60°

9.①③④*②或②③④今①

10證明：連接AC交BD與點O,連接MO

?.?四邊形ABCD為平行四邊形

.?.O為AC中點，M為PC中點

MO//AF,AFU面MBD,MOu面MBD

AF〃面MBD

(2)平行

連接AJ交Ag與點O

O為A￡的中點，D為BC中點

DO〃A|B,A|B(Z面ADC1，DOu面ADC)

A]B〃面ADC1

12I-J_La

,乙.L^BEF-A

【答案21】直線的傾斜角與斜率

問題3

定義：當直線1與x軸相交時.，我們取x軸作為基準，”軸正向與直線1向上方向之間所成

的角。叫做直線1的傾斜角.[0。，180。）

規(guī)定當直線/與x軸平行或重合時，

它的傾斜角為0°.當直線L與x軸垂直時，.傾斜角為90°

問題4

升高量

坡度（比）=

一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.攵=tana=—~—

x-X]

問題52

1-22

例1：解：直線的斜率=-----

AB-4-37

-1-11

直線BC的斜率kBC==—上

BC42

直線。的斜率=1

040-3

由&B＞0及J＞。知，直線46與勿的傾斜角均為銳角；由&c＜。知，直線8c的

傾斜角為鈍角.

例2解：取直線上某一點為4的坐標是（X1，M）,根據(jù)斜率公式有：玉=%

設芯=1,則％=1,于是％的坐標是（1,1）.過原點及4（1,1）的直線即為4

4是過原點及A2（X2，%）的直線，4是過原點及43（%3，力）的直線，乙過原點及4（X4，%）

的直線.

達標訓練：1,D2,A3,B4,B5,除=G&=_走6,(-2,1)

33

【答案22】直線的傾斜角與斜率習題課

3

題型一(1U=-

⑵女=一(

(3)不存在

題型二(D)

變式：

?當?！?0,兀),P=7v-a,

當a=0,2=0

題型三

TTSoTT

(l)ae[0,-)u[-^)

24

TTTT

(2)ae[0,-]u(-,^)

42

八7t2乃

(3)ae[0,-]u(—

題型四丁十7

a=2或a=—

2

題型五解：設D點坐標為（x,y）

砥8=3,"co=-^7，心B-kcD=T

x-3

x+3y=3

得

2x+y=1

。。1）

題型六人4一1或人23

變式Awl

達標訓練：5

l.C2.D3.B4.B5.五6.2

“8625、“1829、

7.A(—,—),A(—,—)

131355

【答案23】直線的點斜式方程

問題1、

學生回顧，并回答。然后教師指出，直線的方程，就是直線上任意一點的坐標（光,?。M足的

關系式。

問題2、學生根據(jù)斜率公式，可以得到，當XW/時，k=匕&，即y一九=女魚一%）

x-x0

（1）

問題3、學生驗證，教師引導。然后教師指出方程（1）由直線上一定點及其斜率確定，所以

叫做直線的點斜式方程,簡稱點斜式（pointslopeform）.

問題4、學生分組互相討論，然后說明理由。

問題5、（1）無軸所在直線的方程是什么？＞軸所在直線的方程是什么？

（2）經(jīng)過點1（％,）且平行于X軸（即垂直于y軸）的直線方程是什么？

（3）經(jīng)過點匕（％0，,））且平行于y軸（即垂直于為軸）的直線方程是什

么？

教師學生引導通過畫圖分析，求得問題的解決。

A例1.直線/過點P（-3,2）,且傾斜角為物5,求直線的點斜式方程，并畫出直線I

學會運用點斜式方程解決問題，清楚用點斜式公式求直線方程必須具備的兩個條件：（1）-

個定點；（2）有斜率。同時掌握已知直線方程畫直線的方法。

教師引導學生分析要用點斜式求直線方程應已知那些條件？題目那些條件已經(jīng)直接給予，那

些條件還有待已去求。在坐標平面內，要畫一條直線可以怎樣去畫。

問題7、引入斜截式方程，讓學生懂得斜截式方程源于點斜式方程，是點斜式方程的一種特

殊情形。學生獨立求出直線/的方程：y=kx+b（2）

再此基礎上，教師給出截距的概念，引導學生分析方程（2）由哪兩個條件確定，讓學生理解

斜截式方程概念的內涵。

問題8、深入理解和掌握斜截式方程的特點

問題9、使學生理解“截距”與“距離”兩個概念的區(qū)別。

問題10、體會直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關系.學生思考、討論，教師評價、歸納概括。

B例2.直線楠訓?燧X同口）：的例e是/隹么？//2

（2的條俳是什么？

掌握從直線方程的角度判斷兩條直線相互平行，或相互垂直；進一步理解斜截式方程中女力的

幾何意義。

教師引導學生分析：用斜率判斷兩條直線平行、垂直結論。思考（1）/J//2時，

有何關系？（2）時，尤，《；仇，么有何關系？在此由學生得出結論:

Z]II12=匕=憶2,且々：&；/1_1_，2=k[k，2=-1

達標測試廠

L⑴y+3i)⑵一年+在

(3y-3=0(4)y+2=-6(X+4)

2-(l)l,45°(2)73,60°

3.⑴y=^-x-2(2)y=-2x+4

4.(1)Z,//Z2(2)/1±/2

5.2x-5y=0或y-2=-(x-5)

9

6.〉一石=_2(》一粉

【答案24】直線的兩點式方程

3y—y

問題1：(1)y_2=_(x—1)(2)y~~-----(%―九])

22一%]

問題2：當天=當時，直線與X軸垂直，所以直線方程為：％=再；當x=%時，直線與

y軸垂直，直線方程為：y=H

XV

例1一+土=1例25x+3y-6=0,x+13y+5=0

ab

達標檢測：

?⑴受r言，⑵言二言八、xyi小、工

2(l)-+^-=l,(2)—+y1

23—5o

x

3，⑴/八工x+；y=1i，(2)￡+；y=1i或-e￡+=y=1,

-JJJJJ/

4舌+己=1或會上1

5.x+y=1或2x+3y=0

【答案25】直線的一般式方程

問題1任何一條直線都可以用一個關于x,y的二元一次方程表示；同時，任何一個關于x,y

的二元一次方程都表示一條直線。

問題2：直線的一般式方程能夠表示平面上的所有直線，而點斜式、斜截式、兩點式方程，都

不能表示與％軸垂直的直線。

問題3(1)A=0且B關0且CX0(2)B=0且A/0且C*0

(3)A=0且BW0且C=0(4)B=0且AW0且C=0

4

例ly+4=——(x-6),4x+3y-12=0

例2y=；x+3;女==-6;b=3

檢測：

].(l)y+2=-g(x—8),化成一般式x+2y-4=0

⑵》-2=0

(3)x+y-1=0

(4)2x-y-3=0

5177

2.(1)-3,5：(2)—5；(3),0；(4)—,—

4263

A

3(1)當B￥0時，直線1的斜率是——；當B=0時、直線1的斜率不存在。

B

(2)當C=0進，A,B不全是零時，方程Ax+By+C=0表示通過原點的直線。

習題3。2

l.(l)V3x-3y-6-873=0

(2)x+2=0

(3)4x+y—7=0

(4)2x+y-6=0

⑸>-2=0

(6)3x-4y-12=0

10(1)4x+y-14=0

(2)7x-2y-20=0

(3)x-2y-3=0

【答案26】兩條直線的交點坐標

知識鏈接：

1.點斜式，斜截式，兩點式，截距式，一般式；

2.相交和平行，相交，平行和異面

學習過程：

問題1：如果兩條直線Aix+B1y+品=0,和A2x+Bzy+C2=0相交，由于交點同時在兩條直線

上，交點坐標一定是它們的方程組成的方事組Aix+Biy+Q=0

[_A2x+B2y+C2=O的解；

反之，如果方程組/Aix+Biy+Ci=0

Y

A?x+B2y+C2=0

只有一個解，那么以這個解為坐標的點就是直線Aix+Biy+q=O和A2x+B2y+C2=O的交點

例1解：解方程組：

3x+4y)—2=0,解左力得/口:x=-2

2x+y+2=0

所以兩條直線的交點是M(—2,2)。

x—2y+2=0x=2

例2解：解方程組得

2x-y-2=0y=2

??.11與匕的交點是(2,2)設經(jīng)過原點的直線方程為y=kx

把(2,2)代入方程，得k=l,所求方程為y=x

例3證明：聯(lián)立方程[“+2)'-1=°得,=1即乂(1,一1)

2x-3y-5=0[y=-1

代入：x+2y—1+A.(2x—3y—5)=0得0+X0=0

；.M點在直線上

問題2(1)XB2-(2)XBi得(AIB2—A2BI)X=BIC2-B2CI

討論：1.當AIB2—A2BWO時，方程組有唯一解

2.當A1B2—A2B=0,BIC2-B2CI^0時，方程組無解

3.當AIB2-A2B=O,B1C2-B2c產(chǎn)0時,方程組有無窮多解。

例4

解(1)相交交點坐標(d);(2)平行，無交點(3)同一條直線，無窮多解

達標檢測

1習題3。3

1(1)直線八與相交,交點坐標為(23)

(2)兩條直線平行

(3)兩方程表示同一條直線

4

2(1)A=3,CW—2；(2)A#3；(3)A=——

3

13

3(1)mw—7,且mw—1;(2)加=一7;(3)加=一不

2x+y-l=0

2x7一7=0得x=3

3解法一：解方程組《

x+2y-l=0…

???這兩條直線的交點坐標為(3,-1)又???直線x+2y-5=0的斜率是一地

二所求直線的斜率是3,所求直線方程為y+l=3(x-3)即3x-y-10=0

解法二：所求直線在直線系2x-y-7+A(x+2y-l)=0中

經(jīng)整理，可得(2+A.)x+(28-1)y-X-7=0

2+2

=3解得入=1/7因此，所求直線方程為3x—y—10=0

22-1

【答案27］點到直線的距離

學習過程：

C

A問題1X?！?---)

c

問題2J，?！?---)

B

問題3

4+」

|2x(-l)+lx2-10|

例1解：①根據(jù)點到直線的距離公式，得d=2石

722+12

②直線3x=2平行于y軸,_5

d----(―1)

3~3

37

J=2-(--)

③直線2y+3=O平行于x軸,22

問題4夾在兩條平行直線間公垂線段的長。

問題5可轉化為點到直線的距離。

例2解：將兩條直線化為斜截式可求得兩直線的斜率：

22

li的斜率ki=—，12的斜率k2=—，

77

因為％=1<2，所以li//12

先求與軸的交點A的坐標，容易知道點A的坐標為(4,0)

16x4-21x0-112323/—

點A至IJ直線/2的距高為：d=一/一I==—V53

762+2123底159

所以，A與4間的距離為巨屈。

159

問題6任意兩條平行直線都可以寫成如下形式

/i:4x+8y+G=0

%:Ax+By+C?R(G*。2)PR_G|

則兩平行線/1與/2間的距離為：T團一方二？

例3解:設AB邊上的高為h,則SA雙=|A期

=7(3-1)2+(1-3)2=2后,A8邊上的高力就是。到"的距離。

y-3

A8邊所在直線的方程為x-1

1-33-1

達標訓練

?24,5V13

526

3解：在直線2x-7y—6=0上任取點P(x。，y。),則2x°—7y。-6=0,點P(x。，y。)到直線2x

d=網(wǎng)-7%+岡=|6+8|=14回

-7y+8=0的距離是也+H)2后53

4.3x±4y=0

5.x+y-3=0或3x+y-5=0

6.A點關于x=0的對稱點為(-3,-1),A點關于y=x的對稱點為(-1,3)都在BC上

BC的方程為x-2y+l=0所以B(0,0.5)C(1,1)

【答案28】直線的交點坐標與距離公式習題課

例1解：BC的中點D(1,3)AD=2A/2

例2解：分兩種當與AB平行時，x+3y-5=O當過AB中點時，x=-l

例3解：4x+y-ll=0

例4解：交點(-1,2)方程為5x+3y—1=0

達標訓練A(-1,5)

31、-3I

ID,2B,3D,4A,5(z一，)或(,一)，

5555

6解：由題得：網(wǎng)=優(yōu)3_(_1)『+(2-5)2=5.

???SaABc=g|AM%=10,.../?=4(//為點C到直線A8的距離).

3

設點C坐標為(％,%)，A5的方程為了一2=-1。-3),即3x+4y—17=0.

3%-%+3=°

由|3-7|，

-4

I5

解得卜=-1或＜%=屋

1%=2［尤=8

...C點坐標為(一1。)或弓,8).

7解：由題，若截距為0,則設所求/的直線方程為y=履.

-12±3內

=3-\/2,k

2

若截距不為0,則設所求直線方程為x+y-a=0.

-----，=3'72,a=l或a=13,

V2

-12+3V14

二所求直線為y=*2*x，彳+^-1=0或苫+丁-13=0.

7?

8解：當過尸點的直線垂直于x軸時，。點到直線的距離等于4,此時直線的傾斜角為5,

當過P點的直線不垂直于x軸時,直線斜率存在，

設過P點的直線為y=Z(x—2),即G—y—2k=0.

46

-2k-------2k-

3J3

由4:-------——=4,解得女二?.

VF7T3

7T

...直線傾斜角為

6

7T

綜上，該直線的傾斜面角為