5.2.1任意角三角函數(shù)的定義課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

第5章三角函數(shù)任意角三角函數(shù)的定義湘教版

數(shù)學(xué)

必修第一

冊(cè)課標(biāo)要求1.理解并掌握任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切函數(shù))的定義.2.已知角α終邊上一點(diǎn),會(huì)求角α的各三角函數(shù)值.3.理解三角函數(shù)線(xiàn)的意義,能用三角函數(shù)線(xiàn)表示一個(gè)角的正弦、余弦和正切.4.能利用三角函數(shù)線(xiàn)的定義,理解正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào).5.能利用三角函數(shù)線(xiàn)解決一些簡(jiǎn)單的三角函數(shù)問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)一三角函數(shù)的概念1.概念

前提如圖,設(shè)α是一個(gè)任意角,在角α的終邊OM上任取不同于原點(diǎn)O的點(diǎn)P,利用點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)定義定義正弦

,其中r=

余弦

,其中r=

正切

2.三角函數(shù)的解析式和定義域

三角函數(shù)解析式定義域正弦函數(shù)y=sinα

余弦函數(shù)y=cosα

正切函數(shù)y=tanα

RR過(guò)關(guān)自診

B2.(多選題)若角α的終邊過(guò)點(diǎn)(0,1),則下列說(shuō)法正確的是(

)A.sinα=-1B.cosα=0C.tanα不存在D.cosα=13.三角函數(shù)值的大小與點(diǎn)P在角α終邊上位置是否有關(guān)?提示

三角函數(shù)值是比值,是一個(gè)實(shí)數(shù),它的大小與點(diǎn)P在終邊上的位置無(wú)關(guān),只與角α的終邊位置有關(guān),即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān).

BC知識(shí)點(diǎn)二三角函數(shù)線(xiàn)的概念前提設(shè)單位圓的圓心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O,角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn),垂足為D,過(guò)點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線(xiàn)x=1,如果tanα存在,設(shè)該切線(xiàn)與角α的終邊(當(dāng)α為第一、四象限角時(shí))或其反向延長(zhǎng)線(xiàn)(當(dāng)α為第二、三象限角時(shí))相交于點(diǎn)T(1,y1)定義正弦線(xiàn)有向線(xiàn)段DP稱(chēng)為角α的正弦線(xiàn),DP=y=sinα余弦線(xiàn)有向線(xiàn)段OD稱(chēng)為角α的余弦線(xiàn),OD=x=cosα定義正切線(xiàn)有向線(xiàn)段AT稱(chēng)為角α的正切線(xiàn),AT==tanα三角函數(shù)線(xiàn)正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)線(xiàn)過(guò)關(guān)自診1.如果角α的終邊落在坐標(biāo)軸上,你能否發(fā)現(xiàn)其正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)的變化特點(diǎn)?提示

當(dāng)角α的終邊在x軸上時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)D重合,這時(shí)正弦線(xiàn)變成了一點(diǎn),它的數(shù)量為零,而余弦線(xiàn)的數(shù)量OD=1或-1.當(dāng)角α的終邊在y軸上時(shí),余弦線(xiàn)變成了一點(diǎn),它的數(shù)量為零,而正弦線(xiàn)的數(shù)量DP=1或-1.2.如何根據(jù)三角函數(shù)線(xiàn)確定三角函數(shù)值?提示

三角函數(shù)線(xiàn)與坐標(biāo)軸正方向同向則三角函數(shù)為正值,反向則三角函數(shù)為負(fù)值,而三角函數(shù)的絕對(duì)值等于三角函數(shù)線(xiàn)的長(zhǎng)度.知識(shí)點(diǎn)三三角函數(shù)值的符號(hào)sinα,cosα,tanα在各個(gè)象限的符號(hào).角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)不適合,要利用定義求值名師點(diǎn)睛

1.正弦值的符號(hào)取決于縱坐標(biāo)y的符號(hào),它在x軸上方為正,下方為負(fù);余弦值的符號(hào)取決于橫坐標(biāo)x的符號(hào),在y軸右側(cè)為正,左側(cè)為負(fù);正切值符號(hào)取決于橫、縱坐標(biāo)符號(hào),同號(hào)為正,異號(hào)為負(fù).2.三角函數(shù)值符號(hào)的口訣:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.過(guò)關(guān)自診在單位圓中,確定下列三角函數(shù)值的符號(hào):重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值【例1】

(1)已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P(x,3)(x≠0),且cosθ=x,求sinθ+tanθ.變式探究1將本例(2)的條件“x+y=0(x<0)”改為“y=2x”,其他條件不變,結(jié)果又如何?變式探究2將本例(2)的條件“落在直線(xiàn)

x+y=0上”改為“過(guò)點(diǎn)P(-3a,4a)(a≠0)”,求2sinα+cosα.規(guī)律方法

1.已知角α的終邊在直線(xiàn)上時(shí),常用的解題方法有以下兩種:(1)在α的終邊上任選特殊點(diǎn)的坐標(biāo),求出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離后利用定義求三角函數(shù)值;(2)在α的終邊上任選一點(diǎn)P(x,y),P到原點(diǎn)的距離為r(r>0),2.當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí),一定注意對(duì)字母正、負(fù)的辨別,若正、負(fù)未定,則需分類(lèi)討論.探究點(diǎn)二三角函數(shù)值符號(hào)的運(yùn)用1.根據(jù)角的象限確定三角函數(shù)值的符號(hào)【例2】

判斷下列各式的符號(hào):(1)sin105°cos230°;解

∵105°,230°分別為第二、第三象限角,∴sin

105°>0,cos

230°<0.于是sin

105°cos

230°<0.規(guī)律方法

根據(jù)確定的角判斷其相應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào),首先利用終邊相同的角將所給角轉(zhuǎn)化為[0,2π)內(nèi)的角,判斷其所在象限后,結(jié)合三角函數(shù)特征確定符號(hào).2.根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)確定角所在的象限

A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角C解析

由sin

αtan

α<0可知sin

α,tan

α異號(hào),從而α為第二、第三象限角.從而α為第三、第四象限角.綜上可知,α為第三象限角,故選C.規(guī)律方法

根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)確定角所在的象限,應(yīng)分別根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)確定所在象限后取交集.3.含絕對(duì)值的三角函數(shù)值域

A.3 B.-3 C.1

D.-1BC規(guī)律方法

涉及三角函數(shù)的絕對(duì)值問(wèn)題,求解時(shí)要根據(jù)角所在的象限,去掉絕對(duì)值號(hào)分類(lèi)討論.變式訓(xùn)練1(1)若角θ滿(mǎn)足sinθ<0,tanθ<0,則角θ是(

)A.第三象限角B.第四象限角C.第三象限角或第四象限角D.第二象限角或第四象限角B解析

sin

θ<0時(shí),角θ可以是第三、四象限角,或終邊在y軸負(fù)半軸上;又tan

θ<0時(shí),角θ可以是第二、四象限角,因此角θ是第四象限角.故選B.A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角C(3)判斷下列各式的符號(hào):①sin105°·cos230°;解

105°,230°分別為第二、第三象限角,所以sin

105°>0,cos

230°<0,所以sin

105°·cos

230°<0.探究點(diǎn)三利用三角函數(shù)線(xiàn)定義求三角函數(shù)值【例5】

作出

的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)和正切線(xiàn),并利用三角函數(shù)線(xiàn)求出它們的正弦、余弦和正切.規(guī)律方法

1.作正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)的步驟:(1)在坐標(biāo)系中,作角α的終邊與單位圓交點(diǎn)P;(2)過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn),設(shè)垂足為D,得正弦線(xiàn)DP、余弦線(xiàn)OD.2.作正切線(xiàn)的步驟:過(guò)點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線(xiàn),與角α的終邊或其反向延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)設(shè)為T(mén),得角的正切線(xiàn)AT.變式訓(xùn)練2分別作出下列各角的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)和正切線(xiàn),并求出它們的正弦、余弦和正切.(1)(2)探究點(diǎn)四利用三角函數(shù)線(xiàn)比較三角函數(shù)值的大小規(guī)律方法

利用三角函數(shù)線(xiàn)比較三角函數(shù)值的大小時(shí),一般分三步:①準(zhǔn)確作出角的終邊與單位圓的交點(diǎn)并作出相應(yīng)的三角函數(shù)線(xiàn);②比較三角函數(shù)線(xiàn)的長(zhǎng)度;③確定有向線(xiàn)段的正負(fù).變式訓(xùn)練3(1)若a=sin2,b=cos2,則a,b的大小關(guān)系為(

)A.a<b

B.b<aC.a=b

D.不能確定B解析

因?yàn)?/p>

<2<π,作出2弧度角的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)如圖所示分別為DP,OD.易知DP>0,OD<0,因此sin

2>cos

2.(2)sin4,cos4,tan4的大小關(guān)系是(

)A.sin4<tan4<cos4 B.tan4<sin4<cos4C.cos4<sin4<tan4 D.sin4<cos4<tan4D探究點(diǎn)五利用三角函數(shù)線(xiàn)解三角不等式【例7】

在單位圓中畫(huà)出適合下列條件的角α的終邊的范圍,并由此寫(xiě)出角α的集合.規(guī)律方法

利用三角函數(shù)線(xiàn)解簡(jiǎn)單不等式的方法利用三角函數(shù)線(xiàn)求解不等式,通常采用數(shù)形結(jié)合的方法,求解關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)貙で簏c(diǎn),一般來(lái)說(shuō),對(duì)于sin

x≥b,cos

x≥a(或sin

x≤b,cos

x≤a),只需作直線(xiàn)y=b,x=a與單位圓相交,連接原點(diǎn)和交點(diǎn)即得角的終邊所在的位置,此時(shí)再根據(jù)方向即可確定相應(yīng)的x的范圍;對(duì)于tan

x≥c(或tan

x≤c),則取點(diǎn)(1,c),連接該點(diǎn)和原點(diǎn)即得角的終邊所在的位置,并反向延長(zhǎng),結(jié)合圖象可得.變式訓(xùn)練4用三角函數(shù)線(xiàn)寫(xiě)出滿(mǎn)足下列條件的角x的集合.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1234567891011121314151617181920B1234567891011121314151617181920B12345678910111213141516171819203.若角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1,-1),則(

)

A12345678910111213141516171819204.已知點(diǎn)P(tanα,sinα)在第三象限,則角α的終邊在(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限D(zhuǎn)12345678910111213141516171819205.用三角函數(shù)線(xiàn)比較sin50°和cos50°的大小,正確的結(jié)果為(

)A.sin50°>cos50° B.sin50°<cos50°C.sin50°=cos50° D.sin50°和cos50°無(wú)法比較A解析

如圖所示,50°角的正弦線(xiàn)為DP,余弦線(xiàn)為OD,△POD中,∠POD=50°,根據(jù)大角對(duì)大邊知,DP>OD,即sin

50°>cos

50°.故選A.12345678910111213141516171819206.已知角α的正切線(xiàn)是單位長(zhǎng)度的有向線(xiàn)段,那么角α的終邊(

)A.在x軸上B.在y軸上C.在直線(xiàn)y=x上D.在直線(xiàn)y=x,或y=-x上D解析

由題意可知,|AT|=1,∴AT=±1.則tan

α=±1,角α的終邊在直線(xiàn)y=±x上,故選D.1234567891011121314151617181920A.正弦線(xiàn) B.余弦線(xiàn)C.正切線(xiàn) D.不能確定

C12345678910111213141516171819208.(多選題)下列說(shuō)法中正確的是(

)A.α一定時(shí),單位圓中的正弦線(xiàn)一定B.單位圓中,有相同正弦線(xiàn)的角相等C.α和α+π有相同的正切線(xiàn)D.具有相同正切線(xiàn)的兩個(gè)角終邊在同一條直線(xiàn)上AD12345678910111213141516171819209.已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸的正半軸,若P(4,3)是角θ終邊上一點(diǎn),則sinθ=

.

123456789101112131415161718192010.在平面直角坐標(biāo)系中,角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊過(guò)點(diǎn)P(-

,-1),則tanα=

;cosα-sinα=

.12345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920B級(jí)關(guān)鍵能力提升練12.在△ABC中,若sinAcosBtanC<0,則△ABC是(

)A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角三角形或鈍角三角形C解析

因?yàn)閟in

A>0,所以cos

B,tan

C中一定有一個(gè)小于0,即B,C中一定有一個(gè)鈍角,故△ABC是鈍角三角形.1234567891011121314151617181920B1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192014.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-2,3] B.(-2,3)C.[-2,3) D.[-2,3]A123456789101112131415161718192015.(多選題)下列三角函數(shù)值的符號(hào)判斷正確的是(

)A.sin165°>0 B.cos280°>0C.tan170°>0 D.tan310°<0ABD解析

165°是第二象限角,因此sin

165°>0,A正確;280°是第四象限角,因此cos

280°>0,B正確;170°是第二象限角,因此tan

170°<0,故C錯(cuò)誤;310°是第四象限角