山東省煙臺(tái)市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

2022～2023學(xué)年度第二學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平診斷高二數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）．A.60 B.96 C.300 D.360【答案】C【解析】【分析】先排首位，再排其它位數(shù)，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】先排首位，共有5種方法；其它位數(shù)共有種排法，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理可得共有種方法.故選：C.2.除以的余數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由展開，結(jié)合二項(xiàng)式定理可得出除以的余數(shù).【詳解】因?yàn)?，且能被整除，故除以的余?shù)是.故選：A.3.某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)的6名同學(xué)上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，若甲、乙、丙三人上臺(tái)的先后順序已確定，則不同的上臺(tái)順序種數(shù)為（）．A.20 B.120 C.360 D.720【答案】B【解析】【分析】甲、乙、丙三人上臺(tái)的先后順序已確定，利用倍縮法求解即可.【詳解】因?yàn)榧?、乙、丙三人上臺(tái)的先后順序已確定，所以不同的上臺(tái)順序種數(shù)為.故選：B.4.若2730能被不同的偶數(shù)整除，則這樣的偶數(shù)個(gè)數(shù)有（）．A.14 B.15 C.16 D.17【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得所求偶數(shù)個(gè)數(shù)即為集合的子集的個(gè)數(shù)，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以這樣的偶數(shù)個(gè)數(shù)即為集合的子集的個(gè)數(shù)，共有個(gè).故選：C.5.1.兩個(gè)分類變量X和Y，其2×2列聯(lián)表如表，對(duì)同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說明X與Y有關(guān)聯(lián)的可能性最大的一組為（）．XY合計(jì)369m8合計(jì)14A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，依次計(jì)算的預(yù)測(cè)值并比較大小作答.【詳解】由給定的2×2列聯(lián)表，對(duì)于A，，的預(yù)測(cè)值，對(duì)于B，，的預(yù)測(cè)值對(duì)于C，，的預(yù)測(cè)值，對(duì)于D，，的預(yù)測(cè)值，顯然，因此選項(xiàng)D中數(shù)據(jù)求得的預(yù)測(cè)值最大，說明說明X與Y有關(guān)聯(lián)的可能性最大.故選：D6.一車間有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，且3臺(tái)車床加工的零件數(shù)X（單位：件）均服從正態(tài)分布．假設(shè)3臺(tái)車床均能正常工作，若，則這3臺(tái)車床每天加工的零件數(shù)至少有一臺(tái)超過35件的概率為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合二項(xiàng)分布分析運(yùn)算.【詳解】加工的零件數(shù)超過35件的臺(tái)數(shù)為，每臺(tái)加工的零件數(shù)超過35件的概率，由題意可得：，則這3臺(tái)車床每天加工的零件數(shù)至少有一臺(tái)超過35件的概率.故選：C.7.甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃比賽，命中得2分，不中得0分．已知甲每次投籃命中的概率為0.6，乙每次投籃命中的概率為0.5，每一輪比賽兩人各投籃1次，得分高者獲勝，分?jǐn)?shù)相等為平局，且各輪比賽結(jié)果相互獨(dú)立，規(guī)定連續(xù)勝利兩輪的選手為最終的勝利者，則恰好進(jìn)行3輪投籃后甲最終勝利的概率為（）．A.0.018 B.0.027 C.0.045 D.0.063【答案】D【解析】【分析】先計(jì)算每輪甲乙分別獲勝的概率，再計(jì)算最終甲獲勝的概率.【詳解】由題，每輪比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，平局的概率為，3輪比賽甲獲勝的概率為，故選：D.8.若事件A，B滿足：，，，則（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全概率公式及交事件概率得性質(zhì)即可得解.【詳解】由，，得，又，所以，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)及全概率公式是解決本題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.支付已經(jīng)成為現(xiàn)如今最流行的支付方式，為了解年齡、性別與使用支付的關(guān)系，某市從本地居民中隨機(jī)抽取了容量為100的樣本，其中35歲以上和35歲以下的各50人，且男性60人，女性40人．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了不同群體中使用支付與不使用支付的人數(shù)比例圖（如下圖所示），其中陰影部分表示使用支付的比例，則下列敘述中正確的有（）．A.是否使用支付與年齡有關(guān)B.是否使用支付與性別無關(guān)C.使用支付的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同D.不使用支付的人員中，35歲以上人數(shù)多于35歲以下的人數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定的柱狀圖，逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】對(duì)于A，35歲以上的使用支付比例比35歲以下的使用支付的比例小很多，即否使用支付與年齡有關(guān)，A正確；對(duì)于B，因?yàn)槟行?、女性使用支付的比例相同，即是否使用支付與性別無關(guān)，B正確；對(duì)于C，因?yàn)槟行耘c女性人數(shù)不同，而使用支付的比例相同，則使用支付的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)不相同，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?5歲以上和35歲以下的人數(shù)相同，而35歲以上的使用支付比例比35歲以下的使用支付的比例小，所以不使用支付的人員中，35歲以上人數(shù)多于35歲以下的人數(shù)，D正確.故選：ABD10.袋子中裝有大小、形狀完全相同的6個(gè)白球和4個(gè)黑球，現(xiàn)從中有放回地隨機(jī)取球3次，每次取一個(gè)球，每次取到白球得0分，黑球得5分，設(shè)3次取球總得分為X，則（）．A.3次中恰有2次取得白球的概率為 B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】設(shè)3次取球取到白球的個(gè)數(shù)為，根據(jù)題意可得，，結(jié)合二項(xiàng)分布逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】設(shè)3次取球取到白球的個(gè)數(shù)為，每次取到白球的概率，由題意可得：，且，對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，解得，故或，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.已知5名男生、4名女生共9名學(xué)生參加爬山活動(dòng)，由于山路狹窄，所以隨機(jī)分3批出發(fā)，每批隨機(jī)出發(fā)3人，則（）．A.“第一批沒有女生”的概率為 B.“第一批至少有2名女生”的概率為C.“第二批全是男生”的概率為 D.“每一批都有男生”的概率為【答案】ABD【解析】【分析】計(jì)算任意一批學(xué)生的組成種類數(shù)，計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)的概率，判斷正誤.詳解】任意安排一批學(xué)生種類數(shù)有種，對(duì)于A，第一批學(xué)生沒有女生的種類數(shù)有種，所以“第一批沒有女生”的概率為，A正確；對(duì)于B，第一批學(xué)生至少有2名女生的種類數(shù)有種，所以“第一批至少有2名女生”的概率為，B正確；對(duì)于C，第二批學(xué)生全是男生的種類數(shù)有種，所以“第二批全是男生”的概率為，C不正確；對(duì)于D，三名女生在同一批的種類數(shù)有種，所以“每一批都有男生”的概率為，D正確；故選：ABD.12.在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)整數(shù)點(diǎn)，若用隨機(jī)變量表示從這個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)取出的一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和，表示，同時(shí)發(fā)生的概率，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，的均值為D.當(dāng)（且）時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】利用條件概率公式可判斷A選項(xiàng)；列舉出滿足的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用古典概率公式可判斷B選項(xiàng)；利用離散型隨機(jī)變量的期望公式可判斷C選項(xiàng)；列舉出滿足，的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用古典概型的概率公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，整數(shù)點(diǎn)共個(gè)，則，由得，即滿足，的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，整數(shù)點(diǎn)共個(gè)，滿足的整數(shù)點(diǎn)為，，則，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，的分布列如下表所示：的可能取值有、、、、、、，滿足的點(diǎn)為，則，滿足的點(diǎn)為、，則，滿足的點(diǎn)為、、，則，滿足的點(diǎn)為、、、，則，滿足的點(diǎn)為、、，則，滿足的點(diǎn)為、，則，滿足的點(diǎn)為，則，故當(dāng)時(shí)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，滿足的解為，則，D對(duì).故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為，，2，3，則的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分布列的性質(zhì)求出a，再計(jì)算作答.【詳解】依題意，，解得，所以.故答案為：14.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式以及乘法分配律求得正確結(jié)果.【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為.令，令.則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：15.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)參加三個(gè)課外興趣小組，每名同學(xué)只參加1個(gè)小組，每個(gè)小組至少1名同學(xué)參加，則甲、乙不去同一小組方法種數(shù)為______．【答案】30【解析】【分析】根據(jù)給定條件，把4名同學(xué)按一組2人，另兩組各1人分成3組，去掉甲乙在同一組的情況，再進(jìn)行全排列作答.【詳解】甲、乙、丙、丁四名同學(xué)，按一組2人，另兩組各1人分成3組，去掉甲乙在同一組的情況，共有種分法，把分成的3組全排列，有種方法，所以甲、乙不去同一小組的方法種數(shù)為.故答案為：3016.某高中為調(diào)查本校1800名學(xué)生周末玩游戲的時(shí)長(zhǎng)，設(shè)計(jì)了如下的問卷調(diào)查方式：在一個(gè)袋子中裝有3個(gè)質(zhì)地和大小均相同的小球，其中1個(gè)白球，2個(gè)紅球，規(guī)定每名學(xué)生從袋子中有放回的隨機(jī)摸兩次球，每次摸出一個(gè)球，記下顏色．若“兩次摸到的球顏色相同”，則回答問題一：若第一次摸到的是紅球，則在問卷中畫“○”，否則畫“×”；若“兩次摸到的球顏色不同”，則回答問題二：若玩游戲時(shí)長(zhǎng)不超過一個(gè)小時(shí)，則在問卷中畫“○”，否則畫“×”．當(dāng)全校學(xué)生完成問卷調(diào)查后，統(tǒng)計(jì)畫“○”和畫“×”的比例，由頻率估計(jì)概率，即可估計(jì)出玩游戲時(shí)長(zhǎng)超過一個(gè)小時(shí)的人數(shù)．若該校高一一班有45名學(xué)生，用X表示回答問題一的人數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望為______；若該校的所有調(diào)查問卷中，畫“○”和畫“×”的比例為7∶2，則可估計(jì)該校學(xué)生玩游戲時(shí)長(zhǎng)超過一個(gè)小時(shí)的人數(shù)為______．【答案】①.25②.450【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，求出回答問題一的概率，再利用二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算作答；根據(jù)題意，利用條件概率公式的全概率公式計(jì)算玩游戲時(shí)長(zhǎng)超過一個(gè)小時(shí)的概率作答.【詳解】依題意，每次摸到白球的概率為，摸到紅球的概率為，兩次摸到的球顏色相同的概率，于是回答問題一的人數(shù)，所以X的數(shù)學(xué)期望為；用表示“回答問題一”，表示“回答問題二”，表示“在問卷中畫×”，則有，，，因?yàn)?由全概率公式，得，解得，所以估計(jì)該校學(xué)生玩游戲時(shí)長(zhǎng)超過一個(gè)小時(shí)的人數(shù)為.故答案為：25；450四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國家，最艱巨最繁重的任務(wù)仍然在農(nóng)村，強(qiáng)國必先強(qiáng)農(nóng)，農(nóng)強(qiáng)方能國強(qiáng)．某市為了解當(dāng)?shù)剞r(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，隨機(jī)抽取該地2000戶農(nóng)戶家庭年收入x（單位：萬元）進(jìn)行調(diào)查，并繪制得到如下圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）．（2）可認(rèn)農(nóng)戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．①估計(jì)這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數(shù)？（結(jié)果保留整數(shù)）②如果用該地區(qū)農(nóng)戶家庭年收入的情況來估計(jì)全市農(nóng)戶家庭年收入的情況，現(xiàn)從全市農(nóng)戶家庭中隨機(jī)抽取4戶，即年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)為，求．（結(jié)果精確到0.001）附：①；②若，則，；③．【答案】（1），（2）①317戶；②【解析】【分析】（1）由平均數(shù)和方差的計(jì)算公式求解即可；（2）①根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性得出，進(jìn)而得出所求戶數(shù)；②年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求解即可.【小問1詳解】這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù).這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本方差.【小問2詳解】①農(nóng)戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數(shù)為317.②年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)服從二項(xiàng)分布.所以.18.已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為a，展開式的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為b，且，則在的展開式中，求解下列問題：（1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，用n表示出a，b并求出n，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解作答.（2）由（1）的結(jié)論，求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，再列出不等式即可求解作答.【小問1詳解】依題意，，于是，即，解得，所以的展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即.【小問2詳解】由（1）知，展開式的通項(xiàng)公式為，設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，因此，整理得，解得，而，則，即系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)，所以系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為.19.第十四屆濕地公約締約方大會(huì)2022年11月5日至13日在湖北武漢舉辦，承辦此次大會(huì)，有助于進(jìn)一步展示中國促進(jìn)經(jīng)濟(jì)社會(huì)與環(huán)境協(xié)調(diào)發(fā)展的負(fù)責(zé)任大國形象，是強(qiáng)化“一帶一路”國家生態(tài)交流與合作、增強(qiáng)中國在廣大發(fā)展中國家凝聚力的重要契機(jī)．國內(nèi)某企業(yè)以此為契機(jī)，研發(fā)了一款環(huán)保產(chǎn)品，為保證成本，每件產(chǎn)品售價(jià)不低于43元，經(jīng)調(diào)研，產(chǎn)品售價(jià)x（單位：元/件）與月銷售量y（單位：萬件）等情況如下表所示：售價(jià)x（元/件）525048454443月銷售量y（萬件）56781012（1）求相關(guān)系數(shù)r（結(jié)果保留兩位小數(shù)），并說明是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，（當(dāng)，時(shí)，可以認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；否則，沒有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．）（參考數(shù)據(jù)：）（2）建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并估計(jì)當(dāng)售價(jià)為46元/件時(shí)，該產(chǎn)品的月銷售量約為多少？參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，相關(guān)系數(shù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，．【答案】（1），可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系（2）；86875件【解析】【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)，從而作出判斷；（2）由最小二乘法得出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，進(jìn)而估計(jì)當(dāng)售價(jià)為46元/件時(shí)，該產(chǎn)品的月銷售量.【小問1詳解】，，，，則相關(guān)系數(shù).因?yàn)椋钥梢杂镁€性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.【小問2詳解】設(shè)y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.，.則y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，當(dāng)時(shí)，（萬件）.故當(dāng)售價(jià)為46元/件時(shí)，該產(chǎn)品的月銷售量約為86875件.20.為貫徹落實(shí)全民健身國家戰(zhàn)略，增強(qiáng)全民自我健身意識(shí)，某社區(qū)組織開展“我運(yùn)動(dòng)，我健康，我快樂”全民健身月活動(dòng)，并在月末隨機(jī)抽取了300名居民并統(tǒng)計(jì)其每天的平均鍛煉時(shí)間，得到的數(shù)據(jù)如下表，并將日均鍛煉時(shí)間在內(nèi)的居民評(píng)為“陽光社員”．日均鍛煉時(shí)間（分鐘）總?cè)藬?shù)156090754515（1）請(qǐng)根據(jù)上表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷是否能認(rèn)為“該社區(qū)居民的日均鍛煉時(shí)間與性別有關(guān)”；性別居民評(píng)價(jià)合計(jì)非陽光社員陽光社員男女6090合計(jì)（2）從上述非陽光社員的居民中，按性別利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取15名居民，再從這15名居民中隨機(jī)抽取4人，調(diào)查他們鍛煉時(shí)間偏少的原因．記所抽取的4人中男性的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率來估計(jì)全市居民的情況．現(xiàn)在從該市的居民中抽取5名居民，求其中恰有2名居民被評(píng)為“陽光社員”的概率；參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：．【答案】（1）2×2列聯(lián)表見解析，能認(rèn)為“該社區(qū)居民的日均鍛煉時(shí)間與性別有關(guān)”；（2）分布列見解析，期望為；（3）.【解析】【分析】（1）完善2×2列聯(lián)表，計(jì)算的觀測(cè)值，再與臨界值表比對(duì)作答.（2）利用分層抽樣求出15人中男性、女性人數(shù)，再求出的可能值，求出各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列求出期望作答.（3）求出社區(qū)居民為陽光社員的頻率，再利用二項(xiàng)分布求出概率作答.【小問1詳解】依題意，2×2列聯(lián)表如下：

性別居民評(píng)價(jià)合計(jì)非陽光社員陽光社員男45165210女306090合計(jì)75225300所以,所以，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“該社區(qū)居民的日均鍛煉時(shí)間與性別有關(guān)”.【小問2詳解】依題意，所抽取的15名居民中,男性為(名),女性為(名),所有可能取值為0,1,2,3,4，，，所以的分布列為：01234.小問3詳解】設(shè)所抽取的5名居民中“陽光社員”的人數(shù)為，由（1）知，表中社區(qū)居民為陽光社員的頻率為，將頻率視為概率，因此，則，所以5名居民中恰有2名居民被評(píng)為“陽光社員”的概率為.21.為慶祝第113個(gè)國際婦女節(jié)，某學(xué)校組織該校女教職工進(jìn)行籃球投籃比賽，每名教師連續(xù)投籃3次根據(jù)教師甲練習(xí)時(shí)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，該教師第一次投籃命中的概率為0.6，從第二次投籃開始，若前一次投籃命中，則該次命中的概率為0.8，否則，命中概率為0.6