山東省煙臺市2022-2023學年高二下學期期中數(shù)學試題

2022～2023學年度第二學期期中學業(yè)水平診斷高二數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為（）．A.60 B.96 C.300 D.360【答案】C【解析】【分析】先排首位，再排其它位數(shù)，結合分步計數(shù)原理可得結果.【詳解】先排首位，共有5種方法；其它位數(shù)共有種排法，結合分步計數(shù)原理可得共有種方法.故選：C.2.除以的余數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由展開，結合二項式定理可得出除以的余數(shù).【詳解】因為，且能被整除，故除以的余數(shù)是.故選：A.3.某次數(shù)學競賽獲獎的6名同學上臺領獎，若甲、乙、丙三人上臺的先后順序已確定，則不同的上臺順序種數(shù)為（）．A.20 B.120 C.360 D.720【答案】B【解析】【分析】甲、乙、丙三人上臺的先后順序已確定，利用倍縮法求解即可.【詳解】因為甲、乙、丙三人上臺的先后順序已確定，所以不同的上臺順序種數(shù)為.故選：B.4.若2730能被不同的偶數(shù)整除，則這樣的偶數(shù)個數(shù)有（）．A.14 B.15 C.16 D.17【答案】C【解析】【分析】根據題意分析可得所求偶數(shù)個數(shù)即為集合的子集的個數(shù)，即可得結果.【詳解】因為，所以這樣的偶數(shù)個數(shù)即為集合的子集的個數(shù)，共有個.故選：C.5.1.兩個分類變量X和Y，其2×2列聯(lián)表如表，對同一樣本，以下數(shù)據能說明X與Y有關聯(lián)的可能性最大的一組為（）．XY合計369m8合計14A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據給定條件，依次計算的預測值并比較大小作答.【詳解】由給定的2×2列聯(lián)表，對于A，，的預測值，對于B，，的預測值對于C，，的預測值，對于D，，的預測值，顯然，因此選項D中數(shù)據求得的預測值最大，說明說明X與Y有關聯(lián)的可能性最大.故選：D6.一車間有3臺車床加工同一型號的零件，且3臺車床加工的零件數(shù)X（單位：件）均服從正態(tài)分布．假設3臺車床均能正常工作，若，則這3臺車床每天加工的零件數(shù)至少有一臺超過35件的概率為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意可得，結合二項分布分析運算.【詳解】加工的零件數(shù)超過35件的臺數(shù)為，每臺加工的零件數(shù)超過35件的概率，由題意可得：，則這3臺車床每天加工的零件數(shù)至少有一臺超過35件的概率.故選：C.7.甲、乙兩人進行定點投籃比賽，命中得2分，不中得0分．已知甲每次投籃命中的概率為0.6，乙每次投籃命中的概率為0.5，每一輪比賽兩人各投籃1次，得分高者獲勝，分數(shù)相等為平局，且各輪比賽結果相互獨立，規(guī)定連續(xù)勝利兩輪的選手為最終的勝利者，則恰好進行3輪投籃后甲最終勝利的概率為（）．A.0.018 B.0.027 C.0.045 D.0.063【答案】D【解析】【分析】先計算每輪甲乙分別獲勝的概率，再計算最終甲獲勝的概率.【詳解】由題，每輪比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，平局的概率為，3輪比賽甲獲勝的概率為，故選：D.8.若事件A，B滿足：，，，則（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據全概率公式及交事件概率得性質即可得解.【詳解】由，，得，又，所以，解得.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：根據及全概率公式是解決本題的關鍵.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.支付已經成為現(xiàn)如今最流行的支付方式，為了解年齡、性別與使用支付的關系，某市從本地居民中隨機抽取了容量為100的樣本，其中35歲以上和35歲以下的各50人，且男性60人，女性40人．根據以上數(shù)據，繪制了不同群體中使用支付與不使用支付的人數(shù)比例圖（如下圖所示），其中陰影部分表示使用支付的比例，則下列敘述中正確的有（）．A.是否使用支付與年齡有關B.是否使用支付與性別無關C.使用支付的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同D.不使用支付的人員中，35歲以上人數(shù)多于35歲以下的人數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】根據給定的柱狀圖，逐項分析判斷作答.【詳解】對于A，35歲以上的使用支付比例比35歲以下的使用支付的比例小很多，即否使用支付與年齡有關，A正確；對于B，因為男性、女性使用支付的比例相同，即是否使用支付與性別無關，B正確；對于C，因為男性與女性人數(shù)不同，而使用支付的比例相同，則使用支付的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)不相同，C錯誤；對于D，因為35歲以上和35歲以下的人數(shù)相同，而35歲以上的使用支付比例比35歲以下的使用支付的比例小，所以不使用支付的人員中，35歲以上人數(shù)多于35歲以下的人數(shù)，D正確.故選：ABD10.袋子中裝有大小、形狀完全相同的6個白球和4個黑球，現(xiàn)從中有放回地隨機取球3次，每次取一個球，每次取到白球得0分，黑球得5分，設3次取球總得分為X，則（）．A.3次中恰有2次取得白球的概率為 B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】設3次取球取到白球的個數(shù)為，根據題意可得，，結合二項分布逐項分析判斷.【詳解】設3次取球取到白球的個數(shù)為，每次取到白球的概率，由題意可得：，且，對于A：，故A錯誤；對于B：令，解得，故或，所以，故B正確；對于C：因為，所以，故C正確；對于D：因為，所以，故D錯誤；故選：BC.11.已知5名男生、4名女生共9名學生參加爬山活動，由于山路狹窄，所以隨機分3批出發(fā)，每批隨機出發(fā)3人，則（）．A.“第一批沒有女生”的概率為 B.“第一批至少有2名女生”的概率為C.“第二批全是男生”的概率為 D.“每一批都有男生”的概率為【答案】ABD【解析】【分析】計算任意一批學生的組成種類數(shù)，計算每個選項的概率，判斷正誤.詳解】任意安排一批學生種類數(shù)有種，對于A，第一批學生沒有女生的種類數(shù)有種，所以“第一批沒有女生”的概率為，A正確；對于B，第一批學生至少有2名女生的種類數(shù)有種，所以“第一批至少有2名女生”的概率為，B正確；對于C，第二批學生全是男生的種類數(shù)有種，所以“第二批全是男生”的概率為，C不正確；對于D，三名女生在同一批的種類數(shù)有種，所以“每一批都有男生”的概率為，D正確；故選：ABD.12.在平面直角坐標系的第一象限內隨機取一個整數(shù)點，若用隨機變量表示從這個點中隨機取出的一個點的橫、縱坐標之和，表示，同時發(fā)生的概率，則（）A.當時，B.當時，C.當時，的均值為D.當（且）時，【答案】ACD【解析】【分析】利用條件概率公式可判斷A選項；列舉出滿足的點的坐標，利用古典概率公式可判斷B選項；利用離散型隨機變量的期望公式可判斷C選項；列舉出滿足，的點的坐標，利用古典概型的概率公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，當時，整數(shù)點共個，則，由得，即滿足，的點的坐標為，所以，，A對；對于B選項，當時，整數(shù)點共個，滿足的整數(shù)點為，，則，B錯；對于C選項，當時，的分布列如下表所示：的可能取值有、、、、、、，滿足的點為，則，滿足的點為、，則，滿足的點為、、，則，滿足的點為、、、，則，滿足的點為、、，則，滿足的點為、，則，滿足的點為，則，故當時，，C對；對于D選項，滿足的解為，則，D對.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設離散型隨機變量X的分布列為，，2，3，則的值為______．【答案】【解析】【分析】根據給定條件，利用分布列的性質求出a，再計算作答.【詳解】依題意，，解得，所以.故答案為：14.的展開式中的常數(shù)項為______．【答案】【解析】【分析】結合二項式展開式的通項公式以及乘法分配律求得正確結果.【詳解】的展開式的通項公式為.令，令.則的展開式中的常數(shù)項為.故答案為：15.甲、乙、丙、丁四名同學參加三個課外興趣小組，每名同學只參加1個小組，每個小組至少1名同學參加，則甲、乙不去同一小組方法種數(shù)為______．【答案】30【解析】【分析】根據給定條件，把4名同學按一組2人，另兩組各1人分成3組，去掉甲乙在同一組的情況，再進行全排列作答.【詳解】甲、乙、丙、丁四名同學，按一組2人，另兩組各1人分成3組，去掉甲乙在同一組的情況，共有種分法，把分成的3組全排列，有種方法，所以甲、乙不去同一小組的方法種數(shù)為.故答案為：3016.某高中為調查本校1800名學生周末玩游戲的時長，設計了如下的問卷調查方式：在一個袋子中裝有3個質地和大小均相同的小球，其中1個白球，2個紅球，規(guī)定每名學生從袋子中有放回的隨機摸兩次球，每次摸出一個球，記下顏色．若“兩次摸到的球顏色相同”，則回答問題一：若第一次摸到的是紅球，則在問卷中畫“○”，否則畫“×”；若“兩次摸到的球顏色不同”，則回答問題二：若玩游戲時長不超過一個小時，則在問卷中畫“○”，否則畫“×”．當全校學生完成問卷調查后，統(tǒng)計畫“○”和畫“×”的比例，由頻率估計概率，即可估計出玩游戲時長超過一個小時的人數(shù)．若該校高一一班有45名學生，用X表示回答問題一的人數(shù)，則X的數(shù)學期望為______；若該校的所有調查問卷中，畫“○”和畫“×”的比例為7∶2，則可估計該校學生玩游戲時長超過一個小時的人數(shù)為______．【答案】①.25②.450【解析】【分析】根據給定的條件，求出回答問題一的概率，再利用二項分布的期望公式計算作答；根據題意，利用條件概率公式的全概率公式計算玩游戲時長超過一個小時的概率作答.【詳解】依題意，每次摸到白球的概率為，摸到紅球的概率為，兩次摸到的球顏色相同的概率，于是回答問題一的人數(shù)，所以X的數(shù)學期望為；用表示“回答問題一”，表示“回答問題二”，表示“在問卷中畫×”，則有，，，因為,由全概率公式，得，解得，所以估計該校學生玩游戲時長超過一個小時的人數(shù)為.故答案為：25；450四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.全面建設社會主義現(xiàn)代化國家，最艱巨最繁重的任務仍然在農村，強國必先強農，農強方能國強．某市為了解當?shù)剞r村經濟情況，隨機抽取該地2000戶農戶家庭年收入x（單位：萬元）進行調查，并繪制得到如下圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這2000戶農戶家庭年收入的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組的數(shù)據用該組區(qū)間中點值代表）．（2）可認農戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．①估計這2000戶農戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數(shù)？（結果保留整數(shù)）②如果用該地區(qū)農戶家庭年收入的情況來估計全市農戶家庭年收入的情況，現(xiàn)從全市農戶家庭中隨機抽取4戶，即年收入不超過9.52萬元的農戶家庭數(shù)為，求．（結果精確到0.001）附：①；②若，則，；③．【答案】（1），（2）①317戶；②【解析】【分析】（1）由平均數(shù)和方差的計算公式求解即可；（2）①根據正態(tài)分布的對稱性得出，進而得出所求戶數(shù)；②年收入不超過9.52萬元的農戶家庭數(shù)服從二項分布，根據二項分布的概率公式求解即可.【小問1詳解】這2000戶農戶家庭年收入的樣本平均數(shù).這2000戶農戶家庭年收入的樣本方差.【小問2詳解】①農戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布.因為，所以.因為，所以這2000戶農戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數(shù)為317.②年收入不超過9.52萬元的農戶家庭數(shù)服從二項分布.所以.18.已知展開式的二項式系數(shù)和為a，展開式的奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為b，且，則在的展開式中，求解下列問題：（1）二項式系數(shù)最大的項；（2）系數(shù)的絕對值最大的項．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據給定條件，用n表示出a，b并求出n，再利用二項式系數(shù)的性質求解作答.（2）由（1）的結論，求出二項式展開式的通項，再列出不等式即可求解作答.【小問1詳解】依題意，，于是，即，解得，所以的展開式中第4項的二項式系數(shù)最大，即.【小問2詳解】由（1）知，展開式的通項公式為，設第項的系數(shù)的絕對值最大，因此，整理得，解得，而，則，即系數(shù)的絕對值最大的項是第3項，所以系數(shù)的絕對值最大的項為.19.第十四屆濕地公約締約方大會2022年11月5日至13日在湖北武漢舉辦，承辦此次大會，有助于進一步展示中國促進經濟社會與環(huán)境協(xié)調發(fā)展的負責任大國形象，是強化“一帶一路”國家生態(tài)交流與合作、增強中國在廣大發(fā)展中國家凝聚力的重要契機．國內某企業(yè)以此為契機，研發(fā)了一款環(huán)保產品，為保證成本，每件產品售價不低于43元，經調研，產品售價x（單位：元/件）與月銷售量y（單位：萬件）等情況如下表所示：售價x（元/件）525048454443月銷售量y（萬件）56781012（1）求相關系數(shù)r（結果保留兩位小數(shù)），并說明是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關系，（當，時，可以認為兩個變量有很強的線性相關性；否則，沒有很強的線性相關性．）（參考數(shù)據：）（2）建立y關于x的經驗回歸方程，并估計當售價為46元/件時，該產品的月銷售量約為多少？參考公式：對于一組數(shù)據，相關系數(shù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．【答案】（1），可以用線性回歸模型擬合y與x的關系（2）；86875件【解析】【分析】（1）由表中數(shù)據計算相關系數(shù)，從而作出判斷；（2）由最小二乘法得出y關于x的經驗回歸方程，進而估計當售價為46元/件時，該產品的月銷售量.【小問1詳解】，，，，則相關系數(shù).因為，所以可以用線性回歸模型擬合y與x的關系.【小問2詳解】設y關于x的經驗回歸方程為.，.則y關于x的經驗回歸方程為，當時，（萬件）.故當售價為46元/件時，該產品的月銷售量約為86875件.20.為貫徹落實全民健身國家戰(zhàn)略，增強全民自我健身意識，某社區(qū)組織開展“我運動，我健康，我快樂”全民健身月活動，并在月末隨機抽取了300名居民并統(tǒng)計其每天的平均鍛煉時間，得到的數(shù)據如下表，并將日均鍛煉時間在內的居民評為“陽光社員”．日均鍛煉時間（分鐘）總人數(shù)156090754515（1）請根據上表中的統(tǒng)計數(shù)據填寫下面2×2列聯(lián)表，并根據小概率值的獨立性檢驗，判斷是否能認為“該社區(qū)居民的日均鍛煉時間與性別有關”；性別居民評價合計非陽光社員陽光社員男女6090合計（2）從上述非陽光社員的居民中，按性別利用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取15名居民，再從這15名居民中隨機抽取4人，調查他們鍛煉時間偏少的原因．記所抽取的4人中男性的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；（3）將上述調查所得到的頻率視為概率來估計全市居民的情況．現(xiàn)在從該市的居民中抽取5名居民，求其中恰有2名居民被評為“陽光社員”的概率；參考公式：，其中．參考數(shù)據：．【答案】（1）2×2列聯(lián)表見解析，能認為“該社區(qū)居民的日均鍛煉時間與性別有關”；（2）分布列見解析，期望為；（3）.【解析】【分析】（1）完善2×2列聯(lián)表，計算的觀測值，再與臨界值表比對作答.（2）利用分層抽樣求出15人中男性、女性人數(shù)，再求出的可能值，求出各個值對應的概率，列出分布列求出期望作答.（3）求出社區(qū)居民為陽光社員的頻率，再利用二項分布求出概率作答.【小問1詳解】依題意，2×2列聯(lián)表如下：

性別居民評價合計非陽光社員陽光社員男45165210女306090合計75225300所以,所以，根據小概率值的獨立性檢驗，可以認為“該社區(qū)居民的日均鍛煉時間與性別有關”.【小問2詳解】依題意，所抽取的15名居民中,男性為(名),女性為(名),所有可能取值為0,1,2,3,4，，，所以的分布列為：01234.小問3詳解】設所抽取的5名居民中“陽光社員”的人數(shù)為，由（1）知，表中社區(qū)居民為陽光社員的頻率為，將頻率視為概率，因此，則，所以5名居民中恰有2名居民被評為“陽光社員”的概率為.21.為慶祝第113個國際婦女節(jié)，某學校組織該校女教職工進行籃球投籃比賽，每名教師連續(xù)投籃3次根據教師甲練習時的統(tǒng)計數(shù)據，該教師第一次投籃命中的概率為0.6，從第二次投籃開始，若前一次投籃命中，則該次命中的概率為0.8，否則，命中概率為0.6