第04講直線的兩點式方程（知識清單5類熱點題型講練分層強化訓(xùn)練）（原卷版）

第04講直線的兩點式方程課程標準學(xué)習(xí)目標①理解與掌握兩點確定一條直線的公理。②掌握兩點式方程的公式及其條件，并能應(yīng)用公式求直線的方。③理解與掌握直線的截距式方程的公式及其條件，并能應(yīng)用公式求直線的方程。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，理解與掌握直線確定的幾何意義，利用好確定直線的兩個幾何要素，會求直線方程，并能解決與之有關(guān)的問題.知識點01：直線的兩點式方程已知條件（使用前提）直線上的兩點，（，）（已知兩點）圖示點斜式方程形式適用條件斜率存在且不為0；當(dāng)直線沒有斜率()或斜率為時，不能用兩點式求出它的方程1.當(dāng)過兩點,的直線斜率不存在()或斜率為0()時,不能用兩點式方程表示.2.在記憶和使用兩點式方程時,必須注意坐標的對應(yīng)關(guān)系,即,是同一個點的坐標,是另一個點的坐標.【即學(xué)即練1】（2024高二·全國·專題練習(xí)）經(jīng)過兩點的直線方程都可以表示為（

）A．＝B．＝C．D．＝知識點02：直線的截距式方程已知條件（使用前提）直線在軸上的截距為，在軸上的截距為圖示點斜式方程形式適用條件，直線的截距式方程是直線的兩點式方程的特殊情況,由直線的截距式方程可以直接讀出直線在軸和軸上的截距,所以截距式在解決直線與坐標軸圍成的三角形的面積和周長問題時非常方便.【即學(xué)即練2】（2324高二上·江蘇南通·期中）直線在軸上的截距為（

）A． B． C．2 D．4知識點03：中點坐標公式若點的坐標分別為，且線段的中點的坐標為，則．此公式為線段的中點坐標公式．題型01直線的兩點式和截距式方程辨析【典例1】（多選）（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）下列說法中錯誤的是（

）A．不過原點的直線都可以用方程表示B．若直線，則兩直線的斜率相等C．過兩點，的直線都可用方程表示D．若兩條直線中，一條直線的斜率存在，另一條直線的斜率不存在，則兩條直線垂直【典例2】（多選）（2024高二上·全國·專題練習(xí)）下列說法不正確的是（

）A．過任意兩點，的直線方程可以寫成B．若直線在x軸和y軸上的截距相等，則直線的斜率為﹣1C．若直線的斜率為1，則直線在x軸和y軸上的截距之和為0D．若直線與兩坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，則直線的斜率為1【變式1】（多選）（2024高二上·全國·專題練習(xí)）下列說法中錯誤的是（）A．直線方程的截距式可表示除過原點外的所有直線B．與是直線的截距式方程C．直線方程的斜截式都可以化為截距式D．在x軸、y軸上的截距分別是2，3的直線方程為【變式2】（多選）（2324高二上·廣東廣州·期中）下列說法不正確的有（

）A．直線的傾斜角越大，斜率越大B．過點的直線方程是C．經(jīng)過點且在軸和軸上截距相等的直線有2條D．直線在y軸上的截距是3題型02直線的兩點式方程（已知兩點求直線，建議轉(zhuǎn)化為點斜式求解）【典例1】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過點的直線的兩點式方程為（

）A． B．C． D．【典例2】（2324高二·全國·課堂例題）經(jīng)過兩點，的直線方程是.【典例3】（2324高二·全國·課堂例題）已知三角形的頂點是，，（如圖），分別求這個三角形三邊所在直線的方程．【變式1】（2324高二上·福建廈門·期中）若三點，，在同一條直線上，則的值為.【變式2】（2024高二上·全國·專題練習(xí)）求經(jīng)過點的直線的兩點式方程，并把它化成點斜式、斜截式和截距式.【變式3】（2324高二·全國·課后作業(yè)）在中，已知點，，．求邊上中線所在直線的兩點式方程．題型03直線的截距式方程【典例1】（2324高二上·天津南開·階段練習(xí)）過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【典例2】（2324高二上·山東濟寧·期中）坐標平面內(nèi)過點，且在兩坐標軸上截距相等的直線的方程為.【典例3】（2324一年級·全國·單元測試）直線過點，且它在軸上的截距是它在軸上的截距的倍，求直線的方程．【變式1】（2324高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）過點，且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線有（

）A．4條 B．2條 C．3條 D．1條【變式2】（2324高二上·湖北·期中）求經(jīng)過且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為．【變式3】（2324高二·全國·課后作業(yè)）在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC邊的中點M在y軸上，BC邊的中點N在x軸上，求：(1)頂點C的坐標；(2)直線MN的截距式方程．題型04直線與坐標軸圍成圖形面積（定值）問題【典例1】（2324高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）設(shè)為實數(shù)，若直線的方程為，根據(jù)下列條件分別確定的值：(1)直線的斜率為；(2)直線與兩坐標軸在第二象限圍成的三角形面積為.【典例2】（2324高一下·江蘇南京·開學(xué)考試）求分別滿足下列條件的直線l的方程．（1）經(jīng)過直線和直線的交點且與直線垂直；（2）與直線平行且與坐標軸圍成的三角形面積為．【變式1】（2324高一上·甘肅張掖·期末）求過點且分別滿足下列條件的直線方程（1）在兩個坐標軸上的截距相等.（2）與兩個坐標軸的正半軸所圍成的三角形面積是12.【變式2】（2324高二·江蘇·課后作業(yè)）已知直線l經(jīng)過點P(4,1)，且與兩坐標軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，求直線l的點斜式方程.【變式3】（2324高一下·江西九江·期末）（1）設(shè)直線的方程為.若直線在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；（2）過直線：上的點作直線，若直線，與軸圍成的三角形的面積為2，則直線的方程.題型05直線與坐標軸圍成圖形面積（最值）問題【典例1】（2324高三·全國·課后作業(yè)）過點的直線與兩坐標軸的正半軸分別交于A、B兩點，O為坐標原點，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，直線的方程為（）A． B． C． D．【典例2】（2324高二上·山東泰安·期中）已知過點的直線與軸，軸的正半軸分別交于、兩點，為坐標原點，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，直線的方程為．【典例3】（2324高二上·浙江紹興·階段練習(xí)）已知直線l過點，且與x軸、y軸的正方向分別交于A，B兩點，分別求滿足下列條件的直線方程：(1)時，求直線l的方程．(2)當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求直線l的方程．【變式1】（2324高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知直線過點，且與軸、軸的正半軸分別為交于A、B兩點，O為坐標原點，則面積的最小值為，此時的直線方程為．【變式2】（2324高一下·重慶沙坪壩·期中）已知點M為直線與直線在第一象限的交點，經(jīng)過點M的直線l分別交x，y軸的正半軸于A，B兩點，O為坐標原點，則當(dāng)取得最小值為時，a的值為.【變式3】（2324高二·全國·課堂例題）是直線上的第一象限內(nèi)的一點，為定點，直線AB交x軸正半軸于點C，求使面積最小的點的坐標.A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2324高二上·山西太原·期末）直線在軸和軸上的截距分別為（

）A．，2 B．，2 C．， D．，2．（2324高二上·江蘇南通·期中）直線的一個方向向量是（

）A． B． C． D．3．（2324高二上·天津和平·期中）經(jīng)過點且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是（

）A． B．C．或 D．或4．（2122高二·全國·課后作業(yè)）過坐標平面內(nèi)兩點P1(2，0)，P2(0，3)的直線方程是（）A． B．C． D．5．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，則（

）A． B．或C． D．或6．（2324高二上·河南開封·期中）若直線經(jīng)過點，則直線l在x軸和y軸上的截距之和取最小值時，（

）A．2 B． C． D．7．（2324高二上·河北邢臺·期中）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這樣一個定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知的頂點分別為，，，則的歐拉線方程為（

）A． B． C． D．8．（2021高二·全國·課后作業(yè)）已知直線過點，且與，軸的正半軸分別交于，兩點．若的面積為12（為坐標原點），則直線的截距式方程為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2324高二上·吉林·期末）直線l經(jīng)過點，且兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則直線l的方程可能是（

）A． B． C． D．10．（2122高二上·江蘇無錫·期中）光線自點射入，經(jīng)軸反射后經(jīng)過點，則反射光線所在直線還經(jīng)過下列點（

）A． B． C． D．三、填空題11．（2024·陜西西安·一模）過點，在軸上的截距和在軸上的截距相等的直線方程為．12．（2324高二上·陜西西安·期中）已知直線l過點且與x軸、y軸分別交于，，O為坐標原點，那么的最小值為．四、解答題13．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）根據(jù)下列條件，分別寫出直線的方程：(1)經(jīng)過點，斜率為3；(2)經(jīng)過點，斜率為；(3)經(jīng)過點，斜率為0；(4)斜率為，在y軸上的截距為；(5)斜率為，與x軸交點的橫坐標為.14．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點和點．(1)求直線l的兩點式方程，并化為截距式方程；(2)求直線l與兩坐標軸圍成的圖形面積．B能力提升1．（2324高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）若過點的直線與坐標軸交于兩點，圍成三角形的面積為16，則符合條件的直線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）直線l過點且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，則面積的最小值為，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時直線l