專題1.7 絕對值（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版）（解析版）

專題1.7絕對值（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識點(diǎn)歸納】【知識點(diǎn)一】絕對值定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)的a的點(diǎn)與原點(diǎn)距離叫做數(shù)a的絕對值，數(shù)a的絕對值記作，讀作“a的絕對值”；【知識點(diǎn)二】幾何意義和代數(shù)意義幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，絕對值越大，反之越??；代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.即=【知識點(diǎn)三】幾點(diǎn)溫馨提示互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對值相等，反之，絕對值相等的兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù)；當(dāng)絕對值符號里的數(shù)正負(fù)不能確定時(shí)，要分類討論，即將分成大于0，小于0，等于0三種情況討論；任何一個(gè)有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，即a取任意有理數(shù)，都有，兩個(gè)負(fù)數(shù)相比較，絕對值大的反而小.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】求一個(gè)數(shù)的絕對值或由一個(gè)數(shù)的絕對值求原數(shù)【例1】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算：；若，則．【答案】4.5【分析】根據(jù)絕對值的定義求解即可．點(diǎn)撥；∵，∴．故答案為：4.5；．【點(diǎn)撥】本題考查了絕對值的意義，表示一個(gè)數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對值．一個(gè)正數(shù)的絕對值等于它的本身，零的絕對值還是零，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，絕對值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有2個(gè)，它們是互為相反數(shù)的關(guān)系．【變式1】的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】本題考查絕對值，相反數(shù)，根據(jù)絕對值和相反數(shù)的定義即可求解．解：∵，的相反數(shù)是，∴的相反數(shù)是．故選：A【變式2】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）（1）2.4到原點(diǎn)的距離是2.4，所以；（2）到原點(diǎn)的距離是3，所以；（3）0到原點(diǎn)的距離是0，所以．【答案】2.430【分析】根據(jù)絕對值的代數(shù)意義解答即可．絕對值的代數(shù)意義，一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．解：（1）2.4到原點(diǎn)的距離是2.4，所以；故答案為：2.4（2）到原點(diǎn)的距離是3，所以；故答案為：3；（3）0到原點(diǎn)的距離是0，所以．故答案為：0．【點(diǎn)撥】本題主要考查了絕對值，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對值的代數(shù)意義．【題型2】絕對值的幾何意義【例2】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）（1）絕對值是4的數(shù)有幾個(gè)？各是什么？（2）絕對值是0的數(shù)有幾個(gè)？各是什么？（3）是否存在絕對值是的數(shù)？為什么？【答案】（1）兩個(gè)，4和；（2）一個(gè)，0；（3）不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)絕對值的定義以及性質(zhì)解決此題；（2）根據(jù)絕對值的定義以及性質(zhì)解決此題；（3）根據(jù)絕對值的非負(fù)性解決此題．解：（1）絕對值等于4的數(shù)有兩個(gè)，分別是4和．（2）絕對值是0的數(shù)有一個(gè)，是0．（3）不存在絕對值是的數(shù)，理由：任意實(shí)數(shù)的絕對值大于或等于0，是非負(fù)數(shù)．【點(diǎn)撥】本題主要考查絕對值，熟練掌握絕對值的定義以及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式1】（22-23七年級上·廣西玉林·期中）若，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的絕對值等于本身，可得，即可求解．解：∵，∴，即．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了絕對值的意義，正數(shù)的絕對值是其本身，0的絕對值是0，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；理解絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知，，且，則，.【答案】-2018-2019【分析】根據(jù)絕對值意義求出各數(shù).解：因?yàn)?，所以x=±2018,y=±2019因?yàn)樗詘=-2018，y=-2019【點(diǎn)撥】考核知識點(diǎn)：絕對值.理解定義是關(guān)鍵.【題型3】絕對值的非負(fù)性：【例3】（23-24七年級上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）已知，求的值．【答案】，，．【分析】點(diǎn)撥本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于，那么這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都等于，得到，，，解之即可求解，掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：∵，∴，，，∴，，．【變式1】（23-24七年級上·新疆克孜勒蘇·階段練習(xí)）若與互為相反數(shù)，求的值【答案】【分析】此題主要考查了相反數(shù)的定義，絕對值的非負(fù)性，直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出，的值，進(jìn)而代入得出答案．解：∵與互為相反數(shù)，∴，∴，解得：，∴．【變式2】（23-24七年級上·福建泉州·期中）如果x為有理數(shù)，式子存在最大值，這個(gè)最大值是（

）A．2025 B．2024 C．2023 D．2022【答案】C【分析】本題考查的是絕對值的非負(fù)性的含義，理解的最小值是0是解本題的關(guān)鍵．解：∵x為有理數(shù)式子存在最大值，∴當(dāng)，最大為2023，故選C．【題型4】絕對值的化簡【例4】（23-24七年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）已知a，b兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示

求代數(shù)式【答案】3【分析】本題考查了利用數(shù)軸比較大小以及化簡絕對值：先得，再逐一化簡絕對值，運(yùn)用整式的加減混合運(yùn)算合并同類項(xiàng)，即可作答．解：根據(jù)a，b兩數(shù)在數(shù)軸上的位置，得則【變式1】（2023·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）已知有理數(shù)，在數(shù)軸上如圖表示，則．【答案】【分析】本題考查運(yùn)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，絕對值．先根據(jù)數(shù)軸確定出的符號，再去絕對值即可．解題的關(guān)鍵是掌握：正數(shù)的絕對值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，零的絕對值是零．解：由圖可知：，∴，∴．故答案為：．【變式2】（23-24七年級上·浙江紹興·階段練習(xí)）如果，那么的值是（

）A．或3 B．或3 C．1或3 D．或【答案】B【分析】本題考查的絕對值的應(yīng)用，以及化簡求值．根據(jù)，即a、b全為正數(shù)時(shí)，或a、b為一正一負(fù)時(shí)，或a、b全負(fù)時(shí)分類討論計(jì)算即可．解：，設(shè)時(shí)，，或時(shí)，，或，時(shí)，，綜上可得：或，故選：B．【題型5】解絕對值方程【例5】（23-24七年級下·福建泉州·階段練習(xí)）關(guān)于的方程的解是．【答案】或【分析】本題考查了解絕對值方程．分，和時(shí)三種情況討論，分別列得方程，再解方程可得．解：當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí),，此方程無解；當(dāng)時(shí),，解得；故答案為：或．【變式1】（23-24七年級上·福建泉州·期中）若，則．【答案】2010或2036【分析】本題主要考查絕對值的性質(zhì)，根據(jù)絕對值的意義進(jìn)行化簡即可．解：，，，，，∴，∴或2010．故答案為：2010或2036．【變式2】（23-24七年級上·山西大同·階段練習(xí)）已知是方程的解，則k的值為（

）A．11或 B．9或 C．11或 D．或9【答案】C【分析】本題主要考查了一元一次方程的解以及絕對值求值，熟練掌握絕對值求解是解題的關(guān)鍵．將代入方程，根據(jù)絕對值的定義求解即可．解：將代入方程，得，，解得或．故選：C．【題型6】利用絕對值比較有理數(shù)的大小【例6】（23-24七年級上·山東菏澤·階段練習(xí)）比較下列數(shù)的大小．(1)和；(2)和；(3)和．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較、化簡絕對值、化簡多重符號，熟練掌握正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)進(jìn)行比較，絕對值大的反而小，是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)進(jìn)行比較，絕對值大的反而小，即可得出答案；（2）先將各數(shù)化簡，再進(jìn)行比較即可得出答案；（3）先將各數(shù)化簡，再進(jìn)行比較即可．解：（1），，，；（2），，，；（3），，．【變式1】（23-24七年級上·浙江衢州·階段練習(xí)）比較大?。海?）0；（2）；（3）．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，“有理數(shù)的大小比較，正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小”，據(jù)此逐題比較即可求解．解：（1）；（2）因?yàn)?，所以，所以；?）因?yàn)?，所以，所以．故答案為：；；【變?】（23-24六年級上·山東煙臺·期中）下列比較大小錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，分別根據(jù)正數(shù)與負(fù)數(shù)、正數(shù)與正數(shù)、負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)比較大小的法則對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．解：A、∵，∴，故本選項(xiàng)正確；B、∵，∴，故本選項(xiàng)正確；C、∵，∴，故本選項(xiàng)正確；D、∵，∴，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川德陽·中考真題）下列四個(gè)數(shù)中，比小的數(shù)是（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，掌握有理數(shù)大小比較的法則是關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則：正數(shù)>0>負(fù)數(shù)；然后根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小，即可得到答案．解：∵正數(shù)>0>負(fù)數(shù)，，∴∴，∴比小的是．故選：D．【例2】（2024·重慶·中考真題）下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（

）A． B．0 C．3 D．【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)比較大小，解題的關(guān)鍵是掌握比較大小的法則．根據(jù)正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小，即可得到答案．解：∵，∴最小的數(shù)是；故選：A．2、拓展延伸【例1】解答下列問題（1）若有理數(shù)、滿足，且，求的值．（2）已知有理數(shù)、、的在數(shù)軸上的位置如圖所示，請化簡：．

【答案】（1）6或8．（2）．【分析】（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)解得x，y的值，分情況討論得出符合條件的x，y的值，即可解．（2）根據(jù)數(shù)軸可以判斷a、b、c的正負(fù)情況，從而可以將絕對值符號去掉，本題得以解決．解：（1）∵，，∴或，或，①當(dāng)，時(shí)，（舍去），②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，，．④當(dāng)時(shí)，，．則②3④滿足，則或8．（2）由題得：，∴．【點(diǎn)撥】考查數(shù)軸、絕對值，解答本題的關(guān)鍵是明確數(shù)軸的特點(diǎn)，可以將絕對值符號去掉，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【例2】（23-24七年級上·江蘇揚(yáng)州·期末）對數(shù)m、n，給出定義：若，則稱是的“正比數(shù)”；若，則稱是的“反比數(shù)”．舉例：因?yàn)?，所?是的“正比數(shù)”；因?yàn)椋?是的“反比數(shù)”．點(diǎn)A、B在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)分別是、（且），點(diǎn)是的中點(diǎn)，在數(shù)軸上表示的數(shù)是．(1)①若是的“正比數(shù)”，，則__________；②若是的“反比數(shù)”，，則__________；(2)若，e是的“反比數(shù)”，求；(3)若，e是a、b兩數(shù)中其中一個(gè)數(shù)的“正比數(shù)”，請直接寫出的值．【答案】(1)①；②；(2)0或；(3)6或或或【分析】本題主要考查了絕對值的意義，新定義運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解絕對值的意義，注意進(jìn)行分類討論．（1）根據(jù)定義列式計(jì)算即可；（2）先求出e的值，然后根據(jù)中點(diǎn)定義求出b的值即可；（3）根據(jù)中點(diǎn)定義得出，分兩種情況討論：當(dāng)e是a的“正比數(shù)”時(shí)，當(dāng)e是b的“正比數(shù)”時(shí)，分別列式計(jì)