清單15 相似三角形的性質(zhì)與判定（3個(gè)考點(diǎn)梳理+17種題型解讀+提升訓(xùn)練）（含答案解析）

清單15相似三角形的性質(zhì)與判定（3個(gè)考點(diǎn)梳理+17種題型解讀+提升訓(xùn)練）【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】考點(diǎn)一相似三角形的判定判斷定理一：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似，即：若ABA'B'【技巧】判斷網(wǎng)格中三角形是否相似，先運(yùn)用勾股定理計(jì)算出三邊的長(zhǎng)度，再看對(duì)應(yīng)邊的比例是否相等.判斷定理二：兩邊成比例并且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.即：若ACA'C'=BC判斷定理三：兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形相似.

即：若∠C=∠C'，∠B=∠判斷定理四：斜邊和直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.即：在Rt△若ABA'B則Rt【考試題型1】添加條件使兩個(gè)三角形相似1．（2023上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在Rt△ABC和Rt△A'B'CA．∠A=∠A' B．ACA'C'【答案】D【分析】本題考查了三角形相似的判定，掌握判定方法，理解相似中的對(duì)應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.用“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似”可判斷Rt△ABC∽B.用“兩邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相等的兩三角形相似”可判斷Rt△ABC∽C.用“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似”可判斷Rt△ABC∽D.AB與A'C'，AC與B故選：D．2．（2023上·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，添加一個(gè)條件可判斷△ABP～△ACB，下列不滿足的條件是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．APBP=AC【答案】C【分析】本題主要考查相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定方法即在兩個(gè)三角形中，滿足三邊對(duì)應(yīng)成比例、兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等或兩組角對(duì)應(yīng)相等，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：∵在△ABP和△ACB中，∠BAP=∠CAB，∴當(dāng)∠ABP=∠C時(shí)，滿足兩組角對(duì)應(yīng)相等，可判斷△ABP～△ACB，故A不符合題意．當(dāng)∠APB=∠ABC時(shí)，滿足兩組角對(duì)應(yīng)相等，可判斷△ABP～△ACB，故B不符合題意．當(dāng)APBP=ACCB時(shí)，其夾角不相等，則不能判斷當(dāng)APAB=ABAC時(shí)，滿足兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，可判斷△ABP～△ACB，故D3．（2023上·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，添加下列一個(gè)條件，不能判斷△ABD與△ABC相似的是（

）

A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．ABAC=AD【答案】D【分析】本題主要考查了相似三角形的判定．根據(jù)相似三角形的判定定理，逐項(xiàng)判斷，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：∠A=∠A，A、添加∠ABD=∠C，可利用AA證得△ABD與△ABC相似，故本選項(xiàng)不符合題意；B、添加∠ADB=∠ABC，可利用AA證得△ABD與△ABC相似，故本選項(xiàng)不符合題意；C、添加ABAC=ADAB，可利用SAS證得D、添加ABBC=ADBD不能判斷故選：D4．（2023上·廣西百色·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖示，已知∠1=∠2，那么添加下列一個(gè)條件后，能判定△ABC∽△ADE的是（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)序號(hào)）①∠D=∠B②∠C=∠AED③ABAD=【答案】①②③【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟記相關(guān)判定定理的內(nèi)容是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE即：∠BAC=∠DAE①若∠D=∠B，則△ABC∽△ADE（如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似）；②若∠C=∠AED，則△ABC∽△ADE（如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似）；③若ABAD=AC④ABAD=BC故答案為：①②③5．（2019·黑龍江佳木斯·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，E,F,G是正方形ABCD邊上的點(diǎn)，添加一個(gè)條件，使ΔEBF∽ΔFCG(填一個(gè)即可)．【答案】∠BEF=∠CFG等【分析】根據(jù)相似三角形的判定添加條件即可.【詳解】解：∵△EBF∽△FCG，∠B=∠C，∴可添加∠BEF=∠CFG，故答案為：∠BEF=∠CFG（答案不唯一）.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定方法解答．【考試題型2】根據(jù)圖形數(shù)據(jù)判斷兩個(gè)三角形相似1．（2023上·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）判斷圖中的兩個(gè)三角形是否相似，并說(shuō)明理由．

【答案】△ABC∽△DEF．理由見(jiàn)解析【分析】根據(jù)ACDF【詳解】解：△ABC∽△DEF．理由如下：由題意知，AC=3，BC=3.5，AB=4∴△ABC∽△DEF．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．2．（2023上·北京通州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC的高AD，BE相交于點(diǎn)O．

(1)寫(xiě)出一個(gè)與△ACD相似的三角形（不添加其他線段），這個(gè)三角形是______；(2)請(qǐng)任選一對(duì)進(jìn)行證明．【答案】(1)△AOE，△BOD，△BCE（寫(xiě)出一個(gè)即可）(2)證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）由于△ACD是直角三角形，因此可觀察圖中的幾個(gè)直角三角形，根據(jù)“兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似”即可找到與△ACD相似的三角形；（2）可選擇△AOE與△ACD，根據(jù)“兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似”證明即可．【詳解】（1）與△ACD相似的三角形有△AOE，△BOD，△BCE，故答案為：△AOE，△BOD，△BCE（寫(xiě)出一個(gè)即可）．（2）△AOE∽△ACD證明：∵△ABC的高AD，BE相交于點(diǎn)O，∴∠AEO=∠ADC=90°．∵∠OAE=∠CAD，∴△AOE∽△ACD．

【考試題型3】確定相似三角形的對(duì)數(shù)1．（2021上·陜西漢中·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AD、CE分別是△ABC的邊BC、AB上的高，那么圖中相似三角形的對(duì)數(shù)為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似得出相似三角形的對(duì)數(shù)，注意做到不重不漏．【詳解】解：∵AD、CE分別是△ABC的邊BC、AB上的高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADC=∠ADB=90°，∵∠BAD=∠BAD，∴△AEO∽△ADB；∵∠BCE=∠OCD，∴△CDO∽△CEB，∵∠AOE=∠COD，∴∠AEO∽△CDO，∴∠AEO∽△CEB,△CDO∽△ADB，∴△ADB∽△CEB；綜上：圖中相似三角形的對(duì)數(shù)為6；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．2．（2022上·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，兩兩相似的三角形對(duì)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由垂線的定義得出∠ADC＝∠BDA＝90°，由∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，得出△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，即可得出△ADC∽△BAC∽△BDA；【詳解】解：∵AD⊥CB，∴∠ADC＝∠BDA＝90°，∴∠BAC＝∠ADC＝90°又∵∠C＝∠C，∴△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，∴△ADC∽△BAC∽△BDA，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定,熟練掌握相似三角形的判定定理，并能進(jìn)行推理論證是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2021下·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，把△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，當(dāng)點(diǎn)D剛好落在BC上時(shí)，連接CE，設(shè)AC、DE相交于點(diǎn)F，則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是（

）．A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì)【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABC≌△ADE，∠2=∠1，利用三角形內(nèi)角和得到∠3=∠4，則可判斷△AFE∽△DFC；根據(jù)相似的性質(zhì)得AFDF=EFFC，而∠AFD=∠EFC，則可判斷△AFD∽△EFC；由于∠BAC=∠DAE，AB=AD，AC=AE，所以【詳解】解：如圖，∵把△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∠2=∠1，∴∠3=∠4，△ABC∽△ADE，∴△AFE∽△DFC，∴AFDF∵∠AFD=∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∵∠BAC=∠DAE，AB=AD，AC=AE，∴∠3=∠5，∴△ABD∽△AEC故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023上·江蘇南通·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，交AD于F，則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是（）A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì)【答案】D【分析】由AD⊥BC，CE⊥AB，可得∠AEF＝∠ADC＝∠BEC＝∠ABD＝90°，然后由∠A，∠B是公共角，∠AFE與∠CFD是公共角，可證得△AEF∽△CEF∽△ADB∽△CEB．【詳解】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEF＝∠ADC＝∠BEC＝∠ABD＝90°，∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∵∠B是公共角，∴△ABD∽△CBE，∵∠A是公共角，∴△AEF∽△ADB，∴△AEF∽△CDF∽△ADB∽△CEB．∴圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是6對(duì)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.【考試題型4】證明兩個(gè)三角形相似1（2023上·安徽滁州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)D在△ABC邊BC上，點(diǎn)E在△ABC外，∠BAD=(1)求證：△ABC∽△ADE．(2)若AD=4，AB=5，BC=8，求DE的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)DE=【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似，以及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)∠BAD=∠CAE得出∠BAC=∠DAE，根據(jù)三角形的外角定理得出∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，則∠ADE=∠B，即可求證△ABC∽（2）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，得出ABAD【詳解】（1）證明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE++∠DAC，即∠BAC=∠DAE，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，∠∴∠ADE=∠B，∵∠ADE=∠B，∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽（2）解：由（1）得：△ABC∽∴AB∵AD=4，AB=5，BC=8，∴5∴DE=322．（2023上·湖南常德·九年級(jí)校聯(lián)考期中）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，連接AC，BD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，（1）中的其它條件不變，點(diǎn)M，N分別是BD，EC的中點(diǎn)，連接AN，

①求證：AE=AC﹔②求證：△ABE∽△AMN．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）①證明見(jiàn)詳解，②證明見(jiàn)詳解【分析】（1）由∠BCD=90°，（2）①證△BAE≌△DACAAS②由①中結(jié)論可得AM⊥BD，AN⊥EC，則AE本題主要考查三角形的全等判定及性質(zhì)，相似三角形的證明，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明（1）∵∠BCD=90°，∴∠E+∠ACE=90°，∠ACD+∠ACE=90°，∴∠E=∠ACD（2）①∵∠BAD=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠DAC+∠BAC，∴∠BAE=∠DAC，在△BAE和△DAC中，∵∠E=∠ACD∠BAE=∠DAC∴△BAE≌△DACAAS∴AE=AC．②∵△BAE≌△DAC，∴AE=AC，∵M(jìn)、N分別是∴AM⊥BD，∴AEAN∴∠BAE=∠MAN，∴△BAE∽△MAN．3．（2023上·山東聊城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．求證：△ABC∽△DEF．

【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了相似三角形的判定．利用勾股定理求得各邊的長(zhǎng)，再利用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形是相似三角形即可證明．【詳解】證明：由圖可知，AB=EF=12+12

∴BC:AB:AC=1:2EF:ED:FD=2:2:∴△ABC∽△DEF．4．（2023上·廣西桂林·九年級(jí)?？计谥校┰凇鰽BC中，AB=22，∠B=45°，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△ADE．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且(1)求證△ABD∽△DFE；(2)若CE=5，求CD【答案】(1)見(jiàn)解析(2)CD=5【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)；（1）利用兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似可證明出結(jié)論；（2）利用△ABD∽△DFE，求出DF=4，再證△EFC∽△DEC，可求FC=1，進(jìn)而解答即可．【詳解】（1）∵∠EFD=45°，∠B=45°，∴∠B=∠EFD，∵Rt△ADE∴∠ADE=45°，∵∠ADF=∠ADE+∠EDF=∠B+∠BAD，∴∠BAD=∠EDF，∴△ABD∽△DFE；（2）由（1）知△ABD∽△DFE，∴ABDF∵Rt△ADE∴ADDE∴?AB∵AB=22∴DF=4，∵Rt△ADE是等腰直角三角形，∵∠EFD=45°∴∠DEC=∠EFC=180°-45°=135°，又∵∠C=∠C，∴△EFC∽△DEC，∴DC:EC=EC:CF，即EC∵EC=5∴5=FC(4+FC)，∴FC=1（負(fù)的已舍），∴CD=FC+FD=1+4=5．5．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的格點(diǎn)上．

(1)∠ABC=___________°；(2)判斷△ABC與△DEF是否相似，若相似，請(qǐng)給出證明；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)135(2)△ABC～△DEF，證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用，網(wǎng)格以及勾股定理解決問(wèn)題即可．（2）結(jié)論：△ABC～△DEF．根據(jù)兩邊成比例夾角相等兩三角形相似證明即可．【詳解】（1）解：觀察圖形可知，∠ABC=135°，BC=2故答案為135（2）解：結(jié)論：△ABC∽△DEF．理由：∵AB=2，BC=22，DE=2，∴ABDE∵∠ABC=∠DEF，∴△ABC∽△DEF．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是網(wǎng)格與勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定定理．6．（2023上·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，AB=3AD，AC=3AE．(1)求證：△ADE∽△ABC；(2)如果△ADE的面積為10，則四邊形BCDE的面積為_(kāi)_____．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)80【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)三角形面積關(guān)系等知識(shí)；在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）由題意得AE:AC=AD:AB=1:3根據(jù)相似三角形的判定方法可得出結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)得出S△ADES△ABC【詳解】（1）證明：∵AB=3AD,AC=3AE，∴AE:AC=AD:AB=1:3又∵∠A=∠A，∴△ADE∽（2）解：∵△ADE∽∴S△ADE∵△ADE的面積為10，∴△ABC的面積為90，∴S四邊形【考試題型5】找網(wǎng)格中的相似三角形1．（2023上·陜西西安·九年級(jí)西安市東方中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，則與△ABC相似的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定．先求出每條邊的長(zhǎng)度，再根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似判斷即可．【詳解】解：BC=12+12A．三邊長(zhǎng)分別是：2，32+12=10，32+B．三邊長(zhǎng)分別是：2，3，32+22=13，∵C．三邊長(zhǎng)分別是：2，4，42+22=25，∵D．三邊長(zhǎng)分別是：22+12=5，32+22故選C．2．（2023上·上海普陀·九年級(jí)校考期中）如圖，△ABC是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在格點(diǎn)上），點(diǎn)D、E、F、

A．以點(diǎn)A、B、D為頂點(diǎn)的三角形C．以點(diǎn)A、B、F為頂點(diǎn)的三角形【答案】B【分析】先計(jì)算出每條邊的長(zhǎng)度，再進(jìn)行比較即可，選出適合的選項(xiàng)．【詳解】解：設(shè)每個(gè)正方格邊長(zhǎng)為1，則AB=2，AEAB∴△ABC∽△EAB，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，能夠掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023上·河北保定·九年級(jí)保定市第十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D是由40個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形組成的網(wǎng)格圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)都在等邊三角形的頂點(diǎn)上，若點(diǎn)F也在等邊三角形的頂點(diǎn)上，能使△DEF與△ABC相似的點(diǎn)F有（

）個(gè)．

A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．分類討論是解題的關(guān)鍵．由題意知，△ABC中，AB=2，BC=1，∠B=60°，∠A=30°，∠C=90°，DE=3，AC=AB2-BC2=3，△DEF與△ABC相似，分△DEF∽△ABC，△DFE∽△ABC，△EDF∽△ABC【詳解】解：由題意知，△ABC中，AB=2，BC=1，∠B=60°，∠A=30°，∠C=90°，DE=3∴AC=A△DEF與△ABC相似，分△DEF∽△ABC，△DFE∽△ABC，△EDF∽△ABC△EFD∽△ABC△FDE∽△ABC△FED∽△ABC，6種情況求解：①當(dāng)△DEF∽△ABC時(shí)，EFBC=DEAB，即EF1②當(dāng)△DFE∽△ABC時(shí)，EFBC=DEAC，即EF1=3

③當(dāng)△EDF∽△ABC時(shí)，EFAC=DEAB，即EF3④當(dāng)△EFD∽△ABC時(shí)，EFAB=DEAC，即EF2=3⑤當(dāng)△FDE∽△ABC時(shí)，EFAC=DEBC，即EF3=3⑥當(dāng)△FED∽△ABC時(shí)，EFAB=DEBC，即EF2=綜上所述，共有4個(gè)點(diǎn)F；故選：C．4．（2022上·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個(gè)斜三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②～⑥中，與①相似的三角形有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】設(shè)網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1，則①三角形的三邊之比是AB:AC:BC=1:2:5【詳解】解：①三角形的三邊之比是AB:AC:BC=1:2②△BCD中，CD:③△DEB中DE:④△FBG中，F(xiàn)B:⑤△HGF中，HG:⑥△EFK中，EK故與①相似的三角形的序號(hào)是③④⑤．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩三角形相似，從“三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似”的角度考慮．考點(diǎn)二相似三角形的性質(zhì)1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.2）相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.3）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.4）相似三角形面積比等于相似比的平方.【考試題型6】利用相似三角形的性質(zhì)求解1．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=4，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比值是（

）A．2 B．4 C．13 D．【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的周長(zhǎng)比與相似比的關(guān)系：相似三角形的周長(zhǎng)比等于其相似比，熟記相關(guān)結(jié)論即可．【詳解】解：由題意得：△ABC與△DEF的相似比為：ABDE故周長(zhǎng)比為：1故選：D2．（2023上·湖南邵陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3、5、6，△DEF的最短邊長(zhǎng)為9，那么△DEF的周長(zhǎng)等于（

）A．4 B．1265 C．21 D．【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵△ABC∽∴相似比為k=3∴C∴C故選：D．3．（2023上·廣東佛山·九年級(jí)校聯(lián)考期中）兩個(gè)相似三角形的相似比為1:2，較小的三角形的面積為4，則另一個(gè)三角形的面積為（

）A．2 B．8 C．16 D．1【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比為1:2，∴兩個(gè)相似三角形的面積比為1:4，∵較小的三角形的面積為4，∴另一個(gè)三角形的面積為4×4=16；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方，是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·湖南常德·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，若點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則△ADE與四邊形BCED的面積比為（

A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．3:4【答案】B【分析】本題考查三角形中位線定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵根據(jù)中位線定理得到DE∥BC，DE=BC，從而判定【詳解】解：∵D，E分別是AB，∴DE∥BC，且DE=1∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE∴S△ADE故選B．5．（2023上·四川成都·九年級(jí)四川省蒲江縣蒲江中學(xué)?？计谥校┤簟鰽BC與△DEF相似，且對(duì)應(yīng)邊之比2:3，則△ABC與△DEF的面積比為（

）A．2:3 B．2:5 C．4:9 D．4:25【答案】C【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，熟記“相似三角形面積的比等于相似比的平方”是解題關(guān)鍵，由相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵△ABC與△DEF相似，且對(duì)應(yīng)邊之比2:3，∴S故選：C．6．（2023上·福建莆田·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)O．若BOOC=2

【答案】18【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)面積比等于相似比的平方即可求解，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵AB∥∴△AOB∽△DOC，∵BOOC∴S△AOB又∵S△AOB∴S△DOC故答案為：18．7．（2023上·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第二十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，連接AC，其中AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=107°，△ABC∽△DAC，(1)求AB的長(zhǎng)；(2)求CD的長(zhǎng)；(3)求∠BAD的大??；【答案】(1)AB=3；(2)CD=8(3)∠BAD=143°；【分析】（1）本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例及對(duì)應(yīng)角相等，直接求解即可得到答案；（2）本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例及對(duì)應(yīng)角相等，直接求解即可得到答案；（3）本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例及對(duì)應(yīng)角相等，直接求解即可得到答案；【詳解】（1）解：∵△ABC∽△DAC，∴ACBC∵AD=2，AC=4，BC=6，∴2AB解得：AB=3；（2）解：∵△ABC∽△DAC，∴ACBC∵AD=2，AC=4，BC=6，∴46解得：CD=8（3）解：∵△ABC∽△DAC，∴∠BAC=∠D=107°，∠CAD=∠B=36°，∵∠B=36°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=107°+36°=143°．【考試題型7】利用相似求坐標(biāo)1．（2023上·山東青島·九年級(jí)青島大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）如圖，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別是1,0、5,0、①2,1

②3,1

③4,2

④5,2

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似即可判斷．【詳解】解：在△ABC中，AB=4，BC=AC=22，則△ABC∵∠ACB=90°，①、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,1)時(shí)，∠DCE=90°，CE=CD=2，則△DCE∽△BCA②、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,1)時(shí)，∠CED=90°，CE=DE=1，則△CED∽△ACB，故符合題意；③、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,2)時(shí)，∠CED=90°，CE=DE=1，則△CED∽△ACB，故符合題意；④、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(5,2)時(shí)，∠CDE=90°，CD=DE=2，則△CDE∽△ACB故選：D．

2．（2022上·河南三門(mén)峽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，A-4,0，B0,2，連接AB并延長(zhǎng)到點(diǎn)C，連接CO，若△COB∽△CAO，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為【答案】(【分析】先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=12x+2，從而可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(a,12a+2)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，從而可得OD=a,CD=12a+2，再根據(jù)正切的定義可得tan【詳解】解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A-4,0,B0,2代入得：-4k+b=0則直線AB的解析式為y=1設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(a,1如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則OD=a,CD=12a+2∴∠BOC=∠OCD，∵A-4,0∴OA=4,OB=2，∴tan∵△COB～△CAO，∴∠BOC=∠OAC，∴∠OCD=∠OAC，∴tan在Rt△COD中，tan解得a=4經(jīng)檢驗(yàn)，a=4則12所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(4故答案為：(4【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)、正切等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．3．（2022上·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△OAB，點(diǎn)A的坐標(biāo)為a,a，點(diǎn)B的坐標(biāo)為b,0．若a，b的值是關(guān)于x的一元二次方程x2-5x+6=0的兩個(gè)根，且(1)直接寫(xiě)出a=___________，b=___________(2)若點(diǎn)P在y軸上，且△POA∽△AOB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)2，3(2)P【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；（2）先求出OA,OB的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】（1）解：x2因式分解，得x-2x-3解得x=2或x=3，∵a,b的值是關(guān)于x的一元二次方程x2-5x+6=0的兩個(gè)根，且b>a，故答案為：2，3．（2）解：由（1）可知，A2,2∴OA=2∵△POA∽△AOB，∴OPOA=∴OP解得OP=8又∵∠POA=∠AOB=45°，且點(diǎn)P在y軸上，∴P0,【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程、相似三角形的性質(zhì)、點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）直線y＝kx+b與反比例函數(shù)y=6x（x＞0）的圖象分別交于點(diǎn)A（m，3）和點(diǎn)B（6，n），與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)（1）求直線AB的解析式；（2）若點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△COD與△ADP相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）y=-12x+4；（2）2,0【分析】（1）利用反比例函數(shù)y=6x（x＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m，4)和點(diǎn)B(6，2)，可確定A、（2）根據(jù)AB解析式可得出C、D坐標(biāo)，可得OD、OC得長(zhǎng)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得AD得長(zhǎng)，分PA⊥OD時(shí)，AP'⊥CD兩種情況討論，利用相似三角形得性質(zhì)即可得答案．【詳解】（1）∵y＝kx+b與反比例函數(shù)y＝6x（x＞0）的圖象分別交于點(diǎn)A（m，3）和點(diǎn)B（6，n∴3=6m，n=66，解得：m＝2，n∴A（2，3），B（6，1），∴2k+b=36k+b=1解得：k=-1∴直線AB的解析式為y＝﹣12x+4（2）如圖，當(dāng)PA⊥OD時(shí)，∴PA∥OC，∴△ADP∽△CDO，∵A（2，3），點(diǎn)P在x軸上，∴P（2，0）．②當(dāng)AP′⊥CD時(shí)，∵直線AB的解析式為y＝﹣12x+4∴當(dāng)y=0時(shí)，x=8，x=0時(shí)，y=4，∴C（0，4），D（8，0），∴AD=(8-2)2+(0-3)2=35，OD=8，OC=4，CD∵∠DAP′=∠DOC=90°，∠ADP′=∠ODC，∴△P′DA∽△CDO，∴DP'CD解得：DP′=152∴OP′=OD-DP′=1∴P′（12，0綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，0）或（12，0）．5．（2023上·山西運(yùn)城·九年級(jí)山西省運(yùn)城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┚C合與探究：如圖，一次函數(shù)y1=k1x+b與反比例函數(shù)y2=k2x交于A，B兩點(diǎn)，與兩坐標(biāo)軸分別交于C，D兩點(diǎn)，其中(1)求y1(2)反比例函數(shù)L是否存在一點(diǎn)P，使得3S△POD=S(3)在y軸上是否存在一點(diǎn)M，使得△MDC與△ODB相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y1=x+3(2)存在，P125(3)存在，M0,12或【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AH∥y軸，交x軸與點(diǎn)F，證明△DOC∽△DHA，求出AH的長(zhǎng)，進(jìn)而得到A點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求解析式即可；（2）聯(lián)立解析式，求出B點(diǎn)坐標(biāo)，分割法求出△AOB的面積，利用S△POD=12OD?（3）分△DCM∽△ODB和△MCD∽△ODB兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作AH∥y軸，交x軸與點(diǎn)H，∴AH∥OC，∴△DOC∽△DHA，∴CDAD∵C的坐標(biāo)為0,3，CD=3AC，∴OC=3,CD∴AH=4，∴A1,4把A1,4代入y2=∴y2把A1,4，C0,3，代入b=34=k∴y1（2）存在；∵y1∴當(dāng)y=0時(shí)，x=-3，∴D-3,0∴OD=3聯(lián)立y1=x+3y2=∴B-4,-1∴S△AOB∴3S△POD=3×1當(dāng)yP=53時(shí)，xP∴P125,（3）存在；∵B-4,-1，D-3,0，∴BD=2，OD=3=OC，CD=3∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠ODB=135°，∴當(dāng)△MDC與△ODB相似時(shí)，點(diǎn)M在C點(diǎn)上方，∠DCM=∠ODB=135°，有兩種情況，①△DCM∽△ODB，則：CDOD∴32∴CM=2，∴M0,5②△MCD∽△ODB，則：CDDB∴32∴CM=9，∴M0,12綜上：M0,12或M【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造相似三角形．【考試題型8】在網(wǎng)格中畫(huà)與已知三角形相似的三角形1．（2023上·上海長(zhǎng)寧·九年級(jí)上海市婁山中學(xué)?？计谥校┰诿總€(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形．如圖，已知△ABC是4×6的網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)三角形，則該圖中所有與△ABC相似的格點(diǎn)三角形中，最大的三角形面積是．

【答案】4【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，相似三角形中，最大的三角形的長(zhǎng)邊等于210【詳解】圖中所有與△ABC相似的格點(diǎn)三角形中，最大的△A

S△故答案為：4．2．（2023上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，格點(diǎn)圖形中每一個(gè)最小正方形的邊長(zhǎng)為1單位長(zhǎng)度，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．

(1)畫(huà)格點(diǎn)三角形△A'B'C'，(2)利用格點(diǎn)在邊AB上求作M、N兩點(diǎn)，使得CM、CN將【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查作圖-位似變換，相似的性質(zhì)等知識(shí)，（1）根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可；（2）根據(jù)平行線等分線段定理即可得到結(jié)論；解題的關(guān)鍵是掌握相似變換的性質(zhì)．【詳解】（1）解：△A'B（2）如圖，點(diǎn)M、N即為所求．

3．（2023下·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）圖①、圖②為4×6的正方形網(wǎng)格，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，在圖①、圖②中各畫(huà)一個(gè)與△ABC相似的三角形，所畫(huà)三角形頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且有一個(gè)頂點(diǎn)為點(diǎn)B：所畫(huà)三角形與△ABC不全等，且彼此之間也不全等．

【答案】見(jiàn)解析【分析】利用相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)應(yīng)邊的比得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置．【詳解】解：如圖所示

圖①中，D,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，則DE∴△BDE∽△BAC圖②中，BF=32,BG=4∴BF∴BF又∵∠B=∠B∴△BFG∽△BCA【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似變換，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)三相似三角形性質(zhì)與判定綜合【考試題型9】尺規(guī)作圖與相似三角形綜合運(yùn)用1．（2023上·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圓規(guī)在AB上確定點(diǎn)D，使△ACD∽△CBD（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】要使△ACD∽△CBD，則∠ADC=∠CDB，即可推出∠ADC=∠【詳解】解：當(dāng)CD是AB的垂線時(shí)，△ACD∽△CBD．∵CD⊥AB，∴∠CDA=∵∠ACB=90°∴∠A+∴∠A=∴△ACD∽△CBD．根據(jù)作圖痕跡可知，A選項(xiàng)中，CD是∠ACBB選項(xiàng)中，CD不與AB垂直，不符合題意；C選項(xiàng)中，CD是AB的垂線，符合題意；D選項(xiàng)中，CD不與AB垂直，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，作垂線，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相似三角形的判定條件．2．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？家荒＃┰凇鰽BC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作三角形（陰影部分），使這個(gè)三角形與△ABC相似，且相似比為1:2，根據(jù)下列選項(xiàng)圖中標(biāo)注的條件，不符合要求的作圖是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．∵∠ACM+∠BCM=90°，∠A+∠ACM=90°，∴∠BCM=∠A，∴△ACM∽△CBM，∴相似比為ACBCB．∵∠AMN=∠C，∠A=∠A，∴△AMN∽△ACB，且MN:BC=1:2，故不合題意；C．∵M(jìn)CAC=∴△AMC∽△BMA，且相似比為1:2，故不合題意；D．無(wú)法證明△AMN和△ACB相似，故符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分線，交AC于點(diǎn)D．

(1)在斜邊BC上求作點(diǎn)E，使△BDE∽△BAD；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若AB=6，BE=8，求DE的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)DE=4【分析】本題考查了尺規(guī)作圖-作垂線，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，（1）按要求作過(guò)點(diǎn)D的垂線，交BC于點(diǎn)E，即可解答；（2）利用相似三角形的性質(zhì)，求得BD的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可解答，根據(jù)△BDE∽△BAD中邊的對(duì)應(yīng)作出正確的圖形，熟知相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：（1）如圖，點(diǎn)E即為所求；

（2）∵△BDE∽∴AB∵AB=6,BE=8，∴BD∴BD=43∵△BDE∽∴∠BDE=∠A=90°，在Rt△BDE中DE=【考試題型10】三角板與相似三角形綜合運(yùn)用1．（2023上·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一副三角板（∠C=∠E=90°，∠B=30°，∠D=45°），AD=BC，頂點(diǎn)A重合，將△ADE繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（不添加輔助線），以下4種位置不存在相似三角形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，利用相似三角形的判定方法依次判斷是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：選項(xiàng)A，∵∠C=∠C=90°，∠CAF=∠B=30°，

∴△ACF∽△BCA，故選項(xiàng)A不符合題意．選項(xiàng)B，如圖，設(shè)CD與AE交于點(diǎn)O，

∵∠ACO=∠DEO=90°，∠AOC=∠DOE，∴△ACO∽△DEO，故選項(xiàng)B不合題意；選項(xiàng)C，∵∠BCA=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，∴△ACF∽△AED，故選項(xiàng)C不合題意；選項(xiàng)D中沒(méi)有相似三角形，符合題意．故選：D．2．（2023上·江蘇蘇州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為10的等邊△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，且AD=3，將含30°角的直角三角板∠F=30°繞直角頂點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE、DF分別交邊AB、BC于P、Q，連接PQ，當(dāng)EF∥PQ時(shí)，DQ的長(zhǎng)為（

A．6 B．39 C．213 D．【答案】B【分析】證明△ADP∽△BPQ，由相似三角形的性質(zhì)得出ADBP=APBQ=DPPQ，求出BP=6，CQ=2【詳解】解：∵∠F=30°，∴∠E=60°，∵EF∥∴∠DPQ=∠E=60°，∠DQP=∠F=30°，∴∠APD+∠BPQ=120°，∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=∠B=60°，AC=BC=AB=10，∴∠APD+∠ADP=120°，∴∠BPQ=∠ADP，∴△ADP∽△BPQ，∴ADBP∵∠PDQ=90°，∠DQP=30°，∴PD=1∴3BP∴BP=6，∴AP=4，BQ=8，∴CQ=2，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M，

∴CM=12CQ=1∵CD=AC-AD=10-3=7，∴DQ=D故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，證明△ADP∽△BPQ是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【問(wèn)題背景】△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P為BC上的動(dòng)點(diǎn)，小熙拿含45°角的透明三角板，使45°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P，三角板可繞P【用數(shù)學(xué)的眼光觀察】（1）如圖1，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、F時(shí)，以下結(jié)論正確的是：_______；①△BPE≌△CFP；②△BPE∽△CFP；③∠BEP=∠CPF；【用數(shù)學(xué)的思維思考】（2）將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖2情形時(shí)，三角板的兩邊分別交BA的延長(zhǎng)線、邊AC于點(diǎn)E、F．△BPE與△CFP相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；【用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)】（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BPE∽△PFE？說(shuō)明理由．

【答案】（1）②③④；（2）△BPE與△CFP相似，理由見(jiàn)解析；（3）動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)位置時(shí)，△BPE與△PFE相似，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）找出△BPE與△CFP的對(duì)應(yīng)角，其中∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，得出∠BEP=∠CPF，從而解決問(wèn)題；（2）利用（1）小題證明方法可證：△BPE∽△CFP；（3）動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)位置時(shí)，△BPE與△PFE相似，同（1），可證△BPE∽△CFP，得CP:BE=PF:PE，而CP=BP，因此PB:BE=PF:PE，進(jìn)而求出，△BPE與△PFE【詳解】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠B=∠C=45°，又∵∠EPF=45°∴∠B=∠C=∠EPF=45°，又∵∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，∴∠BEP=∠FPC，故③正確；∴△BPE∽△CFP，故②正確；∴BECP=PE故答案為：②③④．（2）解：△BPE∽△CFP；理由：∵在△ABC中，∠BAC=90°∴∠B=∵∠B+∴∠BPE+∵∠EPF=45°又∵∠BPE+∴∠BPE+∠CPF=135°，又∵∠B=∴△BPE∽△CFP．（3）解：動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)位置時(shí)，△BPE與△PFE相似，證明：同（1），可證△BPE∽△CFP，得CP:BE=PF:PE，而CP=BP，因此PB:BE=PF:PE．又∵∠EBP=∴△BPE∽△PFE．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定．它以每位學(xué)生都有的三角板在圖形上的運(yùn)動(dòng)為背景，既考查了學(xué)生圖形旋轉(zhuǎn)變換的思想，靜中思動(dòng)，動(dòng)中求靜的思維方法，又考查了學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究的能力．4．（2023上·山西臨汾·九年級(jí)?？计谥校┚C合與探究問(wèn)題解決如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，小明把一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放置在點(diǎn)D處，兩條直角邊分別交線段AC于點(diǎn)E，交線段BC于點(diǎn)F，在三角板繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，則點(diǎn)F也是BC“陽(yáng)光”小組的解答是：若點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，則點(diǎn)F也是BC的中點(diǎn)．理由如下：∵CD⊥AB于點(diǎn)D，∠ADC=90°．∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴ED=CE=EA．∵∠A=30°，∴∠ACD=60°．∴△CDE是等邊三角形．∴∠CDE=60°，∴∠CDF=∠DCF=90°-60°=30°．∴FC=FD．又∵∠B=∠FDB=90°-30°=60°，F(xiàn)B=FD．∴FC=BF．即若點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，則點(diǎn)F也是BC的中點(diǎn)．反思交流（1）“群星”小組認(rèn)為在這個(gè)題中，可以去掉條件“∠A=30°”，其他條件不變（如圖2），若點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，則點(diǎn)F也是BC的中點(diǎn)．請(qǐng)你根據(jù)條件證明這個(gè)結(jié)論；拓廣探索（2）去掉條件“∠A=30°”，其他條件不變旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若DE⊥AC（如圖3），那么等式AECE（3）去掉條件“∠A=30°”，其他條件不變．若點(diǎn)E是AC上任意一點(diǎn)（如圖4），（2）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）若點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，則點(diǎn)F也是BC的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解；（2）AECE=CFBF成立，理由見(jiàn)解；（3）若點(diǎn)E是【分析】（1）由題意得AE=CE=DE，根據(jù)直角三角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）證明四邊形ECFD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）由題意證明△ADC∽△CDB，△ADE∽【詳解】解：（1）∵CD⊥AB于點(diǎn)D，∴∠ADC=90°，∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴AE=CE=DE，∴∠EDC=∠ECD，∵∠ECD+∠DCF=90°,∠EDC+∠CDF=90°，∴∠CDF=∠DCF，∴FC=FD，又∵∠CDF+∠FDB=90°,∠DCF+∠B=90°，∴∠FDB=∠B，∴FD=FB，∴FC=FB，即點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)；（2）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若DE⊥AC，那么等式AECE理由如下：∵∠ACB=90°,DE⊥AC,∠EDF=90°，∴四邊形ECFD是矩形，∴DE∥∴AECE=∴AECE（3）若點(diǎn)E是AC上任意一點(diǎn)（如圖4），（2）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：∵∠ACB=90°,CD⊥AB，∴∠A=∠DCB,∠ACD=∠B，∴△ADC∽∴AD同理證得△ADE∽則ADCD∴CD同理證得△CDE∽則CEBF∴AECF=【點(diǎn)睛】本題是相似形的綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022上·安徽·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知：∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分線，點(diǎn)P在CD上，CP=2.將三角板的直角頂點(diǎn)放置在點(diǎn)P處，繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的一條直角邊與射線CB交于點(diǎn)E，另一條直角邊與直線CA，直線CB分別交于點(diǎn)F，點(diǎn)G.(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在射線CA上時(shí)，①求證：PF=PE；②設(shè)CF=a0<a<1，試求CG的值（用含a(2)如圖2，點(diǎn)F在AC延長(zhǎng)線上，連接EF，當(dāng)△CEF與△EGP相似時(shí)，求EG的長(zhǎng).【答案】(1)①見(jiàn)解析

②CG=(2)EG=2【分析】(1)①過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC,PN⊥BC，垂足分別為M、N，由已知條件證明△PMF≌△PNE即可證明PF=PE；②利用①中的三角形全等和相似三角形的性質(zhì)即可求出y與x(2)當(dāng)△CEF與△EGP相似時(shí)，點(diǎn)F的位置有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在射線CA上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)F在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，分別討論求出滿足題意的EG長(zhǎng)即可.【詳解】（1）①證明:過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC,PN⊥BC，垂足分別為M、

∵CD是∠ACB的平分線,∴PM=PN.由∠PMC=∠MCN=∠CNP=90°,∴∠MPN=90°,∴∠1+∠FPN=90°,∵∠2+∠FPN=90°,∴∠1=∠2.∴△PMF≌△PNE(AAS∴PF=PE；②∴CN=CM=1，∵△PMF≌△PNE，∴NE=MF=1-a，∵CE=2-a.∵CF∥PN，∴△GCF∽△GNP，∴CF∴CG=a

（2）當(dāng)△CEF與△EGP相似時(shí)，點(diǎn)F的位置有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在射線CA上時(shí)，∵∠GPE=∠FCE=90°,∠1≠∠PEG,∴∠G=∠1.∴FG=FE.∴CG=CE.在Rt△EGP中,EG=2CP=2②當(dāng)點(diǎn)F在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵∠GPE=∠FCE=90°,∠1≠∠2,∴∠3=∠2.∵∠1=45°+∠5,∠1=45°+∠3,∠2=∴∠5=同理∠3=∠4，∴∠5=∠4，∴FC=CP=2∴FM=1+2∴△PMF≌△PNE,∴EN=1+∵CF∥PN，∴CF∴.GN=2∵.EG=22綜上所述EG=22【點(diǎn)睛】本題考查了相似形的綜合應(yīng)用，掌握角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)、以及分類討論思想是解題的關(guān)鍵.【考試題型11】裁剪與相似三角形綜合運(yùn)用1．（2023下·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，∠A=68°,AB=8,AC=4，將△ABC沿圖中的線剪開(kāi)，下列四種剪開(kāi)的方法中，剪下的陰影三角形與原三角形相似的是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．①③④【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可．【詳解】①陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，故兩三角形相似；②陰影部分的三角形與原三角形僅有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，故兩三角形不一定相似；③兩三角形對(duì)應(yīng)邊不僅滿足48④兩三角形對(duì)應(yīng)邊雖然滿足48故正確的有：①③，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖，將△ABC沿著DE剪成一個(gè)小三角形ADE和一個(gè)四邊形D'E'CB，若DE∥BC四邊形DA． B． C． D．【答案】A【分析】利用相似三角形的性質(zhì)即可判斷．【詳解】解：設(shè)AD=x，AE=y，∵DE∥∴△ADE∽△ABC，∴ADAB∴xx+12∴x=8，y=12，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．3．（2022上·江西吉安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式．通過(guò)活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手動(dòng)腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)．讓我們一起動(dòng)手來(lái)折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會(huì)活動(dòng)帶給我們的樂(lè)趣．折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，AD都落在對(duì)角線AC上，展開(kāi)得折痕AM，AN，連接MN，如圖

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，如圖剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線BD剪開(kāi)，如圖4．(1)∠MAN=______°，寫(xiě)出圖中兩個(gè)等腰三角形：______（不需要添加字母）；(2)線段BE，EF，(3)連接正方形對(duì)角線BD，若圖2中的∠EAF的邊AE，AF分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)G、點(diǎn)H．如圖3，求【答案】(1)45，(2)EF=BE+DF．(3)2【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得△ABC，△ADC都是等腰三角形．由折疊可得∠BAM=∠CAM=12∠BAC=22.5°，∠DAN=∠CAN=12∠DAC=22.5°，即可得到∠MAN=12∠BAC+∠DAC（2）延長(zhǎng)CB到T，使得BT=DF，連接AT．證明△ADF≌△ABTSAS，則AT=AF，∠DAF=∠BAT．得到∠EAT=∠EAF=45°，證明△EAT≌△EAFSAS，則（3）由四邊形ABCD是正方形得到∠ABD=∠ACF=∠BAC=45°，AC=2AB．證明△CAF∽△BAG，則CFBG=AC

圖1∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∴△ABC，由折疊可得：∠BAM=∠CAM=12∠BAC=22.5°∴∠MAN=1∵∠BAM=∠DAN=22．5°，∴△BAM≌△DANASA∴BM=DN，∵CB=CD，∴CM=CN，∴△AMN，故答案為：45，（2）結(jié)論：EF=BE＋理由：如圖2中，延長(zhǎng)CB到T，使得BT=DF，連接AT．

∵AD=AB，∠ADF=∠ABT=90°，DF=BT∴AT=AF，∵∠EAF=45°，∴∠EAT=∠BAE+∠BAT=∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAT=∠EAF=45°．∵AE=AE，∴△EAT≌△EAFSAS∴EF=ET．∵ET=EB+BT=EB+DF，∴EF=BE+DF．故答案為：EF=BE+DF．（3）如圖3中，

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠ACF=∠BAC=45°，AC=2∵∠BAC=∠EAF=45°，∴∠BAG=∠CAF，∴△CAF∽△BAG，∴CFB【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【考試題型12】平移與相似三角形綜合運(yùn)用1．（2022下·河北邯鄲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A0,3，B-1,0，C4,0，D5,3，現(xiàn)將四邊形ABCD經(jīng)過(guò)平移后得到四邊形A'B'C'(1)請(qǐng)直接寫(xiě)點(diǎn)A'，C'，(2)求四邊形ABCD與四邊形A'(3)在y軸上是否存在點(diǎn)P，連接PB，PC，使S△PBC=S【答案】(1)A'2，4(2)20(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,6或0,-6【分析】（1）由題意可知四邊形ABCD向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到四邊形A'（2）由平移可知，重疊部分為平行四邊形，底邊長(zhǎng)為103．高為2（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為0,b，利用面積關(guān)系構(gòu)建方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知四邊形ABCD向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到四邊形A'∵A0,3，C4,0，∴A'2，4、（2）解：如圖，延長(zhǎng)A'B'交BC于E，過(guò)點(diǎn)B'作B'∵B'∴OF=1=B由平移可得A'∴∠ABC=∠B∵∠B∴△B∴AOBO∴31∴EF=1∴OE=OF-EF=23，由平移可知，重疊部分為平行四邊形，底邊長(zhǎng)為103．高為2∴S重疊（3）解：存在．設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為0,b．∵S△PBC∴S△PBC∴b=±6．∴存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,6或0,-6．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了平移變換，四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．4．（2021上·湖北省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖①，△ABC與△DEF是將△ACF沿過(guò)A點(diǎn)的某條直線剪開(kāi)得到的（AB，DE是同一條剪切線）．平移△DEF使頂點(diǎn)E與AC的中點(diǎn)重合，再繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)△DEF，使ED，EF分別與AB，BC交于M，N兩點(diǎn)．(1)如圖②，△ABC中，若AB＝BC，且∠ABC＝90°，則線段EM與EN有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論；(2)如圖③，△ABC中，若AB＝BC，那么（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給出證明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖④，△ABC中，若AB：BC＝m：n，探索線段EM與EN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)EM＝EN(2)成立，證明見(jiàn)解析(3)EM：EN＝n：m，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由四邊形的內(nèi)角和為360°可以推出∠HEM＝∠GEN，由等腰三角形的三線合一及角平分線的性質(zhì)可以推出EH＝EG，從而可以證到△HEM≌△GEN，進(jìn)而有EM＝（2）借鑒（1）的證明方法同樣可以證到EM＝EG．（3）借鑒（2）中解題經(jīng)驗(yàn)可以證到△HEM∽△GEN，從而有EM：EN＝EH：EG．由點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)可得S△AEB＝S△CEB，可證到EH：EG＝BC：AB，從而得到EM：EN＝BC：【詳解】（1）解：EM＝EN．證明：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，G為垂足，作EH⊥AB，H為垂足，連接BE，如答圖②所示．則∠EHB＝∠EGB＝90°．∴在四邊形BHEG中，∠HBG+∠HEG＝180°．∵∠HBG+∠DEF＝180°，∴∠HEG＝∠DEF．∴∠HEM＝∠GEN．∵BA＝BC，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，∴BE平分∠ABC．又∵EH⊥AB，EG⊥BC，∴EH＝EG．在△HEM和△GEN中，∵∠HEM＝∠GEN，EH＝EG，∠EHM＝∠EGN，∴△HEM≌△GEN．∴EM＝EN．（2）EM＝EN仍然成立．證明：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，G為垂足，作EH⊥AB，H為垂足，連接BE，如答圖③所示．則∠EHB＝∠EGB＝90°．∴在四邊形BHEG中，∠HBG+∠HEG＝180°．∵∠HBG+∠DEF＝180°，∴∠HEG＝∠DEF．∴∠HEM＝∠GEN．∵BA＝BC，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，∴BE平分∠ABC．又∵EH⊥AB，EG⊥BC，∴EH＝EG．在△HEM和△GEN中，∵∠HEM＝∠GEN，EH＝EG，∠EHM＝∠EGN，∴△HEM≌△GEN．∴EM＝EN．（3）線段EM與EN滿足關(guān)系：EM：EN＝n：m．證明：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，G為垂足，作EH⊥AB，H為垂足，連接BE，如答圖④所示．則∠EHB＝∠EGB＝90°．∴在四邊形BHEG中，∠HBG+∠HEG＝180°．∵∠HBG+∠DEF＝180°，∴∠HEG＝∠DEF．∴∠HEM＝∠GEN．∵∠HEM＝∠GEN，∠EHM＝∠EGN，∴△HEM∽△GEN．∴EM：EN＝EH：EG．∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴S△AEB＝S△CEB．∴12AB?EH＝12BC?∴EH：EG＝BC：AB．∴EM：EN＝BC：AB．∵AB：BC＝m：n，∴EM：EN＝n：m．【點(diǎn)睛】本題通過(guò)圖形的變換，考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和等知識(shí)，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【考試題型13】折疊與相似三角形綜合運(yùn)用1．（2023上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）△ABC中，AB=6，AC=4，BC=5．

(1)如圖1，若AD是∠BAC的平分線，DE∥AB，求CE的長(zhǎng)與(2)如圖2，將邊AC折疊，使得AC在AB邊上，折痕為AM，再將邊MB折疊，使得MB'與MC'重合，折痕為【答案】(1)CE=85(2)AN=【分析】（1）先判定△ADE是等腰三角形，再根據(jù)平行線分線段成比例定理，求得CE的長(zhǎng)；（2）先根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，判定△ABC∽△NB'C'，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得NC'與B'N的數(shù)量關(guān)系，最后結(jié)合【詳解】（1）解：如圖1，∵AD是∠BAC的平分線，DE∥∴∠EAD=∠BAD=∠EDA，∴ED=EA，即△ADE是等腰三角形，設(shè)CE=x，則AE=4-x=DE，由DE∥可得DEBA=CECA解得x=8∴CE=85由DE∥可得CDBD∴CD（2）解：由折疊得，∠B=∠B'，∠C=∠MC'∴N設(shè)NC'=4a∵BC∴NC'+BN=2解得a=1∴NC∴AN=4【點(diǎn)睛】本題以折疊問(wèn)題為背景，主要考查了平行線分線段成比例定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，具有一定的難度．折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，解題時(shí)應(yīng)重點(diǎn)把握對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．2．（2023上·陜西西安·九年級(jí)西安市第三中學(xué)?？计谥校?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們根據(jù)下面情境提出問(wèn)題并解答．問(wèn)題情境：在?ABCD中，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)，將△PDC沿直線PC折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．?dāng)?shù)學(xué)思考：(1)“興趣小組”提出的問(wèn)題是：如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD，與PC交于點(diǎn)F，連接DF，則四邊形AEFD是拓展探究：(2)“智慧小組”提出的問(wèn)題是：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，連接PF．試判斷PF與PC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；問(wèn)題解決：(3)“創(chuàng)新小組”在前兩個(gè)小組的啟發(fā)下，提出的問(wèn)題是：如圖3，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在AB邊上時(shí)，AP=6，PD=8，DC=20，求AE的長(zhǎng)．

【答案】(1)菱形；見(jiàn)解析(2)PF⊥PC，見(jiàn)解析(3)5【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可知，AD=AE，DF=EF，∠DAF=∠EAF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠EFA=∠EAF，則EA=EF，進(jìn)而推出（2）連接AE．由折疊的性質(zhì)可知，PD=PE，∠PEC=∠PDC，∠DPC=∠EPC，由∠ADC+∠DAB=180°，∠PEC+∠PEF=180°，得到∠DAB=∠PEF；由點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，得到PA=PD=PE，則∠PAE=∠PEA，進(jìn)一步證明∠AEF=∠EAF，得到AF=EF，證明△PAF≌△PEF，得到∠APF=∠EPF，再根據(jù)平角的定義得到（3）延長(zhǎng)CP交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T．設(shè)AE=x．由折疊的性質(zhì)可知，∠PCD=∠PCE，CD=CE=20，再證明∠T=∠PCE，得到EC=ET=20，AT=20-x，證明△PDC∽△PAT，得到【詳解】（1）證明：由折疊的性質(zhì)可知，AD=AE，∵EF∥∴∠DAF=∠EFA，∴∠EFA=∠EAF，∴EA=EF，∴AD=DF=EF=AE，∴四邊形AEFD是菱形；故答案為：菱形．（2）解：結(jié)論：PF⊥PC．理由：連接AE．由折疊的性質(zhì)可知，PD=PE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ADC+∠DAB=180°，∵∠PEC+∠PEF=180°，∴∠DAB=∠PEF，∵點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，∴PA=PD=PE，∴∠PAE=∠PEA，∴∠DAB-∠PAE=∠PEF-∠PEA，∴∠AEF=∠EAF，∴AF=EF，∵PF=PF，∴△PAF≌△PEFSSS∴∠APF=∠EPF，∵∠DPC+∠CPE+∠EPF+∠APF=180°，∴2∠CPE+2∠FPE=180°，∴∠FPC=90°，∴PF⊥PC；（3）解：延長(zhǎng)CP交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T．設(shè)AE=x．

由折疊的性質(zhì)可知，∠PCD=∠PCE，∵CD∥BT，∴∠T=∠DCP，∴∠T=∠PCE，∴EC=ET=20，∵AT∥CD，∴△PDC∽△PAT，∴APPD∴68∴x=5，∴AE=5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·浙江杭州·九年級(jí)杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）綜合與實(shí)踐

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，諸葛小組將正方形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)M處，折痕為AE，再將紙片沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為AF，請(qǐng)寫(xiě)出圖中的一個(gè)45°角：______．(2)【拓展探究】如圖2，孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在折痕AE上的點(diǎn)N處，連接NF交AM于點(diǎn)P．①∠AEF=______度；②若AB=3，求線段PM(3)【遷移應(yīng)用】如圖3，在矩形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，將矩形ABCD沿AE，AF折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)M處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，點(diǎn)A，M，G恰好在同一直線上，若點(diǎn)F為CD的三等分點(diǎn)，AB=3，AD=5，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段【答案】(1)∠EAF=45°，見(jiàn)解析(2)①∠AEF=60°，見(jiàn)解析；PM=2-3(3)線段BE的長(zhǎng)為97或2【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得∠EAF=45°；（2）①由折疊性質(zhì)可得∠NFE=∠CFE，∠ENF=∠C=90°，∠AFD=∠AFM，結(jié)合∠EAF=45°可得∠AFN=45°，即可求解；②根據(jù)△ANF是等腰直角三角形，可證△ANP≌△FNEASA，設(shè)PN=EN=a根據(jù)AN+EN=AE，即可求解；（3）在AD上取一點(diǎn)J，使得AJ=AB，過(guò)點(diǎn)J作JT⊥BC，交AF于點(diǎn)K，連接EK，可得△AJK∽△ADF，設(shè)BE=x，則EK=x+6【詳解】（1）解：∠EAF=45°；∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C=∠BAD=90°，由折疊性質(zhì)可得：∠BAE=∠MAE，∠DAF=∠MAF，∴∠MAE+∠MAF=∠BAE+∠DAF=12∠BAD=45°，（2）解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C=∠B=90°，由折疊性質(zhì)可得：∠NFE=∠CFE，∠ENF=∠C=90°，∠AFD=∠AFM，∴∠ANF=180°-90°=90°，由操作一得：∠EAF=45°，∴△ANF是等腰直角三角形，∴∠AFN=45°，∴∠AFD=∠AFM=45°+∠NFE，∴245°+∠NFE∴∠NFE=∠CFE=30°，∴∠AEF=90°-30°=60°；②∵△ANF是等腰直角三角形，∴AN=FN，∵∠AMF=∠ANF=90°，∠APN=∠FPM，∴∠NAP=∠NFE=30°，∴△ANP≌△FNEASA∴AP=FE,PN=EN，∵∠NFE=∠CFE=30°，∠ENF=∠C=90°，∴∠NEF=∠CEF=60°，∴∠AEB=60°，∵∠B=90°，∴∠BAE=30°，∴BE=3∴AE=2BE=2，設(shè)PN=EN=a，∵∠ANP=90°,∠NAP=30°，∴AN=3PN=3a∵AN+EN=AE，∴3a+a=2，解得：a=3∴PM=AM-AP=3（3）解：如圖，在AD上取一點(diǎn)J，使得AJ=AB，過(guò)點(diǎn)J作JT⊥BC，交AF于點(diǎn)K，連接EK，

當(dāng)DF=2CF時(shí)，CF=1,DF=2，∵JK∥DF，∴△AJK∽△ADF，∴AJ∴JK∴JK=6由（1）可知，EK=BE+JK，設(shè)BE=x，則EK=x+6∵EK∴(x+∴x=9當(dāng)CF=2DF時(shí)，同理可得BE=2，綜上所述，線段BE的長(zhǎng)為97或2【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)，證出∠EAF=45°是解題的關(guān)鍵．1．（2023上·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90，AB=6，BC=4，D是AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于E，將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．求圖2中【答案】3【分析】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，首先利用勾股定理求得AC，然后由平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定及性質(zhì)得到ADAB=AEAC，其次由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠DAB=∠EAC，最后由相似三角形的判定及性質(zhì)BDEC【詳解】解：∵∠ABC=90°,AB=6,BC=4，AC=A在圖1中，∵DE∥BC，∴AD∵將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，∴∠DAE=∠BAC,AD∴ADAE=∴△ADB∽△AEC，∴BD2．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E①若AD=5，求線段DE的長(zhǎng)度．②若點(diǎn)D是邊AC上任意一點(diǎn)，請(qǐng)判斷DEAD（2）如圖2，四邊形ABCF中，AB=3+3，BC=6，∠ABC=45°，∠FAB=60°，AF=22，點(diǎn)D（3）如圖3，在（1）的條件下，AD=5，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△AMN，當(dāng)點(diǎn)AN⊥AC時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段MC的長(zhǎng)．【答案】（1）①線段DE的長(zhǎng)度為3；②不變，比值為35；（2）DF+12AD的最小值為6；（3）線段MC的長(zhǎng)為【分析】（1）①證明△DAE∽△BAC，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；②利用相似三角形的性質(zhì)即可解答；（2）分別過(guò)點(diǎn)C、D、F作AB的垂線，垂足分別為I、J、K，證明（3）分兩種情況討論，作出輔助線，構(gòu)造矩形，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）①Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6∴AB=6∵∠DAE=∠BAC，∠AED=∠ACB=90°，∴△DAE∽△BAC，∴ADAB=DE∴DE=3；②∵△DAE∽△BAC，∴ADAB=DE∴DEAD的值不變，DEAD（2）分別過(guò)點(diǎn)C、D、F作則CI∥∵BC=6，∠ABC∴△BCI是等腰直角三角形，∴CI=BI=3∵AB=3+3∴AI=3+3∴AC=3∵CI∥∴△ADJ∽△ACI，∴DJAD∴DJ=1當(dāng)F、D、J共線時(shí)，DF+12AD=DF+DJ取得最小值，最小值為FK∴∠AFK=30°，∴AK=1∴FK=A∴DF+12AD（3）如圖，作MG⊥CA交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵∠ANM=∠AGM=∠NAC=∠NAG=90°，∴四邊形AGMN是矩形，∴AG=MN=3，MG=AN=4，∵AC=8，∴MC=4如圖，作MH⊥CA交CA點(diǎn)H，同理，四邊形AHMN是矩形，∴AH=MN=3，MH=AN=4，∵AC=8，∴MC=4綜上，線段MC的長(zhǎng)為137或41．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【考試題型14】利用相似三角形性質(zhì)與判定求線段比值1．（2023上·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90，AB=6，BC=4，D是AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于E，將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．求圖2中【答案】3【分析】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，首先利用勾股定理求得AC，然后由平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定及性質(zhì)得到ADAB=AEAC，其次由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠DAB=∠EAC，最后由相似三角形的判定及性質(zhì)BDEC【詳解】解：∵∠ABC=90°,AB=6,BC=4，AC=A在圖1中，∵DE∥BC，∴AD∵將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，∴∠DAE=∠BAC,AD∴ADAE=∴△ADB∽△AEC，∴BD2．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)校考階段練習(xí)）（1）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E①若AD=5，求線段DE的長(zhǎng)度．②若點(diǎn)D是邊AC上任意一點(diǎn)，請(qǐng)判斷DEAD（2）如圖2，四邊形ABCF中，AB=3+3，BC=6，∠ABC=45°，∠FAB=60°，AF=22，點(diǎn)D（3）如圖3，在（1）的條件下，AD=5，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△AMN，當(dāng)點(diǎn)AN⊥AC時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段MC的長(zhǎng)．【答案】（1）①線段DE的長(zhǎng)度為3；②不變，比值為35；（2）DF+12AD的最小值為6；（3）線段MC的長(zhǎng)為【分析】（1）①證明△DAE∽△BAC，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；②利用相似三角形的性質(zhì)即可解答；（2）分別過(guò)點(diǎn)C、D、F作AB的垂線，垂足分別為I、J、K，證明（3）分兩種情況討論，作出輔助線，構(gòu)造矩形，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）①Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6∴AB=6∵∠DAE=∠BAC，∠AED=∠ACB=90°，∴△DAE∽△BAC，∴ADAB=DE∴DE=3；②∵△DAE∽△BAC，∴ADAB=DE∴DEAD的值不變，DEAD（2）分別過(guò)點(diǎn)C、D、F作則CI∥∵BC