清單16 相似三角形與實(shí)際問題（9種題型解讀）（含答案解析）

清單16相似三角形與實(shí)際問題（9種題型解讀）【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】【考試題型1】測量樹高問題1．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，某學(xué)生利用標(biāo)桿EC測量一棵大樹BD的高度，如果標(biāo)桿EC的高為2m，并測得BC=2m，CA=1m，那么樹DBA．4m B．6m C．8m【答案】B【分析】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)為：相似三角形的對應(yīng)邊成比例．先根據(jù)相似三角形的判定定理得出Rt△ACE∽R(shí)t△ABD【詳解】解：∵EC⊥AB，BD⊥AB，∴EC∥BD，∠ACE=∠ABD=90°，在Rt△ACE與Rt△ABD中，∠A=∠A，Rt△ACE∽R(shí)t△ABD，∴即2BD解得BD=6m故選：B2．（2023上·河北邢臺(tái)·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，淇淇同學(xué)在湖邊看到一棵樹，他目測出自己與樹的距離為20m，樹的頂端在水中的倒影距自己5m遠(yuǎn)，淇淇的身高為1.6mA．3.4m B．4.8m C．5.1m【答案】B【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，由入射光線和反射光線與鏡面的夾角相等，可得兩個(gè)相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：如圖所示，由題意可得：∠BCA=∠EDA=90°，∠BAC=∠EAD，故△ABC∽△AED，由相似三角形的性質(zhì)，設(shè)樹高x米，則20-55∴x=4.8．故選:B．3．（2023上·四川內(nèi)江·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，教學(xué)樓旁邊有一棵大樹，課外興趣小組的同學(xué)在陽光下測得一根長為1米的竹竿的影長為1.2米，同一時(shí)刻這棵樹落在地面上的影長為1.8米，落在墻上的影長為1.5米，則樹高為米．

【答案】3【分析】本題主要利用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求解，明確把影長分為兩部分計(jì)算，然后再求和就是樹的高度是解題的關(guān)鍵．先求出墻上的影高CD落在地面上時(shí)的長度，再設(shè)樹高為h，根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長成正比列出關(guān)系式求出h的值即可．【詳解】設(shè)墻上的影高CD落在地面上時(shí)的長度為xm，樹高為h

∵長為1米的竹竿的影長為1.2米，落在墻上的影長為1.5米，，∴11.2=經(jīng)檢驗(yàn)x=1.8是所列方程的根．∴樹的影長為：1.8+1.8=3.6(m∴11.2=答：樹高為3米．4．（2023上·福建三明·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下列材料，回答問題．任務(wù)：測量一棵樹的高度，該樹AB的底端可到達(dá)，頂部不可到達(dá)，如圖．工具：一把皮尺，自制的直角三角形紙板DEF．測量過程：小明站在點(diǎn)P處，調(diào)整自己的位置，使得三角尺DEF斜邊DF與地面平行，且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．小亮和小穎用皮尺測量EF=am，DE=bm，AP=cm，點(diǎn)D與點(diǎn)P之間的距離PD=dm．求樹高AB．(用含a，b，c，【答案】AB=【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用；先判定△DEF和△DBC相似，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BC的長，再加上PD即可得解．【詳解】解：依題意，四邊形DPAC是矩形，則DC=AP=cm在△DEF和△DBC中，∠EDF=∠CDB，∠DEF=∠DCB，∴△DEF∽△DCB，∴DEDC又∵EF=am，DE=bm，∴BC=EF?DCDE=ac∴AB=BC+AC=BC+PD=ac5．（2023上·湖南常德·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，王老師為測得學(xué)校操場上小樹CD的高，他站在教室里的A點(diǎn)處，恰好能看見小樹的整個(gè)樹冠HD．經(jīng)測量，窗口高EF=1.8m，HC=1.4m，A，C兩點(diǎn)在同一水平線上，A點(diǎn)距墻根G點(diǎn)1.6m，CG=4.8m，且A、G、C三點(diǎn)在同一直線上．請根據(jù)上面的信息，幫王老師計(jì)算出小樹CD的高．【答案】8.6米【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)相似三角形求得線段DH的長度即可求得樹高，解題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題整理出相似三角形的模型．【詳解】解：∵FG⊥AC，DC⊥AC，∴FG∥DC，∴△BEF∽△BHD，∴FEDH∵AG=1.6米，CG=4.8米，∴1.8DH解得：DH=7.2，∴小樹CD的高為DH+HC=7.2+1.4=8.6米．【考試題型2】測量旗桿高度1．（2021上·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）小明同學(xué)要測量學(xué)校旗桿AB的高度，他在某一時(shí)刻測得1米長的竹竿豎直放置時(shí)影長為0.8米，同時(shí)測量旗桿AB的影長時(shí)，由于影子不全落在地面上，他測得地面上的影長BC為6米，留在墻上的影高CD為3米，請利用以上信息，求旗桿AB的高度．【答案】旗桿的高度為10.5m．【分析】根據(jù)題意畫出幾何圖形，如圖，則CD=BE=3m，BC=DE=6m，利用在某一時(shí)刻測得1米長的竹竿豎直放置時(shí)影長為0.8米可計(jì)算出AE，然后計(jì)算AE+BE即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接AD，∴CD=BE=3m，BC=DE=6m，∵AEDE∴AE=60.8=7.5，∴AB=AE+BE=7.5+3=10.5答：旗桿的高度為10.5m．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長的比相等”的原理解決．2．（2021上·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）九年級(jí)（1）班課外活動(dòng)小組利用標(biāo)桿測量學(xué)校旗桿的高度，已知標(biāo)桿高度CD=3m，標(biāo)桿與旗桿的水平距離BD=12m，人的眼睛離地面的高度EF=1.6m，人與標(biāo)桿CD的水平距離DF=2m，求旗桿的高AB．【答案】旗桿的高AB為11.4m【分析】利用三角形相似中的比例關(guān)系，首先由題目和圖形可看出，求AB的長度分成了2個(gè)部分，AH和HB部分，其中HB=EF，剩下的問題就是求AH的長度，利用△CGE∽△AHE，得出CGAH=EGEH，把相關(guān)條件代入即可求得【詳解】解：過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G，則四邊形EFDG，EFBH均為矩形，∴EF=GD，EG=FD，EF=BH，EH=FB，∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB，∴△CGE∽△AHE，∴CGAH∴CD-EFAH即3-1.6AH解得AH=9.8，經(jīng)檢驗(yàn)，AH=9.8是上述分式方程的解，∴AB=9.8+1.6=11.4(m)，答：旗桿的高AB為11.4m．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)興趣小組測量校園內(nèi)旗桿的高度，有以下兩種方案：請你根據(jù)以下兩種方案，選擇其中一種方案，求出旗桿的高度．方案一：如圖1，小明在地面直立一根標(biāo)桿EF，沿著直線BF后退到點(diǎn)D，使眼睛C、標(biāo)桿的頂點(diǎn)E、旗桿的頂點(diǎn)A在同一直線上．測量：人與標(biāo)桿的距離DF=1m，人與旗桿的距離DB=16m，人的目高和標(biāo)桿的高度差EG=0.9m方案二：如圖2，小聰在某一時(shí)刻測得1米長的竹竿豎直放置時(shí)影長1.5米，在同時(shí)刻測量旗桿的影長時(shí)，因旗桿靠近一樓房，影子不全落在地面上，有一部分落在墻上，他測得落在地面上影長BD=21米，留在墻上的影高CD=2米．【答案】旗桿的高度為16米【分析】本題考查利用相似三角形測高，方案一：證△ECG∽△ACH可得AH的長度，根據(jù)方案二：連接AC并延長交BD于點(diǎn)E，由題意可得CDDE=11.5，故可求DE，進(jìn)而求出【詳解】解：方案一：由題意得，BH=CD=1.6m，CG=DF=1m又∵∠ECG＝∴△ECG∽∴CGCH=解得AH=14.4∴AB=AH+BH=14.4+1.6=16(m)答：旗桿的高度為16米．方案二：連接AC并延長交BD于點(diǎn)E，由題意得，CDDE=11.5解得DE=3．

∴BE=BD+DE=21+3=24（米）．

由題意知，∠ABE=∠CDE=90°，且∠E=∠E，∴△ABE∽∴ABCD=解得AB=16（米）答：旗桿的高度為16米．4．（2022上·陜西西安·九年級(jí)陜西師大附中?？计谥校┕馕廴臼抢^廢氣、廢水、廢渣和噪聲等污染之后的一種新的環(huán)境污染源，主要包括白亮污染、人工白晝污染和彩光污染，如圖，小明家正對面的高樓外墻上安裝著一幅巨型廣告宣傳牌AB，小明想要測量窗外的廣告宣傳牌AB的高度，他發(fā)現(xiàn)晚上家里熄燈后對面樓上的廣告宣傳牌從A處發(fā)出的光恰好從窗戶的最高點(diǎn)C處射進(jìn)房間落在地板上F處，從窗戶的最低點(diǎn)D處射進(jìn)房間向落在地板上E處（B、O、E、F在同一直線E），小明測得窗戶距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并測得OE＝1m，OF＝3m．請根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，求廣告宣傳牌AB的高度．【答案】AB的高度是10m．【分析】首先根據(jù)DO＝OE＝1m，可得∠DEB＝45°，然后證明AB＝BE，再證明△ABF∽△COF，可得ABBF=【詳解】解：∵DO⊥BF，∴∠DOE＝90°，∵OD＝1m，OE＝1m，∴∠DEB＝45°，∵AB⊥BF，∴∠BAE＝45°，∴AB＝BE，設(shè)AB＝EB＝xm，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO，∴△ABF∽△COF，∴ABBF即x解得：x＝10．經(jīng)檢驗(yàn)：x＝10是原方程的解．答：AB的高度是10m．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5．（2021上·江蘇無錫·九年級(jí)宜興市樹人中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）為了測量學(xué)校旗桿的高度AB，數(shù)學(xué)興趣小組帶著標(biāo)桿和皮尺來到操場進(jìn)行測量，測量方案如下：如圖，首先，小紅在C處放置一平面鏡，她從點(diǎn)C沿BC后退，當(dāng)退行1.8米到D處時(shí)，恰好在鏡子中看到旗桿頂點(diǎn)A的像，此時(shí)測得小紅眼睛到地面的距離ED為1.5米；然后，小明在F

處豎立了一根高1.6米的標(biāo)桿FG，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)H、標(biāo)桿頂點(diǎn)G和旗桿頂點(diǎn)A在一條直線上，此時(shí)測得FH為2.4米，DF為3.3米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，點(diǎn)B、C、D、F、H在一條直線上．（1）直接寫出ABBC=（2）請根據(jù)以上所測數(shù)據(jù)，計(jì)算學(xué)校旗桿AB的高度．【答案】（1）56；（2）學(xué)校旗桿AB的高度為25【分析】（1）根據(jù)已知條件推出△ABC∽△EDC，即可求解；（2）根據(jù)已知條件推出△HGF∽△HAB，即可求解．【詳解】解：（1）∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ECD=∠ACB，∴△ABC∽△EDC，∴ABBC∵CD=1.8米，ED=1.5米，∴ABBC=1.5故答案為：56（2）設(shè)AB=x，則BC=65∵∠ABH=∠GFH=90°，∠AHB=∠GHF，∴△HGF∽△HAB，∴ABGFBH=BC+CD+DF+FH=65x+1.8+3.3+2.4=1.2x+7.5，GF=1.6米，F(xiàn)H∴x1.6解得：x=25．答：學(xué)校旗桿AB的高度為25米．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長的比相等”的原理解決．6．（2023上·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小明和小王同學(xué)一起合作來測量某建筑物頂部旗桿的高．如圖所示，在某一時(shí)刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物OB的影長OC為16米，OA的影長OD為20米，小明的影長FG為2.4米，其中O、C、D、F、G五點(diǎn)在同一直線上，A、

(1)求旗桿AB的長度．(2)填空：本題將生活中一些無法直接測量物體高度的實(shí)際問題______成數(shù)學(xué)問題，利用______的知識(shí)給予解決．通過對此問題的解決方案的探究，滲透數(shù)學(xué)______的思想，從而提高了我們解決實(shí)際問題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)．(3)本題是利用什么方法來測量的，請?jiān)賹懗鰞蓚€(gè)曾在課本上學(xué)過的測量不能直接測量物體高度方法的名稱．【答案】(1)3米；(2)轉(zhuǎn)化，相似三角形，轉(zhuǎn)化；(3)本題是利用陽光下的影子來測量的，①測量塘的寬度；②測量山的長度．【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)BC∥GE，得到△BOC∽△EFG，求得BO=12，同理得到AO=15，即可得到【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：BC∥∴∠BCO=∠EGF，∵∠BOC=∠EFG=90°，∴△BOC∽△EFG，∴BOEF即BO1.8∴BO=12，同理可得AO=15，∴AB=A0-BO=15-12=3米，答：旗桿AB的長度為3米．（2）本題將生活中一些無法直接測量物體高度的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用相似三角形的知識(shí)給予解決．通過對此問題的解決方案的探究，滲透數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想，從而提高了我們解決實(shí)際問題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)．故答案為：轉(zhuǎn)化，相似三角形，轉(zhuǎn)化；（3）本題是利用陽光下的影子來測量的，①測量塘的寬度；②測量山的長度．【考試題型3】測量樓高問題1．（2023上·北京昌平·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，要測量樓高M(jìn)N，在距MN為15m的點(diǎn)B處豎立一根長為5.5m的直桿AB，恰好使得觀測點(diǎn)E，直桿頂點(diǎn)A和高樓頂點(diǎn)N在同一條直線上．若DB=5m，DE=1.5【答案】樓高M(jìn)N=17.5【分析】根據(jù)題意，AC⊥EF，NF⊥EF，利用相似三角形的性質(zhì)求出NF，可得結(jié)論．【詳解】∵AC⊥EF，NF⊥EF，∴△EAC∽△ENF，∴EC由題可知AB=5.5m，BM=CF=15m，DB=EC=5m∴AC=4m，EF=20∴520=∴MN=17.5m【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，構(gòu)造相似三角形建立模型解決問題，屬于中考常考題型．2．（2023上·福建莆田·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）學(xué)完了《圖形的相似》這一章后，某中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組決定利用所學(xué)知識(shí)去測量一古建筑AB的高度（如圖1)．如圖2，在地面BC上取E，G兩點(diǎn)，分別豎立兩根高為2m的標(biāo)桿EF和GH，兩標(biāo)桿間隔EG為27m，并且古建筑AB，標(biāo)桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿EF后退2m到D處，從D處觀察A點(diǎn)，A，F(xiàn)，D三點(diǎn)成一線；從標(biāo)桿GH后退4m到C處，從C處觀察A點(diǎn)，A，H【答案】該古建筑的高度為29米【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，設(shè)BE=xm，由題意可知兩組三角形相似，利用相似比找出關(guān)于x的方程，即可求出建筑物AB的高度．利用相似三角形的判定與性質(zhì)，列式求出BE【詳解】解：由題意可知，△ABD∽△FED，∴EF由題意可知，△ABC∽△HGC，∴GCBC∵EF=HG=2，∴EDBD設(shè)BE=xm∴22+x=4由EDBD=EFAB可得答：該古建筑的高度為29米．3．（2023·陜西西安·?？家荒＃┬埣易≡谝粭澘偢?2層的單元樓的3層，他們家對面有棟不知高度的商業(yè)寫字樓，在兩樓之間還有一間室內(nèi)體育館．小張站在自己家陽臺(tái)剛好只能看見寫字樓的頂端，他又上到樓頂發(fā)現(xiàn)又剛好只能看見寫字樓與自己家同高度以上的部分，此時(shí)他測得俯視角為45°．已知小張所住單元樓層高3米，他想要知道前面寫字樓的高度，于是他又去1樓測得單元樓距體育館的距離為20米，請你幫小張計(jì)算一下寫字樓的高度．（結(jié)果保留0.1米，地面為1層）思維方向：相關(guān)知識(shí)：相關(guān)方法：標(biāo)準(zhǔn)呈現(xiàn)：【答案】114.5米【分析】根據(jù)題意得到相關(guān)數(shù)據(jù)，根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)求出CH，DH，EH等相關(guān)線段，證明△CDH∽△BDE，得到DHDE=CH【詳解】思維方向：逆向思維；相關(guān)知識(shí)：相似三角形的判定和性質(zhì)相關(guān)方法：轉(zhuǎn)化標(biāo)準(zhǔn)呈現(xiàn)：解：由題意可得：∠EAG=45°，DM=3×3=9，F(xiàn)M=20，AM=22×3=66，∴AD=AM-DM=57，∵AM∥∴∠AED=∠EAG=45°，則∠AEB=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AD=DE=57，∵∠M=∠N=∠MDE=90°，∴四邊形DENM是矩形，∴EN=DM=9，DE=MN，同理：DM=HF=EN=9，DH=MF=20，∴FN=EH=DE-DH=37，∵CF⊥DE，∴△CEH是等腰直角三角形，∴CH=EH=37，∵CF∥∴△CDH∽△BDE，∴DHDE=CH∴BE≈105.5，∴寫字樓的高度為BE+EN=114.5米．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是弄清題干的數(shù)據(jù)與圖形的關(guān)聯(lián)，找到相似三角形．4．（2023上·陜西咸陽·九年級(jí)咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）承載著古老文明的咸陽鐘樓，為明清風(fēng)格建筑，塔狀三層正方形，樓體兩層三重檐，木質(zhì)結(jié)構(gòu)，琉璃瓦頂，巍然聳峙，雄偉壯觀．一天，小玲和平平帶著標(biāo)桿和皮尺來到咸陽鐘樓進(jìn)行測量，測量方案如下：如圖，首先，小玲在C處放置一平面鏡，她從點(diǎn)C沿QC后退，當(dāng)退行3米到達(dá)B處時(shí)，恰好在鏡子中看到鐘樓頂端P的像，此時(shí)測得小玲眼睛到地面的距離AB為1.5米；然后，平平在F處豎立了一根高3米的標(biāo)桿EF，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)M、標(biāo)桿頂點(diǎn)E和鐘樓頂端P在一條直線上，此時(shí)測得FM=4米，MC=18米，已知PQ⊥QB，AB⊥QB，EF⊥QB，點(diǎn)Q、F、M、C、B在一條直線上，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算咸陽鐘樓的高度PQ．【答案】咸陽鐘樓的高度PQ=27米【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，先證明△EMF∽△PMQ，得出QMPQ=FMEF=43，設(shè)PQ=3x，則QM=4x，QC=QM+CM=4x+18，證明△ABC∽△PQC【詳解】解：根據(jù)題干可知：AB=1.5米，F(xiàn)M=4米，EF=3米，MC=18米，CB=3米，∵PQ⊥QB，AB⊥QB，EF⊥QB，∴∠PQM=∠EFM=∠ABC=90°，∵∠EMF=∠PMQ，∴△EMF∽△PMQ，∴QMPQ∴設(shè)PQ=3x，則QM=4x，∴QC=QM+CM=4x+18，∵∠PQC=∠ABC=90°，∠ACQ=∠ACB，∴△ABC∽△PQC，∴PQAB即3x1.5解得：x=9，3×9=27（米），答：咸陽鐘樓的高度PQ=27米．5．（2023上·廣東茂名·九年級(jí)?？计谥校┚C合與實(shí)踐主題：利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)測量建筑物的高度．素材：平面鏡、標(biāo)桿、皮尺等測量工具．步驟1：如圖，站在B處，位于點(diǎn)B正前方3米點(diǎn)C處有一平面鏡，通過平面鏡剛好可以看到建筑物的頂端M的像，此時(shí)測得眼睛到地面的距離AB為1.5米；步驟2：在F處豎立了一根高2米的標(biāo)桿EF，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)D、標(biāo)桿頂點(diǎn)E和建筑物頂端M在一條直線上，此時(shí)測得DF為6米，CF為4米．猜想與計(jì)算：已知MN⊥ND，AB⊥ND，EF⊥ND，點(diǎn)N、C、B、F、D在同一條直線上，且點(diǎn)N、C之間存在障礙物，無法直接測量．(1)直接寫出平面鏡到建筑物的距離CN與建筑物高度MN之間的數(shù)量關(guān)系；(2)計(jì)算建筑物的高度MN（平面鏡大小忽略不計(jì)）．【答案】(1)CN=2MN(2)建筑物MN的高度為10米【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由題意得：∠ACB=∠MCN，證明△ACB∽△MCN，則ABMN=BCCN，即（2）設(shè)MN=x米，則CN=2x米，由DF=6，CF=4，EF=2，可得DN=10+2x，證明△DNM∽△DFE，則MNEF【詳解】（1）解：由題意得：∠ACB=∠MCN，∵M(jìn)N⊥ND，∴∠ABC=∠MNC=90°，∴△ACB∽△MCN，∴ABMN=BCCN，即∴CN=2MN；（2）解：設(shè)MN=x米，則CN=2x米，∵DF=6，CF=4，∴DN=DF+CF+CN=10+2x，∵M(jìn)N⊥ND，∴∠DNM=∠DFE=90°，∵∠MDN=∠EDF，∴△DNM∽△DFE，∴MNEF=DNDF，即答：建筑物MN的高度為10米．6．（2020上·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在甲、乙兩座樓中間有一堵院墻，小明站在甲樓某層窗口前，同時(shí)小光站在乙樓某層窗口前觀察這堵墻，小明、小光視線所及位置如圖①所示．根據(jù)實(shí)際情況畫出平面圖形如圖②（CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF），小明從點(diǎn)C可以看到點(diǎn)G處，小光從點(diǎn)E可以看到點(diǎn)D處，點(diǎn)B是DF的中點(diǎn)，院墻AB高5米，DF=100米，BG=10米，分別求小明、小光兩人的觀測點(diǎn)到地面的高度CD、EF．

【答案】小明、小光兩人的觀測點(diǎn)到地面的距離分別是30米、10米【分析】首先由題意可證得△ABG∽△CDG與△ADB∽△EDF，又由相似三角形的對應(yīng)邊成比例與點(diǎn)B是DF的中點(diǎn)，墻AB高5米，DF=100米，BG=10米，即可求得CD與EF的高，則可求得答案．【詳解】解：由題意可知∠ABG=∠CDG=90°．又∵∠AGD為公共角，∴△ABG∽△CDG．∴AB∵DF=100米，點(diǎn)B是DF的中點(diǎn)，∴BD=BF=50米，∵AB=5米，BG=10米，∴5∴CD=30（米）．∵∠ABD=∠EFD=90°,∠EDF為公共角，∴△ADB∽△EDF，∴AB∴EF=2AB=10（米），答：小明、小光兩人的觀測點(diǎn)到地面的距離分別是30米、10米．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題抽象出幾何知識(shí)，再由幾何知識(shí)解題，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【考試題型4】測量河寬問題2．（2023上·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為了測量平靜的河面的寬度，即EP的長，在離河岸D點(diǎn)3.2米遠(yuǎn)的B點(diǎn)，立一根長為1.6米的標(biāo)桿AB，在河對岸的岸邊有一根長為4.5米的電線桿MF，電線桿的頂端M在河里的倒影為點(diǎn)N，即PM=PN，兩岸均高出水平面0.75米，即DE=FP=0.75米，經(jīng)測量此時(shí)A、D、N三點(diǎn)在同一直線上，并且點(diǎn)M、F、

（1）過點(diǎn)B作BH⊥EP于H，則BH=米；設(shè)AN交EP于O點(diǎn)，則OH=米；（2）河寬EP=米．【答案】0.754.712【分析】延長AB交EP的反向延長線于點(diǎn)H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得OP，便可解決問題．【詳解】解：延長AB交EP的反向延長線于點(diǎn)H，

則四邊形BDEH是矩形，∴BH=DE=0.75米，BD∥∴AH=AB+BH=AB+DE=1.6+0.75=2.35（米），∵BD∥∴△ABD∽△AHO，∴BDHO∴3.2HO∴HO=4.7（米），∵PM=PN，MF=4.5米，F(xiàn)P=0.75米，∴PN=MF+FP=5.25米，∵AH⊥EP，PN⊥EP，∴AH∥∴△AHO∽△NPO，∴AHNP∴2.355.25∴PO=10.5米，∴PE=PO+OE=10.5+(4.7-3.2)=12（米），故答案為：0.75；4.7；12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造和證明三角形相似．2．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為了估算河的寬度，某校數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在河對岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B和C，使點(diǎn)A、B、C共線且直線AB與河垂直，接著在過點(diǎn)C且與AB垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)D，確定AD與過點(diǎn)B且垂直AC的直線b的交點(diǎn)E．已測得BC=12m，CD=16m，BE=10m【答案】20【分析】證明△ABE∽△ACD，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列式求解即可．【詳解】解∶由題意得∠ABE=∠ACD=90°，∴△ABE∽△ACD，∴ABAC即ABAB+BC∵BC=12m，CD=16m，∴ABAB+12∴AB×16=(AB+12)×10，解得AB=20(m)．答∶河寬大約為【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題，利用相似三角形的判定與性質(zhì)解決是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·湖北十堰·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，我們想要測量河兩岸相對應(yīng)兩點(diǎn)A、B之間的距離(即河寬)，先從B點(diǎn)出發(fā)與AB成90°角方向走50m到O處立一標(biāo)桿，然后方向不變，繼續(xù)向前走10m到C處，在C處轉(zhuǎn)90°，沿CD方向再走16m到達(dá)D處，使得A、O【答案】河寬為80米【分析】根據(jù)已知條件證明△AOB∽△DOC，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABO=∠DCO=90°，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴ABDC∵BO=50m，CO=10m，∴AB16∴AB=80m答：河寬為80米．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程求解．4．（2023下·云南昭通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為了測量一條兩岸平行的河流的寬度，三個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組設(shè)計(jì)了不同的方案，他們在河南岸的點(diǎn)B處測得河北岸的樹AB恰好在B的正北方向，測量方案如下表：課題測量河流寬度測量角度的儀器，標(biāo)桿，皮尺等工具小組第一小組第二小組第三小組測量方案觀測者從B點(diǎn)向東走到C點(diǎn)，此時(shí)測得點(diǎn)C恰好在東南方向上．觀測者從B點(diǎn)出發(fā)，沿著南偏西70°的方向走到點(diǎn)C，此時(shí)恰好測得∠ACB=35°．觀測者從B點(diǎn)向東走到O點(diǎn)，在O點(diǎn)插上一面標(biāo)桿，繼續(xù)向東走相同的路程到達(dá)C點(diǎn)后，一直向南走到點(diǎn)D，使得樹、標(biāo)桿、人在同一直線上．測量示意圖

(1)第一小組認(rèn)為要知道河寬AB，只需要知道線段______的長度．(2)第二小組測得BC=30米，則AB=______．(3)第三小組認(rèn)為只要測得CD就能得到河寬AB，你認(rèn)為第三小組的方案可行嗎?如果可行，請給出證明；如果不可行，請說明理由．【答案】(1)BC(2)30米(3)可行，理由見解析【分析】（1）由題意得△ABC為等腰直角三角形，即可解答；（2）由題意得△ABC為等腰三角形，即可解答；（3）由題意得△ABO≌△DCO，即可解答．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)C恰好在點(diǎn)A東南方向，∴△ABC為等腰直角三角形，∴要知道河寬AB，只需要知道線段BC的長度，故答案為：BC；（2）解：∵∠DBC=∠ACB+∠CAB，∴∠CAB=∠DBC-∠ACB=70°-35°=35°，∴∠ACB=∠CAB，∴AB=BC=30米，故答案為：30米；（3）解：可行，理由如下：在△ABO和△DCO中，∠C=∠B=90°BO=OC∴△ABO≌△DCOASA∴AB=CD，∴只要測得CD就能得到河寬AB，故第三小組的方案可行．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形、相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合思想．【考試題型5】杠桿問題1．（2023上·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期末）鐵道口欄桿的短臂長為0.8米，長臂長為8米，當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.4米時(shí)，長臂端點(diǎn)升高米．（桿的粗細(xì)忽略不計(jì)）．【答案】4【分析】如圖所示，由相似三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合題意可知△ABO∽△DCO，從而【詳解】解：如圖所示：∴∠ABO=90°=∠DCO，∠AOB=∠DOC，∴△ABO∽△DCO，∴ABOA=CD故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查利用相似三角形的判定與性質(zhì)解決實(shí)際問題，讀懂題意，準(zhǔn)確找到相似三角形列出相似比是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023·吉林白城·校聯(lián)考三模）如圖①是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時(shí)，杠桿繞著支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端會(huì)向上翹起，石頭就被翹動(dòng)了．在圖②中，杠桿的D端被向上翹起的距離BD=9cm，動(dòng)力臂OA與阻力臂OB滿足OA=3OB（AB與CD相交于點(diǎn)O），要把這塊石頭翹起，至少要將杠桿的C點(diǎn)向下壓cm

【答案】27【分析】首先根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得端點(diǎn)C向下壓的長度．【詳解】解：由題意得，AC∥∴△AOC∽△BOD，∴ACBD∵AO=3OB，∴ACBD∴AC=3BD=27cm∴至少要將杠桿的C點(diǎn)向下壓27cm故答案為：27．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，正確地構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）一根均勻的木棒OA所受重力G=10N，小亮以木棒的一端O為支點(diǎn)，豎直向上將木棒的另一端A緩慢拉到如圖所示的位置，保持不動(dòng)，此時(shí)拉力為F，若點(diǎn)B為OA的中點(diǎn)，AC，BD分別垂直地面于點(diǎn)C，D，則根據(jù)杠桿平衡原理得拉力F的大小為（

）A．5N B．10N C．15N D．20N【答案】A【分析】依據(jù)BD∥AC，B是AO的中點(diǎn)，即可得到D是OC的中點(diǎn)，再根據(jù)杠桿平衡原理，可得G×OD=F×OC，進(jìn)而得出拉力F的大?。驹斀狻拷猓骸連D⊥OC，AC⊥OC，∴BD∥AC，∴OBBA又∵B是AO的中點(diǎn)，即OB=BA，∴OD=DC，∴OD=12根據(jù)杠桿平衡原理，可得G×OD=F×OC，∴10×12OC=F×解得F=5(N)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，以及杠桿平衡原理，熟練掌握平行線分線段成比例定理并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．4．（2022上·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）圖1是小玉制作的簡易投石機(jī)的示意圖，GP是杠桿，點(diǎn)A為支點(diǎn)，AD=AC，支架AH垂直于地面BC，且AH=CD=2．如圖2，當(dāng)投石機(jī)準(zhǔn)備時(shí)，點(diǎn)G恰好與點(diǎn)B重合，且此時(shí)AG和A．4 B．25 C．6 D．210【分析】先求出CH及AC的長，再證明△ACH∽△BCA，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求解即可．【詳解】解：∵AD=AC∴CH=1∴AC=A∵∠BAC=90∴∠BAH+∠CAH=90°，又∠CAH+∠ACH=90°∴∠ACH=∠BAH∵∠ACH=∠BAH，∠AHC=∠AHB∴△ACH∽△GAH，∴AC∴5∴AG=25故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·江蘇泰州·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，在△ABC中，G是BC的中點(diǎn)，E是AG的中點(diǎn)，CE的延長線交AB于D，求AD

555555（1）解：過G作GF∥AB，交CD于F．請繼續(xù)完成解答過程：（2）創(chuàng)新求解：利用“杠桿平衡原理”解答本題：（如圖2）設(shè)G點(diǎn)為杠桿BC的支點(diǎn)，B端所掛物體質(zhì)量為1kg；則C端所掛物體質(zhì)量為1kg，G點(diǎn)承受質(zhì)量為2kg；當(dāng)E點(diǎn)為杠桿AG的支點(diǎn)，則A再以D為杠桿AB的支點(diǎn)時(shí)，AD：BD=1kg：2kg=1：2．應(yīng)用：如圖3，在△ABC中，G是BC上一點(diǎn)，E是AG上一點(diǎn)，CE的延長線交解：設(shè)G點(diǎn)為杠桿BC的支點(diǎn)，B端所掛物體質(zhì)量為6kg，則C端所掛物體質(zhì)量為kg，G點(diǎn)承受質(zhì)量為kg；當(dāng)E點(diǎn)為杠桿AG的支點(diǎn)，則A端所掛物體質(zhì)量為kg；再以D為杠桿AB的支點(diǎn)時(shí)，AD：【答案】（1）AD：BD=1：2；（2）4，10，【分析】（1）如圖1，過G作GF∥AB，交CD于F，得到△EFG∽△ADE，根據(jù)相似三角形的想知道的GFAD=EGAF，求得GF=AD，根據(jù)（2）根據(jù)題目中提供的解題思路和方法，結(jié)合（1）的結(jié)論即可得到答案．【詳解】解：（1）如圖1，過G作GF∥AB，交CD于F，∴△EFG∽△EDA，∴GFAD∵E是AG的中點(diǎn)，∴GFAD∴GF=AD，∵GF∥BD，∴△CGF∽△CBD，∴GFBD∵G是BC的中點(diǎn)，∴GFBD∴AD：

圖2（2）設(shè)G點(diǎn)為杠桿BC的支點(diǎn)，B端所掛物體質(zhì)量為6kg∵BGCG∴C端所掛物體質(zhì)量：B端所掛物體質(zhì)量=BG∴C端所掛物體質(zhì)量=4kg，G點(diǎn)承受質(zhì)量=C端所掛物體質(zhì)量+B端所掛物體質(zhì)量=10kg；當(dāng)E點(diǎn)為杠桿∵AEEG∴A端所掛物體質(zhì)量：G點(diǎn)承受質(zhì)量=1：∴A端所掛物體質(zhì)量=5kg以D為杠桿AB的支點(diǎn)時(shí)，AD：BD=B端所掛物體質(zhì)量：A端所掛物體質(zhì)量故答案為4，10，5，6：【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)生的閱讀理解能力，正確理解題意并能根據(jù)例子解決問題是解題的關(guān)鍵．【考試題型6】實(shí)驗(yàn)問題1．（2023·河北衡水·統(tǒng)考三模）在一次實(shí)驗(yàn)操作中，如圖①是一個(gè)長和寬均為3，高為8的長方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6；現(xiàn)將圖①容器向右傾倒，按圖②放置，發(fā)現(xiàn)此時(shí)水面恰好觸到容器口邊緣，則圖②中水面高度為（）

A．245 B．325 C．1234【答案】A【分析】設(shè)DE=x，則AD=8-x，由長方體容器內(nèi)水的體積得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，過點(diǎn)C作CF⊥BG于F，由ΔCDE∽【詳解】解：過點(diǎn)C作CF⊥BG于F，如圖所示：

設(shè)DE=x，則AD=8-x，根據(jù)題意得：12解得：x=4，∴DE=4，∵∠E=90°，由勾股定理得：CD=D∵∠BCE=∠DCF=90°，∴∠DCE=∠BCF，∵∠DEC=∠BFC=90°，∴Δ∴CECF即3CF∴CF=24故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、長方體的體積、梯形的面積的計(jì)算方法；熟練掌握勾股定理，由長方體容器內(nèi)水的體積得出方程是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023·陜西咸陽·?？级＃?jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)“小孔成像”的實(shí)驗(yàn)，闡釋了光的直線傳播原理，如圖（1）所示．如圖（2）所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中可簡化為數(shù)學(xué)問題：AC與BD交于點(diǎn)O,AB∥CD．若點(diǎn)O到AB的距離為10cm，點(diǎn)O到CD的距離為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度CD是6cm，則蠟燭火焰的高度AB是cm．

【答案】4【分析】先證明△ABO∽△CDO，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比得到ABCD【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO，∴△ABO∽△CDO，又∵點(diǎn)O到AB的距離為10cm，點(diǎn)O到CD的距離為15cm，∴ABCD∴AB=2故答案為：4【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟知“相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比”是解題的關(guān)鍵．3．（2023·陜西西安·校考一模）【學(xué)科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個(gè)平面內(nèi)，反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)：入射角i等于反射角r，這就是光的反射定律．【問題解決】如圖2，小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻，木板和平面鏡，手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)E到地面的高度DE=3.5m，點(diǎn)FE到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，木板到墻的水平距離為CD=4m．圖中A，B，C，【答案】燈泡到地面的高度AG為1.2m【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出BC的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程進(jìn)而求出AG的長．【詳解】解：由題意可得：FC∥DE，則△BFC∽△BED，∴BCBD即BCBC+4解得：BC=3，∵AC=5.4∴AB=5.4-3=2.4m，∵∴∠FBC=∠GBA，又∵∠FCB=∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴AGAB∴AG2.4解得：AG=1.2m答：燈泡到地面的高度AG為1.2m【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出相似三角形，列出比例式是解題關(guān)鍵．【考試題型7】九章算術(shù)問題1．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》中有一測井深的問題：今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四尺，問井深幾何？今譯為：如圖所示，有一口水井，井口直徑為5尺，現(xiàn)豎立一根5尺長的木桿在井口，視線DC交井口AB于點(diǎn)E，BE的長為4尺，則水面距井口距離為尺．【答案】5【分析】根據(jù)題意得到△ACE∽△BDE，然后利用相似三角形的性質(zhì)代入求解即可．【詳解】∵井口直徑為5尺，∴AB=5，∵BE=4，∴AE=1，∵豎立一根5尺長的木桿在井口，∴BD=5，∵AC∥BD，∴△ACE∽△BDE，∴ACBD∴AC5∴解得AC=5故答案為：54【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)和判斷．2．（2022·福建泉州·統(tǒng)考一模）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算法比類大全》有題如下：“方種芝麻斜種黍，勾股之田十畝無零數(shù)．九十股差方為界，勾差十步分明許．借問賢家如何取，多少黍田多少芝麻畝．算的二田無誤處，智能才華算中舉．”大意是：正方形田種芝麻，斜形（三角形）種黍，有一塊直角三角形ABC是10畝整．股差A(yù)D=90步，勾差BF=10步．請問黍田、芝麻各多少畝？（1畝=240平方步）答：（

）A．藝麻田3.75畝，黍田6.25畝 B．芝麻田3.25畝，黍田6.75畝C．芝麻田3.70畝，黍田6.30畝 D．芝麻田3.30畝，黍田6.70畝【答案】A【分析】首先判定△AED∽△EBF，然后利用該相似三角形的對應(yīng)邊成比例和DE=EF求得DE=30；然后利用三角形和正方形的面積公式解答．【詳解】解：根據(jù)題意知，△AED∽△EBF，則ADDE又∵DE=EF，∴DE=AD?FB所以，芝麻田的面積為：S芝麻=30×30÷240=3.75（畝黍田的面積為：S=12AD+DCCF+FB÷240-綜上所述，芝麻田3.75畝，黍田6.25畝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，解決此問題的關(guān)鍵是在正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．3．（2022上·遼寧阜新·九年級(jí)阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法如圖所示，在處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D觀察井水水岸C，視線DC與井口的直徑AB相交于點(diǎn)E，如果測得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么AC為（

）

A．7 B．7.4 C．8 D．9.2【答案】A【分析】根據(jù)8字模型相似三角形證明△BDE∽△ACE，利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵BD∥∴∠D=∠ACD，∠A=∠ABD，∴△BDE∽△ACE，∴BD∴1解得：AC=7，答：古井水面以上部分深度AC的長為7米，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握8字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022上·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有這樣一個(gè)問題：“今有邑方不知大小，各中開門，出北門一百步立一表，出西門二百二十五步適可見之，問邑方幾何?”它的意思是：如圖，M、N分別是正方形ABCD的邊AD、AB的中點(diǎn)，ME⊥AD，NF⊥AB，EF過點(diǎn)A，且ME=100步，NF=225步，那么該正方形城邑邊長ADA．300 B．260 C．225 D．185【答案】A【分析】由題意可知△AME∽△FNA，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得到FNAN=AMEM，設(shè)AD=2a，由M、N分別是正方形ABCD的邊AD、AB的中點(diǎn)可知【詳解】解：∵M(jìn)E⊥AD，NF⊥AB，∴∠FNA=∠AME=90°，∵正方形ABCD中，∠MAN=90°，EF過點(diǎn)A，∴FN∥AM，則∠F=∠EAM，∴△AME∽△FNA，∴FNAN∵M(jìn)、N分別是正方形ABCD的邊AD、∴AM=AN=a，∵M(jìn)E=100步，NF=225步，∴225a=a100，即∴正方形城邑邊長AD=2a=300步，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形解實(shí)際應(yīng)用題，讀懂題意，熟練應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．5．（2021上·北京大興·九年級(jí)期中）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個(gè)問題：“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而見木？”用今天的話說，大意是：如圖，DEFG是一座邊長為200步（“步”是古代的長度單位）的正方形小城，東門H位于GD的中點(diǎn)，南門K位于ED的中點(diǎn)，出東門15步的A處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木（即點(diǎn)D在直線AC上）．【答案】20003【分析】本題只需要證出△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性質(zhì)可以得到：CK100【詳解】解：由題意可知：DE=DG=200，AH＝15∵H為GD的中點(diǎn)，K為DE的中點(diǎn)DH＝100，DK＝100∵AH∥DK∴∠CDK＝∠A而∠CKD＝∠AHD∴△CDK∴CK即CK100∴CK=答：出南門20003步恰好看到位于A【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：本題需要把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出物體的高度．6．（2021下·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問題：“今有邑方不知大小，各開中門，出北門三十步有木，出西門七百五十步見木，同：邑方幾何？”其大意是：如圖，一座正方形城池，在各邊的中點(diǎn)開門．A為北門的中點(diǎn)，出北門往正北方向走30步（“步”為古代的長度單位），有一棵樹木（點(diǎn)B）．C為西門的中點(diǎn)，出西門往正西方向走750步到D處正好看到B處的樹木，問：正方形城池的邊長為多少步？請你用所學(xué)知識(shí)解決這個(gè)問題．【答案】正方形城池的邊長為300步【分析】根據(jù)題意可得∠BAE=∠ECD=90°，BA//EC，則可證明△BAE∽△ECD，

得到AE∶CD=BA∶EC，設(shè)正方形城池的邊長為x步，則x2【詳解】解：由題意知：∠BAE=∠ECD=90°，∴BA//EC,∴∠B=∠DEC，∴△BAE∽△ECD，

∴AE∶CD=BA∶EC，設(shè)正方形城池的邊長為x步，則x2解得，x1=300，x2=-300（舍去），所以正方形城池的邊長為300步，答：正方形城池的邊長為300步．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．7．（2022上·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，它以計(jì)算為中心，密切聯(lián)系實(shí)際，以解決人們生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題為目的，奠定了中國古代數(shù)學(xué)的基本框架．書中記載了這樣一個(gè)問題：“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？”意思是說：如圖，矩形城池ABCD，東邊城墻CD長9里，南邊城墻BC長7里，東門點(diǎn)E，南門點(diǎn)M分別位于CD，BC的中點(diǎn)，EF⊥CD，MH⊥BC，EF=15里，HF經(jīng)過C點(diǎn)，則MH的長為多少？【答案】MH的長為1.05里【分析】通過證明△MHC∽△ECF，利用相似比求出【詳解】∵點(diǎn)E，點(diǎn)M分別位于CD，BC的中點(diǎn)，∴CE=12CD=4.5∵EF⊥CD，MH⊥BC，∴∠HMC=∠CEF=90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∴∠HCM+∠ECF=90°，∵∠HCM+∠MHC=90°，∴∠MHC=∠ECF，∴△MHC∽∴MHEC∴MH4.5∴MH=1.05里．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求線段的長度．【考試題型8】三角形內(nèi)接矩形問題1．（2023下·江蘇淮安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，有一塊三角形土地，它的一條邊BC=100米，BC邊上的高AH=80米．某單位要沿著邊BC修一座底面是矩形DEFG的大樓，D、G分別在邊AB、AC上．且大樓的寬DE與長DG的比是1:2，求這個(gè)矩形的長DG．【答案】這個(gè)矩形的長DG=800【分析】設(shè)DE=x，則DG=2x，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵大樓的寬DE與長DG的比是1:2，∴設(shè)DE=x，則DG=2x，∵DG∥∴△ADG∽△ABC，它們的對應(yīng)高線比等于對應(yīng)線段的比，即AMAH∴80-x80∴x=400∴DG=2x=800∴這個(gè)矩形的長DG=800【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·河北邢臺(tái)·九年級(jí)?？计谥校垘煾涤幸粔K如△ABC的銳角三角形木料，其中BC=120mm，高AD=80mm，張師傅想把它加工成矩形零件PQMN，使一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上，PQ與AD交于點(diǎn)

(1)當(dāng)點(diǎn)P恰好為AB中點(diǎn)時(shí)，PQ=______；(2)當(dāng)四邊形PQMN為正方形時(shí)，求出這個(gè)零件的邊長；(3)若這個(gè)零件的邊PN:PQ=1:2．則這個(gè)零件的長、寬各是多少？【答案】(1)60(2)這個(gè)零件的邊長為48mm(3)矩形的長為4807mm，寬為【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．（1）根據(jù)PQ∥BC，得到（2）設(shè)正方形的邊長為amm，根據(jù)PQ∥BC，得到△APQ∽△ABC（3）設(shè)矩形的寬為x，則長為2x，然后根據(jù)相似三角形PQBC【詳解】（1）解：∵四邊形PQMN為矩形，∴PQ∥∴△APQ∽△ABC，∴PQBC=∵P為AB中點(diǎn)，∴APABPQ120∴PQ=60mm故答案為：60；（2）解：∵四邊形PQMN為正方形，∴PQ∥BC，設(shè)正方形的邊長為amm，則PQ=PN=HD=a∵PQ∥∴△APQ∽△ABC，∴PQBC=∴a120解得a=48，答：這個(gè)零件的邊長為48mm；（3）解：設(shè)矩形寬為xmm，則長為同理△APQ∽△ABC，∴PQBC∴2x120解得x=2407，故矩形的長為4807mm，寬為3．（2023上·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期中）汽車盲區(qū)是指駕駛員位于正常駕駛座位置時(shí)(如圖1)，其視線被車體遮擋而不能直接觀察到的那部分區(qū)域．預(yù)防進(jìn)入汽車盲區(qū)，能有效預(yù)防交通事故發(fā)生，提高學(xué)生避險(xiǎn)能力．小明在學(xué)習(xí)了交通安全知識(shí)后，對汽車盲區(qū)產(chǎn)生了興趣．如圖2，是他研究的一個(gè)汽車盲區(qū)的示意圖，EB為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點(diǎn)P處與地面BE的距離為1.5m，車寬AF=1.8m，車頭FACD近似看成一個(gè)矩形，且滿足3DF=2AF，求汽車盲區(qū)【答案】9【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，過點(diǎn)P作PN⊥EB于點(diǎn)N，交AF于點(diǎn)M，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PN⊥EB于點(diǎn)N，交AF于點(diǎn)M．∵3DF=2AF，AF=1.8m∴DF=1.2(m∵四邊形ACDF是矩形，∴∠FDC=90°，AF∥∴DF⊥DC，∵M(jìn)N⊥DC，∴DF=MN=1.2(m∵PN=1.5m∴PM=PN-MN=1.5-1.2=0.3(m∵AF∥∴△PAF∽△PBE，∴AF∴1.8∴EB=9(m4（2023上·湖南永州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AD是邊BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．作矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G，H分別在AC，AB上，AD與HG的交點(diǎn)為M，且矩形長HG是寬HE的2(1)求證：AMAD(2)試求矩形EFGH的周長．【答案】(1)見解析；(2)矩形EFGH的周長為72cm【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．（1）由矩形的性質(zhì)得HG∥EF，則可判斷（2）設(shè)HE=x，HG=2x，由（1）的結(jié)論得到30-x30=2x40，然后根據(jù)比例性質(zhì)可計(jì)算出【詳解】（1）證明：∵四邊形HEFG為矩形，∴HG∥而AD⊥BC，∴AM⊥BC，∴△AHG∽△ABC，∴AMAD（2）解：設(shè)HE=x，HG=2x，則30-x30=2x∴這個(gè)矩形EFGH的周長=2x+4x=6x=72cm【考試題型9】其它問題1．（2023上·山東青島·九年級(jí)萊西市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是一束平行的光線從教室窗戶射入教室的平面示意圖，測得光線與地面所成的角∠AMC=30°，窗戶的高在教室地面上的影長MN=23米，窗戶的下檐到教室地面的距離BC=1米（點(diǎn)M、N、C在同一直線上），則窗戶的高AB為（

A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)題意，AM∥BN，易證△NBC∽△MAC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵BN∥AM，∴∠AMC=∠BNC=30°，△NBC∽△MAC，又∵∠C=90°，BC=1米，∴BN=2米，∴CN=2∵△NBC∽△MAC，∴CN∴33解得：AC=3米，∴AB=AC-BC=2米．故選：D．2．（2023上·山西長治·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一張底邊長為20cm、底邊上的高為30cm的等腰三角形紙片，沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為4cm

A．第4張 B．第5張 C．第6張 D．第7張【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．設(shè)剪得正方形紙條是第x張，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得到AGAD=EF【詳解】解：字母標(biāo)注如圖，由題意可知，BC=20cm，AD=30cm，設(shè)剪得正方形紙條是第x張，∴AG=30-4x∵△AEF∽△ABC，∴AG∴30-4x解得：x=6，即剪得正方形紙條是第6張，故選：C．

3．（2023上·河北石家莊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）有一塊銳角三角形余料△ABC，邊BC為15cm，BC邊上的高為12cm，現(xiàn)要把它分割成若干個(gè)鄰邊長分別為5cm和2cm的小長方形零件，分割方式如圖所示（分割線的耗料不計(jì)），使最底層的小方形的長為

A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)題意，可得底層可以放置2個(gè)小長方形，根據(jù)頂層與△ABC的邊AB,AC交于點(diǎn)E,F，可得△AEF∽△ABC，由此可求出DH的值，可得共堆疊的層數(shù)，由此即可求解．【詳解】解：∵△ABC的底邊BC為15cm，最底層的小長方形的長為5cm的邊在∴底層可以放置2個(gè)小長方形，即15>10，如圖所示，頂層小長方形與△ABC的邊AB,AC交于點(diǎn)E,F，連接EF，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，交EF于點(diǎn)H，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，且EF=5cm，BC=15cm，∴相似比為EFBC∴AHAD=AH∴DH=AD-AH=12-4=8(cm∵小長方形零件的高為2cm∴8÷2=4，即可以疊四層，∴共有1+1+2+2=6個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形相似的判定和性質(zhì)，掌握其運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．4．（2022上·河南洛陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測距離的方法，步驟：第一步：水平舉起右臂，大拇指緊直向上，大臂與身體垂直；第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測物體在一條直線上；第三