熱學(xué)6,4-6 能量均分定理 理想氣體內(nèi)能

第六章氣體動(dòng)理論

第二篇熱學(xué)6-4能量均分定理理想氣體內(nèi)能6-5麥克斯韋氣體速率分布律氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的速率分布規(guī)律6-6分子平均碰撞次數(shù)和平均自由程

復(fù)習(xí)氣體動(dòng)理論的基本觀點(diǎn)理想氣體的微觀模型理想氣體壓強(qiáng)公式理想氣體的溫度6－4能量均分定理理想氣體內(nèi)能一、自由度定義：確定一個(gè)物體的空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目——自由度。質(zhì)點(diǎn)的自由度直線運(yùn)動(dòng)x

一個(gè)自由度i=1平面運(yùn)動(dòng)x,y

兩個(gè)自由度i=2空間運(yùn)動(dòng)x,y,z

三個(gè)自由度i=3自由剛體i=63個(gè)平動(dòng)3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)坐標(biāo)q決定剛體轉(zhuǎn)過(guò)的角度兩個(gè)獨(dú)立的a，b決定轉(zhuǎn)軸空間位置三個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)x,y,z決定轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)xyzOA(x,y,z)xyzabq剛性桿：x,y,z,α,βi=5剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：θi=1

分子的自由度單原子i=3自由質(zhì)點(diǎn)雙原子i=5剛性桿多原子i=6自由剛體說(shuō)明：一般來(lái)說(shuō)，n≥3個(gè)原子組成的分子，共有3n個(gè)自由度，其中3個(gè)平動(dòng)自由度，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，(3n-6)個(gè)振動(dòng)自由度。當(dāng)氣體處于低溫狀態(tài)時(shí)，可把分子視為剛體。A(x,y,z)xyzabq一、自由度

一個(gè)分子的平均平動(dòng)能為二、能量均分定理：結(jié)論：分子的每一個(gè)平動(dòng)自由度上具有相同的平均平動(dòng)動(dòng)能，都是kT/2，或者說(shuō)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能3kT/2是均勻地分配在分子的每一個(gè)自由度上平方項(xiàng)的平均值平動(dòng)自由度能量按自由度均分定理：說(shuō)明：是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，只適用于大量分子組成的系統(tǒng)。氣體分子無(wú)規(guī)則碰撞的結(jié)果。統(tǒng)計(jì)物理可給出嚴(yán)格證明。推廣：在溫度為T(mén)的平衡態(tài)下，分子的每一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度上也具有相同的平均動(dòng)能，大小也為kT/2。在溫度為T(mén)的平衡態(tài)下，氣體分子每個(gè)自由度的平均動(dòng)能都相等，都等于kT/2。這就是能量按自由度均分定理，簡(jiǎn)稱(chēng)能量均分定理。單原子分子i=3εk=3kT/2

雙原子分子i=5εk=5kT/2多原子分子i=6εk=6kT/2熱力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)能

氣體分子各種形態(tài)的動(dòng)能與勢(shì)能的總和。即系統(tǒng)所包含的全部分子的能量總和稱(chēng)為系統(tǒng)的內(nèi)能。三、理想氣體的內(nèi)能1、理想氣體的內(nèi)能：理想氣體內(nèi)能公式理想氣體內(nèi)能是分子平動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和

分子的自由度為i，則一個(gè)分子能量為ikT/2，1摩爾理想氣體，有個(gè)NA分子，內(nèi)能m/M摩爾理想氣體，內(nèi)能說(shuō)明：理想氣體的內(nèi)能與溫度和分子的自由度有關(guān)。內(nèi)能僅是溫度的函數(shù)，即E=E(T)，與P，V無(wú)關(guān)。狀態(tài)從T1→T2,不論經(jīng)過(guò)什么過(guò)程，內(nèi)能變化為三、理想氣體的內(nèi)能【例題6-5】當(dāng)溫度為00C時(shí)，求：（1）氧分子的平均平動(dòng)動(dòng)能與平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能；（2）4.0g氧氣的內(nèi)能。解：（1）氧氣分子是雙原子分子，平動(dòng)自由度為3，轉(zhuǎn)動(dòng)自由度為2，因而平均平動(dòng)動(dòng)能為

平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為（2）4.0g氧氣的內(nèi)能為1.理想氣體的壓強(qiáng)公式可理解為（

）是一個(gè)力學(xué)規(guī)律是一個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律僅是計(jì)算壓強(qiáng)的公式僅由實(shí)驗(yàn)得出ABCD提交單選題1分2.一個(gè)容器內(nèi)貯有1mol氫氣和1mol氦氣，若兩種氣體各自對(duì)器壁產(chǎn)生的壓強(qiáng)分別為p1和p2，則兩者的大小關(guān)系是：（

）p1>p2

p1<p2

p1＝p2不確定的ABCD提交單選題1分3.壓強(qiáng)為p、體積為V的氫氣（視為理想氣體）的內(nèi)能為（

）ABCD提交單選題1分6－5麥克斯韋氣體速率分布律引言：氣體分子處于無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)之中，由于碰撞，每個(gè)分子的速度都在不斷地改變，所以在某一時(shí)刻，對(duì)某個(gè)分子來(lái)說(shuō)，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整體而言，在一定條件下，分子的速率分布遵守一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律——?dú)怏w速率分布律。

氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律最早是有麥克斯韋于1859年在概率論的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的，1877年玻耳茲曼由經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)中導(dǎo)出，1920年斯特恩從實(shí)驗(yàn)中證實(shí)了麥克斯韋分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。麥克斯韋（JamesClerkMaxwell1831——1879)19世紀(jì)偉大的英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。經(jīng)典電磁理論的奠基人，氣體動(dòng)理論的創(chuàng)始人之一。他提出了有旋電場(chǎng)和位移電流概念，建立了經(jīng)典電磁理論，預(yù)言了以光速傳播的電磁波的存在。1873年，他的《電磁學(xué)通論》問(wèn)世，這是一本劃時(shí)代巨著，它與牛頓時(shí)代的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》并駕齊驅(qū)，它是人類(lèi)探索電磁規(guī)律的一個(gè)里程碑。在氣體動(dòng)理論方面，他還提出氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。顯示屏狹縫恒溫箱一、測(cè)定氣體分子速率的實(shí)驗(yàn)

當(dāng)圓盤(pán)以角速度

轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，只有滿(mǎn)足下列關(guān)系式的分子才能通過(guò)C的狹縫射到屏P上。

而其他速率的分子則將沉積在槽壁上，小孔充分小，改變角速度

，用光度學(xué)方法測(cè)量各次在膠片上所沉積的金屬層厚度，可得到分子射線在速率

區(qū)間

內(nèi)的分子數(shù)，即氣體分子按速率的分布。顯示屏狹縫恒溫箱Ov粒子速率分布實(shí)驗(yàn)曲線粒子速率分布實(shí)驗(yàn)曲線如下所示：相對(duì)粒子數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果1.分子數(shù)在總分子數(shù)中所占的比率與速率和速率間隔的大小有關(guān)；2.速率特別大和特別小的分子數(shù)的比率非常小；3.在某一速率附近的分子數(shù)的比率最大；4.改變氣體的種類(lèi)或氣體的溫度時(shí)，上述分布情況有所差別，但都具有上述特點(diǎn)。Ov相對(duì)粒子數(shù)二、麥克斯韋氣體分子速率分布律速率分布函數(shù)的定義：一定量的氣體分子總數(shù)為N，dN表示速率分布在某區(qū)間

v~v+dv內(nèi)的分子數(shù)，

dN/N表示分布在此區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。實(shí)驗(yàn)規(guī)律：dN/N

是

v

的函數(shù)；當(dāng)速率區(qū)間足夠小時(shí)（宏觀小，微觀大），dN/N還應(yīng)與區(qū)間大小成正比。1、速率分布函數(shù)速率分布函數(shù)物理意義：速率在

v附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率，或概率密度。表示速率分布在v→v+dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率表示速率分布在v1→v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率速率分布曲線歸一化條件2、麥克斯韋速率分布律在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時(shí)，分布在任一速率區(qū)間

v~v+dv的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為麥克斯韋速率分布函數(shù)m——分子的質(zhì)量T——熱力學(xué)溫度k——玻耳茲曼常量vPvv+dvv面積=dN/Nf(v)f(vP)曲線下面寬度為dv的小窄條面積等于分布在此速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率dN/N。定義：與f(v)極大值相對(duì)應(yīng)的速率，稱(chēng)為最概然速率。物理意義：若把整個(gè)速率范圍劃分為許多相等的小區(qū)間，則分布在vP所在區(qū)間的分子數(shù)比率最大。

vP的值：

三、三種統(tǒng)計(jì)速率1、最可幾速率2、平均速率定義：大量氣體分子速率的算術(shù)平均值叫做平均速率。計(jì)算：3、方均根速率定義：大量氣體分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。計(jì)算：4、討論vp

隨

T升高而增大，隨m增大而減小。三種速率的大小順序?yàn)槿N速率的意義討論速率分布時(shí)——用最概然速率討論分子碰撞時(shí)——用平均速率討論分子平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)——用方均根速率都含有統(tǒng)計(jì)的平均意義，反映大量分子作熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。m2m1T1T2【例題6-6】說(shuō)明下列各量的物理意義：——分布在速率v

附近v~v+dv速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)?！獑挝惑w積內(nèi)分子速率分布在速率v

附近v~v+dv速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。解：——分布在速率v

附近v~v+dv

速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。——分布在有限速率區(qū)間v1~v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。——分布在有限速率區(qū)間v1~v2內(nèi)的分子數(shù)?！植荚?～∞速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。（歸一化條件）——v2的平均值。6-5設(shè)N個(gè)粒子的系統(tǒng)的速率分布函數(shù)為：（1）畫(huà)出分布函數(shù)圖（2）用N和v0定出常量k（3）用v0表示出平均速率和方均根速率。1.關(guān)于麥克斯韋速率分布函數(shù)f(v)的適用條件,下列說(shuō)法中正確的說(shuō)法是[]f(v)適用于各種氣體f(v)只適用于理想氣體的各種狀態(tài)只要是理想氣體，f(v)就一定適用f(v)適用于理想氣體系統(tǒng)的平衡態(tài)ABCD提交單選題1分2.圖示兩條曲線分別表示在相同溫度下氧氣和氫氣分子的速率分布曲線；令和分別表示氧氣和氫氣的最概然速率，則（

）a表示氧氣分子的速率分布曲線,a表示氧氣分子的速率分布曲線,b表示氧氣分子的速率分布曲線,b表示氧氣分子的速率分布曲線,ABCD提交

單選題1分3.一定量的理想氣體貯于某一容器中，溫度為T(mén)，氣體分子的質(zhì)量為m0．根據(jù)理想氣體的分子模型和統(tǒng)計(jì)假設(shè)，分子速度在x方向的分量平方的平均值（

）ABCD提交單選題1分6-6

分子平均碰撞次數(shù)和平均自由程分子碰撞的引入：分子熱運(yùn)動(dòng)速率很大，平均速率可達(dá)幾百米/秒，而擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)卻進(jìn)行得很慢?？藙谛匏篂榱苏f(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，提出了分子碰撞次數(shù)與自由程的概念。分子碰撞的概念不僅解決了上述問(wèn)題，氣體動(dòng)理論在更加堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上向前推動(dòng)了一步。研究碰撞的意義：分子間通過(guò)碰撞，實(shí)現(xiàn)動(dòng)量與動(dòng)能的交換；分子間通過(guò)碰撞交換能量達(dá)到能量按自由度均分；分子間通過(guò)碰撞，由非平衡狀態(tài)向平衡狀態(tài)過(guò)渡；分子間通過(guò)碰撞交換速度，使速度分布達(dá)到穩(wěn)定。一、平均自由程和平均碰撞次數(shù)的定義2、平均碰撞頻率

在單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)分子與其它分子碰撞的平均次數(shù)，叫做分子的平均碰撞次數(shù)或平均碰撞頻率。3、二者關(guān)系1、平均自由程分子兩次相鄰碰撞之間自由通過(guò)的路程，叫做自由程；分子在連續(xù)兩次碰撞之間所經(jīng)過(guò)的路程的平均值叫做平均自由程。假設(shè)只有一個(gè)分子以平均速度運(yùn)動(dòng)，其余分子看成不動(dòng)。分子A的運(yùn)動(dòng)軌跡為一折線，以A的中心運(yùn)動(dòng)軌跡為軸線，以分子有效直徑d為半徑，作一曲折圓柱體。凡中心在此圓柱體內(nèi)的分子都會(huì)與A相碰。二、平均自由程和平均碰撞次數(shù)的計(jì)算1、分子碰撞模型

（1）分子可看作具有一定體積的剛球；（2）分子間的碰撞是彈性碰撞；（3）兩個(gè)分子質(zhì)心間最小距離的平均值認(rèn)為是剛球的直徑，稱(chēng)為分子的有效直徑，用d表示。2、平均碰撞次數(shù)A在t內(nèi)，A所走過(guò)的路程為，相應(yīng)圓柱體的體積為，設(shè)氣體分子數(shù)密度為n。則中心在此圓柱體內(nèi)的分子總數(shù)，亦即在t時(shí)間內(nèi)與A相碰的分子數(shù)為圓柱體的截面積為

=d2

，叫做分子的碰撞截面。平均碰撞次數(shù)修正：對(duì)于實(shí)際氣體，各個(gè)分子都在運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)速率服從麥克斯韋分布率，對(duì)上式加以修正后，得A3、平均自由程在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，多數(shù)氣體平均自由程

~10-8m，只有氫氣約為10-7m。一般d~10-10m，故

d?？汕蟮闷骄鲎泊螖?shù)~109/秒。平均自由程與平均速率無(wú)關(guān)，與分子有效直徑及分子數(shù)密度有關(guān)。P1.013×1051.33×1021.331.33×10-21.33×10-4

6×10-85×10-55×10-30.550

練習(xí)：容器內(nèi)盛有氮?dú)?，壓?qiáng)為10atm、溫度為27oC，氮分子的摩爾質(zhì)量為28g/mol,氮?dú)夥肿又睆綖?

10-10m。①.分子數(shù)密度；