中考數(shù)學壓軸題訓練 -二次函數(shù)一

備考2023年中考數(shù)學壓軸題訓練——二次函數(shù)（1）

一、真題

1.如圖1,灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線1的方向行駛，為綠化帶澆水.噴水口H離地豎直高

度為h（單位：m）.如圖2,可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物

線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG,其水平寬度DE=3m,豎直高度為EF的長.下

邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m,高

出噴水口0.5m,灌溉車到1的距離OD為d（單位：m）.

（1）若h=1.5,EF=0.5m；

①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；

②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；

③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求d的取值范圍；

（2）若EF=lm.要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，請直接寫出h的最小值.

2.如圖，二次函數(shù)y=々％2+6%+（:與％軸交于0（0,0）,A（4,0）兩點，頂點為C,連接OC、AC,

若點B是線段0/上一動點，連接BC,將ABC沿BC折疊后，點A落在點/的位置，線段A,C與％軸交

于點。，且點。與。、4點不重合.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)①求證：AOCDSAA'BD；

②求職的最小值；

(3)當SA0CD=8S/BD時，求直線與二次函數(shù)的交點橫坐標.

3.【發(fā)現(xiàn)問題】

小明在練習簿的橫線上取點。為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個間距

畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點的位置有一定的規(guī)律.

【提出問題】

小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點，所描的點都在某二次函數(shù)圖象上.

圖

1圖2

備用圖

(1)【分析問題】

小明利用已學知識和經(jīng)驗，以圓心。為原點，過點。的橫線所在直線為久軸，過點0且垂直于橫線

的直線為y軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標系，如圖2所示.當所描的點在

半徑為5的同心圓上時，其坐標為.

(2)【解決問題】

請幫助小明驗證他的猜想是否成立.

(3)【深度思考】

小明繼續(xù)思考：設點P(0,m)，巾為正整數(shù)，以OP為直徑畫。M,是否存在所描的點在0M

上.若存在，求小的值；若不存在，說明理由.

4.定義：函數(shù)圖象上到兩坐標軸的距離都不大于n(n20)的點叫做這個函數(shù)圖象的“n階方點”.例

如，點4)是函數(shù)y=》圖像的0階方點“；點(2,1)是函數(shù)y=|圖像的“2階方點”.

(1)在①(—2,-|);@(-1,-1)；@(1,1)三點中，是反比例函數(shù)y圖像的"1階方點”

的有(填序號)；

(2)若y關于x的一次函數(shù)y=ax-3a+1圖像的“2階方點”有且只有一個，求a的值；

(3)若y關于x的二次函數(shù)y=-(%-n)2-2n+1圖像的“n階方點”一定存在，請直接寫出n的

取值范圍.

5.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=12,點P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中

點，連接DE.過點E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點.連接DG,交PC于點H.

(1)NEDC的度數(shù)為；

(2)連接PG,求AAPG的面積的最大值；

(3)PE與DG存在怎樣的位置關系與數(shù)量關系？請說明理由；

(4)求黑的最大值.

6.如圖1,隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構成，矩形的一邊BC為12米，另一邊

AB為2米.以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy,

規(guī)定一個單位長度代表1米.E(0,8)是拋物線的頂點.

(1)求此拋物線對應的函數(shù)表達式；

(2)在隧道截面內(nèi)(含邊界)修建“E”型或型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點

Pl，P4在X軸上，MN與矩形PiP2P3P4的一邊平行且相等.柵欄總長1為圖中粗線段P』2,P2P3，

P3P4,MN長度之和.請解決以下問題：

(i)修建一個“E”型柵欄，如圖2,點P2,P3在拋物線AED上.設點P1的橫坐標為巾(0<

m<6),求柵欄總長1與m之間的函數(shù)表達式和1的最大值；

(ii)現(xiàn)修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的修建“E”型或“R”型柵型兩種設計方

案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形PiP2P3P4面積的最大值，及取最大值時點Pi的橫坐標的

取值范圍(Pi在P4右側)?

7.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=Q/+bx經(jīng)過A(4,0),B(1,4)兩點.P是拋物線

上一點，且在直線AB的上方.

(i)求拋物線的解析式；

(2)若4OAB面積是△PAB面積的2倍，求點P的坐標；

(3)如圖，OP交AB于點C,PD||8。交AB于點D.記△CDP,△CPB,△CBO的面積分別為

CC

另，S2,S3.判岷+岸否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

8.綜合與探究

如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)y=/+m久+n的圖象交點為A(-1,0),B(4,5).

(1)求拋物線的解析式;

(2)點C為拋物線對稱軸上一動點，當AC與BC的和最小時?，點C的坐標

為;

(3)點D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動點，過點D作DEJ_x軸，交線段AB于點E,

求線段DE長度的最大值；

(4)在(2)條件下，點M為y軸上一點，點F為直線AB上一點，點N為平面直角坐標系內(nèi)

一點，若以點C,M,F,N為頂點的四邊形是正方形，請直接寫出點N的坐標.

9.已知二次函數(shù)y=/+匕x+7n圖象的對稱軸為直線％=2.將二次函數(shù)y=/+/）%+圖象中y

軸左側部分沿x軸翻折，保留其他部分得到新的圖象C.

備用圖

（1）求b的值；

（2）①當徵<0時，圖象C與x軸交于點M,N（M在N的左側），與y軸交于點P.當△MNP

為直角三角形時，求m的值；

②在①的條件下，當圖象C中-4Sy<0時，結合圖象求x的取值范圍；

（3）已知兩點A（—1,-1）,B（5,-1），當線段與圖象C恰有兩個公共點時，直接寫出m

的取值范圍.

10.在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=a/+力經(jīng)過點火|,給，點

與y軸交于點C.

（1）求a,b的值；

（2）如圖1,點D在該拋物線上，點D的橫坐標為-2,過點D向y軸作垂線，垂足為點E.點

P為y軸負半軸上的一個動點，連接。P、設點P的縱坐標為t,ADEP的面積為S,求S關于t的函

數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）如圖2,在（2）的條件下，連接04,點F在。4上，過點F向y軸作垂線，垂足為點H,連

接DF交y軸于點G,點G為。尸的中點，過點A作y軸的平行線與過點P所作的x軸的平行線相交

于點N,連接CN,PB,延長P8交力N于點M,點R在PM上，連接RN,若3cp=5GE,"MN+

乙PDE=2乙CNR,求直線RN的解析式.

二、綜合題

11.如圖1,灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛，為綠化帶澆水.噴水口H離地豎直高

度為hm,如圖2,可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖

象，把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG.下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，上邊緣拋

物線最高點A離噴水口的水平距離為2m,高出噴水口0.5m,灌溉車到綠化帶的距離。。為dm.當

OH=1.5m,DE=3m,EF=0.5m時，解答下列問題：

(1)①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；

②求出點B的坐標；

(2)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，試求出d的取值范圍.

12.拋物線為=a(x—2)2+2與坐標軸的正半軸分別交于A,B兩點，其中4(0,1).

(1)如圖1,求拋物線的表達式，并求點B的橫坐標；

(2)如圖2,將拋物線均向左平移，使得平移后的拋物線丁2經(jīng)過點A,且點B的對應點為C,求

BC的長；

(3)如圖3,矩形。EFG的頂點D,G都在x軸上，E(d,多，且OG=2,把兩條拋物線為,y2

及線段BC圍成的封閉圖形的內(nèi)部記為區(qū)域M,要使矩形DEFG在區(qū)域M的內(nèi)部(包括邊界)，求d

的取值范圍.

13.如圖1,拋物線y=M—4x與x軸相交于原點O和點A,直線y=x與拋物線在第一象限的交點

為B點，拋物線的頂點為C點.

(1)求點B和點C的坐標；

(2)拋物線上是否存在點D,使得4D0B=N0BC?若存在，求出所有點D的坐標；若不存在，

請說明理由；

(3)如圖2,點E是點B關于拋物線對稱軸的對稱點，點F是直線0B下方的拋物線上的動點，

EF與直線0B交于點6.設48尸6和4BEG的面積分別為Si和S2，求g的最大值.

14.如圖1,在平面直角坐標系中，四邊形AOBC為矩形，BC=2H，ZBOC=60°,D為BC中點.某

(2)好奇的小明在探索一個新函數(shù).若點P為x軸上一點，過點P作x軸的垂線交直線AC于點

Q,交該反比例函數(shù)圖象于點R.若y'=PQ+PR,點P橫坐標為x.y'關于x的圖像如圖2,其中圖像最

低點F、G橫坐標分別為(/，或)、(-V2,-V2).

①求y'與x之間的函數(shù)關系式.

②寫出該函數(shù)的兩條性質.

(3)已知l<x<4

①若關于x的方程x2-4x-m=0有解，求m的取值范圍.小明思考過程如下：由x2-4x-m=0得

m=x2-4x,m是關于x的二次函數(shù)，根據(jù)x的范圍可以求出m的取值范圍.請你完成解題過程.

②若關于X的方程通/—m%+2通=0有解，請直接寫出m的取值范圍.

15.如圖，在平面直角坐標系中，直線BC的解析式為y=-x+6,直線BC交x軸和y軸分別于點

(2)點P是第二象限拋物線上的點，連接PB、PC,設點P的橫坐標為t,△PBC的面積為S.求

S與t的函數(shù)關系式(不要求寫出t的取值范圍)；

(3)在(2)的條件下，點D在線段08上，連接PD、CD,"DC=45。，點F在線段BC上，

EF1BC,FE的延長線交x軸于點G,交PD于點E,連接CE,若4GE。+40CE=180。，DC>

DE,SACDE=15,求點P的橫出標.

16.如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=。％2—86+8交*軸于人，B兩

(2)連接AC,點D是線段AC上的一個動點，過點D作。Elx軸于點E.在線段。8上截取8尸=

DE,過點F作尸G1X軸，交拋物線于點G,設點D的橫坐標為3點G的縱坐標為d,求d與t之

間的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量t的取值范圍)；

(3)在(2)的條件下，點H是AD的中點，連接EH,FH,CG,過點C作CKIIEH,交線段FH

于點K,連接GK,若FK=CD,求tan/CGK的值.

17.已知：在平面直角坐標系中，拋物線y=一點a/+嬰％—2遙的圖象交左軸于點4和點B(點4

/246

在點B的左側)，交y軸于點C,4(4,0).

(1)如圖1,求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點。在第四象限的拋物線上，過點。作久軸的平行線交拋物線于點E,連按QB并延長

交y軸于點F,若DE=8,求點F的坐標；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接BC,點P在4C間的拋物線上，連接BP,點Q在y軸上，

連接BQ和PQ,乙PBC="BC,BQ=2PB,BC與PQ交于點3連接FL,求直線FL的解折式.

18.已知：如圖，拋物線y=-/+故+c經(jīng)過原點0,它的對稱軸為直線％=2,動點P從拋物線的

頂點A出發(fā)，在對稱軸上以每秒1個單位的速度向下運動，設動點P運動的時間為t秒，連接0P并延長

交拋物線于點B,連接04AB.

(1)求拋物線解析式及頂點坐標；

(2)當三點4,0,B構成以為0B為斜邊的直角三角形時，求t的值；

(3)將沿直線PB折疊后，那么點4的對稱點為能否恰好落在坐標軸上？若能，請直接寫出

所有滿足條件的t的值；若不能，請說明理由.

19.如圖，已知拋物線y=a/+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a0)交x軸于4(1,0)、B(3,0)兩

點，交y軸于C(0,3),將該拋物線位于直線y=m為常數(shù)，m>0)下方的部分沿直線y=m翻

折，其余部分不變，得到的新圖像記為“圖像

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若m=0時，直線y=x+n與圖像W有三個交點，求n的值；

(3)若直線y=x與圖像W有四個交點，直接寫出m的取值范圍.

20.如圖，拋物線y=a/+bx+3(a力0)與x軸交于點A(-l,0),點B(3,0).與y軸交于點C.

(1)求拋物線的表達式：

(2)在對稱軸上找一點D,使AACO的周長最小，求點D的坐標；

(3)點P是拋物線對稱軸上的一點，點M是對稱軸右側拋物線上的一點，當APMS是以PB為腰

的等腰直角三角形時，請直接寫出所有點M的坐標.

21.如圖1,拋物線y=-/+kx+k+l(k21)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的頂點縱坐標的最小值；

(2)若k=2,點P為拋物線上一點，且在A、B兩點之間運動.

①是否存在點P使得Sep”=竽，若存在，求出點P坐標，若不存在，請說明理由；

②如圖2,連接ZP,BC相交于點M,當SAPMB-SMMC的值最大時，求直線BP的表達式.

22.在平面直角坐標系％0y中，已知拋物線丁=￡1/+"-75(￡1。0)經(jīng)過4(一1,0)、B(3,0)兩

點，交y軸于點C,頂點為E.過線段。8上動點F作CF的垂線交BC于點D,直線DE交y軸于點G.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若CG=CD,求線段OF的長；

(3)連接CE,求ACQE面積的最小值.

23.在平面直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線y=a/+2ax+c與％軸交于點A,B,與y軸交于

圖①

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖①，點P在y軸上，且點P在點C的下方，若NPDC=45。，求點P的坐標；

如圖②，E為線段CC上的動點，射線0E與線段AC交于點M,與拋物線交于點N,求耨的

最大值.

24.一張矩形紙片ABCD(如圖1),AB=6,AD=3.點E是BC邊上的一個動點，將△ABE沿直線

AE折疊得到AAEF,延長AE交直線CD于點G,直線AF與直線CD交于點Q.

【初步探究】

(1)求證：△AQG是等腰三角形;

(2)記FQ=m,當BE=2CE時，計算m的值;

(3)【深入探究】

將矩形紙片放入平面直角坐標系中(如圖2所示)，點B與點0重合，邊OC、0A分別與x軸、y

軸正半軸重合.點H在OC邊上，將4AOH沿直線AH折疊得到小APH.

①當AP經(jīng)過CD的中點N時，求點P的坐標；

②在①的條件下，已知二次函數(shù)y=-x?+bx+c的圖象經(jīng)過A、D兩點.若將直線AH右側的拋物線沿

AH對折，交y軸于點M,請求出AM的長度.

25.如圖，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點B(3,0),點C(0,3),D為拋物線的頂點.

(1)求拋物線的表達式；

(2)在拋物線的對稱軸上找一點Q,使NAQC=90。，求點Q的坐標；

(3)在坐標平面內(nèi)找一點P,使AOCD與ACBP相似，且/COD=/BCP,求出所有點P的坐

標.

答案解析部分

1.【答案】(1)解：①由題意可知點A(2,2)是上邊緣拋物線的頂點,

?,?設y=a(x-2)2+2,

???拋物線過點(0,1.5)

A4a+2=1.5

解之：Q=—*

???拋物線的解析式為y=-g夕一2)+2,，

當y=0時一/(x-2)+2=0

O

解之：xi=6,X2=-2(舍去)

二噴出水的最大射程OC為6m.

②?.?拋物線的對稱軸為直線x=2,

??.點(0,1.5)的對稱點為(4,1.5)

???下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4cm得到，

.?.點B(2,0)

③,.,EF=0.5,

.?.點F的縱坐標為0.5,

-12

當y=0.5時—(x-2)+2=0.5

O

解之：X1=2+2遮，=2-2百(舍去)，

當x>2時，y隨x的增大而減小，

二當2WxS6時，要使在0.5

??x<2+2A/3;

?.?當gxS2時，y隨x的增大而增大，且x=0時,y=1.5>0.5,

，當0<x<6時，要使y>0.5,則0<x<2+2遍，

?；DE=3,灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶,

Ad的最大值為2+2V3-3=2厲-1

在看下邊緣拋物線，噴出的說能澆灌到綠化帶底部的條件為OBWd,

Ad的最小值為2,

???d的取值范圍為2<d<2V3-1.

(2)解：當噴水口高度最低時，且恰好能澆灌到整個綠化帶時，點D,F恰好分別在兩條拋物線

上，

設點D(TH,—(JTI+2)2+/i+0.5),F(TH+3,-g(jn+3-2)2+/i+0.5)

—g(77i+3-2尸+/i+0.5—[—g(jn+2尸+九+0.5j=1

解之：m=2.5,

.?.點D的縱坐標為

小贄

解之：力=舒

Ah的最小值為

【解析】【分析】(1)①利用已知條件可知點A為上邊拋物線的頂點坐標，因此設y=a(x-2)2+2,

將點(0,1.5)代入函數(shù)解析式，可求出a的值，可得到拋物線的解析式；由y=()求出對應的x的

值，可得到噴出水的最大射程0C的長；②拋物線的對稱軸為直線x=2,可得到點(0,1.5)的對稱

點為(4,1.5),由此可得到下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4cm得到，即可得到點B的坐

標；③利用EF的長，可得到點F的縱坐標，將y=0.5代入函數(shù)解析式，可求出對應的x的值，利

用二次函數(shù)的性質可知當x>2時，y隨x的增大而減小，由此可得到當2WxW6時，要使在0.5時的

x的取值范圍及當0<x<6時，要使y>0.5的x的取值范圍；根據(jù)DE=3,可求出灌溉車行駛時噴出的

水能澆灌到整個綠化帶時的d的最大值；在看下邊緣拋物線，噴出的說能澆灌到綠化帶底部的條件

為0B?,可得到d的最小值，綜上所述可得到d的取值范圍.

(2)當噴水口高度最低時，且恰好能澆灌到整個綠化帶時，點D,F恰好分別在兩條拋物線上，利

用函數(shù)解析式設處點D,F的坐標，再根據(jù)EF=1,可得到關于m的方程，解方程求出m的值；再

求出點D的縱坐標，由此可得到關于h的值，可得到h的最小值.

2.【答案】(1)解：?.?二次函數(shù)y=；/+8%+(；與4軸交于0(0,0),A(4,0)兩點，

代入。(0,0),4(4,0)得，{8+4h+°=0)

解得：P=-2，

Ic=0

???二次函數(shù)的表達式為y=Jx2-2x;

(2)解：①證明：???}/=—2)2—2,

，頂點C的坐標是(2,-2),拋物線y=4/一2%的對稱軸為直線x=2,

?.,二次函數(shù)y=3/+8%+￡:與久軸交于。(0,0),4(4,0)兩點，

/.由拋物線的對稱性可知OC=AC,

.\ZCAB=ZCOD,

沿BC折疊后，點4落在點/的位置，線段/C與x軸交于點。，

/.△ABC會"BC,

.,.ZCAB=Z/,AB=4'B,

，NCOD=NA',

VZODC=ZBD/,

.*.△OCDABD；

(2)V△OCDFA'BD,

DB_DB_DC

??西=京=詼，

設點D的坐標為(d,0),

由兩點間距離公式得DC=J9_2)2+(0+2)2=J9_2)2+4,

?.?點。與0、4點不重合，

.\0<d<4,

對于DC?=(d-2)2+4來說,

?；a=l>0,

???拋物線開口向上，在頂點處取最小值，當d=2時，DC?的最小值是4,

.?.當d=2時，DC有最小值為"=2,

由兩點間距離公式得OC=J(2-0)2+(一2-=2魚，

.嚼有最小值為泰=冬

.?彩的最小值為冬

(3)解：,「SAOCD=8S/BD，

.S2ocD_o

??S-；——8,

△4BD

VAOCDSAA'BD,

???華=屈=2遮,

AB

VOC=2V2,

.,./B=AB=I,

.?.點B的坐標是(3,0),

設直線BC的解析式為丫=上傳十瓦，

把點B(3.0),C(2,-2)代入得/上&=°，

(2七+%=—/

直線BC的解析式為y=2x-6,

設點4的坐標是(p,q),

???線段/A的中點為(空，3)，

由折疊的性質知點(結士野在直線BC上,

.?g=2x華—6,

4Z

解得q=2p—4,

(P-3)2+(q—0)2=、(p-3T+(2p.4)2=1，

整理得(p-3)24-(2p-4￥=1,

解得p=2或P=￥，

當p=2時，q=2p-4=0,此時點/(2,0),很顯然不符合題意,

當p=?時，q=2p—4=g,此時點/(牛符合題意，

設直線才8的解析式為y=k2x+b2，

3k2+勿=0

把點(等,代入得,

B(3,0),/1)12,——4,

5心+比=5

解得產(chǎn)=一。

.匕2=4

二直線a,B的解析式為y=-$+4,

聯(lián)立直線和拋物線y=|x2-2%得至U,

2+2719

直線/B與二次函數(shù)的交點橫坐標為互答或匕答.

【解析】【分析】⑴將O（0,0）、A（4,0）代入y=#+bx+c中求出b、C的值，據(jù)此可得二次函

數(shù)的表達式；

（2）①根據(jù)二次函數(shù)的表達式可得頂點C的坐標為（2,-2）,對稱軸為直線x=2,根據(jù)拋物線的對

稱性可得OC=AC,由等腰三角形的性質可得/CAB=NCOD,根據(jù)折疊的性質可得

△ABC^AA^C,則/CAB=NA\AB=A,B,推出/COD=/A，，根據(jù)對頂角的性質可得/ODC

=ZBDA',然后根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似進行證明；

②設D（d,0）,根據(jù)兩點間距離公式表示出DC,根據(jù)點D與0、A不重合可得0<d<4,利用

二次函數(shù)的性質可得CD的最小值，利用兩點間距離公式求出OC,然后根據(jù)相似三角形的性質進行

計算；

（3）根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可得AB,據(jù)此可得點B的坐標，利用待定系數(shù)法

求出直線BC的解析式，設A，（p,q）,表示出A，A的中點坐標，代入直線BC的解析式中可得

q=2p-4,利用兩點間距離公式可得AB,據(jù)此求出p的值，進而可得點A，的坐標，利用待定系數(shù)法

求出直線AB的解析式，聯(lián)立拋物線解析式求出x、y,據(jù)此可得交點的橫坐標.

3.【答案】（1）（-3,4）或（3,4）

（2）解：小明的猜想成立.

解法1：如圖，設半徑為n的圓與直線y=n—1的交點為P（x,n-1）.

因為OP=幾，所以％2+（九—1）2二n2,即％2=2幾—1,

所以n=^x2+/，

所以丁=幾―1=//一±±，小明的猜想成立.

解法2：設半徑為n的圓與直線y=n—1交點為P(x,n-1)，

因為OP=n,所以％2+(九—i)2=話，解得％=土耳2-一1,所以P(±，2n—1,n—1).

(x=±V2n-l.，消去九，得獨—1

???點在拋物線y=；/—3上，小明的猜想成立.

(3)解：存在所描的點在。M上，理由：

如圖，設所描的點N(±V2n-1,71-1)在。用上，

則MO=MN,因為M(0,j),

所以置T=(±V2n-I)2+(n-1-y)2,

整理得m=￡九2—1+1n+l+尚，

n—1n—1

因為TH,71都是正整數(shù),

所以只有n=2,m=4滿足要求.

因此，存在唯一滿足要求的m,其值是4.

【解析］【解答】解：(1)如圖，04=08=0。=5,0C=4,0CJ.AB,

'-AC=BC=V52-42=3,

二做一3,4),B(3,4),

故答案為：(—3,4)或(3,4):

【分析】(1)畫出示意圖，由題意可得0A=0B=0D=5,0C=4,OCJ_AB,根據(jù)勾股定理可得

AC=BC=3,據(jù)此可得點A、B的坐標；

(2)解法1：設半徑為n的圓與直線y=n-l的交點為P(x,n-1),根據(jù)OP=n可得x2=2n-l,表示出

n,據(jù)此證明；

解法2：設半徑為n的圓與直線y=n-l交點為P(x,n-1),根據(jù)OP=n可得x2+(n-l)2=n2,求出x,表

示出點P,據(jù)此證明；

(3)設所描的點N(土揚E，n-1)在。M上，則MO=MN,根據(jù)兩點間距離公式得m=n+l+工

71—1

根據(jù)m、n都是正整數(shù)可得m、n的取值，據(jù)此解答.

4.【答案】(1)②③

(2)解：Vy=ax-3a+l=a(x-3)+1,

二函數(shù)經(jīng)過定點(3,1),

在以。為中心，邊長為4的正方形ABCD中，當直線與正方形區(qū)域只有唯一交點時「圖象的“2階

方點''有且只有一個，

由圖可知,C(2,-2),D(2,2),

?.?一次函數(shù)y=ax-3a+l圖象的“2階方點”有且只有一個，

當直線經(jīng)過點C時，

2a-3a+l=-2

解之：a=3,

.?.a=3時此時圖象的“2階方點”有且只有一個；

當直線經(jīng)過點D時，

2a-3a+l=2

解之:a=-l

.,.a=-l,此時圖象的“2階方點”有且只有一個，

.??a的值為3或-1.

(3)解：在以。為中心，邊長為2n的正方形ABCD中，當拋物線與正方形區(qū)域有公共部分時，二

次函數(shù)y=-(x-n)2-2n+l圖象的“n階方點”一定存在，

C(-n,-n),D(-n,n),

當拋物線經(jīng)過點D時,

n=(-n-n)2-2n+l

1

解之：ni=T(舍),=4；

當拋物線經(jīng)過點B時,

-n=(n-n)2-2n+l

解之：n=l；

.,.1<n<l時，二次函數(shù)y=-(x-n)2-2n+l圖象有“n階方點”；

綜上所述：1<n<l時，二次函數(shù)y=-(x-n)2-2n+l圖象的“n階方點”一定存在.

【解析】【解答】解：⑴解：①(-2,-1)到兩坐標軸的距離分別是2和米1<1A

(-2,-J)不是反比例函數(shù)y=［圖象的“1階方點”；②(T,-1)到兩坐標軸的距離分別是1和

1,1<1A(-1,-1)是反比例函數(shù)y=］圖象的"1階方點”；③(1,1)到兩坐標軸的距

離分別是1和1,1<1,二(1,1)是反比例函數(shù)y=［圖象的“1階方點”；故答案為：

②③.

【分析】(1)利用點的坐標，分別由三個點的坐標可得到它們分別到兩坐標軸的距離，再利用“1階

方點”的定義進行判斷，可得答案.

(2)將函數(shù)解析式轉化為y=a(X-3)+1,可知此函數(shù)一定經(jīng)過(3,1)；在以O為中心，邊長為4

的正方形ABCD中，當直線與正方形區(qū)域只有唯一交點時，圖象的“2階方點”有且只有一個，利用

函數(shù)圖象可得到點C,D的坐標；再根據(jù)一次函數(shù)丫=2*-32+1圖象的“2階方點”有且只有一個，分

別求出當此直線經(jīng)過點C和點D時的a的值，即可求解.

(3)在以O為中心，邊長為2n的正方形ABCD中，當拋物線與正方形區(qū)域有公共部分時，二次函

數(shù)y=-(x-n)2-2n+l圖象的“n階方點”一定存在，當n>0時，利用正方形的性質，可表示出點

A,B,C,D的坐標；再分別求出當拋物線經(jīng)過點D,B時的n的值，即可得到二次函數(shù)y=-

(x-n)2-2n+l圖象有“n階方點”時的n的取值范圍.

5.【答案】(1)45°

(2)解：如圖：連接PG

VZEDC=ZACB=45°,GF±DC

???△EDF和^GFC是等腰直角三角形

??.DF=EF哼DE，GF=CF咚CG，

設AP=x,則BP=12-x,BP=12-x=2DE

12—x

DE=U聲EF=

2/2

VRtAAPC,

?''PC^AP2+AC2=JN+144

.?.CE=#%2+144

VRtAEFC

.\FC=FG=V2_+144:一(壽「=j(x?2)2l|^

CEEF2==

.,.CG=V2CF=1^

/.AG=12-CG=l

22

,e.APG=1An?112—x12x—x—(x-6)+36

,?AS―24P-AG=-2x--2-=————=?！?----

所以當x=6時，SAAPG有最大值9.

(3)解：DG=PE,DG±PE,理由如下：

：DF=EF,ZCFE=ZGFD,GF=CF

/.△GFD0△CFE(SAS)

二DG=CE

：E是PC的中點

，PE=CE

，PE=DG；

VAGFD^ACFE

Z.ZECF=ZDGF

,?ZCEF=ZPEG

.\ZGHE=ZEFC=90°,即DG_LPE.

(4)解：VAGFD^ACFE

，NCEF=NCDH

又：/ECF=/DCH

CEF^ACDH

.,.奇=嘉，HPCECH=CFCF

.CH_CFCD

'-CE~~EF~

：FC=^等，CE=#N+144,CD=lfiC=7122+122=6V2

.CH一籌6江.x+i2-12

(某G)計12+由24

」+丁+

<12_12_1_22_1

-2/288-24-2472-24-25/2-2--2

...器的最大值為竽.

【解析】【解答］解：(1)?在AABC中,ZBAC=90°,AB=AC=12

,NB=NACB=45°

；D、E分別為BC、PC的中點

，DE〃BP,DE=4BP

.-.ZEDC=ZB=45°.

故答案為：45°；

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質可得NB=NACB=45。，由題意可得DE為△BCP的中位

線，則DE〃BP,DE=|BP,然后根據(jù)平行線的性質進行解答；

(2)連接PG,易得△EDF和△GFC是等腰直角三角形，則DF=EF=￥DE,GF=CF=^CG,設

AP=x,則BP=12-x,BP=12-x=2DE,表示出DE、EF,由勾股定理可得PC、FC,然后表示出CE、

CG、AG,根據(jù)三角形的面積公式可得SAAPG,再利用二次函數(shù)的性質進行解答；

(3)易證△GFDgZ^CFE,得到DG=CE,根據(jù)中點的概念可得PE=CE,則PE=DG,根據(jù)全等三角

形的性質可得NECF=NDGF,推出NGHE=/EFC=90。，據(jù)此解答；

(4)根據(jù)全等三角形的性質可得NCEF=NCDH,證明△CEFsaCDH,根據(jù)相似三角形的性質可

得器，然后結合不等式的性質進行解答.

6.【答案】(1)解：由題意可得：A(-6,2),D(6,2),

又..任(0,8)是拋物線的頂點，

設拋物線對應的函數(shù)表達式為丫=2*2+8,將A(-6,2)代入，

(—6)?a+8=2,

解得：a=-l,

6

...拋物線對應的函數(shù)表達式為y=-1x2+8；

O

(2)解：(i)?.?點Pi的橫坐標為m(0<m<6),且四邊形PP2P3P4為矩形，點P2,P3在拋物線

AED上，

.?.P2的坐標為(m,-Jm2+8),

6

；.P|P2=P3P4=MN=:m2+8,P2P3=2m,

6

22

.?.1=3(_lm2+8)+2m=-im+2m+24=-i(m-2)+26,

6LL

V-1<0,

.?.當m=2時，1有最大值為26,

即柵欄總長1與m之間的函數(shù)表達式為l=—}n2+2m+24,1的最大值為26；

(ii)方案一：設P2>=n,則P2P3=18—3n,

二矩形PiP2P3P4面積為(18-3n)n=-3n2+18n=-3(n-3)2+27,

V-3<0,

.?.當n=3時，矩形面積有最大值為27,

此時P2Pl=3,P2P3=9,

令一4+8=3,

o

解得：x=±，30,

此時Pi的橫坐標的取值范圍為-同+9WPi橫坐標W顧，

方案二：設P2Pi=n,則P2P3=9—n,

工矩形P1P2P3P4面積為(9-n)n=-n2+9n=-(n-|)2+導，

V-l<0,

...當n=|時，矩形面積有最大值為學，

此時P2Pl=4,P2P3=|，

令-宗+8=募，

oZ

解得：x=+V21，

...此時Pi的橫坐標的取值范圍為-VH+軀Pi橫坐標

【解析】【分析】(1)通過分析A點坐標，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可;

(2)(i)結合矩形性質分析得出P2的坐標為(m,-|m2+8),然后列出函數(shù)關系式，利用二次

函數(shù)的性質分析最值；

(ii)設P2Pl=n,則P2P3=18—3n,分別表示出方案一和方案二的矩形面積，利用二次函數(shù)的性質

分析最值，從而利用數(shù)形結合思想確定取值范圍即可。

7.【答案】(1)解：將A(4,0),B(1,4)RAy=ax2+bx,

俎/16Q+4b=0

/a+b=49

解得卜=_4

-

(b=16

T

所以拋物線的解析式為y=一#+竽X

(2)解：設直線AB的解析式為y=kx+t(k*0),

將A(4,0),B(1,4)代入y=kx+t,

4-1=0

+t=4

k=

解得~l

所以直線AB的解析式為y=一江+學

過點P作PMLx軸，垂足為M,PM交AB于點N.

過點B作BELPM,垂足為E.

所以=S^PNB+

=^PNxBE+^PNxAM

1

=7ZPNx(BE+AM)

乙

3

|p/v.

因為A(4,0),B(1,4),所以SAOAB=：X4X4=8.

因為△OAB的面積是^PAB面積的2倍，

QO

所以2x1PN=8,PN=|.

設P(m,—+竽7n)(iv租<4),則N(m,—4-^).

所以PN=(-^m2+學m)—(—4-學)=*

解得mi=2,m2=3.

所以點P的坐標為（2,給或（3,4）.

(3)解：???PD||BO

???△OBCPDC

CD_PD^_P￡

'~BC^OB^OC

記△CDP,△CPB?△CBO的面積分別為Si,S2，S3.則“+/

如圖，過點B,P分別作x軸的垂線，垂足分別F,E，PE交AB于點Q,過。作x的平行線，交PE于點G

Ax

4),

???F(l,0)

???OF=1

??.PD||OB,DG||OF

??.△DPGOBF

PD^_PG__DG_

??t?麗=麗=而，

設P(m,—^m24-學/n)(l<m<4)

???直線AB的解析式為y=—江+學

設￡)(九，一號九+則G(?n,一1九+

4

-2+136m416

PG3+n

43'

-2

3(m—4172—n+4)

DG=m—n

2

*(m-4m-n+4)m-n

24=-I-

整理得4九=m2-m+4

SiS2_CDPC_2PD

''S^+S；=ZBC+OC^~OB~

DG

=20F

=2(m—n)

m2—m4-4

=2(m—4)

1,

=—7y(mz-5m+4)

1529

=-2(m-2)+8

...租=|時，§取得最大值，最大值為總

【解析】【分析】(1)將A(4,()),B(1,4)代入y=ax?+bx中進行計算可得a、b的值，據(jù)此可得

拋物線的解析式;

(2)利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，過點P作PMJ_x軸，垂足為M,PM交AB于點N,

過點B作BEJ_PM,垂足為E,則根據(jù)三角形的面積公式可得SAPAB=SAPNB+SAPNA=|PN,根據(jù)點

A、B的坐標結合三角形的面積公式可得SAOAB=8,根據(jù)AOAB的面積是APAB面積的2倍可得PN

的值，設P（m,—*婚+竽m）,則N（m,-扣+竽），表示出PN,結合PN的值可得m的值，進而

可得點P的坐標；

（3）易證△OBCs/\PDC,根據(jù)相似三角形的性質可得餐=器=器，記ACDP,ACPB,△CBO

的面積分別為Si,S2,S3,則￥+/=1§+差=翳過點B、P分別作x軸的垂線，垂足分別

F、E,PE交AB于點Q,過D作x的平行線，交PE于點G,證明△DPGsaOBF,設P（m,

一扣2+竽m）,D（n,一如竽）,G（m,-如竽），表示出PG、DG,根據(jù)相似三角形的對應邊長

比例可得4n=m2-m+4,則知+=辨=2器，代入并結合二次函數(shù)的性質進行解答即可.

8.【答案】（1）解：將A（-1,0）,B（4,5）代入y=/+巾》+般得，「：：7+）—,

,116+4m+n=5

解這個方程組得［;二;，

?,?拋物線的解析式為：y=x2-2x-3；

（2）（1,2）

（3）解：如圖，由（2）知直線AB的解析式為y=x+l

設。(d,d2-2d-3)，則E(d,d+1)，

則DE=(d+1)-(d2-2d-3)=-d2+3d+4(-1<d<4),

當d=|時，DE有最大值為冬，

（4）解：如圖，???直線AB的解析式為：y=x+l,

直線與y軸的交點為D(0,1),OD=1

0),OA=1

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