廣西壯族自治區(qū)柳州市2025屆新高三摸底考試 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

【新結(jié)構(gòu)】廣西壯族自治區(qū)柳州市2025屆新高三摸底考試數(shù)學(xué)試卷?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，，則(

)A. B. C. D.2.設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，，則(

)A. B.5 C. D.83.在等差數(shù)列中，若，則(

)A.7 B.12 C.16 D.244.雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)到漸近線的距離為(

)A. B.4 C. D.5.已知向量與的夾角為，且，，則(

)A. B. C.4 D.26.的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為(

)A.70 B.56 C.28 D.87.有4名醫(yī)學(xué)畢業(yè)生到甲、乙、丙三所學(xué)校去應(yīng)聘校醫(yī)工作，若每人至多被一所學(xué)校錄用，每所學(xué)校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數(shù)為(

)A.40種 B.60種 C.80種 D.120種8.已知三棱錐的體積是，A，B，C是球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，，，則球O的表面積為(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知隨機(jī)事件A，B發(fā)生的概率分別為，，下列說(shuō)法正確的是(

)A.若，則A，B相互獨(dú)立 B.若A，B互斥，則A，B不相互獨(dú)立

C.若，則 D.若，則10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，令，則下列說(shuō)法正確的有(

)

A.的一個(gè)對(duì)稱中心

B.的對(duì)稱軸方程為

C.在上的值域?yàn)?/p>

D.的單調(diào)遞減區(qū)間為11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，若，則(

)A. B.

C.為減函數(shù) D.為奇函數(shù)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知，則在點(diǎn)處的切線斜率是__________.13.已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，則__________.14.記實(shí)數(shù)，，，的最小數(shù)為，若，則函數(shù)的最大值為_(kāi)_________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.本小題13分

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn).

求證：平面求平面與平面夾角的余弦值.16.本小題15分某牧場(chǎng)今年年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為，且在每年年底賣(mài)出100頭牛.設(shè)牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為，，，寫(xiě)出一個(gè)遞推公式，表示與之間的關(guān)系;求的值其中，，17.本小題15分如圖，在一條無(wú)限長(zhǎng)的軌道上，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從位置0出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，設(shè)移動(dòng)n次后質(zhì)點(diǎn)位于位置求求指出質(zhì)點(diǎn)最有可能位于哪個(gè)位置，并說(shuō)明理由.18.本小題17分一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線求曲線E的方程，并說(shuō)明E是什么曲線;若點(diǎn)P是曲線E上異于左右頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O為曲線E的中心，過(guò)E的左焦點(diǎn)F且平行于OP的直線與曲線E交于點(diǎn)M，N，求證：為一個(gè)定值.19.本小題17分帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利.帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，，注：，，，，為的導(dǎo)數(shù)已知在處的階帕德近似為求實(shí)數(shù)a，b的值;比較與的大小;若有3個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

解出集合B，按照集合的交運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【解答】

解：因?yàn)?，集合，所以，故選：2.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

由復(fù)數(shù)的幾何意義知：，再由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，且，所以，

所以

故選3.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

觀察數(shù)列下標(biāo)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解．

【解答】

解：在等差數(shù)列中，

若，則，

所以，

所以4.【答案】C

【解析】【分析】本題考查雙曲線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及漸近線，同時(shí)考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.【解答】解：由雙曲線的方程知兩頂點(diǎn)，漸近線方程為，由對(duì)稱性，不妨求到直線的距離，故選5.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式的應(yīng)用，向量的模，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)的坐標(biāo)求出它的模，利用數(shù)量積運(yùn)算求出所求向量的模．【解答】解：由得，，又，

則6.【答案】C

【解析】【分析】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)與特定項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．

由展開(kāi)式通項(xiàng)公式，令，解得r即可得結(jié)論.【解答】解：的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，

令，解得，

故的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為

故選：7.【答案】B

【解析】【分析】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，分2種情況討論：①四人中有3人被錄取，②四人都被錄取，再由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可求【解答】

解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①四人中有3人被錄取，有種不同的錄用情況；

②四人都被錄取，需要先將4人分為3組，再將分好的3組安排給3所學(xué)校，

有種不同的錄用情況；

所以共有種不同的錄用情況．

故選8.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查三棱錐的外接球問(wèn)題，球的表面積，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，棱錐的體積，是中檔題.

利用正弦定理即可求出的外接圓半徑，即可求出三棱錐的高，利用余弦定理即可求出，可計(jì)算出三角形ABC的面積，再利用錐體的體積公式，進(jìn)而求解.

【解答】

解：因?yàn)椋?/p>

所以由正弦定理得，的外接圓半徑為，

在中，由余弦定理可得

所以，

所以，

因?yàn)椋?/p>

球半徑，

所以球O的表面積，

故選9.【答案】ABC

【解析】【分析】本題考查了相互獨(dú)立事件及條件概率的求法，屬于基礎(chǔ)題.

由條件概率及相互獨(dú)立事件的概率對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【解答】解：因?yàn)槭录嗀，B相互獨(dú)立，

，

所以A，B相互獨(dú)立，故A正確；

因?yàn)锳，B互斥，則，

故A，B不可能相互獨(dú)立，故B正確;

，

，故C正確；

，

，

，故D錯(cuò)誤.

故選10.【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查三角恒等變化及誘導(dǎo)公式，考查由部分圖象求三角函數(shù)的解析式，屬于一般題.

由題圖可得，根據(jù)三角恒等變換可得，再由余弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性、值域逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】

解：由題圖可得，，解得

又，

可得，解得

因?yàn)?，所以?/p>

所以

所以

對(duì)于A，當(dāng)，，所以不是的一個(gè)對(duì)稱中心，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，令，可得，

故的對(duì)稱軸方程為，故B正確；

對(duì)于C，時(shí)，，所以，

故在上的值域?yàn)椋蔆正確；

對(duì)于D，令，，解得，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故D正確.

故選11.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查函數(shù)求值，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，屬于中檔題.

利用已知條件利用賦值法以及函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的定義即可求解.【解答】解：，時(shí)，，，而，，

，時(shí)，，，，故B正確；令，?，，

令，，故A正確；

，是奇函數(shù)，故D正確.令，則，為增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；12.【答案】2

【解析】【分析】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

由題意，求出的導(dǎo)函數(shù)，即可得該切線的斜率.

【解答】

解：，

，

時(shí)，，

則在點(diǎn)處的切線斜率是

故答案為：13.【答案】

【解析】【分析】

本題考查正弦定理及變形、逆用兩角和與差的正弦公式和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．

由正弦定理及三角形中角之間的關(guān)系可得的值，再由角C的范圍，可得角C的大??；再由，可得，由此即可求出結(jié)果.

【解答】

解：因?yàn)椋?/p>

由正弦定理可得，

可得，

在三角形中，，且，

所以，，

所以；

所以，

因?yàn)椋?/p>

所以，

所以

故答案為14.【答案】

【解析】【分析】本題考查函數(shù)的最值，涉及函數(shù)圖像的作法，屬于基礎(chǔ)題.

由題意作出函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像易得函數(shù)的最值.【解答】

解：如圖所示

，

的圖象為圖中的實(shí)紅線部分，

則易知所求最大數(shù)即為圖中A點(diǎn)的縱坐標(biāo)．

又，可得，故所求最大值為

故答案為15.【答案】解：以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，

所以，，，，，，

所以，，，

，，，

因?yàn)?，所以?/p>

又平面，平面，

所以平面

設(shè)平面的法向量為，

則

取，則，所以，是平面的一個(gè)法向量，

又因?yàn)槠矫妫?/p>

所以為平面的一個(gè)法向量，

則，，

設(shè)平面與平面的夾角為，

則，，

即平面與平面的夾角的余弦值為

【解析】本題考查了線面平行的向量表示和平面與平面所成角的向量求法，是中檔題.

建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面平行的向量表示即可得證；

得出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量求解即可.16.【答案】解：由題意，得，并且將化成比較①②的系數(shù)，可得解這個(gè)方程組，得所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

則所以頭

【解析】主要考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題.

由題意，可得；

原式可化為，結(jié)合可求出r，k，可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式可得答案.17.【答案】解：設(shè)質(zhì)點(diǎn)n次移動(dòng)中向右移動(dòng)的次數(shù)為Y，顯然每移動(dòng)一次的概率為，則，，

所以

，

若n為偶數(shù)，中間的一項(xiàng)取得最大值，即概率最大，此時(shí)，

所以質(zhì)點(diǎn)最有可能位于位置0，

若n為奇數(shù)，中間的兩項(xiàng)，取得最大值，即或概率最大，

此時(shí)或，所以質(zhì)點(diǎn)最有可能位于位置1或

【解析】本題主要考查二項(xiàng)分布，屬于中檔題.

設(shè)質(zhì)點(diǎn)n次移動(dòng)中向右移動(dòng)的次數(shù)為Y，則Y∽，，

利用即可；

利用即可；

先得到，然后分別討論即可.18.【答案】解：設(shè)動(dòng)圓的圓心，動(dòng)圓半徑為r，

化為標(biāo)準(zhǔn)方程，

圓心，，

化為標(biāo)準(zhǔn)方程，

圓心，，

依題意得，，

，

是以為焦點(diǎn)的橢圓，

，，，

所以曲線曲線E的是焦點(diǎn)在x軸上，對(duì)稱中心在原點(diǎn)，以為焦點(diǎn)的橢圓；

當(dāng)弦OP的斜率不存在時(shí)，此時(shí)弦OP為橢圓的短半軸，此時(shí)，

此時(shí)直線MN為橢圓的通徑，滿足，

從而，

當(dāng)弦OP的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，

設(shè)直線OP的方程為，代入曲線E得，

從而

設(shè)直線，代入曲線E得，

設(shè)，，則，，

，

所以，

綜上所述，為一個(gè)定值

【解析】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系和橢圓中的定值問(wèn)題，是較難題.

設(shè)動(dòng)圓的圓心，動(dòng)圓半徑為r，依題意得，，則，由橢圓的定義可得結(jié)論；

當(dāng)弦OP的斜率不存在時(shí)，此時(shí)弦OP為橢圓的短半軸，可得，當(dāng)弦OP的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，設(shè)直線OP的方程為，代入曲線E，結(jié)合韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積可得，可得結(jié)論.19.【答案】解：由，，知，，，，由題意，，

所以，

所以，

由知，，令，則，

所以在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，又，時(shí)，時(shí)，所以時(shí)，時(shí)，由知，，注意到，則除1外還有2個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，，

，

令，

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，則，

所以在上單調(diào)遞減，不滿足，舍去，

當(dāng)時(shí)，除1外還有2個(gè)