河南省開封市通許縣開封清華中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024——2025學(xué)年開封清華學(xué)校高三開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題5分，共8小題40分）1.已知函數(shù)f(x)?=????A.(0,1) B.(0,1] C.[0,2) D.[0,2] 2.已知，則（）A. B. C. D. 3.函數(shù)f?xA. B. C. D. 4．南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國古代數(shù)學(xué)研究作出了杰出貢獻(xiàn)，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》中，該著作中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列.以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點是從數(shù)列中第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個二階等差數(shù)列的前四項分別為:，則下列說法錯誤的是（

）A．B．C．?dāng)?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列有最大項5．某商場進(jìn)行購物摸獎活動，規(guī)則是：在一個封閉的紙箱中裝有標(biāo)號分別為1，2，3，4，5，6的六個小球，每次摸獎需要同時取出兩個球，每位顧客最多有兩次摸獎機(jī)會，并規(guī)定：若第一次取出的兩球號碼連號，則中獎，摸獎結(jié)束；若第一次未中獎，則將這兩個小球放回后進(jìn)行第二次摸球，若與第一次取出的兩個小球號碼相同，則為中獎，按照這樣的規(guī)則摸獎，中獎的概率為（）A． B． C． D．6．已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與交于點．直線為在點處的切線，點關(guān)于的對稱點為．由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，三點共線．若，則（

）A． B． C． D．7.正三棱錐P-ABC的側(cè)面都是直角三角形,E,F分別是AB,BC的中點,則PB與平面PEFA.3?6 B.6?6 C.38.已知拋物線C:?y2?=?2px(p?>0)的焦點為F,過點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A,B兩點,過線段AB的中點M且垂直于A.12 B.3?2 C.3?二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列各組向量中，可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，10．在正方體中，E，F(xiàn)，G分別為AD，，的中點，H為BG的中點．則下列說法正確的是（

）A．平面 B．平面C．AH，互為異面直線 D．與平面所成角的正弦值為11．已知在的展開式中只有第四項的二項式系數(shù)最大，則下列結(jié)論正確的是（

）A．n=6 B．展開式中含的項的系數(shù)是C．展開式的各二項式系數(shù)和為64 D．展開式的各項系數(shù)和為729三、填空題（5*3）12．正項數(shù)列共有9項，前3項成等差，后7項成等比，，則的值為；的值為.13.縱截距為?-?4,與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為20的直線的一般式方程為14．已知是邊長為4的等邊三角形，將它沿中線折起得四面體，使得此時，則四面體的外接球表面積為．四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.(1)已知f(x)是一次函數(shù),且f[f(x)]?=?4x16．已知為正項數(shù)列的前n項積，且.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求的前n項和.17.已知圓O:?x2?+??y2?=?4及一點P(?-?1,0)，Q在圓O上運動一周，PQ的中點M形成軌跡C．

（1）求軌跡C的方程；

18．如圖，在正方體中，為的中點．(1)求證：平面；(2)求證：．19．某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造，對甲、乙兩個車間升級改造后.(1)從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取50件進(jìn)行檢驗，其中甲車間優(yōu)等品占，乙車間優(yōu)等品占，請?zhí)顚懭缦铝新?lián)表：優(yōu)等品非優(yōu)等品總計甲車間乙車間總計依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為車間與優(yōu)等品有關(guān)聯(lián)？（結(jié)果精確到0.001)，其中.下表是X獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(2)調(diào)查了近10個月的產(chǎn)量（單位：萬個)和月銷售額（單位：萬元)，得到以下數(shù)據(jù)：，根據(jù)散點圖認(rèn)為y.關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為，試求經(jīng)驗回歸方程.參考公式：，其中.參考答案：第1題：【答案】A【解析】方程f(x)?-?a?=?0至少有兩個實數(shù)根,等價于f(x)的圖象與直線y?=?a至少有兩個不同的交點.作出f(x)的圖象,如圖所示,當(dāng)0?<a?<1時,函數(shù)y?=?f(x)的圖象與y?=?第2題：【答案】C【解析】∵，∴.∴.

第3題：【答案】B【解析】f(?-?x)?=??e?-?x?-??ex?x2?=?-?f(x),函數(shù)為奇函數(shù),排除【分析】根據(jù)二階等差數(shù)列的定義求出數(shù)列的通項公式，從而可得數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則，A、C不符合題意；再利用累加法計算可判斷B；借助基本不等式判斷D.【詳解】設(shè)該數(shù)列為，則；由二階等差數(shù)列的定義可知，所以數(shù)列是以為首項，公差的等差數(shù)列，即，所以，即數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，，則，A、C不符合題意；所以，將所有上式累加可得，所以，即該數(shù)列的第11項為，B不符合題意；由于，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，但由于，即數(shù)列有最小值為，而當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以無最大值，D符合題意.故選：D.5．B【分析】可將中獎的情況分成第一次兩球連號和第二次取出的小球與第一次取出的號碼相同兩種情況，分別計算兩種情況的概率，根據(jù)和事件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】中獎的情況分為：第一次取出兩球號碼連號和第二次取出兩個小球與第一次取出的號碼相同兩種情況第一次取出兩球連號的概率為：第二次取出兩個小球與第一次取出號碼相同的概率為：中獎的概率為：本題正確選項：【點睛】本題考查和事件概率問題的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意將所求情況進(jìn)行分類，進(jìn)而通過古典概型和積事件概率求解方法求出每種情況對應(yīng)的概率.6．D【分析】畫出圖形，由題意可得出，利用橢圓的定義結(jié)合已知條件可求出、的值，即可得解.【詳解】如下圖所示：因為點關(guān)于的對稱點為，則，因為，且，所以，，所以，，可得，則，所以，，故．故選：D第7題：【答案】C【解析】以點P為原點,PA為x軸,PB為y軸,PC為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,

設(shè)PA?=?PB?=?PC?=?2,則A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),E(1,1,0),F(0,1,1),

PB?=?(0,2,0),PE?=?(1,1,0),PF?=?第8題：【答案】C【解析】設(shè)直線l為y?=?k(x?-?p2)(k?>0),A(?x1,?y1),B(?x2,?y2),M(?xM,?yM),N(?-?p2,?yN)9．BD【分析】利用不共線的兩個非零向量可以作為一組基底一一判斷求解.【詳解】對A，因為為零向量，所以不能作為基底，A錯誤；對B，因為，所以不共線，可以作為基底，B正確；對C，因為，所以共線，不能作為基底，C錯誤；對D，因為，所以不共線，可以作為基底，D正確；故選：BD.10．AB【分析】對于A，利用線線平行證線面平行易得；對于B，分別證，，由線線垂直可得線面垂直；對于C，先證明，得H為的中點即得；對于D，先由B項結(jié)論易得即與平面所成的角，借助于直角三角形易求.【詳解】對于A，如圖，因，平面，而平面，故平面，即A正確；對于B，如圖，在正方形中，因E，G分別為AD，的中點，易得，則，因，故，即，又平面，平面，故，又平面，故平面，即B正確；對于C，如圖，連接，因F，G分別為，的中點，則，故得，又H為BG的中點，故H也是的中點，即與交于點，故C錯誤；對于D，如圖，由B項已得平面，設(shè)，則即在平面上的投影，故即與平面所成的角，設(shè)正方體棱長為2，則，易得故，即D錯誤.故選：AB.【點睛】思路點睛：本題主要考查與正方體有關(guān)的線面平行、線面垂直及線面所成角問題，屬于較難題.解題思路無非利用找線線平行證線面平行，由找線線垂直證線面垂直；在求線面所成角時，一般先找面的垂線得到射影即得所求角，之后還能借助于空間向量夾角公式求解.11．AC【分析】由展開式共有7項判斷A；由通項公式利用賦值法判斷B；由性質(zhì)判斷C；由得出展開式的各項系數(shù)和.【詳解】展開式中只有第四項的二項式系數(shù)最大，則展開式共有7項，則，故A正確；展開式的通項為，令，則展開式中含的項的系數(shù)是，故B錯誤；展開式的各二項式系數(shù)和為，故C正確；令，則展開式的各項系數(shù)和為，故D錯誤；故選：AC12．【分析】設(shè)出正項數(shù)列成等比數(shù)列的后7項的公比，求出及，再分組求和即得.【詳解】正項數(shù)列成等比數(shù)列的后7項的首項為，設(shè)公比為，則，而，解得，于是，顯然，所以.故答案為：；第13題：【答案】2x?【解析】設(shè)直線的方程為:y?=?kx?-?4,由y?=?0得x?=?4k.

∵直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為20,

∴12?×|?-?4|?×14．【分析】設(shè)為四面體的外接球球心，為外接圓的圓心，取的中點，四邊形為長方形可得，在中由正弦定理可得，再由可得答案.【詳解】設(shè)為四面體的外接球球心，連接，因為，，平面，所以平面，，因為，，由余弦定理可得，因為，所以，，設(shè)為外接圓的圓心，連接，則平面，，取的中點，連接，因為，所以，所以四邊形為長方形，可得，在中，由正弦定理可得，所以，則四面體的外接球表面積為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是確定外接球的球心和外接圓的圓心.第15題：【答案】見解析【解析】(1)設(shè)f(x)?=?kx?+?b(k?≠0),則:f[f(x)]?=?k(kx?+?b)16．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）連接，根據(jù)已知可得，，再由面面垂直的性質(zhì)有，最后利用線面垂直的判定證結(jié)論；（2）由題設(shè)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，向量法求面面角的余弦值.【詳解】（1）連接，四邊形是菱形，則，又，分別為，的中點所以，故，又為等邊三角形，為的中點，則平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故又，，，平面，可得平面.（2），，為等邊三角形，是的中點，則，由（1）得平面，以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，所以，由（1）得是平面的一個法向量，，即平面與平面的夾角的余弦值為．第17題：【答案】（1）(?x?+?12【解析】（1）設(shè)M(x,y),Q(?x1,?y1)，則?x1?=?2x?+?1,?y1?=?2(2)證明見解析【分析】（1）只需由中位線定理得出，結(jié)合線面平行的判定定理即可得證；（2）先由線面垂直的判定定理證得面，再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可得證.【詳解】（1）連接與交于點，連接，因為四邊形是正方形，所以為中點，又因為為，