北京市延慶區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題.1

2024北京延慶高三9月月考數(shù)學(xué)2024.09本試卷共6頁(yè)，150分．考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．

1．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，且滿足，則（）A．1 B． C．2 D．3．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是減函數(shù)的是（）A． B． C． D．4．若，則一定有（）A． B． C． D．5．若，則（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則（）A．圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是增函數(shù)B．圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)C．圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上是增函數(shù)D．圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上是減函數(shù)7．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．8．設(shè)已知數(shù)列中，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C．是等比數(shù)列 D．9．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”是“在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．在中，，當(dāng)時(shí)，的最小值為4．若，其中，則的最大值為（）A．2 B．4 C． D．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．函數(shù)的定義域是_____________．12．把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是_____________．13．已知函數(shù)在存在最小值3，則滿足題意的_____________．14．若函數(shù)存在最小值，則的一個(gè)取值為_(kāi)____________；的最大值為_(kāi)____________．15．函數(shù)的圖象可以近似表示某音叉的聲音圖象．給出下列四個(gè)結(jié)論：①是函數(shù)的一個(gè)周期；②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；④在上單調(diào)遞增．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____________．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．16．（本小題13分）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求的最大值．17．（本小題14分）已知函數(shù)，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知，（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)；條件②：函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到；條件③：函數(shù)的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為．注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18．（本小題14分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．19．（本小題14分）為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，營(yíng)造良好的文化氛圍，增強(qiáng)文化自覺(jué)和文化自信，某區(qū)組織開(kāi)展了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，該活動(dòng)有單人賽和PK賽，每人只能參加其中的一項(xiàng)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，中小學(xué)生參與該項(xiàng)知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)的人數(shù)共計(jì)4.8萬(wàn)，其中獲獎(jiǎng)學(xué)生情況統(tǒng)計(jì)如下：獎(jiǎng)項(xiàng)組別單人賽PK賽獲獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)中學(xué)組4040120100小學(xué)組3258210100（Ⅰ）從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，求抽到的學(xué)生來(lái)自中學(xué)組的概率；（Ⅱ）從中學(xué)組和小學(xué)組獲獎(jiǎng)?wù)咧懈麟S機(jī)抽取1人，以表示這2人中PK賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中來(lái)自中學(xué)組的人數(shù)為，來(lái)自小學(xué)組的人數(shù)為，試判斷與的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）20．（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）若，證明：．21．（本小題15分）已知數(shù)列為從1到2022互不相同的整數(shù)的一個(gè)排列，設(shè)集合，中元素的最大值記為，最小值記為．（Ⅰ）若數(shù)列為，且，寫出的值；（Ⅱ）若，求的最大值及的最小值；（Ⅲ）若，試求的最小值．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1．D2．A3．B4．C5．B6．D7．A8．D9．A10．C二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11．12．13．214．0（第一空不唯一，區(qū)間上任意值都可以），4（注：第一空2分，第二空3分）15．①③④（注：對(duì)一個(gè)2分，對(duì)2個(gè)4分，對(duì)3個(gè)5分）三、解答題（共6小題，共85分）16．解：（Ⅰ）設(shè)的公比為，因?yàn)?，所以．解得（舍去）或．因此的通?xiàng)公式為．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，當(dāng)時(shí)，，故是首項(xiàng)為，公差為的單調(diào)遞減等差數(shù)列．則．又，所以數(shù)列的前4項(xiàng)為正數(shù)，所以當(dāng)或5時(shí)，取得最大值，且最大值為．17．（Ⅰ）．選條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．則．即．所以．因?yàn)?，所以．所以．條件②：函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到，所以函數(shù)的周期與函數(shù)的周期相同．因?yàn)楹瘮?shù)的周期，所以函數(shù)的周期．則，即．所以．選條件③：函數(shù)的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，所以函數(shù)的周期．則，即．所以．（Ⅱ）因?yàn)殛P(guān)于的不等式恒成立，所以在的最大值不大于即可．因?yàn)?，所以．所以．所以，即．?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值2．所以．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．18．（Ⅰ）由題意得，，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（Ⅱ）因?yàn)?，因?yàn)楹途趨^(qū)間因?yàn)樯蠁握{(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，記為，所以時(shí)，；時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減因?yàn)?，所以在區(qū)間上的最小值為．注：學(xué)生如果用其他方法，按步驟給分19．（Ⅰ）方法一：從表格中可知：獲獎(jiǎng)學(xué)生總數(shù)為：人，獲得一等獎(jiǎng)的人，記事件為“從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)”，則，記事件為“從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的學(xué)生來(lái)自中學(xué)組”，則為“從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)且來(lái)自中學(xué)組”，，因此從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若獲得一等獎(jiǎng)，抽到的學(xué)生來(lái)自中學(xué)組的概率為．注：學(xué)生如果用其他方法，按步驟給分（Ⅱ）的取值范圍是．記事件為“從中學(xué)組獲獎(jiǎng)?wù)咧腥?人，該人是PK賽獲獎(jiǎng)”，事件為“從小學(xué)組獲獎(jiǎng)?wù)咧腥?人，該人是PK賽獲獎(jiǎng)”，中學(xué)組獲獎(jiǎng)?wù)哂?，其中PK賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)為100，小學(xué)組獲獎(jiǎng)?wù)哂?，其中PK賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)為100，．由題意知，事件相互獨(dú)立，所以；所以的分布列為：012的數(shù)學(xué)期望．（Ⅲ）．20．（Ⅰ）的定義域?yàn)椋傻茫畹茫驗(yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅱ）由，依題意，在上恒成立．設(shè)，則．令，得（舍），．當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減．故．又由得．所以．依題意需，即．設(shè)，則易知在為增函數(shù)．又，所以對(duì)任意的，有；對(duì)任意的，有．所以，即，解得．所以的取值范圍為．（Ⅲ）由得，且．由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以．兩式相加得，即．故．注：學(xué)生如果用其他方法，按步驟給分21．（Ⅰ）．（Ⅱ）最小值為6，的最大值6063．證明：對(duì)于1，2，2021，2022的一個(gè)排列，若，則中的每一個(gè)元素為，由題