抽樣調(diào)查系統(tǒng)抽樣

§6.1引言定義定義6.1系統(tǒng)抽樣（systematicsampling）又稱為等距抽樣、機(jī)械抽樣。按照這種抽樣方法，從總體中抽取第一個樣本點（隨機(jī)起點），然后按某種固定的順序和規(guī)律依次抽取其余的樣本點，最終構(gòu)成樣本。這種抽樣被稱為系統(tǒng)抽樣是因為這種抽樣的第一個樣本點雖然隨機(jī)，但其余樣本點的抽取看起來好像不再隨機(jī)，因而是系統(tǒng)的?！盃恳话l(fā)而動全身”。比如要對居民用戶抽樣，可按戶口冊每隔多少戶抽一戶；工廠為檢查產(chǎn)品質(zhì)量，在連續(xù)的生產(chǎn)線上每隔20分鐘抽選一個或若干個樣品進(jìn)行檢查；農(nóng)業(yè)上為估計農(nóng)作物產(chǎn)量或病蟲危害，對一大片農(nóng)田每隔一定距離抽取一塊進(jìn)行實際測量或調(diào)查，等等。本章只作簡單方法介紹。更多內(nèi)容參見文獻(xiàn)2、文獻(xiàn)3。系統(tǒng)抽樣的一般方法定義6.3直線等距抽樣假設(shè)總體單元數(shù)為，樣本容量為，為的整數(shù)倍。把總體單元排列成一直線。先計算出系統(tǒng)抽樣間隔，（當(dāng)不是的整數(shù)倍時，可令k等于最接近的整數(shù)）。然后在第一階段1～k個單元中隨機(jī)抽取一個單元，假設(shè)為r，然后每隔k個單元抽取一個單元，即分別為：r+k，r+2k，…….，直至抽取了n個單元。抽取的樣本編號為：r+(j-1)k(j=1，2，…，n)。12…r……kk+1k+2…k+r……2k2k+12k+2…2k+r……3k…kkkkk+r2k+r(n-1)k+rrk(k為抽取間隔)例如某學(xué)院有200個學(xué)生，要抽取10個學(xué)生作為樣本。首先計算＝20，然后在1～20中隨機(jī)抽取一個數(shù)字，假設(shè)抽中排列中第3位的學(xué)生，則其它入樣單元依次為23，43，63，83，103，123，143，163，183。定義6.4圓形等距抽樣（Lahiri）這種方法主要適用于不為整數(shù)時。因為當(dāng)k不為整數(shù)，取其最接近的整數(shù)時，實際樣本容量可能與n相差1，而且每個單元入樣的概率不等，這時用直線等距抽樣可能產(chǎn)生偏倚。例：設(shè)總體N＝10，其標(biāo)志值分別為，總體均值為。若要求樣本容量為n＝3，采用直線等距抽樣，驗證樣本均值是否為總體均值的無偏估計？解：先計算間距….，取k＝3，在1～3中取一個隨機(jī)起點，然后每隔3個單元抽取1個單元可得下列的可能樣本：三個可能的系統(tǒng)抽樣樣本均值分別為：，，所有＝，因此樣本均值不是總體均值的無偏估計。在這種情況下，樣本均值將不等于總體均值，因而估計不是無偏的。為了使得樣本均值是總體均值無偏估計，將個總體單元排成首尾相接的一個圓。抽樣間距k取最接近的整數(shù)，從1——中隨機(jī)抽取一個隨機(jī)起點作為起始單元，然后每隔k個抽取一個，直到抽取n個為止。如果序號大于時，將其減去得到的在1——中的號碼入選。正是因為排列為圓形而非直線且隨機(jī)起點在1～N中而非在1～[k](或[k]+1)中，導(dǎo)致了該抽樣下的每個樣本嚴(yán)格等概率地被抽中，因而估計是無偏的。若是圓形等距抽樣，則在1～10中抽取一個隨機(jī)起點，假設(shè)為7，然后每隔3個單元取一個，它們的序號是7、10、13。事實上是、、入樣?？紤]到實際問題中，n通常比較大（大于等與50），多一個少一個并無關(guān)宏旨，因此可以不必考慮N/n不是整數(shù)的影響，故通常我們都假定N是n的整數(shù)倍。3不等概率抽樣法不等概率抽樣中每個單元入樣的概率不相等。最簡單也是最常用的是系統(tǒng)抽樣，即入樣的概率與單元規(guī)模大小成比例的系統(tǒng)抽樣。令表示所有單元規(guī)模大小總和，則（包含概率，見不放回不等概率抽樣）。在實際中，不等概率的實施常采用代碼法。如下所示：先將單元規(guī)模（不失一般性，設(shè)其為整數(shù)）值累加，欲從總體中抽取容量為n的樣本，取最接近的整數(shù)k為抽樣間距，從[1，k]中隨機(jī)抽取一個整數(shù)r作為起點，則代碼r，r+k，…，r+(n-1)k所對應(yīng)的單元入樣。設(shè)總體由10個行政村組成，N＝10，每個行政村人數(shù)為，見表7.1。利用系統(tǒng)抽樣抽取n＝3個行政村樣本。表7.1用系統(tǒng)抽樣抽取行政村行政村編號人數(shù)累計人數(shù)抽中號碼12345678910合計103432962468473205168146317187010353563187796110341239140715531870100*723*1346*，從1～623中抽取一整數(shù)，例如是，則，，所對應(yīng)的行政村入樣，其序號分別為1、4、8。這種方法，當(dāng)所有單元規(guī)模時，每個單元不可能重復(fù)，是一種不重復(fù)抽樣；當(dāng)時（超過抽樣間隔），第i個單元為必然被抽中單元，且有可能重復(fù)抽中；當(dāng)，第i個單元為必然被重復(fù)抽中。實際中應(yīng)盡量避免這種重復(fù)抽中現(xiàn)象。一種簡單的方法就是把這種大規(guī)模單元作為必然調(diào)查單元，不再列入抽樣總體，另一種方法是將大規(guī)模單元劃分為幾個小規(guī)模單元?？傮w單元排序1按無關(guān)標(biāo)志排序，如調(diào)查學(xué)生視力，按學(xué)號排列，顯然視力與學(xué)號沒有關(guān)系2按有關(guān)標(biāo)志排序調(diào)查身高時，按入校體檢的身高順序排列3介于以上兩者之間系統(tǒng)抽樣的優(yōu)缺點優(yōu)點：系統(tǒng)抽樣是實際中常用的一種抽樣方法，1其簡單易行，只要確定起點和間距，便于推廣2便于利用已知信息，系統(tǒng)抽樣的誤差大小與總體單元的排列順序有關(guān)，因此當(dāng)對總體的結(jié)構(gòu)有一定的認(rèn)識了解，并有相關(guān)的標(biāo)志可以利用時，可以運用已知的信息先對總體單元進(jìn)行排列，再采用系統(tǒng)抽樣，就能提高系統(tǒng)抽樣的效率。但缺點也很明顯：1方差復(fù)雜，難以估計2如果單元排列存在周期性，而抽樣者缺乏對此了解，則很容易抽取出的樣本代表性很差。例如，要調(diào)查70路每天的客流量，采用系統(tǒng)抽樣，每周取一天，即每隔7天抽取一次。不管取了星期一到星期五，還是星期六到星期日中的哪天作為起點，樣本代表性都很差。系統(tǒng)抽樣與整群抽樣和分層抽樣的關(guān)系系統(tǒng)抽樣可以看作特殊的整群抽樣和分層抽樣表6-1系統(tǒng)抽樣的總體單元123…j…n行平均123rk列平均………………見下表6-1，如果將每一行單元視為一個群，則總體由k個群組成，每個群規(guī)模大小都為n。系統(tǒng)抽樣從，，…，中任選一個，被選中的單元所在行的所有單元就構(gòu)成系統(tǒng)抽樣的樣本。顯然每個群都是可能的樣本。因此系統(tǒng)抽樣可以看成從k個群中隨機(jī)抽取1個群的整群抽樣。同樣將每一列視為一層，則總體由n個層組成，每個層大小都為k。系統(tǒng)抽樣可以看作從每個層中抽取一個單元的分層抽樣，但由于樣本單元在各層位置相同，因此系統(tǒng)抽樣不同與分層抽樣。表6-2系統(tǒng)抽樣總體單元重新編號12…j…n群平均12rk層平均……………§6.2等概率系統(tǒng)抽樣估計量為討論方便，今后總是設(shè)。符號說明第r行第j列單元指標(biāo)，對照表6-2換個排序方式有總體單元數(shù)N；樣本單元數(shù)n總體方差總體（群）均值，（每行均值）樣本（群）均值，系統(tǒng)樣本均值，總體層均值，，或，（每列均值）6.2.2估計量假設(shè)起始點為r，則相應(yīng)的系統(tǒng)樣本的平均值為，（6.1）（群內(nèi)普查）取系統(tǒng)樣本平均值作為總體均值的估計量，即：＝（6.2）（由于群內(nèi)普查）當(dāng)，有k個可能樣本，因此是無偏估計。（6.9）（方差定義）用系統(tǒng)樣本（群）內(nèi)方差表示為系統(tǒng)樣本（群）內(nèi)方差（類似整群抽樣中的定義）因為系統(tǒng)抽樣相當(dāng)于抽取一個群的整群抽樣，因此群內(nèi)的單元差異大小，也即系統(tǒng)樣本內(nèi)的差異大小會直接影響系統(tǒng)抽樣的效果，故定義了系統(tǒng)樣本（群）內(nèi)方差，它反映了所有k個可能系統(tǒng)樣本內(nèi)的方差大小。因此可以想象，和整群抽樣一樣，系統(tǒng)樣本內(nèi)方差愈大，抽樣效率愈高。注意此習(xí)慣敘述，（大寫）本該表示總體，由于群內(nèi)普查，這里的特殊性在于所謂的“系統(tǒng)樣本”實際是表6-2中行表示的總體群。（6.10）證明：（交叉項為0）兩邊同除以，根據(jù)方差定義和定義，得到＃如果直接用簡單隨機(jī)抽樣，則，作差：，于是對于固定總體，總體方差是唯一固定的，因此系統(tǒng)樣本內(nèi)方差越大，系統(tǒng)抽樣精度越高。故為了提高系統(tǒng)抽樣的精度，總體單元的排列應(yīng)盡可能增大樣本（群）內(nèi)方差，使得群內(nèi)基本單元樣本差異比較大。系統(tǒng)抽樣可以看作特殊整群抽樣，其方差可用樣本（群）內(nèi)相關(guān)系數(shù)表示其中系統(tǒng)樣本（群）內(nèi)相關(guān)系數(shù)（系統(tǒng)樣本內(nèi)各單位兩兩之間的相關(guān)系數(shù)）為（類似4.9）證明:總體單元數(shù)群內(nèi)單元數(shù)總體群數(shù)樣本群數(shù)總體均值估計量群內(nèi)相關(guān)系數(shù)系統(tǒng)抽樣整群抽樣NNMnMkN1n、、由整群抽樣，（P141，4.11）。＃由看出，系統(tǒng)樣本（群）內(nèi)正相關(guān)性越大，即樣本（群）內(nèi)單元越相似，則估計量方差越大，系統(tǒng)抽樣精度越差，這與定理6.2結(jié)論一致。系統(tǒng)抽樣可看成特殊的分層抽樣，其方差可以用層內(nèi)方差和表示定義：總體層內(nèi)方差總體（層）內(nèi)相關(guān)系數(shù)：同一系統(tǒng)樣本內(nèi)對層均值離差的相關(guān)系數(shù)，系統(tǒng)樣本內(nèi)各單元兩兩之間分別與各自層的平均數(shù)相比較而計算的相關(guān)系數(shù)?！簩τ诠潭ǖ娜?，兩個不同單元離差乘積共有個組合，所以總體這樣的離差乘積有個，因此上式分子為分母應(yīng)為對個基本單元的對所在層的層均值離差平方求平均，因此可以表示為，于是』證明：由表6.2可以看出，系統(tǒng)抽樣可以看作一種特殊的分層抽樣，共n層，每層均為k個單元（規(guī)模相等），從每層固定同一位置各取1個單元作為樣本。，而根據(jù)（），兩邊同乘以，有＝+，因此公式成立。＃比較系統(tǒng)抽樣方差與比例分配的分層隨機(jī)抽樣方差（即），作商：，因此，。從前面的系統(tǒng)抽樣排列的方陣看出，如果按有關(guān)標(biāo)志排列后采用直線等距抽樣，系統(tǒng)樣本中的單位往往會同時大于所在各層的均值，或同時小于所在各層的均值，造成；因而需考慮適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)抽樣方式，使得盡可能滿足。例設(shè)某個模擬總體有N＝32個單元，總體單元排列顯然有穩(wěn)定上升趨勢。我們要抽取一個容量為4的等距樣本。將總體單元排列如下表7.4，k＝8，n＝4。每一列是一個等距樣本，共有8個等距樣本。表層ⅠⅡⅢⅣ等距樣本編號層均值層內(nèi)方差1234567817172718182838203031120314122434514243461625367162738群均值1322可以看出，層內(nèi)正相關(guān)，前四個樣本對各層均值離差均小于0，后4個樣本與各層均值離差均大于0，所以（同一層內(nèi)兩不同單元離差乘積，累積），因此系統(tǒng)抽樣精度要低于分層抽樣。有：例利用上例，將第二層和第四層觀察值調(diào)換，見表表層ⅠⅡⅢⅣ等距樣本編號層均值層內(nèi)方差1234567811617381161836314203431220344112431582430682528772727群均值1868可以看出，等距樣本內(nèi)數(shù)據(jù)對各層均值離差有正有負(fù)。造成，因此系統(tǒng)抽樣精度要高于分層隨機(jī)抽樣。此時，沒有影響、。但等距抽樣均值的方差?？梢娤到y(tǒng)抽樣的效率很大程度上取決于總體的特征。P200見PPT§6.3不同特征總體的系統(tǒng)抽樣隨機(jī)次序排列第總體系統(tǒng)抽樣的方差決定于單元的排列順序，它是不穩(wěn)定的，因為不同的排列順序會使系統(tǒng)樣本內(nèi)的方差發(fā)生變動，得到不同的抽樣方差可能大于相應(yīng)簡單隨機(jī)抽樣的方差，也可能小于相應(yīng)當(dāng)簡單隨機(jī)抽樣的方差。例如，若總體共有N個基本單元，則總體共有種排列方式，其中任何一種固定的排列方式對應(yīng)的系統(tǒng)抽樣其抽樣方差可能大于也可能小于簡單隨機(jī)抽樣。但從平均意義上講，系統(tǒng)抽樣方差與簡單隨機(jī)抽樣方差相等。即，詳見文獻(xiàn)：杜子芳《抽樣技術(shù)及其應(yīng)用》，P390。因此，可以用簡單隨機(jī)抽樣的方差作為系統(tǒng)抽樣的方差估計：，比如總體按照無關(guān)標(biāo)志排列，可以看作隨機(jī)排列的，因此系統(tǒng)樣本內(nèi)方差和總體方差相差不大，系統(tǒng)抽樣的方差也就接近簡單抽樣的方差。對于很多客觀總體，并不存在或很難找到與目標(biāo)變量相關(guān)的輔助變量作為排列依據(jù)，于是只能借助原來的自然順序或按無關(guān)變量進(jìn)行排列，這時就是所謂的隨機(jī)次序排列。例：某鄉(xiāng)村公路兩旁種植了20000棵小樹，一年后檢查小樹的成活率。采用系統(tǒng)抽樣的方法，先在1～100棵樹之間隨機(jī)地抽取一棵樹作為起點，然后每隔100棵抽選1棵，一共抽取了200棵樹作為樣本，發(fā)現(xiàn)其中成活174棵，估計成活率的95％的置信區(qū)間。解：，方差用簡單估計量的方差估計＝0.00056266，，82.6％～91.74％。線性趨勢的總體1線性趨勢總體若總體單元按指標(biāo)從小到大順序排列或按某個與其有線性關(guān)系的輔助變量的大小順序排列，此時指標(biāo)值與單元序號也是線性相關(guān)。一般地，對于線性趨勢總體，系統(tǒng)抽樣優(yōu)于簡單隨機(jī)抽樣，但比分層抽樣差。為了說明問題，我們不妨假設(shè)其指標(biāo)變量為簡單線性函數(shù)。()。做變化得到，，所以：，，從而：；因為每層含有k個單元，每個單元相差1，有n個層，因此方差相同，即有：，每層抽1個單元，等同于按比例分配樣本的分層抽樣，；最后，比較三者關(guān)系有，在實際問題中，當(dāng)然不可能完全按指標(biāo)值的大小順序排列，只能找到一些與指標(biāo)值相關(guān)的變量進(jìn)行排序，當(dāng)然也不可能是完全線性的趨勢，但是系統(tǒng)抽樣的效率總會高于簡單隨機(jī)抽樣。因此如果采用簡單隨機(jī)抽樣的誤差公式，這將是一個比較保守的估計。也就是說，實際誤差應(yīng)該沒有估計那么大，因此統(tǒng)計學(xué)家們提出了一些改進(jìn)估計方差的公式。見后文。2對線性趨勢總體的系統(tǒng)抽樣的改進(jìn)抽樣方法的改進(jìn)中心位置法當(dāng)總體單元的排列呈現(xiàn)線性趨勢，起始單元的位置偏高或偏低會直接影響整個樣本的代表性，為提高抽樣效率，麥多（Madow，1953）提出中心位置法，即初始樣本不是隨機(jī)抽選，而是直接取第一階段的k個單元處于中間位置的單元。當(dāng)為奇數(shù)時，中點??；當(dāng)為偶數(shù)時，中點取或。此種抽樣法雖然可以提高精度，但對于一定順序排列的總體，樣本是確定的，失去了隨機(jī)性。尤其對同樣問題進(jìn)行連續(xù)性調(diào)查，樣本老化，會帶來較大不利影響。例如某學(xué)院共有200個學(xué)生，要抽取10個學(xué)生作樣本，抽樣間距為。如果采取中心抽樣法，起始樣本就是第10個學(xué)生，其余樣本單元依次為第30，50，70，90，110，130，150，170，190位學(xué)生。對稱系統(tǒng)抽樣（1）塞蒂（Sethi，1965）對稱系統(tǒng)抽樣這時一種分組對稱方法。當(dāng)，為偶數(shù)時，將總體分為組，每組含有個單元，在各段內(nèi)隨機(jī)抽取與兩端等距地兩個單元作為樣本，一端靠近低端，一端靠近高端。假設(shè)起始隨機(jī)數(shù)為，入樣的單元為:：，當(dāng)為奇數(shù)，仍按上述步驟進(jìn)行，但到后，增加靠近終端的一個單元，。仍是從200個學(xué)生中抽取10個作為樣本，將總體分為段，1～40，41～80，81～120，121～160，161～200。假設(shè)隨機(jī)起點為3，則樣本單元依次為第3，38；43，78；83，118；123，158；163，198位學(xué)生。（2）辛（Singn，1968）對稱系統(tǒng)抽樣這種方法是每次選取與總體的兩端相對稱的單元。假當(dāng)，為偶數(shù)時，設(shè)起始隨機(jī)數(shù)為，入樣的單元為:：，。當(dāng)為奇數(shù)，仍按上述步驟進(jìn)行，但到后，增加靠近中間的一個單元。假設(shè)從300位學(xué)生中抽取15個作為樣本，則，抽樣間距為。假設(shè)隨機(jī)起點為3，則樣本單元依次為第3，298；23，278；43，258；63，238；83，218；103，198；123，178；143。3估計量改進(jìn)首尾校正法（Yates，1948；Bellhouse&Rao，1975）針對情形，假設(shè)隨機(jī)起點樣本單元編號為，則首樣本單元的權(quán)重為尾樣本單元的權(quán)重為其它樣本權(quán)重為首尾校正法修正后的估計量為針對情形，假設(shè)隨機(jī)起點樣本單元編號為，如果滿足，則所有個樣本單元都不經(jīng)過單元，相應(yīng)權(quán)重如下：首樣本單元的權(quán)重為（）尾樣本單元的權(quán)重為（）其它樣本權(quán)重為如果滿足，則有樣本單元都越過單元，假設(shè)越過單元的樣本有個，相應(yīng)權(quán)重如下：首樣本單元的權(quán)重為（）尾樣本單元的權(quán)重為（）其它樣本權(quán)重為總體有個單元，擬抽取個樣本，則，取與之最接近的整數(shù)。然后在總體中隨機(jī)抽取一個起點，假設(shè)，樣本單元的順序編號分別為：19，1，6，11，16。首樣本單元，尾樣本單元。求相應(yīng)單元的權(quán)重。解：由于首樣本單元的權(quán)重為尾樣本單元的權(quán)重為、周期波動的總體周期波動是指總體單元指標(biāo)按其順序呈現(xiàn)周期變化。例如，商店的日銷售量一般以7為周期變化，城市交通以24小時為周期變化。等等。對周期變化的總體，使用系統(tǒng)抽樣要特別注意。抽樣的間距盡量不要等于周期，一般取半周期。通常采用交叉法，即在同一個總體中獨立地取多個樣本，再將幾個樣本合并計算估計量及方差。§6.4系統(tǒng)抽樣的方差估