數(shù)列-歷屆高考真題試題

數(shù)列--歷屆高考真題

一、解答題

1.（2019?浙江高考真題）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S.，4=4,4=$3,數(shù)列也」

滿足：對(duì)每“eN*，S,+〃,S.M+d，S“+2+2成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝,｛〃,｝的通項(xiàng)公式;

錄,〃eN*,證明：C,+C++G<26,〃GN*.

(2)記C.=?2

2.（2019?北京高考真題（文））設(shè)｛斯｝是等差數(shù)列,ai=-10,且改+10,的+8,四+6成

等比數(shù)列.

（1）求｛斯｝的通項(xiàng)公式：

（II）記｛6｝的前”項(xiàng)和為S,,求S”的最小值.

3.（2019?天津高考真題（文））設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，｛%｝是等比數(shù)列，公比大于0,

已知q=4=3,b?=%,4=4%+3.

（I）求｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

1,〃為奇數(shù)，

（II）設(shè)數(shù)列｛&｝滿足c〃〃為偶數(shù)，求“￡+a2c2++4/2“（〃eN）

.2

4.（2019?全國(guó)高考真題（理））

已知數(shù)列｛詼｝和｛仇｝滿足q=1,*1=0,4a“+]=3a“一切+4,4bn+]=3bn-a?-4.

（1）證明：｛斯+?。堑缺葦?shù)列，｛斯-兒｝是等差數(shù)列；

（2）求｛〃“｝和｛瓦｝的通項(xiàng)公式.

5.（2019?全國(guó)高考真題（文））記S,為等差數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和，已知29=-%.

（1）若。3=4,求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若0>0,求使得SN”"的〃的取值范圍.

6.（2010?山東高考真題（文））（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列｛a,,｝滿足：4=7,

%+%=26,{a“}的前〃項(xiàng)和為S”.

(1)求?！凹皊”；

1..

⑵令以=-^―j-\nJV*)，求數(shù)列出｝的前n項(xiàng)和7；.

7.(2017.全國(guó)高考真題(文))已知等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為立,等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)

和為且%=1,瓦=1,a2+b2=4.

(1)若(13+63=7,求｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)若0=13,求S5.

8.(2018?天津高考真題(理))(2018年天津卷理)設(shè)｛a“｝是等比數(shù)列，公比大于0,

其前n項(xiàng)和為Sn(n€N*),｛%｝是等差數(shù)列.已知為=1,a3=a2+2,a4=b3+

°5，=°4+2b6.

(I)求｛即｝和｛b｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)數(shù)列｛S4｝的前n項(xiàng)和為7(neN*),

(i)求

(ii)證明》'1"—2(n€N").

/(k+l)(k+2)n+2

9.(2018?天津高考真題(文))設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為5.(〃CN")；｛b,,｝

是等比數(shù)列，公比大于0,其前〃項(xiàng)和為7；(〃CN*).已知

b\~\,%=62+2,%=。3+45，4>5=?4+2?6-

(I)求S,和Tn；

(II)若S,+(/+K+…+〃)=an+4b?,求正整數(shù)〃的值.

10.(2018?全國(guó)高考真題(文))已知數(shù)列｛an｝滿足四=l,nan+1=2(n+1河，設(shè)匕=譬.

(1)求瓦，b2>b3-,

(2)判斷數(shù)列｛九｝是否為等比數(shù)列，并說明理由；

(3)求｛a”｝的通項(xiàng)公式.

11.(2018?全國(guó)高考真題(理))記立為等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前ri項(xiàng)和，已知%=-7,S3=-15.

(1)求｛6｝的通項(xiàng)公式：

(2)求與，并求治的最小值.

12.(2017?上海高考真題)根據(jù)預(yù)測(cè)，某地第ri(neN*)個(gè)月共享單車的投放量和損失

量分別為乙和匕(單位:輛)，

其中刈="+5,第n個(gè)月底的共享單車的保有量是前n個(gè)

\XUZTIi-/U,TlN1"

月的

試卷第2頁(yè)，總20頁(yè)

累計(jì)投放量與累計(jì)損失量的差.

（1）求該地區(qū)第4個(gè)月底的共享單車的保有量；

（2）已知該地共享單車停放點(diǎn)第n個(gè)月底的單車容納量方=-4（n-46產(chǎn)+8800（單

位：輛）.設(shè)在某月底，共享單車保有量達(dá)到最大，問該保有量是否超出了此時(shí)停放點(diǎn)

的單車容納量？

13.（2017?天津高考真題（理））已知｛即｝為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為，（neN*）,｛匕｝是

首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0,

Z?2+力3=12,Z?3=—2。],5]]=11匕4.

（I）求｛Qn｝和｛“｝的通項(xiàng)公式；

（II）求數(shù)列｛做九九｝的前一項(xiàng)和（neN*>

14.（2015?重慶高考真題（文））已知等差數(shù)列｛an｝滿足=2,前3項(xiàng)和S3=*

（1）求｛a"的通項(xiàng)公式

（2）設(shè)等比數(shù)列｛b｝滿足瓦=%,b4=a15,求｛匕｝的通項(xiàng)公式屏及｛%｝的前n項(xiàng)和

15.（2017?山東高考真題（文））已知｛a〃｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且

4+4=6,4a2=%?

（I）求數(shù)列｛a｝通項(xiàng)公式；

'b

（II）｛&,）為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和S,已知S，M=bnbn+｝,求數(shù)列1的前〃

項(xiàng)和T?.

16.（2017?全國(guó)高考真題（文））設(shè)數(shù)列｛aj滿足為+3a2+?“+（2n-l）an=2n.

（1）求｛a"的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛奈?｝的前n項(xiàng)和.

17.（2017?全國(guó)高考真題（文））記S為等比數(shù)列｛?！保那啊?xiàng)和，已知S=2,￡=-6.

（1）求｛《,｝的通項(xiàng)公式；

（2）求S,并判斷以“S“,是否成等差數(shù)列.

18.（2015?湖北高考真題（文））設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為4前〃項(xiàng)和為5.，等比數(shù)

列也｝的公比為已知〃=4，4=2,q=d,S|0=100.

（1）求數(shù)列｛q｝,｛〃,｝的通項(xiàng)公式；

（II）當(dāng)"〉1時(shí)，記c“斗,求數(shù)列｛5｝的前鹿項(xiàng)和北.

19.（2011?遼寧高考真題（理））已知等差數(shù)列｛斯｝滿足“2=0,恁+的=-10.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛含，的前"項(xiàng)和.

20.（2015,湖南高考真題（文））（本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列｛每｝的前n項(xiàng)和為%,已知

—

%=La2=2,目.即+13Sn

—Sn+i+3,（neN*）,

（I）證明：Cln+2=3dn;

（II）求S*

21.（2015?四川高考真題（理））設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝的前葭項(xiàng)和又=2即一。1，且%,。2+1，。3成

等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

（2）記數(shù)列｛2｝前n項(xiàng)和〃，求使-1|<就成立的n的最小值。

22.（2015?四川高考真題（文））（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列｛an｝（n=l,2,3...）的前

n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an—a?,且a1，az+l,a?成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)數(shù)歹羽三｝的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.

an

23.（2015?湖北高考真題（理））設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,前〃項(xiàng)和為5.，等比數(shù)

列也｝的公比為已知乙=。［,￡>2=2,q-d,S10=100.

（D求數(shù)列｛%｝,也,｝的通項(xiàng)公式；

（2）當(dāng)d>l時(shí)，記q=今，求數(shù)列｛c；J的前幾項(xiàng)和

24.（2015?安徽高考真題（文））已知數(shù)列｛%｝是遞增的等比數(shù)列，且

%+%=9,。2。3=8.

（I）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)S?為數(shù)歹|J｛《,｝的前n項(xiàng)和，b"=冊(cè)一，求數(shù)列｛2｝的前n項(xiàng)和T?.

25.（2015?廣東高考真題（文））（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S叱ziEN*.已

知出=1,a2=|,a3=I，且當(dāng)nN2時(shí)，4Sn+2+5Sn=8Sn+i+5幾-1.

試卷第4頁(yè)，總20頁(yè)

（1）求。4的值；

（2）證明：｛an+i-ga"為等比數(shù)列；

（3）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

26.（2015?山東高考真題（理））12015高考山東，理18］設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S”.

已知2s,=3"+3.

（I）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（II）若數(shù)列也｝滿足ajbn=log3a?,求低｝的前n項(xiàng)和7；.

27.（2015?重慶高考真題（理））（本小題滿分12分，（1）小問4分，（2）小問8分）

2

在數(shù)列｛4｝中，4=3,an+lan+AaII+l+//a?=O（/IGA^+）

（1）若;I=O,〃=一2,求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

⑵若丸=；（%eN+￡N2）,〃=—1,證明：2+-l-<^+1<2+—

ACQIJLK>o十1

28.（2015?上海高考真題（文））（本題滿分16分）本題共3小題.第1小題4分，第2

小題6分，第3小題6分.

已知數(shù)列｛*｝與｛/｝滿足=2（6曰一以）

（1）若％=3”+5,且q=1,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)｛4｝的第％項(xiàng)是最大項(xiàng)，即a、>an（neN,）,求證：數(shù)列｛4｝的第％項(xiàng)是最

大項(xiàng)；

（3）設(shè)4=32<0,求幺的取值范圍，使得對(duì)任意加，neS",

。0,且--,6^.

4<6）

29.（2015?全國(guó)高考真題（理AS.為數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和.已知際>0,W+2即=45"+3.

（I）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)&=」一,求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和.

anan+i

30.（2015?浙江高考真題（文））已知數(shù)列｛an｝和｛與｝滿足，%=2也=l,an+1=2ali（nG

N*）,

111

bl+5b2+…+7871=bn+!-eN*.

（1）求0n與bn；

（2）記數(shù)列｛a"n｝的前n項(xiàng)和為〃，求

31.（206福建高考真題（文））等差數(shù)列｛4｝中,4=4，a4+aj=l5.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)勿=2"產(chǎn)+〃，求乙+2+。+…+40的值.

32.（2014.四川高考真題（理））設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,點(diǎn)（an,%）在函數(shù)f（x）=2》的

圖象上（n€N*）.

（1）若%=-2,點(diǎn)（。8,4b7）在函數(shù)/（%）的圖象上,求數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和Sn；

（2）若為=1,函數(shù)/（X）的圖象在點(diǎn)9232）處的切線在X軸上的截距為2-七,

求數(shù)列｛詈｝的前n項(xiàng)和7n.

33.（2014?全國(guó)高考真題（理））已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為%,叼=1,冊(cè)夕0,anan+i=

ASn-l,其中;I為常數(shù).

（1）證明：an+2—an=A；

（2）是否存在;I,使得｛an｝為等差數(shù)列？并說明理由.

34.（2014.廣東高考真題（理））設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,，滿足

Sn=2次z〃+i—3?—4,nGN",且邑=15.

（1）求q、%、%的值；

（2）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

35.（2014.山東高考真題（理））已知等差數(shù)列｛%｝的公差為2,前〃項(xiàng)和為S,,,且

-應(yīng),S4成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

（2）令％=（-1廣'±-,求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和

anan+\

36.（2014?全國(guó)高考真題（文））已知｛an｝是遞增的等差數(shù)列,a2",是方程X'-5X+6=0

的根。

（I）求｛5｝的通項(xiàng)公式；

（II）求數(shù)列饋｝的前九項(xiàng)和.

試卷第6頁(yè)，總20頁(yè)

37.(2014.江西高考真題(文))

已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和5?=即萬二，〃wN*?

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：對(duì)任意”〉1,都有mGN*，使得4，4，%成等比數(shù)列.

38.(2014.北京高考真題(理))對(duì)于數(shù)對(duì)序列P：(q,4),(外也)，，(%也)，記

￡(2)=4+4，Tk(P)=bk+Max｛T1.^(P),+a,++ak](2<k<n),其中

Max伍_i(P)，4+%++4｝表示(_](P)和a,+/++4兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù).

(1)對(duì)于數(shù)對(duì)序列P：(2,5),(4,1),求7](尸),7；(尸)的值；

(2)記冽為a,b，c,d四個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，對(duì)于由兩個(gè)數(shù)對(duì)3,?,(c,4)組成的數(shù)

對(duì)序列P:(a,b),(c,d)和P':(c,d),(a,b),試分別對(duì)m=a和陽=d兩種情況比較

7；(P)和心(P)的大小；

(3)在由五個(gè)數(shù)對(duì)(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)組成的所有數(shù)對(duì)序列中，寫出一

個(gè)數(shù)對(duì)序列尸使4(P)最小，并寫出[(P)的值.(只需寫出結(jié)論).

39.(2014.湖南高考真題(文))已知數(shù)列上｝的前〃項(xiàng)和5,=三土二，"w'T

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)a=24+(—1)”4,求數(shù)列0J的前2”項(xiàng)和.

40.(2014?天津高考真題(理))已知函數(shù)/(x)=cosx-sin%+y-^cos2%+^,

xwR.

(I)求/(x)的最小正周期；

jrjr

(II)求/(x)在一1,1上的最小值和最大值.

41.(2014?天津高考真題(理))已知9和〃均為給定的大于1的自然數(shù).設(shè)集合

n

M=｛0,1,2,集合A=｛x|x=X|+工20++xnq~',xieM,z=l,2,,〃｝.

(1)當(dāng)4=2,〃=3時(shí)，用列舉法表示集合A；

nn

(2)設(shè)sjeA,5=o1+a2q++anq~'-t=by+b2q++bnq~',其中

a^bf,i=1,2,，機(jī)證明：若a“<b”,則s<r.

42.（2014?重慶高考真題（文））（已知1J是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，&表示

U的前力項(xiàng)和.

（1）求a”及5”；

（2）設(shè)仇｝是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比9滿足/-（q+l）q+S4=0,求阮｝的通

項(xiàng)公式及其前〃項(xiàng)和晨.

43.（2014?浙江高考真題（文））已知等差數(shù)列｛q｝的公差d>0,設(shè)｛%｝的前”項(xiàng)和

為S“，4=1,S2-S3=36

（1）求I及S.；

（2）求人左（％左eN*）的值，使得4,,+am+i+?！?+2++4”+&=65.

44.（2011?福建高考真題（文））已知等差數(shù)列｛a]中，ai=l,a3=-3.

（I）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（II）若數(shù)列｛an｝的前k項(xiàng)和Sk=-35,求k的值.

n

45.（2011?天津高考真題（文））已知數(shù)列｛a“｝與｛bn｝滿足bn+ian+bnan+產(chǎn)（-2）+l,bn=

以'；-L）"1n《N*,且ai=2.

2

（1）求a2,a3的值

（2）設(shè)Cn=a2n+1-a2n.”n^N*,證明｛.｝是等比數(shù)列

S]SnS2n-1S2l1*

（3）設(shè)Sn為｛an｝的前n項(xiàng)和，證明+…r與n-°（nGN）

ala2a2n-la2n3

46.（201（重慶高考真題（文））（13分）（2011?重慶）設(shè)｛aj是公比為正數(shù)的等比數(shù)列

a1=2,a3=az+4.

（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

（H）設(shè)｛1｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列｛an+b.｝的前n項(xiàng)和S?

47.（2011?浙江高考真題（理））已知公差不為0的等差數(shù)列｛a。｝的首項(xiàng)如為a（a《R）

設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且工，—,一L成等比數(shù)列.

&2a4

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式及S"

試卷第8頁(yè)，總20頁(yè)

（2）記人產(chǎn)-^-+春+春+...+-^-,Bn=-—，當(dāng)nN2時(shí)，試比較An與Bn

ba

lb3sna1a22?-i

的大小.

48.（2013?重慶高考真題（文））設(shè)數(shù)列｛aj滿足：ai=l,a?+,=3an,n￡N+.

（1）求｛aj的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；

（2）已知｛bn｝是等差數(shù)列，Tn為前n項(xiàng)和，且b|=a2,b3-ai+a2+a3,求T?。.

49.（2013?湖北高考真題（理））已知等比數(shù)列｛aj滿足:|a2-a3|=10,aia2a3=125.

（1）求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在正整數(shù)m,使得‘-二+…若存在，求m的最小值；若不存

ala2am

在，說明理由.

2

50.（2013?江西高考真題（文））正項(xiàng)數(shù)列｛?。凉M足：a,,-（2n-1）an-2n=0.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式許；

1

（2）令與=;~八一，求數(shù)列仍“｝的前”項(xiàng)和T.

（〃+1）即n

51.（2013?全國(guó)高考真題（文））已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S,滿足S3=0,S5=-5。

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列*—-----的前〃項(xiàng)和。

52.（2013?上海高考真題（文））已知函數(shù)f（x）=2-|x|,無窮數(shù)列｛麗｝滿足an+i=f（an）,

n￡N*

（1）若ai=0,求a2,a3，沏；

（2）若ai>0,且a"a2,a3成等比數(shù)列，求如的值

（3）是否存在a”使得a"a2,…，即，…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的小，

若不存在，說明理由.

53.（2013?福建高考真題（文））已知等差數(shù)列｛q｝的公差d=l,前〃項(xiàng)和為S”.

（I）若1，4，生成等比數(shù)列，求q；

（II）若S5>4%求q的取值范圍。

54.（2013?安徽高考真題（理））設(shè)函數(shù)

4（x）=-l+x+:+二+...+L（x己出,〃2?/*），證明：

2*3*

2..

（I）對(duì)每個(gè)〃e_V）存在唯一的-J.滿足人人）=0；

（II）對(duì)任意pwS，由（I）中不構(gòu)成的數(shù)列｛/｝滿足叱工兀一工?個(gè)工.

n

55.（2009?山東高考真題（文））

等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5,，已知對(duì)任意的〃eN+，點(diǎn)（〃,S.），均在函數(shù)

y=〃+rS>0且。工1功,廠均為常數(shù)）的圖像上。

（1）求廠的值；

〃+1

（11）當(dāng)斤2時(shí)，記2=n（〃wN+）,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和小

56.（2012?陜西高考真題（理））設(shè)｛q｝的公比不為1的等比數(shù)列，其前葭項(xiàng)和為S”，

且a5M3M4成等差數(shù)列。

（1）求數(shù)列｛q｝的公比；（2）證明：對(duì)任意AeM，Sk+2,Sk,5什]成等差數(shù)列

57.（2012?重慶高考真題（文））已知｛4｝為等差數(shù)列，且4+%=8,%+%=12,（I）

求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；（H）記｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若q,%,S"2成等比數(shù)列，

求正整數(shù)%的值。

58.（2012?山東高考真題（理））在等差數(shù)列｛a“｝中，a^+a4+a5—84,%=73.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）對(duì)任意〃?eN*,將數(shù)列｛q,｝中落入?yún)^(qū)間（9"',92”）內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為粼，求數(shù)列

｛粼｝的前加項(xiàng)和5,“.

59.（2011?天津高考真題（理））

已知數(shù)列｛%｝與也｝滿足：

b“a“+。,用+ba=0,b=@N*，且4=2,%=4.

ll+]II+2n。

(I)求生,。4，。5的值；

(H)設(shè)j=%,_]+4“+],〃eN*,證明：｛%｝是等比數(shù)列；

4〃S7

(III)設(shè)=々2+4---卜％MeN*,證明：＜—(neN).

試卷第io頁(yè)，總20頁(yè)

60.（2011?江西高考真題（理））已知兩個(gè)等比數(shù)列｛k｝,｛4,｝,滿足

%=a（a>0）,/>|一q=l,b2-a2=2也一%=3.

（1）若4=1,求數(shù)列｛qj的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛qj唯一，求"的值.

61.（2011?江蘇高考真題）設(shè)整數(shù)九34,尸（a,b）是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)，其中

a,bE｛1,2,3,--?,n）,a>b

（1）記/n為滿足。-8=3的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，求/n；

（2）記8n為滿足*a-b）是整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，求8n

62.（2007?北京高考真題（理））數(shù)列｛%｝中，4=2,an+t^an+cn（C是常數(shù)，

〃=1,2,3,）,且/，a2,%成公比不為1的等比數(shù)列.

（I）求c的值；

（II）求｛4｝的通項(xiàng)公式.

63.（2007?安徽高考真題（理））（本小題滿分14分）某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度.公民在就

業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金,數(shù)目為“”以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加成公0）,

因此，歷年所交納的儲(chǔ)務(wù)金數(shù)目的，”2,…是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，與此同時(shí)，國(guó)

家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利.這就是說，如果固定年利

率為r（，>0）,那么，在第〃年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)槊纾?+r）"T,第二

年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)椤?（l+r）……，以7；表示到第八年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金

總額.

（I）寫出著,與（論2）的遞推關(guān)系式；

（II）求證：T?=An+B,?其中｛A,J是一個(gè)等比數(shù)列，｛B,J是一個(gè)等差數(shù)列.

64.（2010?山東高考真題（文））已知等差數(shù)列｛時(shí)｝滿足:。3=7,。$+。7=26.｛斯｝的

前n項(xiàng)和為S九.

（I）求冊(cè)及Sn；

（II）令“=-1-（neN+），求數(shù)列｛砥｝的前n項(xiàng)和加

un-1

65.（2008?江西高考真題（文））等差數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，q=3,前〃項(xiàng)和為S“，

何｝為等比數(shù)列,々=1,且62s2=64,b3s3=960.

,111

⑴求％與勿；（2）求和：—+—++—.

J〕o23〃

66.（2010?天津高考真題（理））（本小題滿分14分）

在數(shù)列｛a,J與也,｝中，/=I,仇=4,數(shù)列｛a,,｝的前幾項(xiàng)和5“滿足

科+i-（〃+3）S“=0,2a,用為bn與bn+l的等比中項(xiàng)，〃eN*.

（I）求W，%的值；

（II）求數(shù)列｛4｝與也,｝的通項(xiàng)公式；

（III）設(shè)7；=（一1）"屹+…+（T）"〃，〃GN*.證明凰＜2〃2,〃23.

67.（2009?山東高考真題（理））

等比數(shù)列｛4｝的前八項(xiàng)和為S“，已知對(duì)任意的〃GN+，點(diǎn)（〃,"），均在函數(shù)

丁=〃+?力＞0且6#1,仇廣均為常數(shù)）的圖像上。

（1）求廠的值；

+

（11）當(dāng)6=2時(shí)，記bn=2（log2an+1）（/7GN*）,證明：對(duì)任意的neN.不等式

4+1匕2+1綽口〉病"成立。

bib22

68.（2009?全國(guó)高考真題（理））在數(shù)列｛叫中，q=1,。,用=（l+/）a.+竽

（I）設(shè)〃=%，求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式

（II）求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和s.

69.（2008?寧夏高考真題（理））已知數(shù)列｛&｝是一個(gè)等差數(shù)列,且。2=1，%=—5.

（1）求｛勾｝的通項(xiàng)

⑵求｛%｝前〃項(xiàng)和S”的最大值.

70.（2009?湖北高考真題（文））己知｛aj是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a6

=55,a2+a7=16.

（I）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式:

（II）若數(shù)列｛a“｝和數(shù)列｛bn｝滿足等式：a/g+*+2+…多（〃為正整數(shù)），求數(shù)

列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn

71.（2009?全國(guó)高考真題（理））

試卷第12頁(yè)，總20頁(yè)

設(shè)數(shù)歹U{a,,}的前〃項(xiàng)和為s?,已知q=1,S,!+l=4a?+2

(I)設(shè)包=an+l-2an,證明數(shù)列也』是等比數(shù)列.

(II)求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式.

72.(2009?全國(guó)高考真題(文))

已知等差數(shù)列｛“”｝中，a：%=-16M$+%=0.求｛a”｝前n項(xiàng)和s”.

73.(2009?重慶高考真題(文))已知％=L4=4,a“+2=4。計(jì)］+2=色也,"eN*.

%

(I)求4也也的值;

(H)設(shè)c,=d%，S,為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，求證：5?>17n；

(III)求證：

74.(2019?江蘇高考真題)定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M—數(shù)列”.

(1)已知等比數(shù)列｛%｝滿足：=0,求證:數(shù)列｛〃“｝為"M—數(shù)

列”；

122

(2)已知數(shù)列回｝滿足:4=1,丁=丁一「，其中S,為數(shù)列｛兒)的前〃項(xiàng)和.

S“b?%

①求數(shù)列｛兒｝的通項(xiàng)公式；

②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M—數(shù)列”｛金｝。，對(duì)任意正整數(shù)晨當(dāng)上〈,〃時(shí)，都有

。沸0%］成立，求，〃的最大值.

75.(2019?天津高考真題(理))設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列.已知

4=4,4=6也=勿2一2也=2%+4.

(I)求｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

,1fl,2k<n<2k+i,

(H)設(shè)數(shù)列｛q｝滿足q=l,c,,=,其中AGN*.

bk.n=2,

(i)求數(shù)列｛4，卜2,-1)｝的通項(xiàng)公式；

2”

(ii)求￡g￡.(nGN).

i=l

76.(2018?上海高考真題)給定無窮數(shù)列｛冊(cè)｝,若無窮數(shù)列協(xié)九｝滿足：對(duì)任意nCN*,

都有|bn-an|<1,則稱｛%｝與｛即｝“接近”.

(1)設(shè)｛an｝是首項(xiàng)為1,公比為押等比數(shù)列，為=%+1+1，?1€叱，判斷數(shù)列｛4｝是

否

與｛%J接近，并說明理由；

(2)設(shè)數(shù)列｛aj的前四項(xiàng)為：%=1,a2=2,a3=4,a4=8,｛1｝是一個(gè)與｛a"接'

近的數(shù)列，記集合M=｛x|x=瓦，i=l,2,3,4｝,求M中元素的個(gè)數(shù)?n；

(3)已知｛廝｝是公差為d的等差數(shù)歹!若存在數(shù)列｛蜃｝滿足:｛勾｝與接近，且在慶-瓦,

b3-b2,6201-Zoo中至少有100個(gè)為正數(shù)，求d的取值范圍.

77.(2017?山東高考真題(理))已知｛七｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且

%+毛=3,Xy—x2=2

(I)求數(shù)列｛玉｝的通項(xiàng)公式；

(II)如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。中，依次連接點(diǎn)

P(3%.岑+(x“+〃+)得到折線片8…月出，求由該折線與直線y=0,

%=玉E=玉+1所圍成的區(qū)域的面積看.

78.(2016?天津高考真題(理))已知｛an｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d,對(duì)任

意的neN*,b”是即和即+i的等比中項(xiàng).

(I)設(shè)7=居+i-波,neN*,求證:數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列；

(II)設(shè)a1=d,7n=悅neN*,求證：〈點(diǎn).

79.(2016?江蘇高考真題)記0=｛1,2,,100｝.對(duì)數(shù)列｛4｝(〃€N*)和U的子集T,

若7=0,定義Sr=O；若丁;"由，，4｝，定義=3+4,++4.例如：

7二｛1,3,66｝時(shí)，57=囚+%+46,現(xiàn)設(shè)｛。〃｝(〃￡%*)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)

T=｛2,4｝時(shí)，Sr=30.

試卷第14頁(yè)，總20頁(yè)

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵對(duì)任意正整數(shù)%(1必4100),若Tq｛1,2,次｝,求證：sr<ak+i；

(3)設(shè)求證：Sc+SCryD>2SD.

80.(2016?浙江高考真題(理))設(shè)數(shù)列｛樂｝滿足1即一巴產(chǎn)I式1，n€/V*.

71

(1)證明：|an|>2T(|%|-2),neN*：

n

(II)若|即|<(|),nGN*,證明：|an|<2,n€N*.

81.(2016?上海高考真題(文))對(duì)于無窮數(shù)列｛a同與具篤｝,記人二⑶衿廝，n&N*),

B=｛x|x=bn,n€N*｝,若同時(shí)滿足條件：①｛a",｛%｝均單調(diào)遞增；②4nB=0且

AUB=N*,則稱｛冊(cè)｝與｛5｝是無窮互補(bǔ)數(shù)列.

(1)若0n=2n-l,bn=4n-2,判斷｛an｝與｛d｝是否為無窮互補(bǔ)數(shù)列,并說明理由；

(2)若0n=2"且｛冊(cè)｝與｛%｝是無窮互補(bǔ)數(shù)列，求數(shù)列｛%｝的前16項(xiàng)的和；

(3)若｛%｝與｛%｝是無窮互補(bǔ)數(shù)列，｛aj為等差數(shù)列且的6=36,求｛時(shí)｝與｛砥｝的通項(xiàng)

公式.

82.(2016?四川高考真題(理))已知數(shù)列｛廝｝的首項(xiàng)為1,Sn為數(shù)列｛a"的前n項(xiàng)和,

Sn+1=qSn+1,其中q>0,n6N*.

(I)若2a243,。2+2成等差數(shù)列，求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(H)設(shè)雙曲線/—白1的離心率為的，且02=|，證明：e1+?2+…+en>黑.

83.(2016?四川高考真題(文))已知數(shù)列｛a。｝的首項(xiàng)為1,S0為數(shù)列｛a"的前n項(xiàng)和,

Sn+i=qSn+L其中q>0,n￡N*.

(I)若a2,a3,a?+a3成等差數(shù)列，求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

2

(II)設(shè)雙曲線--靠=1的離心率為en,且e2=2,求ej+e22+.??+e/

84.(206山東高考真題(文))已知數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列

1

--------\的前〃項(xiàng)和為-~YI.

〔?！?小2/7+1

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)々=(4+1>2%,求數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和北.

85.(2015?江蘇高考真題)(本小題滿分16分)設(shè)a1,a2，a3，a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為

d(d*0)的等差數(shù)列

(1)證明：2\2,2%，2々依次成等比數(shù)列；

(2)是否存在的,d,使得四,。22,。33,。44依次成等比數(shù)列，并說明理由；

(3)是否存在內(nèi),d及正整數(shù)均匕使得可#「：可2<二,依次成等比數(shù)列，并說明

理由.

86.(2015?陜西高考真題(理))(本小題滿分12分)設(shè)加(%)是等比數(shù)列1,X,

x71的各項(xiàng)和，其中久>0,n&N,n>2.

(1)證明：函數(shù)Fn(x)=④(x)-2在G，l)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為xn),且

3=；+濟(jì)+】；

(II)設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為

g“(x),比較⑥(x)

與外(乃的大小，并加以證明?

87.(2015?湖南高考真題(文))(本小題滿分13分)函數(shù)/(x)=ae2cosx(xG[0,+oo),

記為/'(x)的從小到大的第n(neN*)個(gè)極值點(diǎn)。

(I)證明：數(shù)列｛/(孫)｝是等比數(shù)列；

(II)若對(duì)一切neN*,如W|/(Xn)l恒成立，求a的取值范圍。

88.(2015?天津高考真題(理))已知數(shù)列｛即｝滿足即+2=qa&l為實(shí)數(shù),且q力1),ne

N*,為=1,=2,且a2+a3,a3+a4,a4+成等差數(shù)列.

(I)求q的值和｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)以=皿出,neN*,求數(shù)列｛3｝的前n項(xiàng)和.

a2n-l

89.(2014?江蘇高考真題)(滿分16分)

設(shè)數(shù)列｛a,,｝的前n項(xiàng)和為5“.若對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m,使得5?=am,

則稱｛a,,｝是“萬數(shù)列”.

(1)若數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為Sn=2"(〃eN*),證明：｛4｝是“H數(shù)列

⑵設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，其首項(xiàng)4=1，公差d<0,若｛a,,｝是““數(shù)列”，求d的值；

(3)證明：對(duì)任意的等差數(shù)列｛%｝,總存在兩個(gè)“〃數(shù)列”｛〃｝和｛c“｝,使得

4=勿+%(〃eN*)成立.

90.(2014.上海高考真題(理))(本題滿分18分)本題共3個(gè)小題，第1小題滿分3

分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.

試卷第16頁(yè)，總20頁(yè)

已知數(shù)列｛an｝滿足，斯<an+i<3an,neN*,即=1.

（1）若&2=2,。3=X,=9,求X的取值范圍；

（2）若｛。?｝是公比為q等比數(shù)列，Sn=ar+a2A---Fan,|sn<Sn+1<3Sn,nGN*，求

q的取值范圍；

（3）若的,。2,…，0成等差數(shù)列，且的+。2+…+/=1000,求正整數(shù)k的最大值,

以及k取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列內(nèi),a2，…，心的公差.

91.（2014.上海高考真題（文））（本題滿分18分）本題共3個(gè)小題，第1小題滿分3

分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.

已知數(shù)歹U｛4｝滿足<4<4用=1.

（1）若％=2,%=x,q=9，求x的取值范圍；

（2）若｛4｝是等比數(shù)列，且勺正整數(shù)機(jī)的最小值，以及加取最小值時(shí)相

應(yīng)｛%｝的僅比；

（3）若4,%,,q0G成等差數(shù)列，求數(shù)列4,4,，“⑼的公差的取值范圍.

92.（2014.全國(guó)高考真題（理））已知數(shù)列｛4｝滿足卬=1,。,用=3q+l.

⑴證明｛4“+；｝是等比數(shù)列，并求｛4｝的通項(xiàng)公式；

1113

（2）證明：-+—+

4a2an2

93.（2014.全國(guó)高考真題（理））等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S"，己知q=10,生為

整數(shù)，且S.WS「

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)d=」一,求數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和北.

94.（2014.浙江高考真題（理））已知數(shù)列以｝和'｝滿足&化…a,=（砌〃3）.

若為等比數(shù)列，且%=2/3=6+&.

（1）求4與6”；

(2)設(shè)記數(shù)列除｝的前〃項(xiàng)和為“

(i)求工；

(ii)求正整數(shù)底使得對(duì)任意〃j\”,均有S：2S「

95.(2014?安徽高考真題(文))數(shù)列｛4｝滿足％=1,〃4+]=5+1)q+〃。2+1),

neN*.

(1)證明：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列；

n

(2)設(shè)勿=3"?，求數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和sn.

96.(2014.重慶高考真題(理))設(shè)q=l,a“+I="a；_2q,+2+.(〃eN*)

(1)若b=l,求4，%及數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若/?=-1,問：是否存在實(shí)數(shù)c使得生“<。<生,用對(duì)所有〃eN*成立？證明你

的結(jié)論.

n

97.(2014?湖南高考真題(理))已知數(shù)列｛an｝滿足%=1,\an+1-an\=p,neN*.

(1)若｛an｝為遞增數(shù)列，且的,2a2,3a3成等差數(shù)列，求P的值；

(2)若p=a且an_J是遞增數(shù)列,Qn｝是遞減數(shù)列,求數(shù)列｛斷｝的通項(xiàng)公式.

98.(2011?湖北高考真題(文))成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15,并且這三個(gè)數(shù)分

別加上2、5、13后成為等比數(shù)列｛b等中的b3、b4、b5.

(I)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(II)數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列｛Sn+5｝是等比數(shù)列.

4

99.(2011.重慶高考真題(理))設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和S”滿足Sn+1=an+lSn(neN*).

(1)若a)S2,-2a2成等比數(shù)列，求S2和a3.

(II)求證:對(duì)k>3有0<a<-.

k3

100.(2011?湖北高考真題(理)