高考數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第一冊專題3.12圓錐曲線的方程全章綜合測試卷(提高篇)(原卷版+解析)

第三章圓錐曲線的方程全章綜合測試卷（提高篇）【人教A版（2019）】考試時間：120分鐘；滿分：150分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時120分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022秋·山東聊城·高二校考期末）方程x2?yA．當(dāng)θ=B．當(dāng)θ∈π2,πC．當(dāng)θ=π時，表示圓D．當(dāng)θ∈0,π22．（5分）（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期末）設(shè)點F1、F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點，點M、N在C上（MA．108 B．104 C．583．（5分）（2023春·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點分別是F1,FA．y=±x B．y=±C．y=±2x D．y=±4．（5分）（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知點P為拋物線y2=2px（p>0）上一動點，點Q為圓C:(x+2)2+(y?4)2=1上一動點，點F為拋物線的焦點，點PA．1 B．2 C．3 D．4

5．（5分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點為K，點P在C上且位于第一象限，PQ⊥l于點Q，過點P作QF的平行線交x軸于點R，若PF⊥QR，且四邊形PQKR的面積為603，則直線A．3x+y?36=0C．x+3y?366．（5分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C方程為x2=4y，F(xiàn)為其焦點，過點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，且拋物線在A，B兩點處的切線分別交x軸于P，Q兩點，則AP?A．12,+∞ B．2,+∞ C．2,+∞ 7．（5分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F，上頂點為A，若存在直線l與橢圓交于不同兩點B,CA．0,2 B．0,32 C．0,18．（5分）（2023秋·湖北恩施·高二校聯(lián)考期末）法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓Γ：x2a2+y2b2=1a>b>0的蒙日圓為C：x2+y2=32a2，過C上的動點MA．橢圓Γ的離心率為2B．△MPQ面積的最大值為3C．M到Γ的左焦點的距離的最小值為6D．若動點D在Γ上，將直線DA，DB的斜率分別記為k1，k2二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2023春·貴州黔南·高二統(tǒng)考期末）已知P是橢圓C:x24+y2=1A．橢圓C的焦距為3 B．橢圓C的離心率為3C．圓D在橢圓C的內(nèi)部 D．PQ的最小值為610．（5分）（2023春·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線Γ:x2=2pyp>0，過其準(zhǔn)線上的點Tt,?1作Γ的兩條切線，切點分別為A．p=4 B．當(dāng)t=1時，TA⊥TBC．當(dāng)t=1時，直線AB的斜率為2 D．直線AB過定點0,111．（5分）（2023·全國·鄭州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為1A．橢圓方程為C:B．直線l：3x+4y?7=0與橢圓C無公共點C．若過點O作OA⊥OB，A，B為橢圓C上的兩點，則過O作OH垂直于弦AB于H，H所在軌跡為圓，且rD．若過點Q（3，2）作橢圓兩條切線，切點分別為A，B，P為直線PQ與橢圓C的交點，則k12．（5分）（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2?y23=1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是雙曲線C的右支上一點，過點P的直線lA．PFB．若直線l經(jīng)過F2，且與雙曲線C交于另一點Q，則PQC．PFD．若直線l與雙曲線C相切，則點M，N的縱坐標(biāo)之積為?3三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023春·廣東揭陽·高二校聯(lián)考期中）現(xiàn)有雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0，A，B為雙曲線的左、右頂點，C，D為雙曲線的虛軸端點，動點P滿足14．（5分）（2023·吉林長春·?？寄M預(yù)測）已知斜率為25的動直線與橢圓x25+y24=1交于A,B兩點，線段15．（5分）（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）已知拋物線y2=4x上存在兩點A,B（A,B異于坐標(biāo)原點O），使得∠AOB=90°，直線AB與x軸交于M點，將直線AB繞著M點逆時針旋轉(zhuǎn)90°與該拋物線交于C，D兩點，則四邊形ACBD面積的最小值為16．（5分）（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點分別為F1?c,0，F(xiàn)2c,0，直線y=kxk>0與雙曲線C在第一、三象限分別交于點A、B，O為坐標(biāo)原點.有下列結(jié)論：①四邊形AF1BF2是平行四邊形；②若AE⊥x四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023春·河北·高二校聯(lián)考期末）已知B為拋物線y2=2x?2上一點，A2,0，B為AC的中點，設(shè)C(1)求曲線E的方程；(2)過點F1,0作直線交曲線E于點M、N，點P為直線l：x=?1上一動點．問是否存在點P使18．（12分）（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）雙曲線的焦點F1,F2的坐標(biāo)分別為?5,0和(1)雙曲線的方程及其漸近線方程；(2)已知直線l與該雙曲線交于交于A,B兩點，且A,B中點P5,119．（12分）（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點，橢圓x2a2+y(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓的左、右頂點分別為E、F，過點D(?2,2)作直線與橢圓交于A、B兩點，且A、B位于第一象限，A在線段BD上，直線OD與直線FA相交于點C，連接EB、EC，直線EB、EC的斜率分別記為k1、k2，求20．（12分）（2023春·湖北恩施·高二校聯(lián)考期末）已知F是拋物線C:y2=2pxp>0的焦點，過點F的直線交拋物線C于A、(1)求拋物線C的方程；(2)若O為坐標(biāo)原點，過點B作y軸的垂線交直線AO于點D，過點A作直線DF的垂線與拋物線C的另一交點為E，AE的中點為G，求GBDG21．（12分）（2023秋·上海浦東新·高二校考期末）在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若P為線段AB的中點，設(shè)OP的斜率為k′，求證：k?(3)設(shè)點A，B關(guān)于原點對稱的點分別為C，D，求四邊形ABCD面積的最大值.22．（12分）（2023春·上海青浦·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線Γ:y2=4x的焦點為(1)若F為雙曲線C:x2a(2)設(shè)l與x軸的交點為E，點P在第一象限，且在Γ上，若PFPE=2(3)經(jīng)過點F且斜率為kk≠0的直線l′與Γ相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，直線OA、OB分別與l相交于點M、N．試探究：以線段MN為直徑的圓C第三章圓錐曲線的方程全章綜合測試卷（提高篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022秋·山東聊城·高二?？计谀┓匠蘹2?yA．當(dāng)θ=B．當(dāng)θ∈π2,πC．當(dāng)θ=π時，表示圓D．當(dāng)θ∈0,π2【解題思路】根據(jù)cosθ【解答過程】對于A：當(dāng)θ=π2時，方程為x2=1對于B：x2?y2cosθ=1化為x2+y2?對于C：當(dāng)θ=π時，方程為x2對于D：x2?y2cosθ=1化為x2?y21故選：B.2．（5分）（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期末）設(shè)點F1、F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點，點M、N在C上（MA．108 B．104 C．58【解題思路】分析可知，四邊形MF1NF2為矩形，設(shè)MF2=t，則MF【解答過程】如下圖所示：

由題意可知，O為F1F2、MN的中點，則四邊形M又因為MN=F1設(shè)MF2=t，則M由勾股定理可得2c=F所以，該橢圓的離心率為e=2c故選：B.3．（5分）（2023春·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點分別是F1,FA．y=±x B．y=±C．y=±2x D．y=±【解題思路】先根據(jù)圓的直徑得出垂直關(guān)系，再根據(jù)正弦值得出邊長，結(jié)合雙曲線定義可得2a，計算漸近線即可.【解答過程】

因為線段F1F2為直徑的圓在第一象限交雙曲線所以AF則AF1=故選:B．4．（5分）（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知點P為拋物線y2=2px（p>0）上一動點，點Q為圓C:(x+2)2+(y?4)2=1上一動點，點F為拋物線的焦點，點PA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】由拋物線的定義，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)C,Q,P,F共線，且P,Q在線段CF上時，PQ+PF最短，此時【解答過程】圓C:(x+2)2+(y?4)2拋物線y2=2px（p>0）則由拋的線的定義可知點P到y(tǒng)軸的距離為d=PF所以PQ+d=由圖可知，當(dāng)C,Q,P,F共線，且P,Q在線段CF上時，PQ+而CF=因為PQ+所以p2+22故選：B.

5．（5分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點為K，點P在C上且位于第一象限，PQ⊥l于點Q，過點P作QF的平行線交x軸于點R，若PF⊥QR，且四邊形PQKR的面積為603，則直線A．3x+y?36=0C．x+3y?36【解題思路】根據(jù)幾何關(guān)系可判斷出PQFR為菱形，其可判斷△PQF與△PFR均為正三角形，由此得到p與菱形邊長關(guān)系，再根據(jù)面積得到p值，最終根據(jù)點斜式得到方程.【解答過程】如圖，因為PR∥QF，PQ⊥QK，所以四邊形又因為PF⊥QR，所以四邊形PQFR為菱形，所以|PQ|=|QF|．由拋物線的定義知|PQ|=|PF|，則|PQ|=|PF|=|QF|=|FR|=|PR|，即△PQF與△PFR均為正三角形，設(shè)|QF|=t，則在Rt△KQF中，|KF|=|QF|2，即p=因為四邊形PQKR的面積為603，所以(t+p+t)?解得p=26，則R(56,0)，又直線QR所以直線QR的方程為y=?33(x?5故選D．6．（5分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C方程為x2=4y，F(xiàn)為其焦點，過點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，且拋物線在A，B兩點處的切線分別交x軸于P，Q兩點，則AP?A．12,+∞ B．2,+∞ C．2,+∞ 【解題思路】設(shè)直線l的方程為：y=kx+1，Ax1,x124,Bx2,【解答過程】因為拋物線C方程為x2=4y，所以其焦點為0,1，所以可設(shè)直線l的方程為：y=kx+1，聯(lián)立拋物線方程可得，x2?4kx?4=0，所以又x2=4y?y=x24?y′=x2，所以拋物線在A處的切線方程為：y?x1所以AP=1432+4即AP?BQ的取值范圍為故選：B．7．（5分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F，上頂點為A，若存在直線l與橢圓交于不同兩點B,CA．0,2 B．0,32 C．0,1【解題思路】設(shè)Bx1,y1,Cx2,【解答過程】設(shè)橢圓x2a2由已知Fc,0，A設(shè)Bx因為△ABC重心為F，所以x1所以x1又x1所以x1所以b2所以直線l的斜率k=?b當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立，又k=3bc所以直線l的斜率取值范圍是0,3故選：B.8．（5分）（2023秋·湖北恩施·高二校聯(lián)考期末）法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓Γ：x2a2+y2b2=1a>b>0的蒙日圓為C：x2+y2=32a2，過C上的動點MA．橢圓Γ的離心率為2B．△MPQ面積的最大值為3C．M到Γ的左焦點的距離的最小值為6D．若動點D在Γ上，將直線DA，DB的斜率分別記為k1，k2【解題思路】對于A，取橢圓左頂點與上頂點處的切線，建立齊次方程，可得答案；對于B，根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積公式，可得答案；對于C，設(shè)出點的坐標(biāo)，由兩點距離公式，利用函數(shù)的思想，可得答案；對于D，設(shè)出點的坐標(biāo)，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點差法，結(jié)合兩點之間斜率公式，可得答案.【解答過程】依題意，過橢圓Γ的上頂點作y軸的垂線，過橢圓Γ的右頂點作x軸的垂線，則這兩條垂線的交點在圓C上，所以a2+b2=32因為點M，P，Q都在圓C上，且∠PMQ=90°，所以PQ為圓C的直徑，所以PQ=2×所以△MPQ面積的最大值為12設(shè)Mx0,y0，Γ因為c2=a又?62a≤則M到Γ的左焦點的距離的最小值為6?由直線PQ經(jīng)過坐標(biāo)原點，易得點A，B關(guān)于原點對稱，設(shè)Ax1,y1，Dx2又x122b2+y故選：B.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2023春·貴州黔南·高二統(tǒng)考期末）已知P是橢圓C:x24+y2=1A．橢圓C的焦距為3 B．橢圓C的離心率為3C．圓D在橢圓C的內(nèi)部 D．PQ的最小值為6【解題思路】A和B：利用橢圓的方程求解判斷；C：由橢圓方程和圓的方程聯(lián)立，利用判別式法判斷；D：利用圓心到點的距離判斷.【解答過程】因為橢圓方程為：x2所以a2=4,b由x24+因為Δ=所以橢圓與圓無公共點，又圓心?1,0在橢圓內(nèi)部，所以圓在橢圓內(nèi)部，故C正確；設(shè)Px,y則PD=當(dāng)x=2?2×34=?43時，PD故選：BC.10．（5分）（2023春·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線Γ:x2=2pyp>0，過其準(zhǔn)線上的點Tt,?1作Γ的兩條切線，切點分別為A．p=4 B．當(dāng)t=1時，TA⊥TBC．當(dāng)t=1時，直線AB的斜率為2 D．直線AB過定點0,1【解題思路】根據(jù)Tt,?1為準(zhǔn)線上的點列方程?p2=?1，解方程即可得到p可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到過點Ax1,x124，Bx2,x224的切線斜率，可得到x1，x【解答過程】因為Tt,?1為準(zhǔn)線上的點，所以?p2根據(jù)拋物線方程得到y(tǒng)=x24，則y′=則?1?x1241?所以x1，x2為方程x2所以kTA?k由B選項得x1+x由B選項得x12?2tx1同理得2y2?tx2?2=0，所以直線故選：BD．

11．（5分）（2023·全國·鄭州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為1A．橢圓方程為C:B．直線l：3x+4y?7=0與橢圓C無公共點C．若過點O作OA⊥OB，A，B為橢圓C上的兩點，則過O作OH垂直于弦AB于H，H所在軌跡為圓，且rD．若過點Q（3，2）作橢圓兩條切線，切點分別為A，B，P為直線PQ與橢圓C的交點，則k【解題思路】先利用離心率，焦點三角形面積最大值算出a，b，得出橢圓方程，再逐一分析.【解答過程】由題意ca=12bc=聯(lián)立x24+y2故有兩個交點，故B錯誤；因為S=OAOB且1而1∴OH設(shè)Hx,y，則x2∴x2設(shè)過橢圓外的點Q（3，2）的切線方程為y=k(x?3)+2聯(lián)立x24+∵y=k(x?3)+2與橢圓相切，∴Δ=0，整理得：5k2故兩切線為定直線，則A，B為定點，故kAB∵P為直線PQ與橢圓C的交點，則P為動點則kPQ故選：AC.12．（5分）（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2?y23=1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是雙曲線C的右支上一點，過點P的直線lA．PFB．若直線l經(jīng)過F2，且與雙曲線C交于另一點Q，則PQC．PFD．若直線l與雙曲線C相切，則點M，N的縱坐標(biāo)之積為?3【解題思路】設(shè)出點P坐標(biāo)，直接計算可判斷A、C；比較雙曲線的通徑長和實軸長可判斷B；設(shè)出直線l的方程后聯(lián)立漸近線方程，求出點M，N的坐標(biāo)，再聯(lián)立直線l與雙曲線方程，利用判別式為零可得參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而計算點M，N的縱坐標(biāo)之積可得結(jié)果.【解答過程】依題意a=1，b=3，c=2，F(xiàn)1(?2,0)，F(xiàn)設(shè)P(x0,y0)，則雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±3對于A，PF對于B，若Q在雙曲線C的右支，則通徑最短，通徑為2b若Q在雙曲線C的左支，則實軸最短，實軸長為2a=2<6，B錯誤；對于C，P==(2x對于D，不妨設(shè)M(x1,3x1)由x=my+nx2?若直線l與雙曲線C相切，則Δ=36化簡整理得n2則點M，N的縱坐標(biāo)之積y1故選：ACD.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023春·廣東揭陽·高二校聯(lián)考期中）現(xiàn)有雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0，A，B為雙曲線的左、右頂點，C，D為雙曲線的虛軸端點，動點P滿足PAPB【解題思路】根據(jù)條件，設(shè)A(?a,0),B(a,0),P(x,y),，由兩點間距離公式并化簡可得動點P的軌跡方程,并判斷出動點P的軌跡為圓.結(jié)合題意，當(dāng)點P位于最高點時，△PAB的面積最大，可求出a；當(dāng)點P位于左端時，△PCD的面積最小，可求出b，進(jìn)一步計算即可.【解答過程】設(shè)A(?a,0),B(a,0),P(x,y),依題意得，|PA|=2|PB|,即(x+a)兩邊平方化簡得(x?則點P的軌跡是以(5a3,0)當(dāng)點P位于最高點時，△PAB的面積最大，最大面積為1解得a=2;當(dāng)點P位于最左端時，△PCD的面積最小，最小面積為12解得b=3,故雙曲線的離心率e=故答案為：1314．（5分）（2023·吉林長春·?？寄M預(yù)測）已知斜率為25的動直線與橢圓x25+y24=1交于A,B兩點，線段AB的中點為【解題思路】設(shè)斜率為25直線方程為y=25x+b，聯(lián)立方程組，寫出韋達(dá)定理，然后求出線段AB的中點為【解答過程】設(shè)斜率為25直線方程為：y=代入橢圓x224x線段AB的中點為M，設(shè)Ax則x1所以y1==2所以x0=x1+所以線段AB的中點為M的軌跡方程為：y=?2x，如圖所示：M的軌跡即為線段PQ，由y=?2xx25所以P?所以M的軌跡長度為：PQ=故答案為：5615．（5分）（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）已知拋物線y2=4x上存在兩點A,B（A,B異于坐標(biāo)原點O），使得∠AOB=90°，直線AB與x軸交于M點，將直線AB繞著M點逆時針旋轉(zhuǎn)90°與該拋物線交于C，D兩點，則四邊形ACBD面積的最小值為80【解題思路】設(shè)直線AB的方程為x=my+t，聯(lián)立方程組，由條件證明t=4，由此可得AB，再求CD，求四邊形ACBD面積的解析式，求其最小值即可.【解答過程】由已知直線AB的斜率存在，且不為0，故可設(shè)直線AB的方程為x=my+t，聯(lián)立y2消x得，y2方程y2?4my?4t=0的判別式設(shè)Ax1,所以x因為∠AOB=90°，所以O(shè)A?OB=0所以t2又A,B異于坐標(biāo)原點O，所以y1y2所以t=4，所以直線AB的方程為x=my+4，且AB所以直線AB與x軸的交點為4,0，所以點M的坐標(biāo)為4,0，所以直線CD的方程為x=?1聯(lián)立y2消x得，y2方程y2+4設(shè)Cx3,所以CD=由已知AB⊥CD，所以四邊形ACBD面積S=1設(shè)m2=λ，則λ>0，所以S=8λ由基本不等式可得λ+1λ≥2，當(dāng)且僅當(dāng)λ=1設(shè)μ=λ+1λ，可得S=84所以當(dāng)μ=2時，即m=±1時，S取最小值，最小值為80，所以四邊形ACBD面積的最小值為80.故答案為：80.

16．（5分）（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點分別為F1?c,0，F(xiàn)2c,0，直線y=kxk>0與雙曲線C在第一、三象限分別交于點A、B，O為坐標(biāo)原點.有下列結(jié)論：①四邊形AF1BF2是平行四邊形；②若AE⊥x軸，垂足為E【解題思路】對于①，利用雙曲線的性質(zhì)判斷四邊形的形狀，對于②，利用斜率公式判斷，對于③，由題意可判斷四邊形AF1BF2【解答過程】對于①，因為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點分別為F所以O(shè)A=所以四邊形AF對于②，設(shè)A(x1,因為AE⊥x軸，垂足為E，所以E(x所以k=y1x對于③，因為OA=c，所以O(shè)A所以△AF1F設(shè)AF1=m,AF因為m2+n所以mn=2b2，所以四邊形AF對于④，因為△AOF2為正三角形，OF因為點Ac2,所以c24a所以(c2?所以e4所以e2因為e2>1，所以所以e=3故答案為：①②④.四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023春·河北·高二校聯(lián)考期末）已知B為拋物線y2=2x?2上一點，A2,0，B為AC的中點，設(shè)C(1)求曲線E的方程；(2)過點F1,0作直線交曲線E于點M、N，點P為直線l：x=?1上一動點．問是否存在點P使【解題思路】（1）設(shè)Cx,y，表達(dá)出Bx+22（2）設(shè)出直線MN：x=my+1，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)等邊三角形，得到方程，求出m，進(jìn)而得到P(?1,±82【解答過程】（1）設(shè)Cx,y，則因為點B在拋物線y2=2x?2上，即化簡得y2=4x，所以曲線E的方程為（2）假設(shè)存在點P?1,y0當(dāng)MN垂直于y軸時，不符合題意；當(dāng)MN不垂直于y軸時，設(shè)直線MN：x=my+1，MN的中點為Ks,t聯(lián)立y2=4xx=my+1∴Δ=16m2+16，∴MN=∴t=y1+∴PK=∵△MNP為正三角形，∴32即4m∴m=±2PK：y?2m=?mx?2m2∴y所以存在點P(?1,±82)使

18．（12分）（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）雙曲線的焦點F1,F2的坐標(biāo)分別為?5,0和(1)雙曲線的方程及其漸近線方程；(2)已知直線l與該雙曲線交于交于A,B兩點，且A,B中點P5,1【解題思路】（1）由題意可得c的值，再由離心率，可得a的值，進(jìn)而求出b的值，由此可求出雙曲線的方程以及漸近線方程；（2）設(shè)直線l：y=kx?5【解答過程】（1）由題意可得c=5,e=ca=54所以b2所以雙曲線的方程為：x216?（2）由于A,B中點P5,1不在x設(shè)直線l：y=kx?5+1，A聯(lián)立y=kx?5消去y得9?16k則x1x2=?400則AB==1+19．（12分）（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點，橢圓x2a2+y(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓的左、右頂點分別為E、F，過點D(?2,2)作直線與橢圓交于A、B兩點，且A、B位于第一象限，A在線段BD上，直線OD與直線FA相交于點C，連接EB、EC，直線EB、EC的斜率分別記為k1、k2，求【解題思路】（1）由已知條件可得出關(guān)于a、b、c的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；（2）不妨設(shè)Ax1,y1、Bx2,y2，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，可得m=2k+2，將直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，設(shè)【解答過程】（1）解：由題意知，ca=3即ca=32a2+因此，橢圓的方程為x2（2）解：如下圖所示：不妨設(shè)Ax1,y1設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，因為點D?2,2，則?2k+m=2，則m=2k+2聯(lián)立y=kx+mx2+4Δ=64k2m2解得k<?3由韋達(dá)定理可得x1+x所以，?12<k<?38由于C在直線OD上，設(shè)C?又由于C在直線FA上，則x0?xk=?=?420．（12分）（2023春·湖北恩施·高二校聯(lián)考期末）已知F是拋物線C:y2=2pxp>0的焦點，過點F的直線交拋物線C于A、(1)求拋物線C的方程；(2)若O為坐標(biāo)原點，過點B作y軸的垂線交直線AO于點D，過點A作直線DF的垂線與拋物線C的另一交點為E，AE的中點為G，求GBDG【解題思路】（1）分析可知AB與x軸不重合，設(shè)直線AB的方程為x=my+p2，設(shè)點Ax1,y1、Bx2,y（2）寫出直線AO的方程，將y=y2代入直線AO的方程，求出D的坐標(biāo)，然后求出AE的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出點G的坐標(biāo)，分析可知G、B、D三點共線，可得出GBGD=1?1【解答過程】（1）解：拋物線C的焦點為Fp若直線AB與x軸重合，則直線AB與拋物線C只有一個公共點，不合乎題意，設(shè)直線AB的方程為x=my+p2，設(shè)點Ax聯(lián)立y2=2pxx=my+p2由韋達(dá)定理可得y1+y1=my1所以，拋物線C的方程為y2（2）解：設(shè)點Ax1,y1、Bx2又因為直線AO的方程為y=y

將y=y2代入直線AO的方程可得y2=2所以，kDF因為AE⊥DF