2022-2023學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2廣東省佛山市南海區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，有一項是符合題目要求.1.已知向量，，那么向量的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以．故選：D．2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點坐標(biāo)為，該點是第三象限點.故選：C．3.的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得：.故選：C.4.“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗時，是偶函數(shù)，充分性滿足，但時，也是偶函數(shù)，必要性不滿足，應(yīng)是充分不必要條件．故選：A．5.圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球的表面積和圓柱的表面積的比是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)球的半徑的r，依題意圓柱的底面半徑也是r，高是2r，圓柱的表面積，球的表面積，所以球的表面積和圓柱的表面積的比是.故選：A.6.向量在向量上的投影向量是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：B.7.在正方形中，在上且有與對角線交于，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，正方形中，，則，因為，所以，則，故.故選：C.8.復(fù)數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最小值為（）A.3 B.4 C. D.5〖答案〗B〖解析〗設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，由知，點的軌跡為以原點為圓心，半徑為1的圓，表示圓上的點到點的距離，如下圖，如圖，最小值為.故選：B.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列四個函數(shù)中，以為最小正周期且在區(qū)間上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗函數(shù)的最小正周期，時，，則函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，故A不符合；函數(shù)的最小正周期，時，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B符合；函數(shù)的最小正周期，故C不符合；函數(shù)的最小正周期，時，函數(shù)單調(diào)遞增，故D符合.故選：BD.10.一個平行四邊形的三個頂點坐標(biāo)分別是，，，則第四個頂點的坐標(biāo)可能是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗設(shè)點、、，設(shè)第四個頂點為，分以下三種情況討論：①若四邊形為平行四邊形，則，即，即，解得，此時，點的坐標(biāo)為；②若四邊形是平行四邊形，則，則，即，解得，此時，點的坐標(biāo)為；③若四邊形為平行四邊形，則，即，即，解得，此時，點的坐標(biāo)為，綜上所述，第四個頂點的坐標(biāo)為或或.故選：ABC.11.已知函數(shù)，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則將圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱B.若，且的最小值為，則C.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為D.當(dāng)時，在有且只有3個零點〖答案〗ABD〖解析〗函數(shù)，A：若，，將圖象向左平移個單位長度后得到，其圖象關(guān)于原點對稱，故正確；B：若，且的最小值為，則，解得，故正確；C：當(dāng)時，，若在上單調(diào)遞增，則，解得，故錯誤；D：當(dāng)時，，令，解得，因為，所以，所以在有且只有3個零點，故正確.故選：ABD.12.已知圓錐頂點為，底面圓的直徑長為，.若為底面圓周上不同于，的任意一點，則下列說法中正確的是（）A.圓錐的側(cè)面積為B.面積的最大值為C.圓錐的外接球的表面積為D.若圓錐的底面水平放置，且可從頂點向圓錐注水，當(dāng)水的平面過的中點時，則水的體積為〖答案〗BCD〖解析〗對于A：由題意可知：，故圓錐的側(cè)面積為，故A錯誤；對于B：的面積，在中，，故為鈍角，由題意可得，故當(dāng)時，面積的最大值為，故B正確；對于C：由選項B可得：，則為鈍角，可得，由題意可得圓錐外接球半徑為的外接圓半徑，設(shè)其半徑為，則，即，故圓錐的外接球的表面積為，故C正確；對于D：當(dāng)水的平面過的中點時，則水的體積為，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.在四邊形中，若，則________.〖答案〗〖解析〗因為，，且，所以，解得，又因為為四邊形，所以與反向共線，則.故〖答案〗為：.14.根據(jù)誘導(dǎo)公式，填適當(dāng)?shù)氖阶?，使__________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.求值：__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.16.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，邊上的高為，則的面積是________.〖答案〗〖解析〗因為，，設(shè)邊上的高為，由正弦定理得，化簡得，又，解得或（舍去），所以，因為，解得，，解得，所以的面積．故〖答案〗為：．四、解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，，其中，.（1）求，；（2）求與的夾角的余弦值.解：（1）∵，，∴，，∴，，∴.（2）由（1），，，∴.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間；（2）把函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值與最大值，并求出取最大值、最小值時自變量的值.解：（1），函數(shù)的最小正周期，令，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）函數(shù)圖象上所有點向作平移個單位，得到函數(shù)，由，，則當(dāng)，即時，函數(shù)取得最小值，最小值是，當(dāng)，即時，函數(shù)取得最大值，最大值是，綜上可知，最小值是，此時，最大值是，此時.19.如圖，某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截取八個一樣的四面體得到的，已知被截的正方體棱長是.（1）求石凳的體積；（2）求石凳的表面積.解：（1）根據(jù)題意可知正方體的體積為，又截去的每個四面體體積為，石凳的體積.（2）石凳的每個正方形面面積為：，又石凳的每個正三角形面面積為：，石凳的全面積為．20.已知內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的大?。唬?）若周長為9，外接圓的半徑為，判斷的形狀，并求的面積.解：（1）因為，由正弦定理得，因為，所以，又，所以，得，又，所以.（2）依題意，由正弦定理得，因為的周長為9，所以，由余弦定理得，即，所以，由得，所以為等邊三角形，所以的面積．21.如圖在四邊形中，，，，.（1）當(dāng)平分四邊形面積時，求長度：（2）問是定值嗎?為什么?解：（1）設(shè)，，因為，，，所以，在中，由余弦定理可得，，也即，整理可得，①，又因為平分四邊形面積，所以，也即，整理可得，②，①②可得，，則，由可得，整理可得，，解得或（舍去），將代入①可得，則，所以當(dāng)平分四邊形面積時，求長度為.（2）是定值，理由如下：分別以所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，由題意可得，，設(shè)，由可得，，整理可得，，則，，所以.22.在地球公轉(zhuǎn)過程中，太陽直射點的緯度隨時間周而復(fù)始不斷變化.如圖，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為，為此時太陽直射點的緯度（太陽直射北半球時正值，太陽直射南半球時取負值），為當(dāng)?shù)氐木暥戎?（1）若，，求的值，并直接寫出用，表示的關(guān)系式；（2）某科技小組以某年春分（太陽直射赤道且隨后太陽直射點逐漸北移的時間）為初始時間，統(tǒng)計了連續(xù)400天太陽直射點的緯度平均值.下面是該科技小組的三處觀測站成員在春分后第45天測得的當(dāng)?shù)靥柛叨冉菙?shù)據(jù)：觀測站ABC觀測站所在緯度/度40.000023.43930.0000觀測站正午太陽高度角/度66.387082.946473.6141太陽直射點的緯度/度16.385716.3859太陽直射點的緯度平均值/度請根據(jù)數(shù)據(jù)補充完成上面的表格（計算結(jié)果精確到0.0001）；（3）設(shè)第天時太陽直射點的緯度平均值為.該科技小組通過對數(shù)據(jù)的整理和分析，推斷與近似滿足函數(shù)，經(jīng)計算，已知2023年春分是3月21日，問2023年夏至大概是幾月幾日?（4）定義從某年春分到次年春分所經(jīng)歷時間為一個回歸年，估計每400年中，應(yīng)設(shè)定多少個閏年，可使這400年與400個回歸年所含的天數(shù)最為接近（精確到1）.解：（1）由題意得，，，間的關(guān)系式為.（2）根據(jù)可得：觀測站ABC觀測站所在緯度度40.000023.43930.0000觀測站正午太陽高度角度66.387082.946473.6141太陽直射點的緯度度16.387016.385716.3859太陽直射點的緯度平均值度16.3862（3）因為周期，所以春分到夏至需要天，3月、5月有31天，4月、6月有30天，所以夏至大概是6月21日.（4）因為，故應(yīng)在400年中設(shè)定97個閏年.廣東省佛山市南海區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，有一項是符合題目要求.1.已知向量，，那么向量的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以．故選：D．2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點坐標(biāo)為，該點是第三象限點.故選：C．3.的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得：.故選：C.4.“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗時，是偶函數(shù)，充分性滿足，但時，也是偶函數(shù)，必要性不滿足，應(yīng)是充分不必要條件．故選：A．5.圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球的表面積和圓柱的表面積的比是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)球的半徑的r，依題意圓柱的底面半徑也是r，高是2r，圓柱的表面積，球的表面積，所以球的表面積和圓柱的表面積的比是.故選：A.6.向量在向量上的投影向量是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：B.7.在正方形中，在上且有與對角線交于，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，正方形中，，則，因為，所以，則，故.故選：C.8.復(fù)數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最小值為（）A.3 B.4 C. D.5〖答案〗B〖解析〗設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，由知，點的軌跡為以原點為圓心，半徑為1的圓，表示圓上的點到點的距離，如下圖，如圖，最小值為.故選：B.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列四個函數(shù)中，以為最小正周期且在區(qū)間上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗函數(shù)的最小正周期，時，，則函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，故A不符合；函數(shù)的最小正周期，時，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B符合；函數(shù)的最小正周期，故C不符合；函數(shù)的最小正周期，時，函數(shù)單調(diào)遞增，故D符合.故選：BD.10.一個平行四邊形的三個頂點坐標(biāo)分別是，，，則第四個頂點的坐標(biāo)可能是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗設(shè)點、、，設(shè)第四個頂點為，分以下三種情況討論：①若四邊形為平行四邊形，則，即，即，解得，此時，點的坐標(biāo)為；②若四邊形是平行四邊形，則，則，即，解得，此時，點的坐標(biāo)為；③若四邊形為平行四邊形，則，即，即，解得，此時，點的坐標(biāo)為，綜上所述，第四個頂點的坐標(biāo)為或或.故選：ABC.11.已知函數(shù)，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則將圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱B.若，且的最小值為，則C.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為D.當(dāng)時，在有且只有3個零點〖答案〗ABD〖解析〗函數(shù)，A：若，，將圖象向左平移個單位長度后得到，其圖象關(guān)于原點對稱，故正確；B：若，且的最小值為，則，解得，故正確；C：當(dāng)時，，若在上單調(diào)遞增，則，解得，故錯誤；D：當(dāng)時，，令，解得，因為，所以，所以在有且只有3個零點，故正確.故選：ABD.12.已知圓錐頂點為，底面圓的直徑長為，.若為底面圓周上不同于，的任意一點，則下列說法中正確的是（）A.圓錐的側(cè)面積為B.面積的最大值為C.圓錐的外接球的表面積為D.若圓錐的底面水平放置，且可從頂點向圓錐注水，當(dāng)水的平面過的中點時，則水的體積為〖答案〗BCD〖解析〗對于A：由題意可知：，故圓錐的側(cè)面積為，故A錯誤；對于B：的面積，在中，，故為鈍角，由題意可得，故當(dāng)時，面積的最大值為，故B正確；對于C：由選項B可得：，則為鈍角，可得，由題意可得圓錐外接球半徑為的外接圓半徑，設(shè)其半徑為，則，即，故圓錐的外接球的表面積為，故C正確；對于D：當(dāng)水的平面過的中點時，則水的體積為，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.在四邊形中，若，則________.〖答案〗〖解析〗因為，，且，所以，解得，又因為為四邊形，所以與反向共線，則.故〖答案〗為：.14.根據(jù)誘導(dǎo)公式，填適當(dāng)?shù)氖阶樱筥_________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.求值：__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.16.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，邊上的高為，則的面積是________.〖答案〗〖解析〗因為，，設(shè)邊上的高為，由正弦定理得，化簡得，又，解得或（舍去），所以，因為，解得，，解得，所以的面積．故〖答案〗為：．四、解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，，其中，.（1）求，；（2）求與的夾角的余弦值.解：（1）∵，，∴，，∴，，∴.（2）由（1），，，∴.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間；（2）把函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值與最大值，并求出取最大值、最小值時自變量的值.解：（1），函數(shù)的最小正周期，令，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）函數(shù)圖象上所有點向作平移個單位，得到函數(shù)，由，，則當(dāng)，即時，函數(shù)取得最小值，最小值是，當(dāng)，即時，函數(shù)取得最大值，最大值是，綜上可知，最小值是，此時，最大值是，此時.19.如圖，某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截取八個一樣的四面體得到的，已知被截的正方體棱長是.（1）求石凳的體積；（2）求石凳的表面積.解：（1）根據(jù)題意可知正方體的體積為，又截去的每個四面體體積為，石凳的體積.（2）石凳的每個正方形面面積為：，又石凳的每個正三角形面面積為：，石凳的全面積為．20.已知內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的大??；（2）若周長為9，外接圓的半徑為，判斷的形狀，并求的面積.解：（1）因為，由正弦定理得，因為，所以，又，所以，得，又，所以.（2）依題意，由正弦定理得，因為的周長為9，所以，由余弦定理得，即，所以，由得，所以為等邊三角形，所以的面積．21.如圖在四邊形中，，，，.（1）當(dāng)平分四邊形面積時，求長度：（2）問是定值嗎?為什么?解：（1）設(shè)，，因為，，，所以，在中，由余弦定理可得，，也即，整理可得，①，又因為平分四邊形面積，所以，也即，整理可得，②，①②可得，，則，由可得，整理可得，，解得或（舍去），將代入①可得，則，所以當(dāng)平分四邊形面積時，求長度為.（2）是定值，理由如下：分別以所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，由題意可得，，設(shè)，由可得，，整理