2.1等式與不等式的性質(zhì)（第2課時(shí)）（八大題型提分練）

2.1等式與不等式的性質(zhì)（第2課時(shí)）題型1：由已知條件判斷所給不等式是否正確1．若，則下列不等式中不成立的是（

）A．； B．；C．； D．．【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：若，則，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，因?yàn)椋?，即，所以，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，則，故選項(xiàng)D正確，故選：B2．對(duì)于實(shí)數(shù)a、b、c，有下列命題：①若a＞b，則；②若a＞b，則；③若a＜b＜0，則；④若a＜b＜0，則；⑤若a＜b＜0，則；⑥若，則ac＜bd.其中，假命題的序號(hào)為.（寫出所有滿足要求的命題序號(hào)）【答案】①②④⑤⑥【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合作差法，逐一驗(yàn)證，可得答案.【解析】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)意義，當(dāng)時(shí)，由，可得，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由，則，，即，故③正確；對(duì)于④，由，根據(jù)不等式的倒數(shù)性質(zhì)，則，故④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，，由，則，即，，所以，故⑤錯(cuò)誤；對(duì)于⑥，由，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，故⑥錯(cuò)誤.故答案為：①②④⑤⑥.3．如果a?b?，那么下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可．【解析】解：對(duì)于A，若,不成立，錯(cuò)誤對(duì)于B，因?yàn)樵诜帜肝恢?，即，兩邊同乘，得到，正確對(duì)于C，，滿足，無(wú)意義，錯(cuò)誤對(duì)于D，，滿足若，，不成立，錯(cuò)誤故選：B4．下列各式中，不能判斷其符號(hào)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用配方法可判斷AB；利用絕對(duì)值的定義可判斷C，利用特值法可判斷D.【解析】，故A正確；，故B正確；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故C正確；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則的值可正，可負(fù)，也可能為0，故D錯(cuò)誤.故選：D.題型2：由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）的大小5．已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由不等式的基本性質(zhì)可得答案.【解析】由，有，可得.故選：C6．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由得，結(jié)合即可求解.【解析】由題意知：，又，則，顯然異號(hào)，又，所以.故選：B.7．若a是實(shí)數(shù)，，，則P，Q的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．由a的取值確定【答案】A【分析】由題可得，，進(jìn)而比較與即可.【解析】顯然P，Q都是正數(shù)，又，，若a是負(fù)數(shù)，則，，所以；若a是非負(fù)數(shù)，則，，所以．綜上所述，．故選：A．8．十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】舉反例，取，可判斷,取可判斷B；根據(jù)不等式性質(zhì)可判斷D.【解析】取，滿足，但，A錯(cuò)誤；當(dāng)，若，則，B錯(cuò)誤；取，滿足，但，C錯(cuò)誤；若，則，故，所以，故D正確，故選:D.題型3：用不等式表示不等關(guān)系9．下列說(shuō)法正確的為（

）A．與2的和是非負(fù)數(shù)，可表示為“”B．小明的身高為，小華的身高為，則小明比小華矮可表示為“”C．的兩邊之和大于第三邊，記三邊分別為，，，則可表示為“且且”D．若某天的最低溫度為7℃，最高溫度為13℃，則這天的溫度可表示為“7℃13℃”【答案】C【分析】ABD選項(xiàng)，利用不等式表達(dá)不等關(guān)系均有錯(cuò)誤，C選項(xiàng)為正確表達(dá).【解析】對(duì)于A，應(yīng)表示為“”，對(duì)于B，應(yīng)表示為“”，對(duì)于D，應(yīng)表示為“7℃13℃”，故A，B，D錯(cuò)誤．故選：C．10．完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工需付工資每人50元，請(qǐng)瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2000元，設(shè)木工人，瓦工人，則請(qǐng)工人滿足的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)工資預(yù)算以及工人工資列出不等式.【解析】依題意，請(qǐng)工人滿足的關(guān)系式是，即.故選：D11．某次數(shù)學(xué)智力測(cè)驗(yàn)，共有20道題，答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)一題得－2分，不答得零分．某同學(xué)有一道題未答，設(shè)這個(gè)學(xué)生至少答對(duì)x題，成績(jī)才能不低于80分，列出其中的不等關(guān)系：．（不用化簡(jiǎn)）【答案】【分析】設(shè)這個(gè)學(xué)生答對(duì)了x道題，則答錯(cuò)（201x）道題，根據(jù)得分=5×答對(duì)題目數(shù)1×答錯(cuò)題目數(shù)結(jié)合得分在80以上，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式．【解析】這個(gè)學(xué)生至少答對(duì)x題，則答錯(cuò)（201x）道題，由得分規(guī)則成績(jī)不低于80分，即．故答案為：12．用錘子以均勻的力敲擊鐵釘釘入木板，隨著鐵釘?shù)纳钊?，鐵釘所受的阻力會(huì)越來(lái)越大，使得每次釘入木板的釘子長(zhǎng)度后一次為前一次的，已知一個(gè)鐵釘受擊3次后全部進(jìn)入木板，且第一次受擊后進(jìn)入木板部分的鐵釘長(zhǎng)度是釘長(zhǎng)的，請(qǐng)從這個(gè)實(shí)例中提煉出一個(gè)不等式組：．【答案】【分析】由第二次敲擊鐵釘沒有全部進(jìn)入木板，第三次敲擊鐵釘全部進(jìn)入木板可得．【解析】解：依題意，知第二次敲擊鐵釘沒有全部進(jìn)入木板，第三次敲擊鐵釘全部進(jìn)入木板，所以故答案為：題型4：作差法比較代數(shù)式的大小13．如果，，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過(guò)觀察三個(gè)數(shù)的特征可知最大，再利用作差法判斷即可得出結(jié)果.【解析】由選項(xiàng)可知，僅需要比較三個(gè)數(shù)的大小，顯然，，所以最大，由可得，，所以，即可得.故選：D14．設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法即得.【解析】因?yàn)楹愠闪ⅲ裕蔬x：A.15．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過(guò)作差法，，確定符號(hào)，排除D選項(xiàng)；通過(guò)作差法，，確定符號(hào)，排除C選項(xiàng)；通過(guò)作差法，，確定符號(hào)，排除A選項(xiàng)；【解析】由，且，故；由且，故；且，故.所以，故選：B.16．設(shè)a＞b＞1，y1，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（

）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1【答案】C【分析】利用作差法先比較y1，y2，再比較y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小關(guān)系.【解析】解：由a＞b＞1，有y1﹣y20，即y1＞y2，由a＞b＞1，有y2﹣y30，即y2＞y3，所以y1＞y2＞y3，故選：C.17．在日常生活中有這樣一種現(xiàn)象，向糖水中不斷加入糖，糖水會(huì)變得越來(lái)越甜．已知a克糖水中含有b克糖，再添加m克糖（，假設(shè)全部溶解），可將糖水變甜．這一事實(shí)表示為下列哪一個(gè)不等式？（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用作差法比較.【解析】因?yàn)橄蛱撬胁粩嗉尤胩牵撬畷?huì)變得越來(lái)越甜，所以糖水的濃度，再添加m克糖，即濃度，將糖水變甜．則，因?yàn)椋?，所以，故選：B18．比較下列各題中兩個(gè)代數(shù)式值的大?。?1)與；(2)與．【答案】(1)(2)【分析】利用作差法得出大小關(guān)系.【解析】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).即（2）因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).故.題型5：作商法比較代數(shù)式的大小19．已知c＞1，且x＝－，y＝－，則x，y之間的大小關(guān)系是（

）A．x＞y B．x＝y(tǒng)C．x＜y D．x，y的關(guān)系隨c而定【答案】C【分析】應(yīng)用作商法比較的大小關(guān)系即可.【解析】由題設(shè)，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故選：C.20．如果，，那么，，從小到大的順序是【答案】【分析】三個(gè)式子很明顯都是負(fù)數(shù)，所以可通過(guò)作商和1比較判斷大小?！窘馕觥恳?yàn)槿齻€(gè)式子很明顯都是負(fù)數(shù)，所以，所以；同理，所以。綜上：故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查比較大小，一般可以考慮作差，作商等方法進(jìn)行比較，屬于簡(jiǎn)單題目。21．，則的大小關(guān)系為．【答案】≥【分析】用作商法比較的大小關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.【解析】因?yàn)椋瑒t由所以故答案為：題型6：由不等式的性質(zhì)證明不等式22．用綜合法證明:如果，那么【答案】證明見解析【分析】根據(jù)綜合法的要求執(zhí)因索果，逐步推導(dǎo)證明即可.【解析】證明:，即顯然，即.23．證明下列不等式：(1)已知，求證(2)已知，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）（2）利用不等式的基本性質(zhì)即可證明．【解析】（1）證明：，，，，又因?yàn)?，即，所?（2）證明：，，；又，，；.24．已知，，，求證：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可；（2）結(jié)合（1）和不等式的性質(zhì)求解.【解析】（1）證明：因?yàn)椋?，所以所以；?）證明：由（1）得，又，所以.25．設(shè)，，，，，證明：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)題意證明，進(jìn)而通分，結(jié)合已知條件即可證明.【解析】證明：因?yàn)?，所以．又，所以，所以．因?yàn)?，，，所以?6．閱讀材料：（1）若，且，則有（2）若，則有．請(qǐng)依據(jù)以上材料解答問(wèn)題：已知a，b，c是三角形的三邊，求證：．【答案】證明見解析.【分析】利用三角形兩邊的和大于第三邊，結(jié)合給定材料推理作答.【解析】因?yàn)閍，b，c是三角形的三邊，則，由材料（1）知，，同理，，由材料（2）得：，所以原不等式成立.題型7：由不等式的性質(zhì)確定取值范圍27．實(shí)數(shù)、滿足，.(1)求實(shí)數(shù)、的取值范圍；(2)求的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由，根據(jù)不等式的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）求出，再利用不等式的性質(zhì)得解.【解析】（1）解：由，，則，所以，所以，即，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．因?yàn)?，由，所以，所以，所以，∴，即?shí)數(shù)的取值范圍為．（2）解：設(shè)，則，解得，∴，∵，．∴，，∴，即的取值范圍為．28．已知，，求的取值范圍．【答案】【分析】令，解得、，則，再根據(jù)不等式的性質(zhì)計(jì)算可得.【解析】解：令，解得，∴，∵，∴①，∵，∴②，①②，得，∴．題型8：用反證法證明不等式29．（1）設(shè)，用反證法證明：若，則或．（2）設(shè)，比較與的值的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）答案見解析【分析】（1）利用反證法證明即可；（2）用作差法判斷即可【解析】（1）假設(shè)且，則，與已知條件矛盾，所以假設(shè)不成立，即或．（2），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．30．（1）已知實(shí)數(shù)，滿足，求證：.（2）若實(shí)數(shù)，為正數(shù)，且滿足，用反證法證明：和中至少有一個(gè)成立.【答案】證明見解析【分析】（1）利用作差法比較大小即可證明；（2）利用反證法結(jié)合不等式性質(zhì)證明即可.【解析】（1），因?yàn)?，所以，所以；?）假設(shè)結(jié)論不成立，即有且，由已知，實(shí)數(shù)，為正數(shù)，所以有且，故，所以，與已知矛盾，假設(shè)不成立，所以有和中至少有一個(gè)成立.一、填空題1．已知，則的取值范圍是．【答案】【分析】將改寫成的形式，利用不等式性質(zhì)即可求得其范圍為.【解析】可令，即，解得，所以，又，所以，即，可得；所以的取值范圍是.故答案為：2．設(shè)，則中等號(hào)成立的充要條件是．【答案】且.【分析】利用充分、必要性的定義判斷題設(shè)不等式等號(hào)成立的充要條件即可.【解析】由題設(shè)，，∴要使等號(hào)成立，則且，當(dāng)且時(shí)，有，即成立.綜上，且是中等號(hào)成立的充要條件.故答案為：且.3．已知正整數(shù)n滿足條件：存在唯一的整數(shù)k，使成立.這樣的n的最大值是.【答案】112【分析】先將不等式變形為，然后根據(jù)求出的范圍，進(jìn)而驗(yàn)證即可.【解析】由得，，即.又由整數(shù)k的唯一性知，，解得，而時(shí)，，，滿足的整數(shù)k只有97，故符合.故答案為：.4．對(duì)任意，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】借助換元法，令，則原不等式可化為，化簡(jiǎn)可得，又表示點(diǎn)到的距離，表示點(diǎn)到的距離，，即直線上任意兩不同點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和大于，結(jié)合，數(shù)形結(jié)合即可得解.【解析】恒成立，恒成立，令且，，且恒成立，，，又表示點(diǎn)到的距離，表示點(diǎn)到的距離，，即直線上任意兩不同點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和大于，當(dāng)最小時(shí)，即且，此時(shí)，又，可取，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.5．已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為，有以下個(gè)命題：①以為邊長(zhǎng)的三角形一定存在；②以為邊長(zhǎng)的三角形一定存在；③以為邊長(zhǎng)的三角形一定存在；④以為邊長(zhǎng)的三角形一定存在，其中正確的命題有（填寫所有正確命題的序號(hào)）.【答案】①③④【分析】設(shè)，再利用構(gòu)成三角形的條件及不等式的性質(zhì)，逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷，即可求出結(jié)果.【解析】不妨設(shè)，對(duì)于選項(xiàng)①，因?yàn)?，所以，又，所以選項(xiàng)①正確，對(duì)于選項(xiàng)②，若，滿足條件，但，不構(gòu)成三角形，所以選項(xiàng)②錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)③，由假設(shè)易知，由，所以選項(xiàng)③正確，對(duì)于選項(xiàng)④，因?yàn)?，，，所以選項(xiàng)④正確，故答案為：①③④.6．已知，且，則的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)，利用待定系數(shù)法求出的值，再由不等式的性質(zhì)計(jì)算和的范圍，即可得的范圍，再兩邊同時(shí)除以即可求解.【解析】由可得：，令，整理可得：，所以，解得：，所以，將兩邊同時(shí)乘以，可得，①將兩邊同時(shí)乘以，可得，②兩式相加可得：，即，因?yàn)?，所以，所以的取值范圍是，故答案為?二、單選題7．記表示這3個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．已知，，都是正實(shí)數(shù)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得，，所以，即，解不等式即可得到答案.【解析】因?yàn)椋?，，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故選：A8．某市一個(gè)經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)的公路路線圖如圖所示，粗線是大公路，細(xì)線是小公路，七個(gè)公司分布在大公路兩側(cè)，有一些小公路與大公路相連.