公考數(shù)量關(guān)系?？碱}型解題方法詳解

公考數(shù)量關(guān)系?？碱}型解題方法詳解數(shù)學(xué)運(yùn)算中涉及的知識(shí)點(diǎn)、公式、規(guī)律等較多、較雜，導(dǎo)致很多考生復(fù)習(xí)起來效率低下且收獲較少，備考難度大，為了幫助考生更高效的復(fù)習(xí)，將題目按考查的知識(shí)點(diǎn)的不同分類，從而掌握不同題型的知識(shí)點(diǎn)，把握第三章各種解題技巧在不同題型中的應(yīng)用就非常重要,本章就是基于以上考慮而設(shè)置，希望能通過對(duì)?？碱}型的梳理，讓考生更高效的掌握雜亂的知識(shí)點(diǎn)和更熟練的掌握各種解題技巧。第一節(jié)計(jì)算問題計(jì)算問題是每年必考的一類題目，比如，2016年公務(wù)員行測(cè)考試中數(shù)學(xué)運(yùn)算共10道題目，而計(jì)算問題就考查了3道。所以計(jì)算問題是必須掌握的一類題目，而且這類題目相對(duì)是比較簡(jiǎn)單的。一、基礎(chǔ)知識(shí)計(jì)算問題涉及的知識(shí)點(diǎn)包括：奇偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、公約數(shù)與公倍數(shù)、整除、比例、數(shù)列、周期以及中小學(xué)最基本的加減乘除運(yùn)算、平均數(shù)、不等式等。所以計(jì)算問題的知識(shí)點(diǎn)相對(duì)比較簡(jiǎn)單，而且除了周期，其它知識(shí)點(diǎn)在第二章中已經(jīng)做過講解，在此補(bǔ)充一下周期的相關(guān)知識(shí)。（一）周期簡(jiǎn)介有一些現(xiàn)象會(huì)按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)。如人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬就是按照一定得規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)的；每周有7天，從星期一開始到星期日結(jié)束，總是以7天為一個(gè)循環(huán)，不斷重復(fù)出現(xiàn)的。在數(shù)學(xué)中，一些數(shù)和圖形的變化也是周而復(fù)始地循環(huán)出現(xiàn)的。我們把這種特殊的規(guī)律性問題稱為周期問題。（二）周期題目的求解思路第一步：確定一個(gè)周期內(nèi)的循環(huán)量；第二步：總量÷一個(gè)周期內(nèi)的循環(huán)量=周期數(shù)·····余數(shù)；第三步：根據(jù)周期數(shù)、余數(shù)和題目要求確定答案。下面舉例說明周期問題的解題思路，如下：【示例】假設(shè)今天是星期一，問再過2012天是星期幾?解析：對(duì)于該問題第一步能確定的是一個(gè)周期內(nèi)的循環(huán)量是7天，即今天是星期一的基礎(chǔ)上再過七天還是星期一，再過14天仍然是星期一，再過7的倍數(shù)天還是星期一。在第一步的基礎(chǔ)上根據(jù)一個(gè)周期內(nèi)的循環(huán)量7天和總量2012天，可知2012÷7=287…3，即再過287個(gè)7天，此時(shí)仍然是星期一，然后在星期一的基礎(chǔ)上再過3天，就可以得到最終的答案就是星期四。通過這一道簡(jiǎn)單的題目可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于周期問題，首先得知道它一個(gè)周期內(nèi)的循環(huán)量，對(duì)于有的題目一個(gè)周期內(nèi)的循環(huán)量立馬就能看出來(例如星期、生肖等問題)，而有的題目還需要我們?nèi)デ蟪鲆粋€(gè)周期內(nèi)的循環(huán)量才行。其次就是知道周期數(shù)和余數(shù)是多少，再在原基礎(chǔ)上往后推遲相應(yīng)的余數(shù)即可。二、計(jì)算問題常用解題技巧計(jì)算問題相對(duì)比較簡(jiǎn)單，有些題目直接計(jì)算即可，有些題目可能會(huì)用到代入排除法、數(shù)字特性法、方程法、十字交叉法。三、真題舉例【例1】（2015年真題）隨著臺(tái)灣自由行的開放，農(nóng)村農(nóng)民生活質(zhì)量的提高，某一農(nóng)村的農(nóng)民自發(fā)組織若干位同村農(nóng)民到臺(tái)灣旅行，其旅行費(fèi)用包括：個(gè)人辦理赴臺(tái)手續(xù)費(fèi)，在臺(tái)旅行的車費(fèi)平均每人503元，飛機(jī)票平均每人1998元，其他費(fèi)用平均每人1199元，已知這次旅行的總費(fèi)用是92000元，總的平均費(fèi)用是4600元，問：赴臺(tái)的總?cè)藬?shù)和個(gè)人辦理赴臺(tái)手續(xù)費(fèi)分別是多少？A.20人，900元B.21人，650元C.20人，700元D.22人，850元解析：由題意，總?cè)藬?shù)=總費(fèi)用÷人均費(fèi)用=92000÷4600=20人。個(gè)人辦理赴臺(tái)手續(xù)費(fèi)=4600-503-1998-1199=900元。因此，本題答案選擇A選項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：該題考查了平均數(shù)計(jì)算的知識(shí)和中小學(xué)的減法運(yùn)算，非常簡(jiǎn)單，也是一道典型的計(jì)算問題?！纠?】（2011年真題）某單位招待所有若干間房間，現(xiàn)在安排一支考察隊(duì)的隊(duì)員住宿，若每間住3人，則有2人無房可??；若每間住4人，則有一間房間不空也不滿，則該招待所的房間最多有：A.4間B.5間C.6間D.7間解析：假設(shè)房間數(shù)為x，那么4（x-1）+1≤3x+2≤4（x-1）+3，很容易得到3≤x≤5。也就是說x的最大值是5，所以選擇B選項(xiàng)。【例3】(2015年真題）設(shè)有編號(hào)為1、2、3、…、10的10張背面向上的紙牌，現(xiàn)有10名游戲者，第1名游戲者將所有編號(hào)是1的倍數(shù)的紙牌翻成另一面向上的狀態(tài)，接著第2名游戲者將所有編號(hào)是2的倍數(shù)的紙牌翻成另一面向上的狀態(tài)，……，第n名（n≤10）游戲者，將所有編號(hào)是n的倍數(shù)的紙牌翻成另一面向上的狀態(tài)，如此下去，當(dāng)?shù)?0名游戲者翻完紙牌后，那些紙牌正面向上的最大編號(hào)與最小編號(hào)的差是（）A.2B.4C.6D.8解析：約數(shù)倍數(shù)計(jì)算類。逐個(gè)分析每個(gè)數(shù)字（1～10）的約數(shù)個(gè)數(shù)，10的約數(shù)有1、2、5、10，因此10共被翻轉(zhuǎn)四次，仍然背面向上；9的約數(shù)有1、3、9，共被翻轉(zhuǎn)三次，正面向上。1的約數(shù)只有1，因此向上。因此正面向上的最大編號(hào)和最小編號(hào)分別為9、1，差值為8。D項(xiàng)正確。【例4】（補(bǔ)充例題）書架的某一層上有136本書，且是按照“3本小說、4本教材、5本工具書、7本科技書、3本小說、4本教材……”的順序循環(huán)從左至右排列的。問該層最右邊的一本是什么書（）A．小說B．教材C．工具書D．科技書解析：136本書是按照“3本小說、4本教材、5本工具書、7本科技書”的順次循環(huán)排列的，每個(gè)循環(huán)有3+4+5+7=19（本）書。136÷19=7……3，因此最右邊一本書是小說。第二節(jié)利潤(rùn)問題利潤(rùn)問題是行測(cè)中的?？碱}型，這類問題難度不大。考生只要掌握好利潤(rùn)問題相關(guān)的概念（比如售價(jià)、利潤(rùn)、利潤(rùn)率等）和計(jì)算公式（比如利潤(rùn)的計(jì)算公式、利潤(rùn)率的計(jì)算公式等），恰當(dāng)?shù)睦酶鞣N解題技巧，遇到這類問題還是可以快速解出的。利潤(rùn)問題有三種常見題型：常規(guī)利潤(rùn)型、分段計(jì)費(fèi)型和統(tǒng)籌費(fèi)用型，其中常規(guī)利潤(rùn)型是所有利潤(rùn)問題的基礎(chǔ)，即常規(guī)利潤(rùn)型中的概念、計(jì)算公式是分段計(jì)費(fèi)型和統(tǒng)籌費(fèi)用型的基礎(chǔ)，分段計(jì)費(fèi)型和統(tǒng)籌費(fèi)用型是對(duì)利潤(rùn)問題的細(xì)分。一、常規(guī)利潤(rùn)型1.基礎(chǔ)知識(shí)（1）利潤(rùn)?？脊巾?xiàng)目計(jì)算公式示例利潤(rùn)利潤(rùn)=售價(jià)（收入）-進(jìn)價(jià)（成本）一件衣服售價(jià)是50元，進(jìn)價(jià)是40元，利潤(rùn)=50-40=10元利潤(rùn)率利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本（進(jìn)價(jià)）×100%一件衣服的進(jìn)價(jià)是40元，利潤(rùn)是10元，利潤(rùn)率=10/40×100%=25%售價(jià)（收入）售價(jià)（收入）=進(jìn)價(jià)（成本）×（1+利潤(rùn)率）一件衣服的進(jìn)價(jià)是40元，利潤(rùn)率是25%，售價(jià)=40×（1+25%）=50元進(jìn)價(jià)（成本）進(jìn)價(jià)（成本）=售價(jià)（收入）/（1+利潤(rùn)率）一件衣服的售價(jià)是50元，利潤(rùn)率是25%，進(jìn)價(jià)=50/(1+25%)=40元（2）打折常考公式項(xiàng)目計(jì)算公式示例折扣打折=（現(xiàn)價(jià)/原價(jià)）×10一只筆現(xiàn)價(jià)是4元，原價(jià)是5元，折扣=（4/5）×10=8折折扣率折扣率=（1-現(xiàn)價(jià)/原價(jià)）×100%一只筆現(xiàn)價(jià)是4元，原價(jià)是5元，折扣率=（1-4/5）×100%=20%現(xiàn)價(jià)現(xiàn)價(jià)=（原價(jià)×折扣）/10一支筆原價(jià)是5元，現(xiàn)在打8折，則現(xiàn)價(jià)=（5×8）/10=4元原價(jià)原價(jià)=（現(xiàn)價(jià)/折扣）×10一支筆打8折后以4元的價(jià)格出售，則原價(jià)=（4/8）×10=5元2.常規(guī)利潤(rùn)型常用解題技巧常規(guī)利潤(rùn)問題經(jīng)常用到的解題技巧有：方程法和特值法。3.真題舉例【例1】（2016年真題）某種商品原價(jià)25元，每半天可銷售20個(gè)。現(xiàn)知道每降價(jià)1元，銷量即增加5個(gè)。某日上午將該商品打八折，下午在上午價(jià)格的基礎(chǔ)上再打八折出售，問其全天銷售額為多少元？A．1760B．1940C．2160D．2560解析：由題意可得，商品每降價(jià)1元銷量增加5個(gè)。上午商品打八折出售，下午商品在上午價(jià)格的基礎(chǔ)上再打八折，列表可得：售價(jià)銷量（半天）銷售額原計(jì)劃2520上午25×0.8=2020+5×5=4520×45=900下午20×0.8=1620+9×5=6516×65=1040所以，商品全天銷售額=900+1040=1940元。故正確答案為B?！纠?】（補(bǔ)充例題）老王兩年前投資的一套藝術(shù)品市價(jià)上漲了50%，為盡快出手，老王將該藝術(shù)品按市價(jià)的八折出售，扣除成交價(jià)5%的交易費(fèi)用后，發(fā)現(xiàn)與買進(jìn)時(shí)相比賺了7萬元。問老王買進(jìn)該藝術(shù)品花了多少萬元（）A．42B．50C．84D．100解析：設(shè)老王買進(jìn)該藝術(shù)品時(shí)花了x元，根據(jù)題干中等量關(guān)系可以列出方程：x（1＋50%）×0.8×（1－5%）=x＋7，解方程求得x=50，即該藝術(shù)品的成本為50萬元。所以正確答案為B項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）某水果店新進(jìn)一批時(shí)令水果，在運(yùn)輸過程中腐爛了1/4，缺貨時(shí)又損失了1/5，剩下的水果當(dāng)天全部售出，計(jì)算后發(fā)現(xiàn)還獲利10%，則這批水果的售價(jià)是進(jìn)價(jià)的（）倍。A.1.6B.1.8C.2D.2.2解析：題目中只已知利潤(rùn)率為10%，但售價(jià)、利潤(rùn)、水果數(shù)量全都未知，考慮使用特值法。設(shè)水果的總數(shù)為20，每個(gè)水果的進(jìn)價(jià)是1元，則所有水果的成本為20元。根據(jù)題目可得剩下的水果數(shù)量為：20-20×1/4-20×1/5=11，則剩下的水果售完后的總收入為：20×（1+10%）=22元，所以剩下的水果每個(gè)的售價(jià)為22/11=2元。所以這批水果的售價(jià)是進(jìn)價(jià)的2倍。正確答案為C項(xiàng)。二、分段計(jì)費(fèi)型1.基礎(chǔ)知識(shí)如果利潤(rùn)問題中出現(xiàn)前后單價(jià)、收費(fèi)方式、計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)等不一致的情況，即需要分段計(jì)算。2.分段計(jì)費(fèi)型常用的解題技巧分段計(jì)費(fèi)型常用的解題技巧有方程法和特值法，但最關(guān)鍵的是要理解題目中的分段計(jì)費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)。3.真題舉例【例1】（2016年真題）某地居民用水價(jià)格分二級(jí)階梯，戶年用水量在0~180（含）噸的水價(jià)5元/噸；180噸以上的水價(jià)7元/噸。戶內(nèi)人口在5人以上的，每多1人，階梯水量標(biāo)準(zhǔn)增加30噸。老張家5人，老李家6人，去年用水量都是210噸。問老李家的人均水費(fèi)比老張家少約多少元？（ ）A．12B．35C．47D．60解析：由題目“戶年用水量在0~180（含）噸的水價(jià)5元/噸；180噸以上的水價(jià)7元/噸”可知，水費(fèi)在180噸之上和之下的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不一樣，所以是分段計(jì)費(fèi)型。由題目條件可得：老張家5口人，基用水量為180噸，超出30噸，共計(jì)需要水費(fèi)：180×5+（210-180）×7=1110元，人均222元；老李家6口人，基礎(chǔ)用水量210噸，共計(jì)需要水費(fèi)210×5=1050元，人均175元；人均水費(fèi)相差222-175=47元。所以正確答案為C項(xiàng)?！纠?】（2013年真題）某商場(chǎng)開展購(gòu)物優(yōu)惠活動(dòng)：一次購(gòu)買300元及以下的商品九折優(yōu)惠；一次購(gòu)買超過300元的商品，其中300元九折優(yōu)惠，超過300元的部分八折優(yōu)惠。小王購(gòu)物第一次付款144元，第二次又付款310元。如果他一次性購(gòu)買并付款，可以節(jié)省多少元？A.16B.22.4C.30.6D.48解析：由題目“一次購(gòu)買300元及以下的商品九折優(yōu)惠；一次購(gòu)買超過300元的商品，其中300元九折優(yōu)惠，超過300元的部分八折優(yōu)惠?！笨芍欠侄斡?jì)費(fèi)型。根據(jù)題目首先要清楚分段計(jì)費(fèi)的規(guī)則，如下：商品價(jià)格計(jì)費(fèi)規(guī)則實(shí)際付款小于或等于300元打九折商品價(jià)格×0.9大于300元300元打九折，超過300元的部分打八折300×0.9+（商品價(jià)格-300）×0.8根據(jù)分段計(jì)算規(guī)則，可以得到小王分兩次付款的商品的價(jià)格如下：實(shí)際付款商品價(jià)格144元144/0.9=160元310元300+(310-300×0.9)/0.8=350元所以分兩次購(gòu)買的商品的價(jià)格總共為160+350=510元。所以這些商品如果一次性付款的話，實(shí)際付款為300×0.9+（510-300）0.8=438元，所以比分兩次付款省了144+310-438=16元。所以正確答案為A 項(xiàng)。【例3】（補(bǔ)充例題）商店進(jìn)了100件同樣的衣服，售價(jià)定為進(jìn)價(jià)的150%，賣了一段時(shí)間后價(jià)格下降20%繼續(xù)銷售，換季時(shí)剩下的衣服按照售價(jià)的一半處理，最后這批衣服盈利超過25%。如果處理的衣服不少于20件，問至少有多少件衣服是按照原售價(jià)賣出的？（）A.7B.14C.34D.47解析：由題目可知售價(jià)前后不一樣，所以是分段計(jì)費(fèi)型。但題目中除了衣服總數(shù)量100、處理的衣服20和利潤(rùn)率25%，進(jìn)價(jià)、售價(jià)、按原售價(jià)賣出的衣服都未知，所以考慮使用特值法。設(shè)衣服的進(jìn)價(jià)是100，原價(jià)售出的衣服有x件。根據(jù)題目條件可得到其分段計(jì)費(fèi)的規(guī)則如下：進(jìn)價(jià)及衣服數(shù)量售價(jià)及售出衣服數(shù)量降價(jià)即售出衣服數(shù)量換季價(jià)及售出衣服數(shù)量10015012075100件X件100-20-x件20件根據(jù)以上分析可以列出方程為：150x+120×（80-x）+75×20≧100×100（1+25%），解得x≧46.5，所以x只能取47。正確答案為D項(xiàng)。三、統(tǒng)籌費(fèi)用型1.基礎(chǔ)知識(shí)如果題目要求費(fèi)用最少、利潤(rùn)最大等，那么這種問題就屬于統(tǒng)籌費(fèi)用型，需要綜合考慮對(duì)比各種情況，選擇出能滿足要求的最優(yōu)化的方案。2.統(tǒng)籌費(fèi)用型解題技巧統(tǒng)籌費(fèi)用型題目常用方程法求解，但最關(guān)鍵的是要能找到最優(yōu)化的方案。3.真題舉例【例1】（2011年真題）某公司要買100本便簽紙和100支膠棒，附近有兩家超市。A超市的便簽紙0.8元一本，膠棒2元一支且買2送1.B超市的便簽紙1元一本且買3送1,膠棒1.5元一支，如果公司采購(gòu)員要在這兩家超市買這些物品，則他至少要花多少元錢？A.183.5B.208.5C.225D.230解析：題目要求至少花多少錢，即費(fèi)用最少是多少，所以屬于統(tǒng)籌費(fèi)用型。根據(jù)題目條件，A超市貨物單價(jià)：便簽：0.8元/本；膠棒：3個(gè)4元，每個(gè)1.3元；B超市貨物單價(jià)便簽：4個(gè)3元，每個(gè)0.75元；膠棒：1.5元/個(gè)；根據(jù)單價(jià)，100本便簽在B超市買，4個(gè)便簽1組買，可分為25組，總共花的錢數(shù)為：25×3=75元;100個(gè)膠棒在A超市買，3個(gè)膠棒1組買，可分為33組余1個(gè)膠棒，總共花的錢數(shù)為：33×4+1.5=133.5元;（剩余的一個(gè)膠棒在B超市買）。所以總共花了：75+133.5=208.5元。所以正確答案為B項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）一廠家生產(chǎn)銷售某新型節(jié)能產(chǎn)品。產(chǎn)品生產(chǎn)成本是168元，銷售定價(jià)為238元。一位買家向該廠家預(yù)訂了120件產(chǎn)品，并提出產(chǎn)品銷售價(jià)每降低2元，就多訂購(gòu)8件。則該廠家在這筆交易中能獲得的最大利潤(rùn)是（）元。A.17920 B.13920C.10000D.8400解析：題目要求利潤(rùn)最大，所以屬于統(tǒng)籌費(fèi)用型。設(shè)廠家降價(jià)x次，獲得利潤(rùn)y元，故y=（238-168-2x）×(120+8x），化簡(jiǎn)可得y=-16+320x+8400=-16+10000，當(dāng)x=10時(shí)，取得最大值10000元。所以正確答案為C項(xiàng)。第三節(jié)幾何問題幾何問題在行測(cè)考試中考查的頻率很高，幾乎每年都會(huì)出現(xiàn)至少1道題目。幾何問題與常見的數(shù)學(xué)問題還是有區(qū)別的。這類題對(duì)考生的空間想象和創(chuàng)造力有要求，比如立體幾何就需要考生有較好的空間想象力，而平面幾何就需要考生能將圖形拆、補(bǔ)割等，即創(chuàng)造力。但和常見的數(shù)學(xué)問題一樣，掌握概念、公式和解題技巧對(duì)于解決幾何問題同樣是有效的，所以本章涉及的概念、公式以及幾何問題獨(dú)特的解題技巧就需要考生格外重視。根據(jù)幾何問題考查的圖形特點(diǎn)和知識(shí)點(diǎn)，我們可以將幾何問題分為平面幾何型、立體幾何型、幾何性質(zhì)型和幾何計(jì)數(shù)型四類。分類掌握不同題型可以使考生的復(fù)習(xí)和備考更加高效。一、平面幾何型1.基礎(chǔ)知識(shí)圖形圖例周長(zhǎng)公式面積公式三角形正方形長(zhǎng)方形梯形一般不考平行四邊形圓扇形2.解題技巧根據(jù)平面幾何型題目所給圖形的特征，我們將解題技巧分為兩種，如下：如果所給圖形是規(guī)則圖形，那么一般按照規(guī)則圖形對(duì)應(yīng)的計(jì)算公式直接計(jì)算或者根據(jù)規(guī)則圖形的公式列方程計(jì)算。如果所給圖形是不規(guī)則圖形，那么可以通過分割、補(bǔ)齊、平移等手段將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，然后按規(guī)則圖形的解題方法求解。3.真題舉例【例1】（補(bǔ)充例題）在正方形草坪的正中有一個(gè)長(zhǎng)方形池塘，池塘的周長(zhǎng)是草坪的一半，面積是除池塘之外草坪面積的1/3，則池塘的長(zhǎng)和寬之比為()。A.1:1B.2:1C.4:1D.：（2-）解析：題目的條件中給出的圖形是規(guī)則圖形，所以考慮使用公式直接求解或者列方程。但題目沒有給出具體的值，所以設(shè)池塘的面積為1，則除去池塘之外的草坪面積為3，則正方形草坪的面積為4，則正方形草坪的邊長(zhǎng)為2。設(shè)池塘的長(zhǎng)為x，寬為y。根據(jù)題意可以列出方程：xy=1和2（x+y）=4，解得x=1，y=1。所以正確答案為A項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）下圖中的甲和乙都是正方形，BE=20厘米，EF=10厘米。那么，陰影部分ABC的面積是多少平方厘米？A.200B.220C.230D.250解析：題目給出的圖形是一個(gè)不規(guī)則的圖形，所以考慮將圖形轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)則圖形來求解。將整個(gè)圖形補(bǔ)齊，使其成為一個(gè)長(zhǎng)方形，作圖如下。則三角形ABC的面積就等于長(zhǎng)方形BGKF的面積減去三角形AGB、三角形BCF、三角形ACK的面積。即三角形ABC的面積=20×30-1/2×20×20-1/2×30×10-1/2×30×10=200平方厘米。正確答案為A項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）下列圖形均是由正方形與圓形所構(gòu)成的，圖形中陰影部分的面積最大的是（）。A最大B.B最大C.C最大D.都一樣大解析：題目中所給的圖形的陰影部分是不規(guī)則圖形，所以考慮將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。對(duì)于A圖可以分割為兩部分，即所有陰影部分和空白部分的圓形，而這兩部分的面積和等于一個(gè)正方形的面積，所以陰影部分的面積=正方形的面積-空白部分圓形的面積==4-π。同理可得B圖陰影部分的面積=4-π；C圖陰影部分的面積=π-2。所以正確答案為C項(xiàng)。【例4】（2010年真題）如下圖，長(zhǎng)為1米的細(xì)繩上系有小球，從A處放手后，小球第一次擺到最低點(diǎn)B處共移動(dòng)了多少米？A.1+1/3πB.1/2+1/2πC.2/3πD.1+2/3π解析：根據(jù)題目可得到小球的運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖：即A點(diǎn)至C點(diǎn)，因?yàn)槔K子對(duì)小球沒有拉力，所以小球的運(yùn)動(dòng)是垂直下落的；C點(diǎn)開始，繩子被拉直，所以繩子對(duì)小球有拉力，所以C點(diǎn)至B點(diǎn)小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是扇形的一段弧長(zhǎng)。要計(jì)算小球一共移動(dòng)了多少米，分別計(jì)算出AC的長(zhǎng)度和CB的弧長(zhǎng)即可。AC在三角形ACO中，AO=BO，角AOC=60度，所以三角ACO是等邊三角形，所以AC=A0=CO=1；對(duì)于C點(diǎn)到B點(diǎn)的長(zhǎng)度按公式計(jì)算可得為1/3π。所以小球總共移動(dòng)了（1+1/3π）米。正確答案為A項(xiàng)。二、立體幾何型1.基礎(chǔ)知識(shí)圖形圖例表面積公式體積公式長(zhǎng)方體正方形球體圓柱圓錐一般不考所有柱體的體積都=底面積×高；所有錐體的體積都=1/3×底面積×高；2.解題技巧立體幾何型題目大多數(shù)情況下都是直接考查基本公式，所以題目直接利用公式求解即可。但是，立體幾何相對(duì)比較抽象，所以解題時(shí)盡可能將其轉(zhuǎn)化到平面更有利于解題。3.真題舉例【例1】（2013年真題）連接正方體每個(gè)面的中心構(gòu)成一個(gè)正八面體(如下圖所示)。己知正方體的邊長(zhǎng)為6厘米，問正八面體的體積為多少立方厘米?A.182B.242C.36D.72解析：該正八面體可以看做兩個(gè)正四棱錐拼成的，每個(gè)正四棱錐的底面由原正方體四個(gè)側(cè)面的中心連線構(gòu)成，高分別為正方體頂面與底面中心到四棱錐底面中心的距離。如下圖所示：一個(gè)正四棱錐的高為SO，底面積為四邊形ABCD的面積。正四棱錐底面投影至正方體底面后的圖形如下：所有正四棱錐的底面積=6×6-4×（1/2×3×3）=18平方厘米，由上述分析可得一個(gè)正四棱錐的高為3。所以一個(gè)正四棱錐的體積=1/3×18×3=18立方厘米。所以正八面體的體積為36平方厘米。正確答案為C項(xiàng)?！纠?】（2012年真題）某公司要在長(zhǎng)、寬、高分別為50米、40米、30米的長(zhǎng)方體建筑的表面架設(shè)專用電路管道聯(lián)接建筑物內(nèi)最遠(yuǎn)兩點(diǎn)，預(yù)設(shè)的最短管道長(zhǎng)度介于：A.90—100米之間B.80—90米之間C.70—80米之間D.60—70米之間解析：要使其在外圍走線且距離最短，則最短的情況為走過兩個(gè)相鄰面，連接如圖中A、B兩點(diǎn)。連接A、B兩點(diǎn)的最短連線轉(zhuǎn)化到平面后如下圖：由于長(zhǎng)、寬、高是相對(duì)而言的，所以AB的長(zhǎng)度有如下三種最短情況：由勾股定理可計(jì)算出三種最短情況下AB的值，取最小值即可。故答案為B項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：此題為立體幾何題，是一道非常經(jīng)典的題目。此題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，一是一定要將立體圖形轉(zhuǎn)換到平面去看，二是注意立體圖形中長(zhǎng)、寬、高是相對(duì)正視圖而言的。三、幾何特性型1.基礎(chǔ)知識(shí)（1）相似圖形的重要結(jié)論如果兩個(gè)圖形形狀相同，但大小不一定相等，那么這兩個(gè)圖形就是相似圖形，相似圖形對(duì)應(yīng)邊的比例稱為相似比。關(guān)于相似圖形有以下重要結(jié)論?！は嗨茍D形對(duì)應(yīng)的角相等；·相似圖形的周長(zhǎng)比等于相似比；·相似圖形的面積比等于相似比的平方；·相似圖形的體積比等于相似比的立方。（2）三角形重要結(jié)論·三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；·在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：·一個(gè)角是30度的直角三角形，30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，三條邊的比值為：；·一個(gè)角是45度的直角三角形，三邊的比值為：。2.解題技巧要解決幾何特性型題目，最重要的就是掌握這些特性并熟練運(yùn)用。3.真題舉例【例1】（補(bǔ)充例題）一塊種植花卉的矩形土地如圖所示，AD邊長(zhǎng)是AB的2倍，E是CD的中點(diǎn)，甲、乙、丙、丁、戊區(qū)域分別種植白花、紅花、黃花、紫花、白花。問種植白花的面積占矩形土地面積的：A．3/4B．2/3C．7/12D．1/2解析：設(shè)AB的長(zhǎng)度為6，則AD的長(zhǎng)度為12。由題目可知，三角形戊的面積等于1/2×3×12=18；由AB和DE平行，可知三角形甲和丙為相似三角形，已知AB：DE=2:1，即相似比是2:1，所以三角形甲和丙的高也是2:1，由圖可知三角形甲和丙的高之和等于AD，即12，所以三角形甲的高為12×2/3=8，所以三角形甲的面積為1/2×8×6=24。所以種植白花的甲和戊兩個(gè)三角形的面積為24+18=42，占矩形土地面積為42/（12×6）=7/12。所以正確答案為C項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）已知三角形三邊長(zhǎng)分別為3、15、x。若x為正整數(shù)，則這樣的三角形有多少個(gè)？（）A.3B.4C.5D.無數(shù)解析：利用三角形的結(jié)論，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，由此可得，15-3<x<15+3，即12<x<18，所以第三邊可以取13、14、15、16、17這5個(gè)值，所以可以組成5個(gè)這樣的三角形。正確答案為C項(xiàng)目。四、幾何計(jì)數(shù)型1.基礎(chǔ)知識(shí)幾何計(jì)數(shù)型題目共同的特征是要求求出滿足題目條件的圖形個(gè)數(shù)，而且有時(shí)數(shù)量還較大。這類題目一般不涉及新的知識(shí)點(diǎn)，所以平面幾何型、立體幾何型、幾何性質(zhì)型的知識(shí)是幾何計(jì)數(shù)型題目的基礎(chǔ)知識(shí)。2.解題技巧這類題目需要利用幾何基礎(chǔ)知識(shí)綜合考慮才能得出結(jié)果。3.真題舉例【例1】（2011年真題）把一個(gè)正四面體的每個(gè)表面都分成9個(gè)相同的等邊三角形,用任意顏色給這些小三角形上色,要求有公共邊的小三角顏色不同,問最多有多少個(gè)小三角形顏色相同?A.12B.15C.16D.18解析：我們考慮小三角形顏色相同最多的那種顏色，設(shè)其為黑色，在左圖中，我們將不相鄰的三角形涂一種顏色，因?yàn)橐笥泄策叺娜切晤伾煌瑒t黑色部分三角形顏色一樣，因此余下三個(gè)面相對(duì)于這個(gè)面的位置是一樣的，我們只要分析其中的一個(gè)面即可，如右圖，只有三個(gè)三角形能涂黑色，因此最多有6+3×3=15個(gè)小三角形顏色相同。所以正確答案為B項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：正四面體又稱正三棱錐，正四面體的四個(gè)面都是全等的等邊三角形?！纠?】（2014年真題）一個(gè)圓形的草地中央有一個(gè)與之同心的圓形花壇，在花壇圓周和草地圓周上各有3個(gè)不同的點(diǎn)，安放了灑水的噴頭，現(xiàn)用直管將這些噴頭連上，要求任意兩個(gè)噴頭都能被一根水管連通，問最少需要幾根水管?(一根水管上可以連接多個(gè)噴頭)A.5B.8C.20D.30解析：為使水管數(shù)量最少，應(yīng)使噴頭盡可能在一條直線上。如下圖，有四個(gè)噴頭在一條直線、三個(gè)噴頭在一條直線上，此時(shí)需要8根水管。第四節(jié)工程問題工程問題是行測(cè)中的?？碱}型，這類問題的考查方式比較單一，題型的變化也較小，所以整體來看難度并不大。考生只要掌握好工程問題相關(guān)的概念（比如工作總量、工作時(shí)間、工作效率）、計(jì)算公式和比例關(guān)系，恰當(dāng)?shù)睦酶鞣N解題技巧（尤其是特值法），遇到這類問題還是可以快速解出的。利潤(rùn)問題有三種常見題型：常規(guī)工程型、合作工程型和輪流合作工程型。其中常規(guī)工程型是所有工程問題的基礎(chǔ)，即常規(guī)工程型中的概念、計(jì)算公式是合作工程型和輪流合作工程型的基礎(chǔ)，合作工程型和輪流合作工程型是對(duì)工程問題的細(xì)分。一、常規(guī)工程型常規(guī)工程型題目是工程問題中最基礎(chǔ)的題目，考查的越來越少，這種類型的題目中一般不涉及與他人共同合作的情況。1.基礎(chǔ)知識(shí)概念公式示例工作總量工作總量=工作時(shí)間×工作效率小王加工一批零件，每天加工2個(gè)，工作5天能完成，則工作總量=5×2=10個(gè)工作時(shí)間工作時(shí)間=工作總量÷工作效率小王加工10個(gè)零件，每天加工2個(gè)，則工作時(shí)間=10÷2=5天工作效率工作效率=工作總量÷工作時(shí)間小王加工10個(gè)零件，工作5天能完成，則工作效率=10÷5=2個(gè)/天2.解題技巧（1）直接利用公式進(jìn)行計(jì)算或運(yùn)用公式結(jié)合方程法來解決問題。（2）如果題干中存在工作時(shí)間（工作效率）前后的變化，有時(shí)也可以考慮使用比例的知識(shí)進(jìn)行求解。工程問題中各個(gè)量的比例關(guān)系如下：不變的量另外兩個(gè)量的比例關(guān)系工作時(shí)間一定時(shí)工作總量和工作效率成正比工作效率一定時(shí)工作總量和工作時(shí)間成正比工作總量一定時(shí)工作時(shí)間和工作效率成反比3.真題舉例【例1】（補(bǔ)充例題）王明抄寫一份報(bào)告，如果每分鐘抄寫30個(gè)字，則用若干小時(shí)可以抄完。當(dāng)抄完2/5時(shí)，將工作效率提高40%，結(jié)果比原計(jì)劃提前半小時(shí)完成。問這份報(bào)告共有多少字？（）A.6025B.7200C.7250D.5250解析：題目中不涉及與他人合作，所以是常規(guī)工程型題目。設(shè)這份報(bào)告總共有5x個(gè)字，剛開始的效率是30，提高后的效率為30×（1+40%）=42。由“比原計(jì)劃提前半小時(shí)完成”這個(gè)等量關(guān)系，結(jié)合工程問題的公式可列出方程：5x/30=2x/30+3x/42+30，解得x=1050，所以總的字?jǐn)?shù)為5250個(gè)。正確答案為D項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）老王計(jì)劃用100天的時(shí)間完成一件大型雕塑，按原計(jì)劃的工作效率工作48天后由于購(gòu)買了新型雕刻工具，工作效率提高了30%，那么這件雕塑可以提前幾天完成？A.28B.15C.12D.18解析：由“工作效率提高30%”，可知前后的效率發(fā)生了變化，可以考慮使用比例的知識(shí)求解。工作效率提高30%，則原來和現(xiàn)在的效率之比為10∶13。根據(jù)工作總量一定時(shí)，工作時(shí)間和工作效率成反比，則原來的工作時(shí)間和現(xiàn)在的工作時(shí)間的比與工作效率成反比，即13:10。根據(jù)題目可知，剩下的工作量原計(jì)劃用100-48=52天完成，而效率提高后，根據(jù)比例關(guān)系可知只需要用52×10/13=40天完成。所以提前52-40=12天完成。正確答案為C項(xiàng)。二、合作工程型1.基礎(chǔ)知識(shí)合作工程型是指一項(xiàng)工程由多者合作完成。對(duì)于此類題目除了常規(guī)工程型的基礎(chǔ)知識(shí)外，還需要掌握以下幾點(diǎn)知識(shí)。（1）對(duì)于一項(xiàng)工程，工作總量等于每一個(gè)參與到這項(xiàng)工程中的人完成的工作量的和。（2）合作時(shí)的效率=各部分效率之和。2.解題技巧合作工程型題目經(jīng)常使用到的解題技巧有方程法、數(shù)字特性法和特值法。因?yàn)楹献餍凸こ虇栴}中涉及多個(gè)人的工作時(shí)間、工作效率和工作量，所以很多題目都會(huì)出現(xiàn)這些量中只知道其中一個(gè)量的具體值，其它未知的情況，所以在此對(duì)合作型工程問題中特值法的使用作出補(bǔ)充，具體如下：（1）如果題目只給出了時(shí)間的具體值，可以通過給工作總量設(shè)特殊值，一般將總量設(shè)為時(shí)間的公倍數(shù)，從而計(jì)算出各自的效率。（2）如果題目條件不僅有時(shí)間，而且給出了關(guān)于效率的比例關(guān)系，這時(shí)通常可以給效率設(shè)特殊值，從而通過公式計(jì)算出工作總量。（3）如果題目給出了工作效率、工作時(shí)間、工作總量三個(gè)中的任意兩個(gè)的具體值，則不用設(shè)特值，代入公式或者列方程計(jì)算即可。3.真題舉例【例1】（補(bǔ)充例題）一項(xiàng)工程如果交給甲、乙兩隊(duì)共同施工，8天能完成；如果交給甲、丙兩隊(duì)共同施工，10天能完成；如果交給甲、丁兩隊(duì)共同施工，15天能完成；如果交給乙、丙、丁三隊(duì)共同施工，6天就可以完成。如果甲隊(duì)獨(dú)立施工，需要多少天完成？（）A.16B.20C.24D.28解析：題目只給出了時(shí)間的具體值，所以可以設(shè)工作總量為8天、10天、15天和6天的公倍數(shù)，即120。所以可以得到各種合作情況下的效率和，甲的工作效率+丙的工作效率=120/8=15，甲的工作效率+丙的工作效率=120/10=12，甲的工作效率+丁的工作效率=120/15=8，乙的工作效率+丙的工作效率+丁的工作效率=120/6=20；求解可得甲的工作效率為5，所以甲獨(dú)立施工需要的天數(shù)為120/5=24天。正確答案為C項(xiàng)?！纠?】（2010年真題）一項(xiàng)工程由甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)共同完成需要15天，甲隊(duì)與乙隊(duì)的工作效率相同，丙隊(duì)3天的工作量與乙隊(duì)4天的工作量相當(dāng)。三隊(duì)同時(shí)開工2天后，丙隊(duì)被調(diào)往另一工地，甲、乙兩隊(duì)留下繼續(xù)工作。那么，開工22天后，這項(xiàng)工程（）。A.已經(jīng)完工B.余下的量需甲、乙兩隊(duì)共同工作1天C.余下的量需乙、丙兩隊(duì)共同工作1天D.余下的量需甲、乙、丙隊(duì)共同工作1天解析：題目不僅給出了時(shí)間，還給出了效率間的比例關(guān)系，由“丙隊(duì)3天的工作量與乙隊(duì)4天的工作量相當(dāng)”可得乙、丙的工作效率之比為3:4，由“甲隊(duì)與乙隊(duì)的工作效率相同”可得甲、乙工作效率之比為1:1，所以甲、乙、丙的工作效率之比為3:3:4。設(shè)甲、乙、丙的效率分別為3、3、4，則工作總量為（3+3+4）×15=150。開2天后，丙完成的工作量為4×2=8；開工22天后，甲和乙完成的工作量為（3+3）×22=132；所以剩余的工作量為150-8-132=10。所以剩余的工作量需要甲、乙、丙合作完成，需要的工作時(shí)間為10/（3+3+4）=1天。正確答案為D項(xiàng)?！纠?】（2012年真題）甲工人每小時(shí)可加工A零件3個(gè)或B零件6個(gè)，乙工人每小時(shí)可加工A零件2個(gè)或B零件7個(gè)。甲、乙兩工人一天8小時(shí)共加工零件59個(gè)，甲、乙加工A零件分別用時(shí)為x小時(shí)、y小時(shí)，且x、y皆為整數(shù)，兩名工人一天加工的零件總數(shù)相差：A.7個(gè)B.6個(gè)C.5個(gè)D.4個(gè)解析：題目中工作時(shí)間、工作效率都已知，所以不能設(shè)特值，列方程求解即可。由題目可知：甲加工A零件工作了x小時(shí)，則甲加工B零件工作了8-x小時(shí)；乙加工A零件工作了y小時(shí)，則乙加工B零件工作了8-y小時(shí)；所以根據(jù)題目條件可得如下方程：甲加工零件總數(shù)=；乙加工零件總數(shù)=；甲乙總共加工的零件數(shù)=59=+；題目當(dāng)中x、y必須是整數(shù)，且，，所以觀察可得：首先利用奇偶律可知，x和y必然一個(gè)是奇數(shù)另一個(gè)是偶數(shù)；其次利用整除的特性可知，5y是5的倍數(shù)，所以45-5y得結(jié)果仍然是5的倍數(shù)，則3x也必然是5的倍數(shù)，所以x只能等于5，則y等于6。所以甲加工零件總數(shù)為48-15=33，乙加工零件總數(shù)為56-30=26，所以相差7個(gè)零件。正確答案為A項(xiàng)。三、交替合作型1.基礎(chǔ)知識(shí)一項(xiàng)工程由多者交替去做，一者工作時(shí)其它者都不參與，按此規(guī)律不斷循環(huán)，直到完成工作總量。對(duì)于這類題目，常規(guī)工程型和合作工程型的知識(shí)是其基礎(chǔ)。2.解題技巧交替合作型題目常用的解題技巧有方程法和特值法，但關(guān)鍵點(diǎn)是找出最小的循環(huán)周期及一個(gè)循環(huán)周期的效率之和。對(duì)于交替合作型題目常用的解題思路如下：第一步：工作總量設(shè)為“時(shí)間們”的最小公倍數(shù)就可得到各個(gè)效率；第二步：找到周期的循環(huán)規(guī)律，得到一個(gè)周期完成的工作量；第三步：工作總量除以一個(gè)周期的工作量就可以得到周期數(shù)和剩余的工作量；第四步：計(jì)算總的完成時(shí)間。3.真題舉例【例題】（補(bǔ)充例題）一條隧道，甲單獨(dú)挖要20天完成，乙單獨(dú)挖要10天完成。如果甲先挖1天，然后乙接替甲挖1天，再由甲接替乙挖1天……兩人如此交替工作。那么，挖完這條隧道共用多少天？A.13B.13.5C.14D.15.5解析：題干中工作總量和工作時(shí)間未知，所以可以設(shè)特值。設(shè)工作總量為20，則甲的效率為1，乙的效率為2，則一個(gè)循環(huán)甲乙的工作量為3，20÷3=6……2，6個(gè)循環(huán)為6×2=12天，剩余工作量，甲先完成1個(gè)工作量，即工作1天，乙再完成剩余的1個(gè)工作量即0.5天，則共需12+1+0.5=13.5天。所以正確答案為B項(xiàng)。第五節(jié)行程問題行程問題是行測(cè)幾乎每年都會(huì)考查的題型，但行程問題的種類和變形很多，因此，備考難度較大。雖然備考難度大，題目變形和種類多，但是這些題目都是基于基本的行程問題變化產(chǎn)生的，所以從基本的行程問題入手，多加練習(xí)，掌握好行程問題還是可以的。常見的行程問題有以下幾種題型：基本行程型、相遇追及型、環(huán)線相遇追及型、流水行船型。一、基本行程型基本行程型題目是最簡(jiǎn)單也是最基本的行程問題，是所有行程問題的基礎(chǔ)?；A(chǔ)知識(shí)項(xiàng)目公式路程路程=速度×?xí)r間速度速度=路程÷時(shí)間時(shí)間時(shí)間=路程÷速度平均速度平均速度=總路程÷總時(shí)間2.解題技巧基本行程型題目有的可以直接代入公式中計(jì)算即可；有的需要根據(jù)公式使用方程法求解；有的題目條件不充足也會(huì)考慮使用特值法；還有些題目可以通過比例知識(shí)進(jìn)行求解，所以對(duì)于行程問題中速度、時(shí)間、路程三個(gè)量的比例關(guān)系要掌握，具體如下：不變的量另外兩個(gè)量的關(guān)系路程一定時(shí)速度和時(shí)間成反比速度一定時(shí)路程和時(shí)間成正比時(shí)間一定時(shí)路程和速度成正比基本行程型題目甚至所有的行程問題都涉及物體的運(yùn)動(dòng)，所以有些題目可以通過畫出物體運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)圖從而使問題直觀明了，便于解答，即所謂的畫圖求解的方法。在此舉例說明?！臼纠恳涣谢疖囬L(zhǎng)300米，它以每秒10米的速度穿過長(zhǎng)200米的隧道，從車頭進(jìn)入隧道到車尾離開隧道共需多少時(shí)間?解析：根據(jù)題意，利用畫圖法作圖如下：由圖可知，從車頭進(jìn)入隧道到車尾離開隧道車走過的路程為200+300=500米，則所用時(shí)間為500÷10=50秒。3.真題舉例【例1】（2012年真題）四名運(yùn)動(dòng)員參加4×100米接力，他們100米速度分別為v1，v2，v3，v4。不考慮其他影響因素，他們跑400米全程的平均速度為（）。A.(1/4)(v1+v2+v3+v4)B.4/(v1+v2+v3+v4)C.4/v1+4/v2+4/v3+4/v4

D.4/(1/v1+1/v2+1/v3+1/v4)

解析：題目當(dāng)中已知四名運(yùn)動(dòng)員各自的路程和速度，所以直接代入公式計(jì)算即可。平均速度=總路程÷總時(shí)間，總路程已知，即400米，所以知道總時(shí)間即可。四名運(yùn)動(dòng)員各自的時(shí)間根據(jù)公式可得分別為：、、、。所以平均速度=400÷（+++）化簡(jiǎn)可得正確答案為D項(xiàng)。【例2】（補(bǔ)充例題）火車通過560米長(zhǎng)的隧道用20秒，如果速度增加20%，通過1200米長(zhǎng)的隧道用30秒。火車的長(zhǎng)度是多少米？（）A.220B.240C.250D.260解析：題目中火車的長(zhǎng)度和原來的速度都未知，只已知時(shí)間，所以考慮通過列方程求解。根據(jù)題目可知隧道長(zhǎng)度+火車長(zhǎng)度=速度×火車通過隧道的時(shí)間，設(shè)火車的長(zhǎng)度為x米，原來的速度為y米/秒，根據(jù)公式和題目條件列出方程為：560+x=20×y，1200+x=x（1+20%）×y。求解兩個(gè)方程可得x=240米。所以正確答案為B項(xiàng)。【例3】（2014年真題）甲乙兩輛車從A地駛往90公里外的B地，兩車的速度為5:6。甲車于上午10點(diǎn)半出發(fā)，乙車于10點(diǎn)40分出發(fā)，最終乙車比甲車早2分鐘到達(dá)乙地。問兩車的時(shí)速相差多少千米/小時(shí)?A.10B.12C.12.5D.15解析：由于兩人的速度之比為5:6。故兩人全程所用時(shí)間之比為6:5，乙比甲晚出發(fā)10分鐘，且比甲早到2分鐘，因此全程乙比甲快了12分鐘。由于兩人全程所用時(shí)間之比為6:5，即甲的用時(shí)從比例上來說比乙多了1份，多的這1份即12分鐘。所以甲全程用時(shí)為12×6=72分鐘，所以甲的速度為90/（72/60）=75千米/小時(shí)；乙全程用時(shí)為12×5=60分鐘，所以乙的速度為90/（60/60）=90千米/小時(shí)；所以輛車時(shí)速相差15千米/小時(shí)。正確答案為D項(xiàng)。二、追及相遇型1.基礎(chǔ)知識(shí)（1）相遇相遇一般可以描述為甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后甲、乙在途中相遇。圖示如下：根據(jù)圖示，假設(shè)AB=S，AC=，BC=，則S=+=+，因?yàn)榧缀鸵以贑點(diǎn)相遇時(shí)兩者用時(shí)一樣，所以S=T×（+）。即，對(duì)于相遇型問題有如下結(jié)論：路程和=速度和×?xí)r間。（2）追及追及一般可以描述為甲從A地到C地，乙在甲的前方位置B，甲的速度大于乙的速度，甲在途中追上乙。圖示如下：根據(jù)圖示，假設(shè)AB=S，甲在C點(diǎn)追上了乙，AC=，BC=，則S=-=-，因?yàn)榧缀鸵业竭_(dá)C點(diǎn)用時(shí)一樣，所以S=T×（-）。即對(duì)于追及型問題有如下結(jié)論：路程差=速度差×?xí)r間。2.解題技巧有的追及相遇型題目相對(duì)比較簡(jiǎn)單，可以直接代入公式和結(jié)論中求解解；有的題目條件不充足也會(huì)考慮使用特值法；還有些題目可以通過比例知識(shí)進(jìn)行求解；同樣畫圖對(duì)于求解有些追及相遇型題目也很有幫助。3.真題舉例【例1】（補(bǔ)充例題）甲、乙兩地相距20公里，小李、小張兩人分別步行和騎車，同時(shí)從甲地出發(fā)沿同一路線前往乙地，小李速度為4.5公里/小時(shí)，小張速度為27公里/小時(shí)。出發(fā)半小時(shí)后，小張返回甲地取東西，并在甲地停留半小時(shí)后再次出發(fā)前往乙地。問小張追上小李時(shí)，兩人距離乙地多少公里？A.8.1B.9C.11D.11.9解析：題目已知小李和小張的速度、甲乙兩地的距離和個(gè)別時(shí)間，所以條件相對(duì)充分，考慮用追及相遇的結(jié)論和公式求解。通過題目條件可知，小張從甲地出發(fā)半小時(shí)又返回甲地，共花了1小時(shí)，這1小時(shí)加上他在甲地休息的半小時(shí)，共1.5個(gè)小時(shí)。在這1.5小時(shí)內(nèi)小李一直在前往乙地，所以小李1.5小時(shí)內(nèi)走的路程正好是小張?jiān)俅螐募椎爻霭l(fā)去追小李的追及距離。根據(jù)追及的公式，路程差=速度差×?xí)r間，而這個(gè)路程差就是本題的追及距離。所以可得4.5×1.5=（27-4.5）×追及時(shí)間，求得追及時(shí)間等于0.3小時(shí)，此時(shí)小張從甲地行駛了27×0.3=8.1公里，故離乙地有20-8.1=11.9公里。正確答案為D項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，勻速前進(jìn)。如果每個(gè)人按一定的速度前進(jìn)，4小時(shí)相遇；如果各自每小時(shí)比原計(jì)劃少走1千米，5小時(shí)相遇。則A、B兩地的距離是（）。A.40B.20C.30D.10解析：根據(jù)題目可知本題是相遇型題目，題目所求的A、B兩地的距離及路程和，而時(shí)間已知，所以求出速度和即可，考慮使用方程法。設(shè)A、B兩地的距離為S，甲的速度為x千米/小時(shí)，乙的速度為y千米/小時(shí)。根據(jù)相遇的公式可得方程為：S=（x+y）×4，S=（x-1+y-1)×5，解方程可得x+y=10，所以S=10×4=40。正確答案為A項(xiàng)?！纠?】（2013年真題）小張、小王二人同時(shí)從甲地出發(fā)，駕車勻速在甲乙兩地之間往返行駛。小張的車速比小王快，兩人出發(fā)后第一次和第二次相遇都在同一地點(diǎn)，問小張的車速是小王的幾倍？A.1.5B.2C.2.5D.3解析：題目涉及兩次相遇，所以畫出其運(yùn)動(dòng)圖更直觀，如下：第一次相遇圖第二次相遇圖由圖可知，第一次相遇時(shí)，；第二次相遇時(shí)，；設(shè)第一次相遇時(shí)=1，則第二次相遇時(shí)=1+1=2；且第二次相遇時(shí)王所走的路程和第一次一樣，所以=1。由比例知識(shí)可知，時(shí)間相同，路程比等于速度比，所以可得速度比為：，則小張車速是小王的2倍。正確答案為B項(xiàng)。環(huán)線相遇追及型環(huán)形相遇追及型題是在相遇追及型題基礎(chǔ)上的細(xì)分，所以相遇追及型題的結(jié)論適用于環(huán)線相遇追及型題。1.基礎(chǔ)知識(shí)（1）環(huán)線相遇環(huán)線相遇是指在一個(gè)環(huán)形跑道上，兩人由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，則他們會(huì)在跑道上某點(diǎn)相遇。具體如下圖：假設(shè)跑道長(zhǎng)度為S，則可以得到如下結(jié)論：·第一次相遇時(shí)，甲乙的路程和為S;·第n次相遇時(shí)，甲乙的路程之和為nS·每個(gè)人走的路程等于他第一次相遇時(shí)所走路程的n倍。（2）環(huán)線追及環(huán)線追及是指在一個(gè)環(huán)形跑道上，兩人由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而行，則他們會(huì)在跑道上某點(diǎn)一個(gè)追上另一個(gè)。具體如下圖：假設(shè)跑道的長(zhǎng)度為S，則可以得到如下結(jié)論：·乙第1次追上甲時(shí)，乙比甲多跑1圈，乙比甲多跑的路程為S；·乙第n次追上甲時(shí)，乙比甲多跑n圈，乙比甲多跑的路程為nS。（3）兩人由不同地點(diǎn)出發(fā)的環(huán)線追及和相遇如果兩人由不同地點(diǎn)出發(fā)時(shí)，在計(jì)算工程中，從開始到第一次相遇（追及）要單獨(dú)計(jì)算，相遇（追及）的距離就是兩人的初始距離，此后的情況可按照上述環(huán)線追及和相遇的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算。2.解題技巧環(huán)線追及相遇型題目有的可以利用上述結(jié)論和追及相遇型題中的結(jié)論求解；有的可能需要利用特值法；有的可能需要比例的知識(shí)求解。3.真題舉例【例1】（2014年真題）環(huán)形跑道長(zhǎng)400米，老張、小王、小劉從同一地點(diǎn)同向出發(fā)，圍繞跑道分別慢走、跑步和騎自行車。已知三人的速度分別是1米/秒、3米/秒和6米/秒，問小王第三次超越老張時(shí)，小劉已經(jīng)超越了小王多少次？A.3B.4C.5D.6解析：由題目“環(huán)形跑道長(zhǎng)400米”可知是環(huán)線追及相遇型。由結(jié)論可知“小王第三次超越老張時(shí)”，應(yīng)該比老張多跑了3圈，即多跑了1200米，即小王和老張的路程差是1200米。由路程差=速度差×?xí)r間可得，小王第三次超越老張時(shí)所用的時(shí)間為1200/（3-1）=600秒。所以600秒時(shí)，小劉比小王多跑了600×（6-3）=1800米，所以多跑了1800/400=4.5圈，即超越了4.5次，所以取整即4次，所以正確答案為B項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）甲和乙在長(zhǎng)400米的環(huán)形跑道上勻速跑步，如兩人同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)相向而行，則第一次相遇的位置距離出發(fā)點(diǎn)有150米的路程；如兩人同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)同向而行，問跑的快的人第一次追上另一人時(shí)跑了多少米？A.600B.800C.1000D.1200解析：由題目“甲和乙在長(zhǎng)400米的環(huán)形跑道上勻速跑步”可知是環(huán)線追及相遇型。由結(jié)論可知跑的快的第一次追上另一人時(shí)，跑的快的比跑的慢的多跑一圈，即400米，所以兩者的路程差為400米。由“第一次相遇的位置距離出發(fā)點(diǎn)有150米的路程”可知，第一次相遇時(shí)其中一人跑了150米，另一人跑了250米，可假設(shè)跑得快的人速度為250米/分鐘，跑得慢的人的速度為150米/分鐘。所以綜上可得跑的快的人第一次追上另一人時(shí)所用的時(shí)間為：400/（250-150）=4分鐘，所以跑的快的人的路程為250×4=1000米，正確答案為C項(xiàng)。四、流水行船型1.基礎(chǔ)知識(shí)在江河里航行時(shí)，除了船本身的前進(jìn)速度外，還受到流水的推送或頂逆，在這種情況下，計(jì)算船只的航行速度、時(shí)間和所行的路程叫做流水行船問題。在流水行船問題中，船速是指船本身的速度，也就是船在靜水中的速度。順?biāo)俣群湍嫠俣确謩e指順流航行時(shí)和逆流航行時(shí)船受水流速度影響后的速度。流水行船問題的基本公式如下：2.解題技巧解決流水行船問題時(shí)一定要判斷清楚四種不同的速度，即順?biāo)俣?、逆水速度、船速和水流速度，在此基礎(chǔ)上有的題目代入公式即可求解；有的題目需要利用公式列出方程求解；有的題目需要利用比例知識(shí)和特值法求解。3.真題舉例【例1】（補(bǔ)充例題）一只裝有動(dòng)力槳的船，其單靠人工劃船順流而下的速度是水速的3倍?，F(xiàn)該船靠人工劃動(dòng)從A地順流到達(dá)B地，原路返回時(shí)只開足動(dòng)力槳行駛，用時(shí)比來時(shí)少2/5。問船在靜水中開足動(dòng)力槳行駛的速度是人工劃船速度的多少倍（）A．2B．3C．4D．5解析：由題目條件可知明顯是流程行船型題目。但題目中所有的量都未知，考慮使用特值法。設(shè)水速為1，則順?biāo)俣葹?，人工劃船的速度=3-1=2。順?biāo)畷r(shí)間︰逆水時(shí)間=1︰（1-2/5）=5︰3，則順?biāo)俣醛U逆水速度=3︰5。所以逆水速度為5，動(dòng)力槳速度=5+1=6，所以船在靜水中開足動(dòng)力槳行駛的速度是人工劃船速度的6/2=3倍。所以正確答案為B項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）長(zhǎng)江上游的A港與下游S港相距270千米，一輪船以恒定速度從A港到S港需6.75小時(shí)，返回需9小時(shí)。如果一只漂流瓶從A港順?biāo)絊港，則需要的時(shí)間是（）小時(shí)。A.84B.50C.54D.81解析：有題目條件可知是流水行船型題目。上游到下游為順?biāo)?，反之為逆水。根?jù)順?biāo)娇傻茫?70=（+）×6.75；根據(jù)逆水公式可得：270=（-）×9。解方程可得船速為35千米/小時(shí)，水速為5千米/小時(shí)，所以，漂流瓶從A港順?biāo)鞯絊港所需要的時(shí)間為270/5=54小時(shí)。正確答案為C項(xiàng)。第六節(jié)容斥問題容斥問題在行測(cè)中考查的頻率不是很高，但是這類題目的規(guī)律性強(qiáng)且解題技巧相對(duì)固定，所以掌握起來難度并不大。容斥問題是條件之間有重疊和交叉的題目。比如：有的人喜歡音樂，有的人喜歡數(shù)學(xué)，而有的人既喜歡音樂又喜歡數(shù)學(xué)，這種情況下，如果將音樂和數(shù)學(xué)作為兩個(gè)條件，它們之間就有重疊和交叉，即音樂和數(shù)學(xué)都喜歡的那部分人。容斥問題有兩種常見的題型：兩集合容斥型和三集合容斥型一、兩集合容斥型1.基礎(chǔ)知識(shí)集合是指滿足某條件的對(duì)象匯總成的集體，比如某校有10個(gè)人喜歡音樂，這10個(gè)喜歡音樂的人就是一個(gè)集合。任何一個(gè)集合都可以用一個(gè)閉合的圓圈、方框等圖形來表示，比如“喜歡音樂的人”就可以用一個(gè)閉合的圓圈來表示。兩集合容斥型題目中一般會(huì)存在兩個(gè)集合間有重疊和交叉的情況。比如，某學(xué)院有200人，其中喜歡音樂的有40人，喜歡數(shù)學(xué)的有25人，音樂和數(shù)學(xué)都喜歡的有10人。該例子通過圖示更加容易看清楚和理解，圖示如下。整個(gè)閉合的長(zhǎng)方形代表總?cè)藬?shù)（200人）這個(gè)顏色的部分代表音樂和數(shù)學(xué)都不喜歡這種顏色的部分代表只喜歡音樂這種顏色的部分代表只喜歡數(shù)學(xué)黑色實(shí)線圍成的閉合區(qū)域代表喜歡音樂（40人）虛線圍成的閉合區(qū)域代表喜歡數(shù)學(xué)（25人）圖中白色的部分代表音樂和數(shù)學(xué)都喜歡（10人）通過該圖示我們發(fā)現(xiàn)有這樣的規(guī)律，即學(xué)院總?cè)藬?shù)-不喜歡音樂、數(shù)學(xué)的人數(shù)=喜歡音樂的人數(shù)+喜歡數(shù)學(xué)的人數(shù)-音樂數(shù)學(xué)都喜歡的人數(shù)。這個(gè)規(guī)律也是兩集合容斥型題目的重要結(jié)論。所以兩集合容斥型題目有如下重要結(jié)論。滿足條件A的個(gè)數(shù)+滿足條件B的個(gè)數(shù)-同時(shí)滿足條件A、B的個(gè)數(shù)=總數(shù)-同時(shí)不滿足條件A、B的個(gè)數(shù)。滿足條件A的個(gè)數(shù)+滿足條件B的個(gè)數(shù)-同時(shí)滿足條件A、B的個(gè)數(shù)=總數(shù)-同時(shí)不滿足條件A、B的個(gè)數(shù)。2.解題技巧兩集合容斥型題目有的可以直接代入結(jié)論中計(jì)算，有的可以通過畫圖求解，還有的可以通過特值法、方程法求解。3.真題舉例【例1】（補(bǔ)充例題）某班有60人，參加物理競(jìng)賽的有30人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有32人，兩科都沒有參加的有20人。同時(shí)參加物理、數(shù)學(xué)兩科競(jìng)賽的共有多少人？A.28B.26C.24D.22解析：由題目條件可知是兩集合容斥型題目。根據(jù)公式有，參加數(shù)學(xué)的人數(shù)+參加物理的人數(shù)-同時(shí)參加物理、數(shù)學(xué)的人數(shù)=總?cè)藬?shù)-物理、數(shù)學(xué)都不參加的人數(shù)。所以代入題干數(shù)據(jù)，30+32-同時(shí)參加物理、數(shù)學(xué)的人數(shù)=60-20，所以可得同時(shí)參加物理、數(shù)學(xué)的人數(shù)為22人。所以正確答案為D項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）工廠組織職工參加周末公益勞動(dòng)，有80%的職工報(bào)名參加。其中報(bào)名參加周六活動(dòng)的人數(shù)與報(bào)名參加周日活動(dòng)的人數(shù)比為2︰1，兩天的活動(dòng)都報(bào)名參加的人數(shù)為只報(bào)名參加周日活動(dòng)的人數(shù)的50%。問未報(bào)名參加活動(dòng)的人數(shù)是只報(bào)名參加周六活動(dòng)的人數(shù)的（）A．20%B．30%C．40%D．50%解析：由題目可知是兩集合容斥型題目。但題目中沒有具體的值，考慮使用特值法。設(shè)兩天活動(dòng)都參加的人數(shù)為1，那么只報(bào)名參加周日活動(dòng)的人數(shù)為2，則報(bào)名參加周日活動(dòng)人數(shù)為1+2=3，由“報(bào)名參加周六活動(dòng)的人數(shù)與報(bào)名參加周日活動(dòng)的人數(shù)比為2︰1”可得報(bào)名參加周六活動(dòng)的人數(shù)為3×2=6。作圖如下整個(gè)閉合的長(zhǎng)方形代表工廠總?cè)藬?shù)這個(gè)顏色的部分代表沒有參加周六、周日活動(dòng)的人數(shù)這個(gè)顏色的部分代表只參加周日活動(dòng)的（2人）這個(gè)顏色的部分代表只參加周六活動(dòng)的黑色實(shí)線圍成的閉合區(qū)域代表參照周日活動(dòng)的（3人）虛線圍成的閉合區(qū)域代表參加周六活動(dòng)的（6人）由圖可得，只參加周六活動(dòng)的人數(shù)為6-1=5。所以總?cè)藬?shù)=（5+1+2）/80%=10，所以未報(bào)名參加活動(dòng)的人數(shù)為10-8=2，占只參加周六活動(dòng)的人數(shù)的2/5=40%。所以正確答案為C項(xiàng)。二、三集合容斥型1.基礎(chǔ)知識(shí)三集合容斥型題目是在二集合容斥型題目的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。下面給出三集合容斥型的重要結(jié)論如下。滿足條件滿足條件A的個(gè)數(shù)+滿足條件B的個(gè)數(shù)+滿足條件C的個(gè)數(shù)-同時(shí)滿足條件A、B的個(gè)數(shù)-同時(shí)滿足條件A、C的個(gè)數(shù)-同時(shí)滿足B、C的個(gè)數(shù)+同時(shí)滿足條件A、B、C的個(gè)數(shù)=總數(shù)-同時(shí)不滿足條件A、B、C的個(gè)數(shù)說明：之所以是“+同時(shí)滿足條件A、B、C的個(gè)數(shù)”,是因?yàn)樵跍p去“滿足條件A、B的個(gè)數(shù)”、“滿足條件A、C的個(gè)數(shù)”、“滿足條件B、C的個(gè)數(shù)”的過程中“同時(shí)滿足條件A、B、C的個(gè)數(shù)”被多減了兩次。該結(jié)論得對(duì)應(yīng)圖示如：2.解題技巧三集合容斥型題目有的可以直接代入結(jié)論中計(jì)算，有的可以通過畫圖求解，還有的可以通過特值法、方程法求解。3.真題舉例【例1】（2012年真題）某公司招聘員工，按規(guī)定每人至多可報(bào)考兩個(gè)職位。結(jié)果共42人報(bào)名，甲、乙、丙三個(gè)職位報(bào)名人數(shù)分別是22人、16人、25人，其中同時(shí)報(bào)甲、乙職位的人數(shù)為8人，同時(shí)報(bào)甲、丙職位的人數(shù)為6人，那么同時(shí)報(bào)乙、丙職位的人數(shù)為（）。A.5人

B.6人

C.7人

D.8人解析：由題目條件可知是三集合容斥型題目。由于每人至多報(bào)考兩個(gè)職位，因此，同時(shí)報(bào)考三個(gè)職位，即同時(shí)滿足三個(gè)條件的人數(shù)為0。設(shè)同時(shí)報(bào)乙、丙職位的人數(shù)為x。根據(jù)三集合容斥型的結(jié)論，可得42=22+16+25-8-6-x+0,解得x=7。所以正確答案為C項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）某公司針對(duì)A、B、C三種崗位招聘了35人，其中只能勝任B崗位的人數(shù)等于只能勝任C崗位人數(shù)的2倍，而只能勝任A崗位的人數(shù)比能兼職別的崗位的人多1人，在只能勝任一個(gè)崗位的人群中，有一半不能勝任A崗位。則招聘的35人中能兼職別的崗位的有（）。A.10人B.11人C.12人D.13人解析：設(shè)只能勝任C崗位的人數(shù)為x個(gè)，則只能勝任B崗位的人數(shù)為2x。設(shè)能兼職的人數(shù)為y,根據(jù)題目畫出圖如下：圖中所有陰影部分代表了能兼職的人數(shù)，即y。所以可以列出方程：2x+x+y+y+1=35；y+1=2x+x。解方程可得y=11，所以正確答案為B項(xiàng)。第七節(jié)排列組合問題排列組合問題在行測(cè)考試中出現(xiàn)的頻率較低。排列組合是高中數(shù)學(xué)的知識(shí)，很多考生感覺很難，其實(shí)在行測(cè)考試中，甚至其它行測(cè)考試中排列組合考查的難度并不大，考生只要知道排列組合的基本概念和常用方法，解決此類題目還是比較容易的。排列組合問題有三類常見題型：基本型、經(jīng)典型、條件限定型。一、基本型1.基礎(chǔ)知識(shí)（1）加法原理與乘法原理加法原理：如果完成一件事情的方法可以劃分成幾個(gè)類別，各類別中的方法可以獨(dú)立完成這件事情。當(dāng)這種分類沒有重復(fù)、沒有遺漏時(shí)，完成這件事情的方法總數(shù)等于每一類方法數(shù)之和。舉例說明：小王從家去公司，會(huì)選擇乘坐公交車或開車，乘坐公交車有3條路線，開車有2條路線。則他從家到公司一共有3+2=5種路線。乘法原理：如果完成一件事需要分為幾個(gè)步驟，每個(gè)步驟內(nèi)的方法剛好能完成該步驟，所有步驟都做完才能剛好完成這件事情，則完成這件事情的方法總數(shù)等于每一個(gè)步驟的方法數(shù)之積。舉例說明：小王家在天津，本月準(zhǔn)備去秦皇島出差，但公司要求必須先從天津到張家口，在張家口開完會(huì)后再到秦皇島，從天津到張家口有2條路線，從張家口到秦皇島有3條路線。所以從天津到秦皇島分兩步才能完成，所以共有2×3=6種路線。（2）排列排列指的是，從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)按照順序排成一列，排列種數(shù)記作；根據(jù)乘法原理，把整件事分成m步，挑第一個(gè)的時(shí)候有n種選擇，挑第二個(gè)的時(shí)候有n-1種選擇，以此類推。如果直接對(duì)n個(gè)不同元素進(jìn)行排列，就是，這種情況稱之為“全排列”。（3）組合組合指的是，從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素作為一組，組合種數(shù)記作。和排列不同，組合是不考慮取出的順序的，只考慮取出的是什么。所以根據(jù)排列的計(jì)算方法，從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)排成一列有種情況，每組有種排列，則組合數(shù)：。2.解題技巧基本型題目經(jīng)常是利用加法原理和乘法原理先判斷清楚事情是分類完成還是分步完成，然后根據(jù)排列和組合的計(jì)算公式計(jì)算即可。所以解題的關(guān)鍵是判斷清楚如何分類或分步完成事情，排列和組合的計(jì)算公式只是工具而已。3.真題舉例【例1】（補(bǔ)充例題）某賓館有6個(gè)空房間，3間在一樓，3間在二樓?，F(xiàn)有4名客人要入住，每人都住單間，都優(yōu)先選擇一樓。問賓館共有多少種安排方法？A.24B.36C.48D.72解析：題目要求都優(yōu)先選擇一樓，所以可以分兩步安排，第一步先安排到一樓的三個(gè)房間，從4名客人中選擇3個(gè)人住在一樓的3間房間=4×3×2=24種安排；第二步讓剩下的一名客人住在二樓3個(gè)房間中的一個(gè)，有3種安排。因?yàn)槭欠植酵瓿桑岳贸朔ㄔ砜傻霉灿?4×3=72種安排。所以正確答案為D項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）某單位購(gòu)買了10臺(tái)新電腦，計(jì)劃分配給甲、乙、丙三個(gè)部門使用。已知每個(gè)部門都需要新電腦，且每個(gè)部門最多得到5臺(tái)，那么電腦分配方法共有（）種。A.9B.12C.18D.27解析：要求每個(gè)部門最多得到5臺(tái)，所以10臺(tái)電腦分配方案為1、4、5；2、3、5；2、4、4；3、3、4四中情況。四種情況各自的分配方法有：、、、種。所以公共的分配方法有：+++=18種。所以正確答案為C項(xiàng)。二、經(jīng)典型1.基礎(chǔ)知識(shí)經(jīng)典型包括三種題目：環(huán)線排列、同素分堆、錯(cuò)位重排。這類題目特征明顯而且題目變化小，所以更容易掌握。（1）環(huán)線排列假設(shè)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四個(gè)人，要求四個(gè)人圍成一個(gè)圓圈，請(qǐng)問有多少種不同的方法。這道題目就是一個(gè)環(huán)線排列。該問題圖示如下：該圖示給出了兩種情況，但這兩種情況其實(shí)是一種情況，所以為了解決這個(gè)問題我們可以假設(shè)四個(gè)人中的一個(gè)先不動(dòng)，其它三個(gè)人來改變與不動(dòng)的這個(gè)人的相對(duì)位置關(guān)系就可以保證排列出來的圓圈不同，即相當(dāng)于3個(gè)人的位置的全排列。所以對(duì)于環(huán)線排列有如下結(jié)論。n個(gè)人圍成一圈，任取一個(gè)人作為隊(duì)首，則問題就轉(zhuǎn)化成剩下的n-1個(gè)人的直線排列問題。所以若n個(gè)人圍成一圈，則不同的排列方式的計(jì)算公式如下：圍成一圈的方法數(shù)=（2）同素分堆假設(shè)有一串糖葫蘆，糖葫蘆上有7個(gè)相同的糖葫蘆，分給3個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友至少分1個(gè)，請(qǐng)問有多少種分的方案？這道題目就是一個(gè)典型的同素分堆。所以同素分堆題目明顯的特征是要求將n個(gè)完全相同的元素分成m組，而且分成m組以后元素不能有剩余，并且還要求每組至少要有一個(gè)元素。同素分堆可以使用“插板”來解決。以上述糖葫蘆的題目為例進(jìn)行說明。該題的圖示如下：由圖可知，無論是第一種分法還是第二種分法都可以保證每人至少分一個(gè)，而做到每人至少分一個(gè)。具體做法是：首先需要找到7個(gè)串成一串的糖葫蘆有多少個(gè)間隙，共有6個(gè)間隙。而要保證每人至少分一個(gè)則只需要在這6個(gè)間隙中任意插入兩個(gè)隔板即可達(dá)到，所以在6個(gè)間隙中插入2個(gè)隔板的方法有種。所以每人至少分一個(gè)有15種不同的方法。所以對(duì)于同素分堆有以下重要結(jié)論。將n個(gè)完全相同的元素分成m組，而且分成m組以后元素不能有剩余，并且還要求每組至少要有一個(gè)元素使時(shí)，可以用（m-1）個(gè)“隔板”插入這n個(gè)元素之間形成的n-1個(gè)間隔中，從而將元素隔成m組，從而得到總方法數(shù)的計(jì)算公式如下：總的方法數(shù)=（3）錯(cuò)位重排錯(cuò)位重排是指把n個(gè)元素的位置重新排列，使每個(gè)元素都不在原來位置上。一般將n個(gè)元素錯(cuò)位重排的方法數(shù)記作，計(jì)算公式如下：要特別記住常考的幾個(gè)數(shù)字：=0，=1，=2，=9，=44。2.解題技巧經(jīng)典型題目一般直接利用其結(jié)論和公式進(jìn)行求解即可，有個(gè)別題目可能需要進(jìn)行簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化，使其成為經(jīng)典型題目后在求解。3.真題舉例【例1】（補(bǔ)充例題）5個(gè)人手拉手圍成一個(gè)圓圈，問共有多少種不同的方法？A.120B.24C.60D.30解析：5個(gè)人圍成一圈，典型的環(huán)形排列，直接代入公式計(jì)算方法數(shù)==24種，所以正確答案為B項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）相鄰的4個(gè)車位中停放了4輛不同的車，現(xiàn)將所有車開出后再重新停入這4個(gè)車位，要求所有車都不得停在原來的車位中，則一共有多少種不同的停放方式？（）A.9B.12C.14D.16解析：重新停入后不得停在原來的車位中，典型的錯(cuò)位重排，直接代入公式=9。所以正確答案為A項(xiàng)。【例3】（補(bǔ)充例題）某單位訂閱了30份學(xué)習(xí)材料發(fā)放給3個(gè)部門，每個(gè)部門至少發(fā)放9份材料。問一共有多少種不同的發(fā)放方法？（）A.7B.9C.10D.12解析：題目符合將n個(gè)完全相同的元素分成m組，但不符合每組至少1個(gè)，所以先將題目進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換，使題目完成符合同素分堆的條件。先給每個(gè)部門分8份學(xué)習(xí)材料，則剩余30-8×3=6份，此時(shí)就相當(dāng)于6份材料分給3個(gè)部門，每個(gè)部門至少分1份，符合同素分堆的條件，代入公式可得發(fā)放方法數(shù)==10種。所以正確答案為C項(xiàng)。三、條件限定型1.基礎(chǔ)知識(shí)條件限定型題目一般會(huì)對(duì)某個(gè)或某幾個(gè)元素有特殊要求，比如5個(gè)人排成一排照相，因?yàn)槠渲袃蓚€(gè)人是夫妻，所以無論怎么排列，這兩個(gè)人必須相鄰。這類題目技巧性很強(qiáng)，即不同的限定條件有不同的解法，具體內(nèi)容在解題技巧中說明。2.解題技巧（1）優(yōu)先法對(duì)于有限制條件的元素（或位置）的排列組合問題，在解決問題時(shí)優(yōu)先考慮這些有限制條件的元素或位置，再去解決其它元素或位置的一種解題技巧?！臼纠坑蓴?shù)字1、2、3、4、5、6、7組成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，求數(shù)字1必須在首位或末尾的七位數(shù)的個(gè)數(shù)。解析：優(yōu)先先排1，有種排法，再將剩下的數(shù)字全排列，有=720種排法，根據(jù)乘法原理，共有2×720=1440種排法，所以共有1440個(gè)滿足條件的七位數(shù)。（2）捆綁法捆綁法是指在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問題時(shí)，先整體考慮，將相鄰元素視為一個(gè)大元素與其它元素進(jìn)行排序，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的技巧?！臼纠坑蓴?shù)字1、2、3、4、5、6、7組成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，求三個(gè)偶數(shù)必相鄰的七位數(shù)的個(gè)數(shù)。解析：因?yàn)槿齻€(gè)偶數(shù)2、4、6必須相鄰，所以先將2、4、6三個(gè)數(shù)字“捆綁”在一起，再將捆綁后的元素與1、3、5、7進(jìn)行全排列，有=120種方法；再對(duì)“捆綁”在一起的元素進(jìn)行排序，有=6種方法，根據(jù)乘法原理，共有6×120=720種不同的排法。（3）插空法插空法是指解決指定元素不相鄰的問題時(shí)，先將其它元素排好，然后再將所指定的不相鄰的元素插入排好的元素間的間隙或兩端的位置，從而將問題解決的技巧?！臼纠?、2、3、4、5、6、7組成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，求三個(gè)偶數(shù)互不相鄰的七位數(shù)的個(gè)數(shù)。解析：因?yàn)槿齻€(gè)偶數(shù)2、4、6互不相鄰，先將1、3、5、7四個(gè)數(shù)字排好，有=24種不同的排法，再將2、4、6分別“插入”到第一步排的四個(gè)數(shù)字的五個(gè)“間隙”（包括兩端的兩個(gè)位置）中的三個(gè)位置上，有=60種排法，根據(jù)乘法原理共有24×60=1440種不同的排法。（4）正難則反法正難則反法是指有些題目所給的特殊條件較多或者較復(fù)雜，直接考慮需要分許多類，討論起來很麻煩，而它的對(duì)立面卻往往只有一種或者兩種情況，很好計(jì)算，此時(shí)我們只需要計(jì)算出總的情況數(shù)，再減去對(duì)立面的情況數(shù)就可得到題目要求得情況數(shù)的一種解題策略?！臼纠坑?-9組成一個(gè)3位數(shù)，3位數(shù)肯定有數(shù)字重復(fù)的組合有多少種？解析：3位數(shù)有數(shù)字重復(fù)的組合有兩類情況：三個(gè)數(shù)字相同；只有兩個(gè)數(shù)字相同?？墒莾蓚€(gè)數(shù)字相同不太好計(jì)算。3位數(shù)有數(shù)字重復(fù)的組合數(shù)=無任何要求的組合數(shù)-無重復(fù)數(shù)字的組合數(shù)=9×9×9－9×8×7=225。3.真題舉例【例1】（補(bǔ)充例題）四對(duì)情侶排成一隊(duì)買演唱會(huì)門票，已知每對(duì)情侶必須排在一起，問共有多少種不同的排序順序？（）A.24B.96C.384D.40420解析：每對(duì)情侶必須相鄰，使用捆綁法。先將每對(duì)情侶捆綁看成一個(gè)整體進(jìn)行排列，有=24種方法；然后對(duì)綁在一起的每對(duì)情侶進(jìn)行排列，每對(duì)情侶有兩種排列方式，所以四對(duì)情侶有2×2×2×2=16種排法，根據(jù)乘法原理，總共有24×16=384中排法，所以正確答案為C項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）把12棵同樣的松樹和6棵同樣的柏樹種植在道路兩側(cè)，每側(cè)種植9棵，要求每側(cè)的柏樹數(shù)量相等且不相鄰，且道路起點(diǎn)和終點(diǎn)處兩側(cè)種植的都必須是松樹。問有多少種不同的種植方法（）A．36B．50C．100D．400解析：要求柏樹不相鄰，所以使用插空法。由“每側(cè)種植9棵，要求每側(cè)的柏樹數(shù)量相等”可知每邊可種6棵松樹和3棵柏樹。先把松樹分別栽到道路的兩邊，然后把柏樹插空進(jìn)去，共有×＝100（種）種植方法。所以正確答案為C項(xiàng)。第八節(jié)概率問題概率問題在行測(cè)中考查的頻率較高。概率是一個(gè)在0到1之間的實(shí)數(shù)，是對(duì)目標(biāo)事件發(fā)生的可能性的度量。比如拋一枚硬幣，假設(shè)只拋一次，落地后假設(shè)我們關(guān)注正面朝上，那么正面朝上就是目標(biāo)事件，這個(gè)目標(biāo)事件出現(xiàn)的概率是0.5，所以0.5是對(duì)目標(biāo)事件發(fā)生的可能性的度量，如果比0.5大一些，即代表目標(biāo)事件出現(xiàn)的可能性更大；如果比0.5小一些即代表目標(biāo)事件出現(xiàn)的可能性更小。概率問題是比較簡(jiǎn)單的一種題型，但很多考生感覺非常難，這是因?yàn)榭荚囍懈怕蕟栴}常常和排列組合問題結(jié)合考查，而很多考生沒有了解或者學(xué)習(xí)過排列組合。所以只要考生掌握好排列組合問題，理解清楚概率問題中的一些概念、原理和公式，解決概率問題其實(shí)難度并不大。概率問題有三種常見題型：古典概率、分類分步事件概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。一、古典概率1.基礎(chǔ)知識(shí)古典概率又叫事前概率。古典概率中所有可能發(fā)生的結(jié)果及其出現(xiàn)次數(shù)都可推算得到。古典概率中目標(biāo)事件發(fā)生的概率的計(jì)算公式如下：目標(biāo)事件發(fā)生的概率=目標(biāo)事件的情況數(shù)÷所有情況的總數(shù)2.解題技巧（1）枚舉枚舉是指將目標(biāo)事件的情況數(shù)和所有情況的總數(shù)一一數(shù)出來。然后代入概率公式計(jì)算?！臼纠磕橙藢?0盒蔬菜的標(biāo)簽全部撕掉了?，F(xiàn)在每一個(gè)盒子看上去都一樣，但是她知道有三盒玉米、兩盒菠菜、四盒豆角、一盒土豆，她隨機(jī)地拿出一盒打開它。求盒子里是玉米的概率是多少？解析：通過題目可以數(shù)出，盒子里是玉米這個(gè)目標(biāo)事件的情況數(shù)有3個(gè)，而所有情況的總數(shù)為10個(gè)，代入公式可得概率為。（2）與排列組合結(jié)合如果目標(biāo)事件的情況數(shù)和所有情況的總數(shù)不能通過一個(gè)一個(gè)數(shù)得出，那么就可以考慮使用排列組合的知識(shí)計(jì)算得出，然后代入概率公式計(jì)算。【示例】從分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片中任取兩張，把第一張卡片上的數(shù)字作為十位數(shù)，第二張卡片上的數(shù)字作為個(gè)位數(shù)，組成一個(gè)兩位數(shù)，則組成的數(shù)是偶數(shù)的概率是多少？A.1/5B.3/10C.2/5D.1/2解析：組成的數(shù)是偶數(shù)，則個(gè)位數(shù)必須是2或4，則個(gè)位數(shù)有種，而十位數(shù)則可以是1、2、3、4、5種的任意一個(gè)，有種，所以偶數(shù)有×種，即目標(biāo)事件的情況數(shù)為×。而組合出來的十位數(shù)共有種，即所有情況的總數(shù)為。所以組成的數(shù)字是偶數(shù)的概率為×÷=2/5。正確答案為C項(xiàng)。（3）從反面情況計(jì)算在有些古典概率題目中，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)“至少”的要求。要解決這類問題可以通過反面來求解，即：目標(biāo)事件出現(xiàn)的概率=1-目標(biāo)事件的反面情況出現(xiàn)的概率3.真題舉例【例1】（補(bǔ)充例題）盒子里有紅、黃、藍(lán)三種顏色的大小相等的球，其中，紅球有7個(gè)，黃球有5個(gè)。從盒子中任意拿出一個(gè)球，拿到黃球的可能性為1/3。問拿到綠球的可能性是多少？（）A.1/3B.1/4C.1/5D.1/6解析：題目是典型的古典概率。由“拿到黃球的可能性為1/3”，結(jié)合古典概率計(jì)算公式可知，盒子的球共有5÷1/3=15個(gè)，則綠球有15-5-7=3個(gè)，所以拿出一個(gè)球是綠球的可能性為3/15=1/5。所以正確答案為C項(xiàng)。【例2】（補(bǔ)充例題）某單位原有幾十名職員，其中有14名女性。當(dāng)兩名女職員調(diào)出該單位后，女職員的比重下降了3個(gè)百分點(diǎn)?，F(xiàn)在該單位需要隨機(jī)選派兩名職員參加培訓(xùn)，問選派的兩人都是女職員的概率在以下哪個(gè)范圍內(nèi)（）A．小于1%B．1%-4%C．4%-7%D．7%-10%解析：設(shè)單位原有總?cè)藬?shù)為x，根據(jù)題目條件可得。而則有，解得。因?yàn)閱挝辉袔资麊T工，所以不妨對(duì)x進(jìn)行取值驗(yàn)證。當(dāng)x=60時(shí)，，不滿足。當(dāng)x=50時(shí)，