數(shù)量關(guān)系基礎(chǔ)入門詳細(xì)講解

數(shù)量關(guān)系基礎(chǔ)入門詳細(xì)講解TOC\o"1-3"\h\u8231第一章數(shù)量關(guān)系概述 第一章數(shù)量關(guān)系概述第一節(jié)數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)介一、考試大綱和真題舉例《公務(wù)員考試錄用公共科目考試大綱》中對(duì)數(shù)量關(guān)系的定義是：數(shù)量關(guān)系主要測(cè)查報(bào)考者理解、把握事物間量化關(guān)系和解決數(shù)量關(guān)系問(wèn)題的能力，主要涉及數(shù)據(jù)關(guān)系的分析、推理、判斷、運(yùn)算等。常見的題型有：數(shù)字推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等。真題1：（2010年數(shù)字推理題）0,0,6,24,60,120()A.180

B.196

C.210

D.216真題2：（2016年數(shù)學(xué)運(yùn)算題）某高校藝術(shù)學(xué)院分音樂(lè)系和美術(shù)系兩個(gè)系別，已知學(xué)院男生人數(shù)占人數(shù)的30％，且音樂(lè)系男女生人數(shù)之比為1：3，美術(shù)系男女生人數(shù)之比為2：3，問(wèn)音樂(lè)系和美術(shù)系的總?cè)藬?shù)之比為多少？A．5：2B．5：1C．3：1D．2：1二、數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)介根據(jù)大綱和真題，我們知道，數(shù)量關(guān)系有兩種類型的題目，一種是像真題1這種的數(shù)字推理題，還有一種是像真題2這種的數(shù)學(xué)運(yùn)算題。這兩種題目需要根據(jù)題目中給出的算式或數(shù)量間關(guān)系的文字描述，利用數(shù)學(xué)知識(shí)準(zhǔn)確迅速地計(jì)算、推測(cè)出結(jié)果。很多考生，尤其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的考生感覺數(shù)量關(guān)系非常難，其實(shí)如果認(rèn)真分析和研究真題就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的難度并不是很高，具體原因有：第一，數(shù)量關(guān)系考到的數(shù)學(xué)知識(shí)大多集中在中小學(xué)和高中的基本數(shù)學(xué)知識(shí)上，比如奇偶數(shù)、公約數(shù)公倍數(shù)、數(shù)列等；第二，數(shù)量關(guān)系題目的解題方法并非無(wú)法掌握，其實(shí)數(shù)量關(guān)系有常用的幾種解題方法，比如列方程、代入排除等，這些解題方法只要掌握好，對(duì)于解題來(lái)說(shuō)非常有幫助且效果很好；第三，數(shù)量關(guān)系每年的題目雖然不同，但是基本考查的都是一些常見的題型，掌握這些常見題型并多加練習(xí)能使做題正確率得到提高。所以建議考生認(rèn)真復(fù)習(xí)數(shù)量關(guān)系，此模塊是考生拉開分差的關(guān)鍵。第二節(jié)數(shù)量關(guān)系考情一、題量年份數(shù)學(xué)運(yùn)算部分?jǐn)?shù)字推理部分2010年10道5道2011年10道0道2012年10道0道2013年10道0道2014年10道0道2015年10道0道2016年10道0道數(shù)量關(guān)系中數(shù)學(xué)運(yùn)算題目每年都穩(wěn)定在10道，但數(shù)字推理題目從2010年開始再?zèng)]有考查過(guò)，所以建議考生一定要復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)運(yùn)算部分，并且本教材也只講解數(shù)學(xué)運(yùn)算部分。對(duì)于數(shù)字推理部分考生可以根據(jù)自己的情況去適當(dāng)復(fù)習(xí)。二、數(shù)學(xué)運(yùn)算部分的題型分布2011年2012年2013年2014年2015年2016年計(jì)算問(wèn)題3道3道3道2道3道3道利潤(rùn)問(wèn)題1道1道2道0道1道2道幾何問(wèn)題2道3道1道1道0道1道工程問(wèn)題0道1道0道0道1道0道行程問(wèn)題1道1道1道2道2道1道容斥問(wèn)題0道1道0道0道1道0道排列組合0道0道0道1道0道0道概率問(wèn)題1道0道1道0道1道0道最值問(wèn)題1道0道1道2道1道0道日期問(wèn)題0道0道1道2道0道2道計(jì)數(shù)問(wèn)題0道0道0道0道0道1道通過(guò)上面的表格，我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)量運(yùn)算部分的題型分布非常零散，每年都會(huì)從各種題型中抽查幾類題型，所以每年考查的10道數(shù)學(xué)運(yùn)算題其實(shí)就是各種題型的混合?？忌灰獙⒁陨项}型復(fù)習(xí)到位，無(wú)論考查哪幾種題型都可有的放矢。同時(shí)，正是因?yàn)轭}型種類多，很多考生放棄了數(shù)學(xué)運(yùn)算部分的題目，但這恰恰是拉開考生分差的關(guān)鍵。第三節(jié)數(shù)學(xué)運(yùn)算內(nèi)容概覽數(shù)學(xué)運(yùn)算通過(guò)三章的內(nèi)容進(jìn)行講解。第二章主要講解有關(guān)算術(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的內(nèi)容，這部分內(nèi)容是學(xué)習(xí)、理解和掌握后續(xù)章節(jié)的基礎(chǔ)。這一章通過(guò)奇偶數(shù)、質(zhì)數(shù)合數(shù)、公約數(shù)公倍數(shù)、整除、比例、數(shù)列這六節(jié)的內(nèi)容，將常用、常見、?？嫉乃阈g(shù)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行詳細(xì)梳理和講解。第三章給出了解決數(shù)學(xué)運(yùn)算題目常用的五種方法，即代入排除法、數(shù)字特性法、特值法、方程法、十字交叉法。這一章是學(xué)習(xí)、掌握、理解各種題型的基礎(chǔ)，而且在實(shí)際考試中也經(jīng)常用到。第四章是內(nèi)容最多的一章，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算中?？嫉氖环N題型進(jìn)行詳細(xì)解釋和梳理，并結(jié)合算術(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和常用解題方法進(jìn)行深入具體的認(rèn)識(shí)。第四節(jié)數(shù)量運(yùn)算備考建議數(shù)學(xué)運(yùn)算部分很多考生喜歡通過(guò)題海戰(zhàn)術(shù)去復(fù)習(xí)，這樣的復(fù)習(xí)方法并非放之四海皆準(zhǔn)的方法。首先，數(shù)學(xué)運(yùn)算涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)雖然只是中小學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，但知識(shí)體系相對(duì)是比較龐雜的，如果只做題而不系統(tǒng)的總結(jié)這些知識(shí)，那么很多考生掌握的可能并不牢固，題目發(fā)生變化可能又不會(huì)了；其次，數(shù)學(xué)運(yùn)算的題型是可以歸類的，而且不同題型的特點(diǎn)、特征差別很大，考生如果不加總結(jié)，即使出現(xiàn)相似的題目，依然不會(huì)；最后，數(shù)學(xué)運(yùn)算的解題方法雖然并不多，但是不同的解題方法對(duì)不同題目的適用程度并不一樣，比如有的題目用方程法可能比代入排除法更高效，考生對(duì)此如果沒(méi)有認(rèn)識(shí)，解題時(shí)可能出現(xiàn)用不合適的方法解題。綜上所述，數(shù)學(xué)運(yùn)算的復(fù)習(xí)需要時(shí)間和耐心，只有掌握好基本的數(shù)學(xué)知識(shí)、理解常用的解題方法、掌握好?？嫉念}型才能讓數(shù)學(xué)運(yùn)算題目的復(fù)習(xí)有成果。對(duì)于數(shù)學(xué)，一定要做練習(xí)題，但不一定是題海。做題的目的是為了更好的辨別題目，更好的掌握基礎(chǔ)知識(shí)，更熟練的使用解題方法。第二章算術(shù)基礎(chǔ)知識(shí)本章主要講解奇偶數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)、公約數(shù)和公倍數(shù)等基礎(chǔ)的算術(shù)知識(shí)，部分知識(shí)在考試中會(huì)直接考查，比如質(zhì)數(shù)與合數(shù)；部分知識(shí)是掌握各種解題技巧和各種題型的基礎(chǔ)，比如整除的知識(shí)；還有些知識(shí)是快速解題（即所謂的秒殺）的重要突破口，比如奇偶數(shù)的知識(shí)。第一節(jié)奇偶數(shù)一、概念如果一個(gè)整數(shù)除以2，余數(shù)為0，那么這個(gè)整數(shù)就是偶數(shù)，比如2、4、6都是偶數(shù)；如果一個(gè)整數(shù)除以2，余數(shù)不為0，那么這個(gè)整數(shù)就是奇數(shù)，比如1、3、5都是奇數(shù)。注意：奇數(shù)和偶數(shù)必須是整數(shù)。特別注意：因?yàn)?除2的余數(shù)為0，所以0是偶數(shù)。二、奇偶律奇數(shù)和偶數(shù)相加、相減、相乘時(shí)，存在一定的規(guī)律，具體如下表。規(guī)律示例奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)±偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)±偶數(shù)奇數(shù)規(guī)律總結(jié)：兩個(gè)數(shù)相加減時(shí)，如果這兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)或者都是奇數(shù)，那么結(jié)果一定是偶數(shù)；如果這兩個(gè)數(shù)一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)，那么結(jié)果一定是奇數(shù)。1（奇數(shù)）+1（奇數(shù)）=2（偶數(shù)）；1（奇數(shù)）-1（奇數(shù)）=0（偶數(shù)）；2（偶數(shù)）+6（偶數(shù)）=8（偶數(shù)）；1（奇數(shù)）+2（偶數(shù)）=3（奇偶）；1（奇數(shù)）-0（偶數(shù)）=1（奇數(shù)）；奇偶偶數(shù)奇奇奇數(shù)偶偶偶數(shù)規(guī)律總結(jié)：兩個(gè)數(shù)相乘時(shí)，如果這兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，那么結(jié)果一定是奇數(shù)；如果兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，另一個(gè)數(shù)無(wú)論是奇數(shù)還是偶數(shù)，結(jié)果一定是偶數(shù)。1（奇數(shù)）2（偶數(shù)）=2（偶數(shù)）；1（奇數(shù)）1（奇數(shù)）=1（奇數(shù)）；2（偶數(shù)）2（偶數(shù)）=4（偶數(shù)）；三、奇偶數(shù)在考試中的應(yīng)用奇偶數(shù)的知識(shí)在考試中經(jīng)常用于題目的快速求解，尤其是奇偶律用于秒殺題目有時(shí)非常有效。具體應(yīng)用情況如下。1.用于方程的快速求解如果題干當(dāng)中存在方程或者根據(jù)題干能列出方程，但是這些方程求解起來(lái)較慢或者較困難，那么就可以考慮使用奇偶數(shù)的知識(shí)，結(jié)合選項(xiàng)給出的數(shù)字，進(jìn)行快速求解。注意：用奇偶數(shù)的知識(shí)求解方程，必須保證方程中的未知數(shù)都是整數(shù)！【例1】（2015年真題）每年三月某單位都要組織員工去A、B兩地參加植樹活動(dòng)。已知去A地每人往返車費(fèi)20元，人均植樹5棵；去B地每人往返車費(fèi)30元，人均植樹3棵。設(shè)到A地員工有x人，A、B兩地共植樹y棵，y與x之間滿足y=8x-15，若往返車費(fèi)總和不超過(guò)3000元，那么，最多可植樹多少棵?A.498B.400C.489D.500解析：題目最終求的是“最多可植樹多少棵”，而根據(jù)題干條件“A、B兩地共植樹y棵”，可知植樹的棵數(shù)最多為y棵，且y=8x-15，并且未知數(shù)x和y都是整數(shù)。我們發(fā)現(xiàn)要解這個(gè)方程是比較困難的，所以考慮結(jié)合選項(xiàng)使用奇偶數(shù)的知識(shí)進(jìn)行快速求解。根據(jù)奇偶性，8x中8是偶數(shù)，所以8x一定是偶數(shù)；8x-15中15為奇數(shù)，所以8x-15為奇數(shù)；所以最多可植的棵數(shù)y是一個(gè)奇數(shù)。選項(xiàng)中只有C項(xiàng)是奇數(shù)。所以正確答案為C項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：這道題如果用傳統(tǒng)的方法求解速度可能較慢，但如果使用奇偶數(shù)的知識(shí)，尤其奇偶律，題目的解答達(dá)到了秒殺的效果?！纠?】（補(bǔ)充例題）某國(guó)對(duì)居民收入實(shí)行下列稅率方案：每人每月不超過(guò)3000美元的部分（包括3000美元）按照1%稅率征收，超過(guò)3000美元不超過(guò)6000美元的部分（包括6000美元）按照x%稅率征收，超過(guò)6000美元的部分按y%稅率征收(x，y為整數(shù))。假設(shè)該國(guó)某居民月收入為6500美元，支付了120美元所得稅，則y為多少?A.6B.3C.5D.7解析：根據(jù)題目可列出方程：3000×1%+3000×x%+500×y%=120?；?jiǎn)方程可得：6x+y=18。x、y都是整數(shù)。但是方程求解很困難，所以考慮使用奇偶數(shù)的知識(shí)。因6x中6為偶數(shù)，所以6x一定為偶數(shù)；y=18-6x中18是偶數(shù)，所以18-6x也是偶數(shù)，排除B、C、D，選擇A。點(diǎn)評(píng)：很多題目都會(huì)存在列出方程，但因?yàn)轭}干條件不夠充分，導(dǎo)致方程求解很困難。這時(shí)，如果方程中的未知量x、y、z等是整數(shù)，就可以考慮使用奇偶數(shù)的知識(shí)結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行求解。2.如果題目中的條件基本上是關(guān)于某些量的和、差、平均，比如“甲與乙的和是...”、“甲與乙的差是...”、“甲和乙一共是...”、“甲比乙多（少）...”、“甲、乙、丙的平均值是...”。而且題目最后求的是其中某個(gè)量或者某幾個(gè)量的和、差。對(duì)于這種情況的題目，也可以考慮使用奇偶數(shù)的知識(shí)進(jìn)行求解。【例3】（補(bǔ)充例題）四年級(jí)有4個(gè)班，不算甲班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是131人；不算丁班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是134人；乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人，問(wèn)這四個(gè)班共有多少人？A．177B．178C．264D．265解析：由“不算甲班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是131人；不算丁班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是134人；乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人”可知題目條件基本上是關(guān)于人數(shù)的和、差，且最后求的是人數(shù)的和。所以考慮使用奇偶數(shù)的知識(shí)進(jìn)行求解。因?yàn)椤耙?、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人”，設(shè)甲、丁兩班的人數(shù)為x，甲、乙、丙、丁四個(gè)班總?cè)藬?shù)為2x-1,根據(jù)奇偶律，四個(gè)班總?cè)藬?shù)應(yīng)該是奇數(shù)，排除B、C兩項(xiàng)，又因?yàn)椤安凰慵装嗥溆嗳齻€(gè)班的總?cè)藬?shù)是131人；不算丁班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是134人”，而131+134=265，其中重復(fù)計(jì)算了乙丙兩個(gè)班的總?cè)藬?shù)，所以總?cè)藬?shù)≠265，排除D項(xiàng)。正確答案為A項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：通過(guò)奇偶數(shù)的知識(shí)，尤其奇偶律，對(duì)于解決題目條件基本是關(guān)于和、差的數(shù)學(xué)運(yùn)算題有時(shí)候非常奏效?！纠?】（補(bǔ)充例題）小王參加了五門百分制的測(cè)驗(yàn)，每門成績(jī)都是整數(shù)。其中語(yǔ)文94分，數(shù)學(xué)的得分最高，外語(yǔ)的得分等于語(yǔ)文和物理的平均分，物理的得分等于五門的平均分，化學(xué)的得分比外語(yǔ)多2分，并且是五門中第二高的得分。問(wèn)小王的物理考了多少分（）A．94B．95C．96D．97解析：由“外語(yǔ)的得分等于語(yǔ)文和物理的平均分，物理的得分等于五門的平均分，化學(xué)的得分比外語(yǔ)多2分”可知題目條件基本上是關(guān)于整數(shù)的平均值、差，且最后求解的是其中某個(gè)人的分?jǐn)?shù)。所以考慮使用奇偶數(shù)的知識(shí)進(jìn)行求解。因?yàn)椤罢Z(yǔ)文94分，外語(yǔ)的得分等于語(yǔ)文和物理的平均分”,所以物理得分=2×外語(yǔ)得分-語(yǔ)文得分，因?yàn)?×外語(yǔ)得分為偶數(shù)，語(yǔ)文得分94為偶數(shù)，所以物理得分為偶數(shù)，排除B項(xiàng)和D項(xiàng)；又因?yàn)椤皵?shù)學(xué)的得分最高、化學(xué)得分第二高，物理得分等于五門的平均分”，所以物理得分不可能等于語(yǔ)文得分，即94分，所以排除A項(xiàng)。所以正確答案為C項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：本題中，如果物理得分等于94分，那么外語(yǔ)得分也為94分，則五門成績(jī)的平均分大于94分，而五門成績(jī)的平均分就是物理得分，前后矛盾，所以A項(xiàng)是錯(cuò)誤的。通過(guò)本題我們發(fā)現(xiàn)，題目條件基本是關(guān)于平均值、差的情況，通過(guò)奇偶數(shù)的知識(shí)進(jìn)行求解還是比較快的。第二節(jié)質(zhì)數(shù)、合數(shù)一、概念質(zhì)數(shù)：一個(gè)整數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，則為質(zhì)數(shù)。比如5=1x5，所以5只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，5是質(zhì)數(shù)。合數(shù)：一個(gè)整數(shù)，如果除了1和它本身兩個(gè)因數(shù)外，還有其它因數(shù)則為合數(shù)。比如6=1x6=2x3，所以6除了1和它本身兩個(gè)因數(shù)外，還有2和3兩個(gè)因數(shù)，6是合數(shù)。二、性質(zhì)1.偶數(shù)中只有2是質(zhì)數(shù)，其它全是合數(shù)。2.1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。3.0是自然數(shù)。三、質(zhì)因數(shù)分解任何一個(gè)合數(shù)（比如30）都能分解成若干個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式（比如30=2x3x5），這些質(zhì)數(shù)（2、3、5）稱為這個(gè)數(shù)（30）的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)過(guò)程稱為質(zhì)因數(shù)分解。質(zhì)因數(shù)分解可以通過(guò)短除法來(lái)實(shí)現(xiàn)，其基本步驟是：從最小的質(zhì)數(shù)2開始，去除要分解的數(shù)，直到不能除盡，然后換更大的質(zhì)數(shù)繼續(xù)進(jìn)行，直到得到一個(gè)質(zhì)數(shù)為止。舉例如下：462=2x3x7x11462=2x3x7x11四、質(zhì)數(shù)與合數(shù)在考試中的應(yīng)用質(zhì)數(shù)與合數(shù)的相關(guān)知識(shí)一般會(huì)在考試中作為知識(shí)點(diǎn)直接考查?！纠?】（補(bǔ)充例題）一個(gè)質(zhì)數(shù)的3倍與另一個(gè)質(zhì)數(shù)的2倍之和等于20，那么這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是多少？A.9B.8C.7D.6解析：由題可設(shè)兩個(gè)質(zhì)數(shù)分別為x和y，則可得3x+2y=20。根據(jù)奇偶律可知，和為20，則3x和2y必然是偶數(shù)，3x為偶數(shù)那么x必然是偶數(shù)，2y是偶數(shù)y可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)，又因?yàn)閤和y都是質(zhì)數(shù)，所以x既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)，則x必然等于2，則y等于7。所以正確答案為A項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：質(zhì)數(shù)與合數(shù)作為直接考查的知識(shí)點(diǎn)，考生一定要清楚什么是質(zhì)數(shù)什么是合數(shù)。否則遇到題干中提到質(zhì)數(shù)、合數(shù)的情況會(huì)難以入手。【例2】（補(bǔ)充例題）設(shè)有三個(gè)自然數(shù)，分別是一位數(shù)、兩位數(shù)和三位數(shù)，這三個(gè)數(shù)的乘積為2004，則三數(shù)之和為()。A.100B.180C.179D.178解析：因?yàn)?004是三個(gè)數(shù)相乘的結(jié)果，要求這三個(gè)數(shù)的和，首先得知道這三個(gè)數(shù)分別為多少。所以應(yīng)用質(zhì)數(shù)與合數(shù)的知識(shí)，對(duì)2004進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，2004=2×2×3×167。因?yàn)槌藬?shù)中有一個(gè)是兩位數(shù)，所以這個(gè)兩位數(shù)2×2×3=12，則一位數(shù)和三位數(shù)分別是1和167，2004=1×12×167。所以三個(gè)數(shù)之和為1+12+167=180。故正確答案為B。點(diǎn)評(píng)：本題考查了質(zhì)因數(shù)分解，考生一定要清楚，質(zhì)因數(shù)分解要說(shuō)明的是任何一個(gè)合數(shù)（比如本題中的2004）都可以分解成多個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。第三節(jié)公約數(shù)和公倍數(shù)一、最大公約數(shù)12除以2的余數(shù)等于0，我們就說(shuō)2就是12的約數(shù)，同時(shí)，2也是18的約數(shù)，則2就是12和18公共的約數(shù)，簡(jiǎn)稱公約數(shù)。同時(shí)，3、6也是12和18的公約數(shù)。在12和18的所有公約數(shù)中，最大的那個(gè)公約數(shù)即最大公約數(shù)。求兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)的最大公約數(shù)一般使用短除法，下面舉例說(shuō)明其求解過(guò)程。用你能發(fā)現(xiàn)的公約數(shù)去作除數(shù)，進(jìn)行除法，直到所得的兩個(gè)商互質(zhì)。最大公約數(shù)等于所有除數(shù)之積。所以12和18的最大公約數(shù)為：2x3=6?；ベ|(zhì)：1是任何整數(shù)的約數(shù)，則1是任意兩個(gè)整數(shù)的公約數(shù)。當(dāng)兩個(gè)數(shù)沒(méi)有比1大的公約數(shù)時(shí)，就稱這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，比如3和8兩個(gè)數(shù)就是互質(zhì)的。二、最小公倍數(shù)6是2的倍數(shù)，6也是3的倍數(shù)，則6是2和3的一個(gè)公共倍數(shù)，簡(jiǎn)稱公倍數(shù)。同時(shí)，12、18、24也是2和3的公倍數(shù)，即2和3有無(wú)限多個(gè)公倍數(shù)，其中最小的那個(gè)公共倍數(shù)即最小公倍數(shù)。求兩個(gè)或者兩個(gè)以上數(shù)的最小公倍數(shù)一般也使用短除法，下面舉例說(shuō)明其求解過(guò)程。用你能發(fā)現(xiàn)的公約數(shù)去作除數(shù)，進(jìn)行除法，直到所得的兩個(gè)商互質(zhì)。最小公倍數(shù)等于所有除數(shù)及最后的商相乘之積。所以56和70的最小公倍數(shù)為：2x7x4x5=280。三、公約數(shù)與公倍數(shù)在考試中的應(yīng)用公約數(shù)與公倍數(shù)的相關(guān)知識(shí)一般會(huì)作為知識(shí)點(diǎn)在考試中直接考查。【例1】（2011年真題）有甲、乙、丙三輛公交車于上午8:00同時(shí)從公交總站出發(fā)，三輛車再次回到公交總站所用的時(shí)間分別為40分鐘、25分鐘和50分鐘,假設(shè)這三輛公交車中途不休息，請(qǐng)問(wèn)它們下次同時(shí)到達(dá)公交總站將會(huì)幾點(diǎn)？A.11點(diǎn)整B.11點(diǎn)20分C.11點(diǎn)40分D.12點(diǎn)整解析：甲、乙、丙都是上午8:00同時(shí)出發(fā)，若下次同時(shí)到達(dá)公交站，則他們各自用的總時(shí)間是一樣的，所以只需要求出40、25、50的最小公倍數(shù)即可。求解如下：最小公倍數(shù)是5x5x2x4x1x1=200。所以在200分鐘時(shí)甲、乙、丙三車同時(shí)回到公交車站，即11點(diǎn)20分。所以正確答案為B項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：公約數(shù)與公倍數(shù)作為直接考查的知識(shí)點(diǎn)，考生首先一定要清楚公約數(shù)、公倍數(shù)、最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的概念，以及求最大約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法。其次，考生要能辨別清楚題目是否在考查公約數(shù)與公倍數(shù)，要想能清楚的辨別，建議考生多做一些考查公約數(shù)與公倍數(shù)的題目，積累一定的辨別經(jīng)驗(yàn)?！纠?】（補(bǔ)充例題）有兩種中藥分別重25千克和15千克，將這兩種中藥分別平均分成若干份，并且兩種藥每份的重量也相等，那么請(qǐng)問(wèn)至少分成多少份？A.3B.5C.8D.19解析：根據(jù)題目，每一份的重量應(yīng)該既是25的約數(shù)，也是15的約數(shù)。要想分成的份數(shù)盡可能地少，每一份的重量應(yīng)盡可能地大。即每一份的重量應(yīng)是25和15的最大公約數(shù)，是5?？偡輸?shù)是（25+15）÷5=8。所以正確答案為C項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：本題考查了最大公約數(shù)，關(guān)鍵是要能辨別出題目考查了這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，所以此類題目要多做練習(xí)，積累題目的辨別經(jīng)驗(yàn)。第四節(jié)整除一、概念一個(gè)整數(shù)（比如20）除以另一個(gè)非零整數(shù)（比如5），商為整數(shù)（比如4），且余數(shù)為零，我們就說(shuō)一個(gè)整數(shù)（比如20）能被另一個(gè)整數(shù)（比如5）整除。二、整除的重要結(jié)論1.如果，且如果c（比如3）與d互質(zhì)（比如4），那么就可得到a能被c（比如3）整除，b能被d（比如4）整除或者可以說(shuō)a是c（比如3）的倍數(shù)，b是d（比如4）的倍數(shù)。2.如果，且如果c（比如3）與d互質(zhì)（比如4），那么就可得到a+b能被c+d（比如3+4）整除或者可以說(shuō)a+b是c+d（3+4）的倍數(shù)。3.如果，且如果c（比如4）與d互質(zhì)（比如3），那么就可得到a-b能被c-d（比如4-3）整除或者可以說(shuō)a-b是c-d（4-3）的倍數(shù)。4.如果數(shù)a能被b整除，數(shù)b能被c整除，則數(shù)a能被c整除。（傳遞性）【示例】42能被14整除，14能被7整除，42能被7整除。5.如果數(shù)a能被c整除，數(shù)b能被c整除，則a+b、a-b均能被c整除。（可加減性）【示例】9能被3整除，18能被3整除，9+18=27也能被3整除。三、整除的判定如果在具體計(jì)算之前，你預(yù)知正確答案可以被某個(gè)整除，那你只需要通過(guò)判斷哪個(gè)選項(xiàng)可以被這個(gè)數(shù)整除即可。根據(jù)整除判定的規(guī)律，可以將整除判定分為以下幾種情況：1.看尾數(shù)判定的情況能被2整除的判定依據(jù)末一位的數(shù)能被2整除能被5整除的判斷依據(jù)末一位的數(shù)能被5整除能被4整除的判定依據(jù)末兩位的數(shù)能被4整除能被25整除的判定依據(jù)末兩位的數(shù)能被25整除能被8整除的判斷依據(jù)末三位的數(shù)能被8整除能被125整除的判斷依據(jù)末三位的數(shù)能被125整除能被整除的判定依據(jù)末n位的數(shù)能被整除能被整除的判定依據(jù)末n位的數(shù)能被整除2.看全部判定的情況能被3整除的判定依據(jù)所有數(shù)位上的數(shù)加和的結(jié)果能被3整除能被9整除的判斷依據(jù)所有數(shù)位上的數(shù)加和的結(jié)果能被9整除在判斷較大的數(shù)字能否被3或9整除時(shí)，我們可以采用“棄3、棄9“法來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算。所謂“棄3、棄9“是指任意數(shù)位的數(shù)字加和的結(jié)果如果為3或9，就可以先舍棄不要，看最后是否有任意數(shù)位的數(shù)字加和的結(jié)果，不是3或9，不能被3或9整除，是3或9則能被整除?！臼纠?19368204549276能被9整除嗎？解析：如果按判定依據(jù)將所有數(shù)位上的數(shù)字相加運(yùn)算量較大，則可以用“棄3、棄9“法。最終得到不能被9整除。3.看拆分判斷的情況能被合數(shù)整除的判定依據(jù)將合數(shù)拆分為兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)。則同時(shí)能被互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)整除的數(shù)就能被合數(shù)整除能被6整除的判定依據(jù)同時(shí)能被2和3整除的數(shù)能被12整除的判定依據(jù)同時(shí)能被3和4整除的數(shù)能被35整除的判定依據(jù)同時(shí)能被5和7整除的數(shù)4.看差值判定的情況被7（11、13）整除的判定依據(jù)將一個(gè)數(shù)從右往左數(shù)，將奇數(shù)位上的數(shù)與偶數(shù)位上的數(shù)分別相加，然后將兩個(gè)數(shù)的和相減，差值能被7、11、13整除（包括差值為0）四、整除在考試中的應(yīng)用整除在考試中應(yīng)用的比較廣泛，當(dāng)題目中出現(xiàn)倍數(shù)關(guān)系、百分?jǐn)?shù)關(guān)系、比列關(guān)系、分?jǐn)?shù)關(guān)系、平均數(shù)關(guān)系、這五種關(guān)系時(shí)，可考慮使用整除這一節(jié)的知識(shí)。題目中常見的關(guān)鍵詞有“倍”、“商”、“整除”、“平均”、“每”、“比”、“比例”、“百分?jǐn)?shù)”、“分?jǐn)?shù)”等。【例1】（2014年真題）某單位組織參加理論學(xué)習(xí)的黨員和入黨積極分子進(jìn)行分組討論，如果每組分配7名黨員和3名入黨積極分子，剛好剩下4名黨員未安排;如果每組分配5名黨員和2名入黨積極分子，則還剩下2名黨員未安排，問(wèn)參加理論學(xué)習(xí)的黨員比入黨積極分子多多少人?A.16B.20C.24D.28解析：題目中出現(xiàn)了分組，即平均的關(guān)系。所以考慮使用整除的知識(shí)求解。由“如果每組分配5名黨員和2名入黨積極分子，則還剩下2名黨員未安排”，可以設(shè)分成了x組，則黨員的人數(shù)為（5x+2）名，入黨積極分子為2x，因此參加理論學(xué)習(xí)的黨員比入黨積極分子多（3x+2）名，即減去2是3的倍數(shù)，四個(gè)選項(xiàng)只有B項(xiàng)減去2后是3的倍數(shù)。所以正確答案為B項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：這道題目是比較典型的分組題，在這類分組的題目中因?yàn)槊拷M人數(shù)和總?cè)藬?shù)都必須是整數(shù)，所以求人數(shù)時(shí)可以優(yōu)先考慮使用整除的知識(shí)進(jìn)行排除。【例2】（2016年真題）2014年父親、母親的年齡之和是年齡之差的23倍，年齡之差是兒子年齡的1/5，5年后母親和兒子的年齡都是平方數(shù)。問(wèn)2014年父親的年齡是多少？（年齡都按整數(shù)計(jì)算）A．36歲B．40歲C．44歲D．48歲解析：題目中出現(xiàn)倍數(shù)關(guān)系，且要求年齡是整數(shù)，考慮使用整除的知識(shí)求解。由“2014年父母年齡之差是兒子年齡的1/5,”可得兒子年齡是5的倍數(shù)，而兒子5年后年齡也必然是5的倍數(shù)，而5的倍數(shù)且為平方數(shù)的只能為25，則可得到現(xiàn)在兒子的年齡為20歲，年齡差即為20×1/5=4歲，年齡和為4×23=92歲，則父親年齡+母親年齡=92，|父親年齡-母親年齡|=4，假設(shè)父親年齡比母親年齡大，則可得父親年齡-母親年齡=4，聯(lián)立求解可得父親年齡=48，母親年齡=44，此時(shí)母親年齡五年后為49歲，是平方數(shù)，滿足條件。故父親年齡為48歲。故正確答案為D。點(diǎn)評(píng)：這道題目中典型的體現(xiàn)了倍數(shù)關(guān)系存在時(shí)，用整除的知識(shí)求解非常方便快捷?！纠?】（補(bǔ)充例題）兩個(gè)派出所某月內(nèi)共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件。問(wèn)乙派出所在這個(gè)月中共受理多少起非刑事案件（）A．48B．60C．72D．96解析：題目中出現(xiàn)了百分?jǐn)?shù)關(guān)系，考慮使用整除的知識(shí)進(jìn)行求解。由“甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件”可知，甲所受理的案件數(shù)應(yīng)為100的倍數(shù)（根據(jù)整除結(jié)論（1）得），而總數(shù)為160，則甲所受理的案件數(shù)為100起，乙所為60起。乙所受理的非刑事案件數(shù)為60×80%=48（起）。正確答案為A項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：這道題目典型的體現(xiàn)了使用整除的結(jié)論對(duì)題目進(jìn)行求解，幾乎達(dá)到了秒殺的效果。第五節(jié)比例一、概念比例即數(shù)量之間的對(duì)比關(guān)系，就是用份數(shù)之比來(lái)代替兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的實(shí)際量之比，以反映這兩個(gè)關(guān)聯(lián)量之間的關(guān)系。比如某校有男生333人，女生555人，則該校的男女比例為3:5，這個(gè)比例就是用3份和5份分別代替了男生人數(shù)和女生人數(shù)，即3份代表男生的人數(shù)，5份代表女生的人數(shù)，反映了男生和女生人數(shù)間的關(guān)系。二、比例計(jì)算的基礎(chǔ)知識(shí)在比例計(jì)算中涉及比例量、差值量、總量和實(shí)際量。比例量是指兩個(gè)有關(guān)聯(lián)的量之間的比例，差值量是指兩個(gè)比例之間做差的結(jié)果，總量是指兩個(gè)比例求和的結(jié)果，實(shí)際量是指比例量、差值量、總量實(shí)際代表的數(shù)值。具體通過(guò)下面的例題來(lái)理解?！臼纠考椎乃俣群鸵业乃俣戎葹?:3，甲的速度比乙的速度快4m/s，則甲的速度為多少？解析：首先列出甲和乙速度的比例量、差值量、總量和實(shí)際量如下：比例量差值量總量5:35-3=25+3=8實(shí)際量10m/s：6m/s4m/s16m/s因?yàn)椴钪盗繛?，即2份，這2份代表的實(shí)際值為4m/s，則1份代表2m/s。那么甲的比例量為5，即5份，則甲為10m/s；乙為3，即3份，則乙為6m/s；總量同理可得實(shí)際值為16m/s。三、比例的統(tǒng)一1.含義比例的統(tǒng)一是指將份數(shù)不一樣的比例統(tǒng)一成份數(shù)一樣的比例。比如已知甲：乙為2:3，乙：丙為5:6，則甲：乙：丙是多少？在這個(gè)問(wèn)題中，乙在甲：乙和乙：丙中所代表的份數(shù)不一樣，所以只有將份數(shù)統(tǒng)一才能求得甲：乙：丙是多少？2.核心思想和方法比例統(tǒng)一的核心思想就是比例量每一份所代表的實(shí)際量一樣才能作比較。而要將比例統(tǒng)一，核心的方法就是先得找到不變的實(shí)際量作為橋梁，一般情況下通過(guò)求最小公倍數(shù)得到，然后將其它的比例量相應(yīng)的做出變化即可。比如已知甲：乙為2:3，乙：丙為5:6，則甲：乙：丙是多少？在這個(gè)問(wèn)題中，首先找到乙為公共量，即乙是不變的量，所以找出乙對(duì)應(yīng)的3和5的最小公倍數(shù)，即15，然后甲和丙相應(yīng)的擴(kuò)大5倍和3倍，即可得甲：乙為10:15，乙：丙為15:18，則甲：乙：丙為10:15:18。四、比例在考試中的應(yīng)用如果題目中出現(xiàn)了比例、分?jǐn)?shù)、倍數(shù)、百分?jǐn)?shù)、倍數(shù)等時(shí)，如果用整除的知識(shí)無(wú)法解決，那么就可以考慮用比例的知識(shí)。對(duì)于行程問(wèn)題、工程問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題等題型有時(shí)也會(huì)用到比例的知識(shí)求解。【例1】（2014年真題）某單位利用業(yè)余時(shí)間舉行了3次義務(wù)勞動(dòng)，總計(jì)有112人次參加。在參加義務(wù)勞動(dòng)的人中，只參加1次、參加2次和3次全部參加的人數(shù)之比為5:4:1。問(wèn)該單位共有多少人參加了義務(wù)勞動(dòng)?A.70B.80C.85D.102解析:由題目“只參加1次、參加2次和3次全部參加的人數(shù)之比為5:4:1”，則參加的總?cè)藬?shù)為10份，即參加的總?cè)藬?shù)是10的倍數(shù)，可以排除C、D兩項(xiàng)，但A項(xiàng)和B項(xiàng)都是10的倍數(shù)，所以考慮使用比例的知識(shí)求解。由于參加人數(shù)之比為5:4:1，則對(duì)應(yīng)人次之比為5:8:3，即人次總共是16份，而總的人次是112人次，所以每一份代表112/16=7人次。所以只參加1次，參加2次和3次全部參加的人次分別為35、56、21，對(duì)應(yīng)人數(shù)分別為35、28、7人，故總?cè)藬?shù)為70人。因此，答案選擇A選項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：人次和人數(shù)在數(shù)學(xué)運(yùn)算中不能混淆，以此題為例，只參加1次的人數(shù)等于只參加1次的人次，而參加2次的人次是參加2次的人數(shù)的2倍?！纠?】（2014年真題）某有色金屬公司四種主要有色金屬總產(chǎn)量的1/5為鋁，1/3為銅，鎳的產(chǎn)量是銅和鋁產(chǎn)量之和的1/4，而鉛的產(chǎn)量比鋁多600噸，問(wèn)該公司鎳的產(chǎn)量為多少噸?A.600B.800C.1000D.1200解析：由題目“金屬總產(chǎn)量的1/5為鋁，1/3為銅，鎳的產(chǎn)量是銅和鋁產(chǎn)量之和的1/4”考慮使用比例的知識(shí)求解?！敖饘倏偖a(chǎn)量的1/5為鋁，1/3為銅”，即鋁的產(chǎn)量與金屬總產(chǎn)量的比例為1:5，銅的產(chǎn)量與金屬總產(chǎn)量的比例為1:3。金屬總產(chǎn)量是兩個(gè)比例共同的量，但在兩個(gè)比例中的值不一樣，所以進(jìn)行統(tǒng)一，即鋁的產(chǎn)量：金屬總產(chǎn)量×，銅的產(chǎn)量：金屬總產(chǎn)量×。所以金屬總產(chǎn)量為15份，其中鋁占了3份，銅占了5份。由“鎳的產(chǎn)量是銅和鋁產(chǎn)量之和的1/4”可得鎳的產(chǎn)量為2份，則鉛的產(chǎn)量為5份。最后，鉛比鋁多2份，且“鉛的產(chǎn)量比鋁多600噸”，則2份代表600噸，而鎳占了2份，所以鎳的產(chǎn)量為600噸。所以正確答案為A項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：本題的解析雖然較長(zhǎng)，但是理解起來(lái)相對(duì)是比較容易的，最重要的是通過(guò)比例的知識(shí)使題目的求解更加快速、高效。第六節(jié)等差和等比數(shù)列一、概念數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都相等，這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列。這個(gè)相等的差叫這個(gè)等差數(shù)列的公差。比如：2,4,6,8,10就是一個(gè)公差為3的等差數(shù)列。等差數(shù)列第一項(xiàng)叫作首項(xiàng)，第n項(xiàng)用表示，前n項(xiàng)的和用表示。數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都相等，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)相等的比叫這個(gè)等比數(shù)列的公比。比如：2,4,8,16,32...就是一個(gè)公比為2的等比數(shù)列。等比數(shù)列第一項(xiàng)叫作首項(xiàng)，第n項(xiàng)用表示，前n項(xiàng)的和用表示。（注意：等比數(shù)列的公比不能等于0，首項(xiàng)也不能等于0）。二、公式1.等比數(shù)列的基本公式分類公式示例通項(xiàng)等比數(shù)列首項(xiàng)為3，公比為4，則=48求和等比數(shù)列首項(xiàng)為2，公比為3，則=802.等差數(shù)列的基本公式分類公式示例通項(xiàng)等差數(shù)列首項(xiàng)為2，公差為3，則=2+(5-1)x3=14公差等差數(shù)列第5項(xiàng)為24，第3項(xiàng)為14，則公差為（24-14）/(5-3)=5項(xiàng)數(shù)等差數(shù)列首項(xiàng)為15，末項(xiàng)為3，公差為4，項(xiàng)數(shù)為[（15-3）/4]+1=4平均數(shù)等差數(shù)列2，4，6，8，10，12，14數(shù)列各項(xiàng)的平均數(shù)=（2+14）÷2=8該數(shù)列項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，平均數(shù)=中項(xiàng)=8對(duì)稱等差數(shù)列2,4,6,8,10...=12等差數(shù)列的四要素：首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差，知道其中3個(gè)，就能確定第4個(gè)。關(guān)鍵是要能選用合適的公式，快速計(jì)算。3.等差數(shù)列求和公式分類公式示例一般求和等差數(shù)列首項(xiàng)為1，公差為3，則=6x1+[6x(6-1)/2]x3=51中項(xiàng)求和等差數(shù)列首項(xiàng)為2，第3項(xiàng)為6，則=6x5=30平均數(shù)求和等差數(shù)列首項(xiàng)為2，第6項(xiàng)為24，則=[（2+24）/2]x6=78等差數(shù)列求和要根據(jù)已知條件選擇適當(dāng)?shù)墓娇焖儆?jì)算。當(dāng)數(shù)列項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，優(yōu)先考慮中項(xiàng)求和公式；已知首項(xiàng)和末項(xiàng)，優(yōu)先考慮平均數(shù)求和公式4.常見數(shù)列求和公式分類數(shù)列各項(xiàng)求和公式奇數(shù)列1，3,5,7，...，2n-1...偶數(shù)列2,4,6,8...2n...平方數(shù)列,,立方數(shù)列,,三、等差數(shù)列和等比數(shù)列在考試中的應(yīng)用等差數(shù)列在考試中一般是作為一個(gè)知識(shí)點(diǎn)直接進(jìn)行考查。等比數(shù)列在數(shù)學(xué)運(yùn)算中的考查的比較少見?！纠?】(2016年真題)某商店10月1日開業(yè)后，每天的營(yíng)業(yè)額均以100元的速度上漲，已知該月15號(hào)這一天的營(yíng)業(yè)額為5000元，問(wèn)該商店10月份的總營(yíng)業(yè)額為多少元？A．163100B．158100C．155000D．150000解析：由“每天營(yíng)業(yè)額以100元的速度上漲可知”，10月份營(yíng)業(yè)額成一個(gè)公差為100的等差數(shù)列；由該月15號(hào)的營(yíng)業(yè)額為5000元得知，=5000，=5100。10月共31天，由等差數(shù)列求和公式：，可得總共等于31x5100=158100元。故正確答案為B。點(diǎn)評(píng)：本題非常簡(jiǎn)單，但是很多考生因?yàn)椴磺宄炔顢?shù)列的求和公式，甚至沒(méi)有辨別出此題考查的是等差數(shù)列而放棄了這道題。所以建議考生多做一些有關(guān)數(shù)列的練習(xí)題，達(dá)到熟練辨別題目和熟練使用公式的效果?！纠?】（補(bǔ)充例題）某成衣廠對(duì)9名縫紉工進(jìn)行技術(shù)評(píng)比，9名工人的得分恰好成等差數(shù)列，9人的平均得分是86分，前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少（）A．602B．623C．627D．631解析：根據(jù)等差數(shù)列之和=平均數(shù)x項(xiàng)數(shù)=中項(xiàng)x項(xiàng)數(shù)?？芍谖迕梅譃?6分，第三名得分是前5名的中項(xiàng)，得分為460÷5=92（分），第四名是第三名和第五名的平均數(shù)，得分為（92+86）÷2=89（分），同時(shí)，第四名又是前七名的中項(xiàng)，前七名的總分為89×7=623（分）。所以正確答案為B項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：只要掌握好數(shù)列的求和公式，本題非常容易求解。第三章常用解題方法本章講解數(shù)學(xué)運(yùn)算在解題中常用的解題方法，比如代入排除法、特值法、方程法等，掌握這些解題方法對(duì)于快速、準(zhǔn)確得到答案至關(guān)重要。數(shù)學(xué)運(yùn)算中的題目在解答時(shí)有兩種順序，第一種是根據(jù)題目條件計(jì)算出答案，然后與選項(xiàng)對(duì)比，這種順序的出發(fā)點(diǎn)是題目條件，主要用的是方程法、公式法等中小學(xué)常用的解題方法。第二種是根據(jù)選項(xiàng)給出的結(jié)果代入題目中的條件，判斷是否符合題目中的要求，這種順序的出發(fā)點(diǎn)是所給的選項(xiàng)，主要用的是代入排除法、數(shù)字特性法等。第一節(jié)代入排除法一、適用范圍對(duì)于以下幾種情況的題目可以考慮使用代入排除法：第一種情況，題目中選項(xiàng)信息充分，即題目有幾個(gè)量，選項(xiàng)就有幾個(gè)量對(duì)應(yīng)；第二種情況，題目所給出的條件過(guò)于復(fù)雜或者選項(xiàng)數(shù)據(jù)太大，導(dǎo)致從題目入手沒(méi)有思路或者運(yùn)算很困難；第三種情況，根據(jù)題目列出的方程、式子不易求解。二、具體用法將選項(xiàng)作為一個(gè)常量或者作為題目的一個(gè)條件，代入到題干的數(shù)量關(guān)系中，通過(guò)驗(yàn)算，計(jì)算出這個(gè)選項(xiàng)是否符合題干的要求，如果符合，即為正確答案，如果不符合，再代入下一個(gè)選項(xiàng)去做嘗試，直至找到正確答案。三、真題舉例【例1】（2013年真題）A、B兩桶中共裝有108公斤水。從A桶中取出1/4的水倒入B桶，再?gòu)腂桶中取出1/4的水倒入A桶，此時(shí)兩桶中水的重量剛好相等。問(wèn)B桶中原來(lái)有多少公斤水？（）A.42B.48C.50D．60解析：由題目“A、B兩桶中共裝有108公斤水”,而選項(xiàng)給出了B桶原來(lái)有多少公斤水，則A桶原來(lái)有多少公斤水也可以知道，所以題目中選項(xiàng)的信息非常充分，可以考慮使用代入排除法。由題意，最后兩桶水中各有54公斤水。代入D項(xiàng)，則B桶原來(lái)有60公斤水，A桶原來(lái)有48公斤水，按照題目的進(jìn)行操作，發(fā)現(xiàn)最后A和B兩個(gè)桶里的水相等，都是54公式，所以符合題意。正確答案為D項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：選項(xiàng)的代入順序考生也可以適當(dāng)注意，給出兩點(diǎn)建議（僅供參考）。第一，一般建議從整數(shù)選項(xiàng)代入；第二，個(gè)別題目有大小導(dǎo)向，比如題目問(wèn)“最多（至少）有多少”，則從最大（最?。┑臄?shù)開始代入。【例2】(補(bǔ)充例題）在一堆桃子旁邊住著5只猴子。深夜，第一只猴子起來(lái)偷吃了一個(gè)，剩下的正好平均分成5份，它藏起自己的一份，然后去睡覺。過(guò)了一會(huì)兒，第二只猴子起來(lái)也偷吃了一個(gè)，剩下的也正好平均分成5份，它也藏起自己的一份，然后去睡覺，第三個(gè)、第四、五只猴子也都依次這樣做。問(wèn)那堆桃子最少有多少個(gè)？A.4520B.3842C.3121D.2101解析：本題選項(xiàng)數(shù)據(jù)太大計(jì)算復(fù)雜，且題目所給條件也復(fù)雜，考慮使用代入排除法。根據(jù)第一個(gè)條件，吃掉1個(gè)剩下的平均分成5份，可知答案應(yīng)該減1可以被5整除，排除A、B選項(xiàng)；再根據(jù)題目的問(wèn)法最少有多少個(gè)，所以從最小的開始代入，先看D項(xiàng)，2101-1=2100，被5整除后得到的是420，用2100-420=1680；1680-1=1679不能再被5整除，排除D項(xiàng)。所以正確答案為C項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：題目最后問(wèn)最少多少個(gè)，所以代入時(shí)考慮從最小的選項(xiàng)開始代入，確實(shí)節(jié)省了代入排除的時(shí)間?！纠?】（補(bǔ)充例題）有一支參加閱兵的隊(duì)伍正在進(jìn)行訓(xùn)練，這支隊(duì)伍的人數(shù)是5的倍數(shù)且不少于1000人，如果按每橫行排4人編隊(duì)，最后少3人，如果按每橫排3人編隊(duì)，最后少2人；如果按每橫排2人編隊(duì)，最后少1人。請(qǐng)問(wèn)，這支隊(duì)伍最少有多少人？（）A.1045B.1125C.1235D.1345解析：這道題目給出了總?cè)藬?shù)的情況和總?cè)藬?shù)分不同情況排隊(duì)的情況，很多考生可能會(huì)考慮列方程，但列方程求解非常復(fù)雜，所以考慮使用代入排除法。因?yàn)轭}目最后問(wèn)最少有多少人，所以從最小的值1045代入。首先，題目要求總?cè)藬?shù)是5的倍數(shù)且不少于100人，1045符合；其次，由“每橫行排4人編隊(duì)，最后少3人”可得，總?cè)藬?shù)加3是4的倍數(shù)，1045符合；再者，由“如果按每橫排3人編隊(duì)，最后少2人”可得，總?cè)藬?shù)加2是3的倍數(shù)，1045符合；最后由“如果按每橫排2人編隊(duì)，最后少1人”可得，總?cè)藬?shù)加1是2的倍數(shù)，1045符合。所以正確答案為A項(xiàng)。第二節(jié)數(shù)字特性法一、適用范圍如果題目的條件符合第一章中“奇偶數(shù)在考試中的應(yīng)用”和“整除在考試中的應(yīng)用”的要求，則可以考慮使用數(shù)字特性法進(jìn)行求解。數(shù)字特性法常用于方程的快速求解和結(jié)合選項(xiàng)對(duì)答案進(jìn)行快速排除，它是代入排除法的一個(gè)重要補(bǔ)充。二、具體用法根據(jù)題目的條件和選項(xiàng)，利用奇偶數(shù)和整除的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行篩除從而確定正確選項(xiàng)。三、真題舉例【例1】（2012年真題）某公司三名銷售人員2011年的銷售業(yè)績(jī)?nèi)缦拢杭椎匿N售額是乙和丙銷售額的1.5倍，甲和乙的銷售額是丙的銷售額的5倍，已知乙的銷售額是56萬(wàn)元，問(wèn)甲的銷售額是（）。

A.140萬(wàn)元

B.144萬(wàn)元

C.98萬(wàn)元

D.112萬(wàn)元解析：題目中出現(xiàn)了倍數(shù)，考慮數(shù)字特性法。由題目“甲的銷售額是乙和丙銷售額的1.5倍”可得：甲=1.5(乙+丙），即甲：（乙+丙）=3:2，由整除的性質(zhì)可知，甲的銷售額是3的倍數(shù)，只有B項(xiàng)符合條件。再由題目“甲和乙的銷售額是丙的銷售額的5倍，已知乙的銷售額是56萬(wàn)元”可得：甲+56=5丙，由整除的知識(shí)可知，甲加上56是5的倍數(shù)，符合條件的只有B項(xiàng)。綜上所述，正確答案為B項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）在某公司年終晚會(huì)上，所有員工分組表演節(jié)目。如果按7男5女搭配分組，則只剩下8名男員工；如果按9男5女搭配分組，只剩下40名女員工。該公司用工總數(shù)為（）人A.446B.488C.508D.576解析：題目中出現(xiàn)了分組，即平均，考慮使用數(shù)字特性法。由“如果按7男5女搭配分組，則只剩下8名男員工”，可以設(shè)共有x組，則總?cè)藬?shù)為12x+8,即總?cè)藬?shù)減去8一定是12的倍數(shù)（同時(shí)是3和4的倍數(shù)），排除A、C、D項(xiàng)，正確答案為B項(xiàng)。第三節(jié)特值法一、適用范圍如果題目中的條件存在以下情況，可以考慮使用特值法。第一種情況是題目中沒(méi)有出現(xiàn)具體的值，題目中的量都是以倍數(shù)、分?jǐn)?shù)、比例、百分?jǐn)?shù)的形式給出的。第二種情況是在A=BxC（比如路程=速度x時(shí)間）這樣的三量關(guān)系中，題目只給出其中一個(gè)量的具體值，其它量只是用比例關(guān)系表示甚至根本沒(méi)有提到；常見的題型有行程問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、工程問(wèn)題等。二、具體用法在題目中未知量的值無(wú)論取多少都不影響結(jié)果的前提下，可以將未知的量設(shè)為便于計(jì)算的特殊值，比如設(shè)為1，從而快速得到答案。建議盡量給題目中不變的未知量設(shè)特值，以連接所有題干條件，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算。一般常設(shè)工作總量、總路程、總價(jià)錢為所給數(shù)字的公倍數(shù)，設(shè)效率、成本、進(jìn)價(jià)為簡(jiǎn)單數(shù)，比如1、10、100。三、真題舉例【例1】（2012年真題）某網(wǎng)店以高于進(jìn)價(jià)10%的定價(jià)銷售T恤，在售出2/3后，以定價(jià)的8折將余下的T恤全部售出，該網(wǎng)店預(yù)計(jì)盈利為成本的（）。A.3.2%

B.不賺也不虧

C.1.6%

D.2.7%解析：題目中沒(méi)有給出具體的值，題目中的量都是以百分?jǐn)?shù)和比例關(guān)系給出的，所以考慮使用特值法。T恤的進(jìn)價(jià)和總數(shù)不變，設(shè)一件T恤進(jìn)價(jià)（即成本）為10，T恤的總數(shù)為3，則所有T恤的成本為30。根據(jù)題目“某網(wǎng)店以高于進(jìn)價(jià)10%的定價(jià)銷售T恤”可得一件T恤的定價(jià)為11。根據(jù)題目可得所有T恤賣完的收入為2x11+11x0.8x1=30.8，則該網(wǎng)店的盈利為30.8-30=0.8。所以盈利為成本的0.8/30=0.027，即2.7%。所以正確答案為D項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）甲、乙二人從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，繞西湖勻速背向而行，35分鐘后甲、乙二人相遇。已知甲繞西湖一圈需要60分鐘，則乙繞西湖一圈需要（）分鐘。A.25B.70C.80D.84解析：題目中只給出了時(shí)間這個(gè)量的具體值，但路程和速度這兩個(gè)量的值未給出，可以考慮使用特值法。西湖的周長(zhǎng)不變，則可以設(shè)西湖的周長(zhǎng)為已知量的公倍數(shù)，即60和35的公倍數(shù)420，則甲的速度為420/60=7，乙的速度為(420-35x7)/35=5，則乙繞西湖一圈的時(shí)間為420/5=84。所以正確答案為D項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）2010年某種貨物的進(jìn)口價(jià)格是15元/公斤，2011年該貨物的進(jìn)口量增加了一半，進(jìn)口金額增加了20%。問(wèn)2011年該貨物的進(jìn)口價(jià)格是多少元/公斤（）A．10B．12C．18D．24解析：題目中只給出了單價(jià)這個(gè)量的具體值，但進(jìn)口量和進(jìn)口金額這兩個(gè)量的值未給出，可以考慮使用特值法。假設(shè)2010年進(jìn)口量為4斤，根據(jù)題目可得2011年進(jìn)口量為6斤。則2010年的進(jìn)口金額為60元，2011年的進(jìn)口金額為60x（1+20%）=72元。所以2011年進(jìn)口價(jià)格是72/6=12元/斤。正確答案為B項(xiàng)。第四節(jié)方程法一、適用范圍如果題目中存在明顯的等量關(guān)系（比如甲是乙的2倍）就可以通過(guò)等量關(guān)系列出方程（比如甲=2乙）來(lái)求解。在不考慮解題效率的前提下，其實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算的大部分題型，都可以使用方程法來(lái)解答。等量關(guān)系一般有以下兩種形式。第一種是在題干中提到一些關(guān)鍵詞，比如“A和B相等”、“A是B的3倍”、“A比B多”等，這些都是列方程所需要的等量關(guān)系；第二種是在行程問(wèn)題、工程問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題等問(wèn)題中的公式也可以作為列方程的等量關(guān)系，比如行程問(wèn)題中，“路程=速度x時(shí)間”就可以作為該類題目列方程的等量關(guān)系。二、具體用法1.首先一定要找到并分析清楚題目中有哪些等量關(guān)系以及各個(gè)量之間的關(guān)系。2.設(shè)未知數(shù)，一般建議設(shè)中間量或所求量。3.把其它未知量用未知數(shù)表示。4.利用等量關(guān)系，列方程求解。三、真題舉例【例1】（2013年真題）某產(chǎn)品售價(jià)為67.1元，在采用新技術(shù)生產(chǎn)節(jié)約10%成本之后，售價(jià)不變，利潤(rùn)可比原來(lái)翻一番。則該產(chǎn)品最初的成本為_____元。A.51.2B.54.9C.61D.62.5解析：由“采用新技術(shù)生產(chǎn)節(jié)約10%成本之后，售價(jià)不變，利潤(rùn)可比原來(lái)翻一番”可知題目存在等量關(guān)系，所以考慮使用方程法。設(shè)最初的成本為x元，則原來(lái)的利潤(rùn)為67.1-x；則采用新技術(shù)后的成本為（1-10%）x，采用新技術(shù)后的利潤(rùn)為67.1-（1-10%）x。由題目中的等量關(guān)系列出方程：2x(67.1-x）=67.1-（1-10%）x。求解方程可得x=61。所以正確答案為C項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）某單位原有45名職工，從下級(jí)單位調(diào)入5名黨員職工后，該單位的黨員人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重上升了6個(gè)百分點(diǎn)，如果該單位又有2名職工入黨，那么該單位現(xiàn)在的黨員人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重為多少（）A．40%B．50%C．60%D．70%解析：由“比重上升了6個(gè)百分點(diǎn)”可得到等量關(guān)系，即調(diào)入5名黨員后的比重=原來(lái)比重+6%。所以考慮使用方程法。設(shè)原有45名員職工中有x個(gè)黨員，則原來(lái)黨員占原來(lái)總?cè)藬?shù)的比重為x/45，調(diào)入5名黨員后的比重為（x+5）/（5+45）。由等量關(guān)系列方程（x+5）/（5+45）=x/45+6%，解得x=18。最后計(jì)算新入黨的2名職工的情況，比重為（18+5+2）/50=0.5，即50%。所以正確答案為B項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：此題雖然求得是比重，但是題目中不斷出現(xiàn)黨員人數(shù)的關(guān)系，所以將最初黨員人數(shù)設(shè)為未知數(shù)能將題目中的條件連接起來(lái)，從而能列出方程。所以在設(shè)未知數(shù)時(shí)不一定要設(shè)所求量，也可以設(shè)中間量?？傊O(shè)未知數(shù)要本著方便列方程和方便計(jì)算的原則去做，這樣可以加快做題的速度?！纠?】（補(bǔ)充例題）一容器內(nèi)有濃度為30%的糖水。若再加入30千克水與6千克糖，則糖水濃度變?yōu)?5%。問(wèn)原來(lái)糖水中含糖多少千克？A.15B.18C.21D.24解析：設(shè)容器內(nèi)原來(lái)有x千克糖水，則現(xiàn)在有（x+6+30）千克糖水，則現(xiàn)在糖水中有（30%x+6）千克糖水。由公式：溶液x濃度=溶質(zhì)，可列出方程，（x+6+30）×25%=（30%x+6）。解得x=60.所以原來(lái)糖水中含糖30%×60=18千克。所以正確答案為B項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：本題最后求得是糖多少千克，即求得是溶質(zhì)，但設(shè)原來(lái)的糖水為未知數(shù)，即溶液為未知數(shù)可以避免出現(xiàn)除法運(yùn)算，使計(jì)算更快。所以設(shè)未知數(shù)要本著方便計(jì)算和方便列方程的原則。本題的等量關(guān)系是利用了常用公式，所以對(duì)于常用公式，我們也可以將其作為方程的等量關(guān)系。第五節(jié)十字交叉法一、適用范圍如果題目給出的條件中出現(xiàn)了幾個(gè)平均量（比如男生的平均分是20，女生的平均分是30，全班的平均分是23），即平均量的混合，則可以考慮使用十字交叉法。平均量實(shí)質(zhì)上是指一個(gè)分?jǐn)?shù)，平均量的混合就是分?jǐn)?shù)的混合。比如速度就是一個(gè)平均量，速度實(shí)質(zhì)上是分子為路程分母為時(shí)間的分?jǐn)?shù)，兩個(gè)速度的和速度就是速度的混合。所以對(duì)于濃度混合、利潤(rùn)率混合、折扣混合、增長(zhǎng)率的混合、平均數(shù)混合等常見的題目可以考慮使用十字交叉法。二、具體用法十字交叉法就是利用下圖中的規(guī)律解決平均量混合問(wèn)題的。1.十字交叉法中大值、中值、小值的要求：十字交叉法中的中值必須是有大值和小值混合而成的，所以中值的大小一定介于大值和小值之間。而且大值、中值、小值的單位必須一致，比如大值是速度，則中值和小值也必須是速度。2.分母1和分母2:真比中的分母1和分母2是指是指大值、中值、小值的單位中的分母。3.真比和簡(jiǎn)比的關(guān)系：真比和簡(jiǎn)比是相等的。4.交叉平均量的求法:在求交叉平均量時(shí)一定要用大的減去小的。為了讓大家更具體的理解十字交叉法，下面通過(guò)一道例題進(jìn)行說(shuō)明?！臼纠磕硢挝慌e行普法知識(shí)競(jìng)賽，若該單位總的平均分為87分，其中男同志的平均分為83分，女同志的平均分為93分，請(qǐng)問(wèn)該單位男同志30名，請(qǐng)問(wèn)女同志有多少名？解析：利用十字交叉法解題如下圖所以可得女同志人數(shù)：男同志人數(shù)=4:6，男同志有30名，則女同志有20名。三、真題舉例【例1】（2016年真題）某高校藝術(shù)學(xué)院分音樂(lè)系和美術(shù)系兩個(gè)系別，已知學(xué)院男生人數(shù)占人數(shù)的30％，且音樂(lè)系男女生人數(shù)之比為1：3，美術(shù)系男女生人數(shù)之比為2：3，問(wèn)音樂(lè)系和美術(shù)系的總?cè)藬?shù)之比為多少？A．5：2B．5：1C．3：1D．2：1解析：由“音樂(lè)系男女生人數(shù)之比為1：3”可得音樂(lè)系男生與音樂(lè)系總?cè)藬?shù)之比為1：4，即音樂(lè)系男生占音樂(lè)系總?cè)藬?shù)的25%；由“美術(shù)系男女生人數(shù)之比為2：3”可得美術(shù)系男生與美術(shù)系總?cè)藬?shù)之比為2:5，即美術(shù)系男生占美術(shù)系總?cè)藬?shù)的40%；且題目已知兩個(gè)學(xué)院男生人數(shù)占總數(shù)的30%，所以是一道平均量混合的題目，可以使用十字交叉法。所以正確答案為D項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）在環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽中，男選手的平均得分為80分，女選手的平均得分為65分，全部選手的平均得分為72分。已知全部選手人數(shù)在35到50之間，則全部選手人數(shù)為（）A.48B.45C.43D.40解析：由“男選手的平均得分為80分，女選手的平均得分為65分，全部選手的平均得分為72分”可知涉及3個(gè)平均量混合，所以考慮使用十字交叉法。通過(guò)十字交叉法解得男選手與女選手的人數(shù)之比為7:8，因此總?cè)藬?shù)應(yīng)該是15的倍數(shù)，根據(jù)題意總?cè)藬?shù)在35至50之間，可知總?cè)藬?shù)為45人，所以正確答案為B項(xiàng)。第四章?？碱}型數(shù)學(xué)運(yùn)算中涉及的知識(shí)點(diǎn)、公式、規(guī)律等較多、較雜，導(dǎo)致很多考生復(fù)習(xí)起來(lái)效率低下且收獲較少，備考難度大，為了幫助考生更高效的復(fù)習(xí)，將題目按考查的知識(shí)點(diǎn)的不同分類，從而掌握不同題型的知識(shí)點(diǎn)，把握第三章各種解題技巧在不同題型中的應(yīng)用就非常重要,本章就是基于以上考慮而設(shè)置，希望能通過(guò)對(duì)常考題型的梳理，讓考生更高效的掌握雜亂的知識(shí)點(diǎn)和更熟練的掌握各種解題技巧。第一節(jié)計(jì)算問(wèn)題計(jì)算問(wèn)題是每年必考的一類題目，比如，2016年公務(wù)員行測(cè)考試中數(shù)學(xué)運(yùn)算共10道題目，而計(jì)算問(wèn)題就考查了3道。所以計(jì)算問(wèn)題是必須掌握的一類題目，而且這類題目相對(duì)是比較簡(jiǎn)單的。一、基礎(chǔ)知識(shí)計(jì)算問(wèn)題涉及的知識(shí)點(diǎn)包括：奇偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、公約數(shù)與公倍數(shù)、整除、比例、數(shù)列、周期以及中小學(xué)最基本的加減乘除運(yùn)算、平均數(shù)、不等式等。所以計(jì)算問(wèn)題的知識(shí)點(diǎn)相對(duì)比較簡(jiǎn)單，而且除了周期，其它知識(shí)點(diǎn)在第二章中已經(jīng)做過(guò)講解，在此補(bǔ)充一下周期的相關(guān)知識(shí)。（一）周期簡(jiǎn)介有一些現(xiàn)象會(huì)按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)。如人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬就是按照一定得規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)的；每周有7天，從星期一開始到星期日結(jié)束，總是以7天為一個(gè)循環(huán)，不斷重復(fù)出現(xiàn)的。在數(shù)學(xué)中，一些數(shù)和圖形的變化也是周而復(fù)始地循環(huán)出現(xiàn)的。我們把這種特殊的規(guī)律性問(wèn)題稱為周期問(wèn)題。（二）周期題目的求解思路第一步：確定一個(gè)周期內(nèi)的循環(huán)量；第二步：總量÷一個(gè)周期內(nèi)的循環(huán)量=周期數(shù)·····余數(shù)；第三步：根據(jù)周期數(shù)、余數(shù)和題目要求確定答案。下面舉例說(shuō)明周期問(wèn)題的解題思路，如下：【示例】假設(shè)今天是星期一，問(wèn)再過(guò)2012天是星期幾?解析：對(duì)于該問(wèn)題第一步能確定的是一個(gè)周期內(nèi)的循環(huán)量是7天，即今天是星期一的基礎(chǔ)上再過(guò)七天還是星期一，再過(guò)14天仍然是星期一，再過(guò)7的倍數(shù)天還是星期一。在第一步的基礎(chǔ)上根據(jù)一個(gè)周期內(nèi)的循環(huán)量7天和總量2012天，可知2012÷7=287…3，即再過(guò)287個(gè)7天，此時(shí)仍然是星期一，然后在星期一的基礎(chǔ)上再過(guò)3天，就可以得到最終的答案就是星期四。通過(guò)這一道簡(jiǎn)單的題目可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于周期問(wèn)題，首先得知道它一個(gè)周期內(nèi)的循環(huán)量，對(duì)于有的題目一個(gè)周期內(nèi)的循環(huán)量立馬就能看出來(lái)(例如星期、生肖等問(wèn)題)，而有的題目還需要我們?nèi)デ蟪鲆粋€(gè)周期內(nèi)的循環(huán)量才行。其次就是知道周期數(shù)和余數(shù)是多少，再在原基礎(chǔ)上往后推遲相應(yīng)的余數(shù)即可。二、計(jì)算問(wèn)題常用解題技巧計(jì)算問(wèn)題相對(duì)比較簡(jiǎn)單，有些題目直接計(jì)算即可，有些題目可能會(huì)用到代入排除法、數(shù)字特性法、方程法、十字交叉法。三、真題舉例【例1】（2015年真題）隨著臺(tái)灣自由行的開放，農(nóng)村農(nóng)民生活質(zhì)量的提高，某一農(nóng)村的農(nóng)民自發(fā)組織若干位同村農(nóng)民到臺(tái)灣旅行，其旅行費(fèi)用包括：個(gè)人辦理赴臺(tái)手續(xù)費(fèi)，在臺(tái)旅行的車費(fèi)平均每人503元，飛機(jī)票平均每人1998元，其他費(fèi)用平均每人1199元，已知這次旅行的總費(fèi)用是92000元，總的平均費(fèi)用是4600元，問(wèn)：赴臺(tái)的總?cè)藬?shù)和個(gè)人辦理赴臺(tái)手續(xù)費(fèi)分別是多少？A.20人，900元B.21人，650元C.20人，700元D.22人，850元解析：由題意，總?cè)藬?shù)=總費(fèi)用÷人均費(fèi)用=92000÷4600=20人。個(gè)人辦理赴臺(tái)手續(xù)費(fèi)=4600-503-1998-1199=900元。因此，本題答案選擇A選項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：該題考查了平均數(shù)計(jì)算的知識(shí)和中小學(xué)的減法運(yùn)算，非常簡(jiǎn)單，也是一道典型的計(jì)算問(wèn)題?！纠?】（2011年真題）某單位招待所有若干間房間，現(xiàn)在安排一支考察隊(duì)的隊(duì)員住宿，若每間住3人，則有2人無(wú)房可??；若每間住4人，則有一間房間不空也不滿，則該招待所的房間最多有：A.4間B.5間C.6間D.7間解析：假設(shè)房間數(shù)為x，那么4（x-1）+1≤3x+2≤4（x-1）+3，很容易得到3≤x≤5。也就是說(shuō)x的最大值是5，所以選擇B選項(xiàng)?！纠?】(2015年真題）設(shè)有編號(hào)為1、2、3、…、10的10張背面向上的紙牌，現(xiàn)有10名游戲者，第1名游戲者將所有編號(hào)是1的倍數(shù)的紙牌翻成另一面向上的狀態(tài)，接著第2名游戲者將所有編號(hào)是2的倍數(shù)的紙牌翻成另一面向上的狀態(tài)，……，第n名（n≤10）游戲者，將所有編號(hào)是n的倍數(shù)的紙牌翻成另一面向上的狀態(tài)，如此下去，當(dāng)?shù)?0名游戲者翻完紙牌后，那些紙牌正面向上的最大編號(hào)與最小編號(hào)的差是（）A.2B.4C.6D.8解析：約數(shù)倍數(shù)計(jì)算類。逐個(gè)分析每個(gè)數(shù)字（1～10）的約數(shù)個(gè)數(shù)，10的約數(shù)有1、2、5、10，因此10共被翻轉(zhuǎn)四次，仍然背面向上；9的約數(shù)有1、3、9，共被翻轉(zhuǎn)三次，正面向上。1的約數(shù)只有1，因此向上。因此正面向上的最大編號(hào)和最小編號(hào)分別為9、1，差值為8。D項(xiàng)正確。【例4】（補(bǔ)充例題）書架的某一層上有136本書，且是按照“3本小說(shuō)、4本教材、5本工具書、7本科技書、3本小說(shuō)、4本教材……”的順序循環(huán)從左至右排列的。問(wèn)該層最右邊的一本是什么書（）A．小說(shuō)B．教材C．工具書D．科技書解析：136本書是按照“3本小說(shuō)、4本教材、5本工具書、7本科技書”的順次循環(huán)排列的，每個(gè)循環(huán)有3+4+5+7=19（本）書。136÷19=7……3，因此最右邊一本書是小說(shuō)。第二節(jié)利潤(rùn)問(wèn)題利潤(rùn)問(wèn)題是行測(cè)中的?？碱}型，這類問(wèn)題難度不大。考生只要掌握好利潤(rùn)問(wèn)題相關(guān)的概念（比如售價(jià)、利潤(rùn)、利潤(rùn)率等）和計(jì)算公式（比如利潤(rùn)的計(jì)算公式、利潤(rùn)率的計(jì)算公式等），恰當(dāng)?shù)睦酶鞣N解題技巧，遇到這類問(wèn)題還是可以快速解出的。利潤(rùn)問(wèn)題有三種常見題型：常規(guī)利潤(rùn)型、分段計(jì)費(fèi)型和統(tǒng)籌費(fèi)用型，其中常規(guī)利潤(rùn)型是所有利潤(rùn)問(wèn)題的基礎(chǔ)，即常規(guī)利潤(rùn)型中的概念、計(jì)算公式是分段計(jì)費(fèi)型和統(tǒng)籌費(fèi)用型的基礎(chǔ)，分段計(jì)費(fèi)型和統(tǒng)籌費(fèi)用型是對(duì)利潤(rùn)問(wèn)題的細(xì)分。一、常規(guī)利潤(rùn)型1.基礎(chǔ)知識(shí)（1）利潤(rùn)常考公式項(xiàng)目計(jì)算公式示例利潤(rùn)利潤(rùn)=售價(jià)（收入）-進(jìn)價(jià)（成本）一件衣服售價(jià)是50元，進(jìn)價(jià)是40元，利潤(rùn)=50-40=10元利潤(rùn)率利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本（進(jìn)價(jià)）×100%一件衣服的進(jìn)價(jià)是40元，利潤(rùn)是10元，利潤(rùn)率=10/40×100%=25%售價(jià)（收入）售價(jià)（收入）=進(jìn)價(jià)（成本）×（1+利潤(rùn)率）一件衣服的進(jìn)價(jià)是40元，利潤(rùn)率是25%，售價(jià)=40×（1+25%）=50元進(jìn)價(jià)（成本）進(jìn)價(jià)（成本）=售價(jià)（收入）/（1+利潤(rùn)率）一件衣服的售價(jià)是50元，利潤(rùn)率是25%，進(jìn)價(jià)=50/(1+25%)=40元（2）打折常考公式項(xiàng)目計(jì)算公式示例折扣打折=（現(xiàn)價(jià)/原價(jià)）×10一只筆現(xiàn)價(jià)是4元，原價(jià)是5元，折扣=（4/5）×10=8折折扣率折扣率=（1-現(xiàn)價(jià)/原價(jià)）×100%一只筆現(xiàn)價(jià)是4元，原價(jià)是5元，折扣率=（1-4/5）×100%=20%現(xiàn)價(jià)現(xiàn)價(jià)=（原價(jià)×折扣）/10一支筆原價(jià)是5元，現(xiàn)在打8折，則現(xiàn)價(jià)=（5×8）/10=4元原價(jià)原價(jià)=（現(xiàn)價(jià)/折扣）×10一支筆打8折后以4元的價(jià)格出售，則原價(jià)=（4/8）×10=5元2.常規(guī)利潤(rùn)型常用解題技巧常規(guī)利潤(rùn)問(wèn)題經(jīng)常用到的解題技巧有：方程法和特值法。3.真題舉例【例1】（2016年真題）某種商品原價(jià)25元，每半天可銷售20個(gè)?，F(xiàn)知道每降價(jià)1元，銷量即增加5個(gè)。某日上午將該商品打八折，下午在上午價(jià)格的基礎(chǔ)上再打八折出售，問(wèn)其全天銷售額為多少元？A．1760B．1940C．2160D．2560解析：由題意可得，商品每降價(jià)1元銷量增加5個(gè)。上午商品打八折出售，下午商品在上午價(jià)格的基礎(chǔ)上再打八折，列表可得：售價(jià)銷量（半天）銷售額原計(jì)劃2520上午25×0.8=2020+5×5=4520×45=900下午20×0.8=1620+9×5=6516×65=1040所以，商品全天銷售額=900+1040=1940元。故正確答案為B?！纠?】（補(bǔ)充例題）老王兩年前投資的一套藝術(shù)品市價(jià)上漲了50%，為盡快出手，老王將該藝術(shù)品按市價(jià)的八折出售，扣除成交價(jià)5%的交易費(fèi)用后，發(fā)現(xiàn)與買進(jìn)時(shí)相比賺了7萬(wàn)元。問(wèn)老王買進(jìn)該藝術(shù)品花了多少萬(wàn)元（）A．42B．50C．84D．100解析：設(shè)老王買進(jìn)該藝術(shù)品時(shí)花了x元，根據(jù)題干中等量關(guān)系可以列出方程：x（1＋50%）×0.8×（1－5%）=x＋7，解方程求得x=50，即該藝術(shù)品的成本為50萬(wàn)元。所以正確答案為B項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）某水果店新進(jìn)一批時(shí)令水果，在運(yùn)輸過(guò)程中腐爛了1/4，缺貨時(shí)又損失了1/5，剩下的水果當(dāng)天全部售出，計(jì)算后發(fā)現(xiàn)還獲利10%，則這批水果的售價(jià)是進(jìn)價(jià)的（）倍。A.1.6B.1.8C.2D.2.2解析：題目中只已知利潤(rùn)率為10%，但售價(jià)、利潤(rùn)、水果數(shù)量全都未知，考慮使用特值法。設(shè)水果的總數(shù)為20，每個(gè)水果的進(jìn)價(jià)是1元，則所有水果的成本為20元。根據(jù)題目可得剩下的水果數(shù)量為：20-20×1/4-20×1/5=11，則剩下的水果售完后的總收入為：20×（1+10%）=22元，所以剩下的水果每個(gè)的售價(jià)為22/11=2元。所以這批水果的售價(jià)是進(jìn)價(jià)的2倍。正確答案為C項(xiàng)。二、分段計(jì)費(fèi)型1.基礎(chǔ)知識(shí)如果利潤(rùn)問(wèn)題中出現(xiàn)前后單價(jià)、收費(fèi)方式、計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)等不一致的情況，即需要分段計(jì)算。2.分段計(jì)費(fèi)型常用的解題技巧分段計(jì)費(fèi)型常用的解題技巧有方程法和特值法，但最關(guān)鍵的是要理解題目中的分段計(jì)費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)。3.真題舉例【例1】（2016年真題）某地居民用水價(jià)格分二級(jí)階梯，戶年用水量在0~180（含）噸的水價(jià)5元/噸；180噸以上的水價(jià)7元/噸。戶內(nèi)人口在5人以上的，每多1人，階梯水量標(biāo)準(zhǔn)增加30噸。老張家5人，老李家6人，去年用水量都是210噸。問(wèn)老李家的人均水費(fèi)比老張家少約多少元？（ ）A．12B．35C．47D．60解析：由題目“戶年用水量在0~180（含）噸的水價(jià)5元/噸；180噸以上的水價(jià)7元/噸”可知，水費(fèi)在180噸之上和之下的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不一樣，所以是分段計(jì)費(fèi)型。由題目條件可得：老張家5口人，基用水量為180噸，超出30噸，共計(jì)需要水費(fèi)：180×5+（210-180）×7=1110元，人均222元；老李家6口人，基礎(chǔ)用水量210噸，共計(jì)需要水費(fèi)210×5=1050元，人均175元；人均水費(fèi)相差222-175=47元。所以正確答案為C項(xiàng)?！纠?】（2013年真題）某商場(chǎng)開展購(gòu)物優(yōu)惠活動(dòng)：一次購(gòu)買300元及以下的商品九折優(yōu)惠；一次購(gòu)買超過(guò)300元的商品，其中300元九折優(yōu)惠，超過(guò)300元的部分八折優(yōu)惠。小王購(gòu)物第一次付款144元，第二次又付款310元。如果他一次性購(gòu)買并付款，可以節(jié)省多少元？A.16B.22.4C.30.6D.48解析：由題目“一次購(gòu)買300元及以下的商品九折優(yōu)惠；一次購(gòu)買超過(guò)300元的商品，其中300元九折優(yōu)惠，超過(guò)300元的部分八折優(yōu)惠?！笨芍欠侄斡?jì)費(fèi)型。根據(jù)題目首先要清楚分段計(jì)費(fèi)的規(guī)則，如下：商品價(jià)格計(jì)費(fèi)規(guī)則實(shí)際付款小于或等于300元打九折商品價(jià)格×0.9大于300元300元打九折，超過(guò)300元的部分打八折300×0.9+（商品價(jià)格-300）×0.8根據(jù)分段計(jì)算規(guī)則，可以得到小王分兩次付款的商品的價(jià)格如下：實(shí)際付款商品價(jià)格144元144/0.9=160元310元300+(310-300×0.9)/0.8=350元所以分兩次購(gòu)買的商品的價(jià)格總共為160+350=510元。所以這些商品如果一次性付款的話，實(shí)際付款為300×0.9+（510-300）0.8=438元，所以比分兩次付款省了144+310-438=16元。所以正確答案為A 項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）商店進(jìn)了100件同樣的衣服，售價(jià)定為進(jìn)價(jià)的150%，賣了一段時(shí)間后價(jià)格下降20%繼續(xù)銷售，換季時(shí)剩下的衣服按照售價(jià)的一半處理，最后這批衣服盈利超過(guò)25%。如果處理的衣服不少于20件，問(wèn)至少有多少件衣服是按照原售價(jià)賣出的？（）A.7B.14C.34D.47解析：由題目可知售價(jià)前后不一樣，所以是分段計(jì)費(fèi)型。但題目中除了衣服總數(shù)量100、處理的衣服20和利潤(rùn)率25%，進(jìn)價(jià)、售價(jià)、按原售價(jià)賣出的衣服都未知，所以考慮使用特值法。設(shè)衣服的進(jìn)價(jià)是100，原價(jià)售出的衣服有x件。根據(jù)題目條件可得到其分段計(jì)費(fèi)的規(guī)則如下：進(jìn)價(jià)及衣服數(shù)量售價(jià)及售出衣服數(shù)量降價(jià)即售出衣服數(shù)量換季價(jià)及售出衣服數(shù)量10015012075100件X件100-20-x件20件根據(jù)以上分析可以列出方程為：150x+120×（80-x）+75×20≧100×100（1+25%），解得x≧46.5，所以x只能取47。正確答案為D項(xiàng)。三、統(tǒng)籌費(fèi)用型1.基礎(chǔ)知識(shí)如果題目要求費(fèi)用最少、利潤(rùn)最大等，那么這種問(wèn)題就屬于統(tǒng)籌費(fèi)用型，需要綜合考慮對(duì)比各種情況，選擇出能滿足要求的最優(yōu)化的方案。2.統(tǒng)籌費(fèi)用型解題技巧統(tǒng)籌費(fèi)用型題目常用方程法求解，但最關(guān)鍵的是要能找到最優(yōu)化的方案。3.真題舉例【例1】（2011年真題）某公司要買100本便簽紙和100支膠棒，附近有兩家超市。A超市的便簽紙0.8元一本，膠棒2元一支且買2送1.B超市的便簽紙1元一本且買3送1,膠棒1.5元一支，如果公司采購(gòu)員要在這兩家超市買這些物品，則他至少要花多少元錢？A.183.5B.208.5C.225D.230解析：題目要求至少花多少錢，即費(fèi)用最少是多少，所以屬于統(tǒng)籌費(fèi)用型。根據(jù)題目條件，A超市貨物單價(jià)：便簽：0.8元/本；膠棒：3個(gè)4元，每個(gè)1.3元；B超市貨物單價(jià)便簽：4個(gè)3元，每個(gè)0.75元；膠棒：1.5元/個(gè)；根據(jù)單價(jià)，100本便簽在B超市買，4個(gè)便簽1組買，可分為25組，總共花的錢數(shù)為：25×3=75元;100個(gè)膠棒在A超市買，3個(gè)膠棒1組買，可分為33組余1個(gè)膠棒，總共花的錢數(shù)為：33×4+1.5=133.5元;（剩余的一個(gè)膠棒在B超市買）。所以總共花了：75+133.5=208.5元。所以正確答案為B項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）一廠家生產(chǎn)銷售某新型節(jié)能產(chǎn)品。產(chǎn)品生產(chǎn)成本是168元，銷售定價(jià)為238元。一位買家向該廠家預(yù)訂了120件產(chǎn)品，并提出產(chǎn)品銷售價(jià)每降低2元，就多訂購(gòu)8件。則該廠家在這筆交易中能獲得的最大利潤(rùn)是（）元。A.17920 B.13920C.10000D.8400解析：題目要求利潤(rùn)最大，所以屬于統(tǒng)籌費(fèi)用型。設(shè)廠家降價(jià)x次，獲得利潤(rùn)y元，故y=（238-168-2x）×(120+8x），化簡(jiǎn)可得y=-16+320x+8400=-16+10000，當(dāng)x=10時(shí)，取得最大值10000元。所以正確答案為C項(xiàng)。第三節(jié)幾何問(wèn)題幾何問(wèn)題在行測(cè)考試中考查的頻率很高，幾乎每年都會(huì)出現(xiàn)至少1道題目。幾何問(wèn)題與常見的數(shù)學(xué)問(wèn)題還是有區(qū)別的。這類題對(duì)考生的空間想象和創(chuàng)造力有要求，比如立體幾何就需要考生有較好的空間想象力，而平面幾何就需要考生能將圖形拆、補(bǔ)割等，即創(chuàng)造力。但和常見的數(shù)學(xué)問(wèn)題一樣，掌握概念、公式和解題技巧對(duì)于解決幾何問(wèn)題同樣是有效的，所以本章涉及的概念、公式以及幾何問(wèn)題獨(dú)特的解題技巧就需要考生格外重視。根據(jù)幾何問(wèn)題考查的圖形特點(diǎn)和知識(shí)點(diǎn)，我們可以將幾何問(wèn)題分為平面幾何型、立體幾何型、幾何性質(zhì)型和幾何計(jì)數(shù)型四類。分類掌握不同題型可以使考生的復(fù)習(xí)和備考更加高效。一、平面幾何型1.基礎(chǔ)知識(shí)圖形圖例周長(zhǎng)公式面積公式三角形正方形長(zhǎng)方形梯形一般不考平行四邊形圓扇形2.解題技巧根據(jù)平面幾何型題目所給圖形的特征，我們將解題技巧分為兩種，如下：如果所給圖形是規(guī)則圖形，那么一般按照規(guī)則圖形對(duì)應(yīng)的計(jì)算公式直接計(jì)算或者根據(jù)規(guī)則圖形的公式列方程計(jì)算。如果所給圖形是不規(guī)則圖形，那么可以通過(guò)分割、補(bǔ)齊、平移等手段將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，然后按規(guī)則圖形的解題方法求解。3.真題舉例【例1】（補(bǔ)充例題）在正方形草坪的正中有一個(gè)長(zhǎng)方形池塘，池塘的周長(zhǎng)是草坪的一半，面積是除池塘之外草坪面積的1/3，則池塘的長(zhǎng)和寬之比為()。A.1:1B.2:1C.4:1D.：（2-）解析：題目的條件中給出的圖形是規(guī)則圖形，所以考慮使用公式直接求解或者列方程。但題目沒(méi)有給出具體的值，所以設(shè)池塘的面積為1，則除去池塘之外的草坪面積為3，則正方形草坪的面積為4，則正方形草坪的邊長(zhǎng)為2。設(shè)池塘的長(zhǎng)為x，寬為y。根據(jù)題意可以列出方程：xy=1和2（x+y）=4，解得x=1，y=1。所以正確答案為A項(xiàng)。【例2】（補(bǔ)充例題）下圖中的甲和乙都是正方形，BE=20厘米，EF=10厘米。那么，陰影部分ABC的面積是多少平方厘米？A.200B.220C.230D.250解析：題目給出的圖形是一個(gè)不規(guī)則的圖形，所以考慮將圖形轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)則圖形來(lái)求解。將整個(gè)圖形補(bǔ)齊，使其成為一個(gè)長(zhǎng)方形，作圖如下。則三角形ABC的面積就等于長(zhǎng)方形BGKF的面積減去三角形AGB、三角形BCF、三角形ACK的面積。即三角形ABC的面積=20×30-1/2×20×20-1/2×30×10-1/2×30×10=200平方厘米。正確答案為A項(xiàng)?！纠?】（補(bǔ)充例題）下列圖形均是由正方形與圓形所構(gòu)成的，圖形中陰影部分的面積最大的是（）。A最大B.B最大C.C最大D.都一樣大解析：題目中所給的圖形的陰影部分是不規(guī)則圖形，所以考慮將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。對(duì)于A圖可以分割為兩部分，即所有陰影部分和空白部分的圓形，而這兩部分的面積和等于一個(gè)正方形的面積，所以陰影部分的面積=正方形的面積-空白部分圓形的面積==4-π。同理可得B圖陰影部分的面積=4-π；C圖陰影部分的面積=π-2。所以正確答案為C項(xiàng)?！纠?】（2010年真題）如下圖，長(zhǎng)為1米的細(xì)繩上系有小球，從A處放手后，小球第一次擺到最低點(diǎn)B處共移動(dòng)了多少米？A.1+1/3πB.1/2+1/2πC.2/3πD.1+2/3π解析：根據(jù)題目可得到小球的運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖：即A點(diǎn)至C點(diǎn)，因?yàn)槔K子對(duì)小球沒(méi)有拉力，所以小球的運(yùn)動(dòng)是垂直下落的；C點(diǎn)開始，繩子被拉直，所以繩子對(duì)小球有拉力，所以C點(diǎn)至B點(diǎn)小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是扇形的一段弧長(zhǎng)。要計(jì)算小球一共移動(dòng)了多少米，分別計(jì)算出AC的長(zhǎng)度和CB的弧長(zhǎng)即可。AC在三角形ACO中，AO=BO，角AOC=60度，所以三角ACO是等邊三角形，所以AC=A0=CO=1；對(duì)于C點(diǎn)到B點(diǎn)的長(zhǎng)度按