數(shù)量關系基礎入門詳細講解

數(shù)量關系基礎入門詳細講解TOC\o"1-3"\h\u8231第一章數(shù)量關系概述 第一章數(shù)量關系概述第一節(jié)數(shù)量關系簡介一、考試大綱和真題舉例《公務員考試錄用公共科目考試大綱》中對數(shù)量關系的定義是：數(shù)量關系主要測查報考者理解、把握事物間量化關系和解決數(shù)量關系問題的能力，主要涉及數(shù)據(jù)關系的分析、推理、判斷、運算等。常見的題型有：數(shù)字推理、數(shù)學運算等。真題1：（2010年數(shù)字推理題）0,0,6,24,60,120()A.180

B.196

C.210

D.216真題2：（2016年數(shù)學運算題）某高校藝術學院分音樂系和美術系兩個系別，已知學院男生人數(shù)占人數(shù)的30％，且音樂系男女生人數(shù)之比為1：3，美術系男女生人數(shù)之比為2：3，問音樂系和美術系的總?cè)藬?shù)之比為多少？A．5：2B．5：1C．3：1D．2：1二、數(shù)量關系簡介根據(jù)大綱和真題，我們知道，數(shù)量關系有兩種類型的題目，一種是像真題1這種的數(shù)字推理題，還有一種是像真題2這種的數(shù)學運算題。這兩種題目需要根據(jù)題目中給出的算式或數(shù)量間關系的文字描述，利用數(shù)學知識準確迅速地計算、推測出結(jié)果。很多考生，尤其數(shù)學基礎薄弱的考生感覺數(shù)量關系非常難，其實如果認真分析和研究真題就會發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系的難度并不是很高，具體原因有：第一，數(shù)量關系考到的數(shù)學知識大多集中在中小學和高中的基本數(shù)學知識上，比如奇偶數(shù)、公約數(shù)公倍數(shù)、數(shù)列等；第二，數(shù)量關系題目的解題方法并非無法掌握，其實數(shù)量關系有常用的幾種解題方法，比如列方程、代入排除等，這些解題方法只要掌握好，對于解題來說非常有幫助且效果很好；第三，數(shù)量關系每年的題目雖然不同，但是基本考查的都是一些常見的題型，掌握這些常見題型并多加練習能使做題正確率得到提高。所以建議考生認真復習數(shù)量關系，此模塊是考生拉開分差的關鍵。第二節(jié)數(shù)量關系考情一、題量年份數(shù)學運算部分數(shù)字推理部分2010年10道5道2011年10道0道2012年10道0道2013年10道0道2014年10道0道2015年10道0道2016年10道0道數(shù)量關系中數(shù)學運算題目每年都穩(wěn)定在10道，但數(shù)字推理題目從2010年開始再沒有考查過，所以建議考生一定要復習數(shù)學運算部分，并且本教材也只講解數(shù)學運算部分。對于數(shù)字推理部分考生可以根據(jù)自己的情況去適當復習。二、數(shù)學運算部分的題型分布2011年2012年2013年2014年2015年2016年計算問題3道3道3道2道3道3道利潤問題1道1道2道0道1道2道幾何問題2道3道1道1道0道1道工程問題0道1道0道0道1道0道行程問題1道1道1道2道2道1道容斥問題0道1道0道0道1道0道排列組合0道0道0道1道0道0道概率問題1道0道1道0道1道0道最值問題1道0道1道2道1道0道日期問題0道0道1道2道0道2道計數(shù)問題0道0道0道0道0道1道通過上面的表格，我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)量運算部分的題型分布非常零散，每年都會從各種題型中抽查幾類題型，所以每年考查的10道數(shù)學運算題其實就是各種題型的混合?？忌灰獙⒁陨项}型復習到位，無論考查哪幾種題型都可有的放矢。同時，正是因為題型種類多，很多考生放棄了數(shù)學運算部分的題目，但這恰恰是拉開考生分差的關鍵。第三節(jié)數(shù)學運算內(nèi)容概覽數(shù)學運算通過三章的內(nèi)容進行講解。第二章主要講解有關算術基礎知識的內(nèi)容，這部分內(nèi)容是學習、理解和掌握后續(xù)章節(jié)的基礎。這一章通過奇偶數(shù)、質(zhì)數(shù)合數(shù)、公約數(shù)公倍數(shù)、整除、比例、數(shù)列這六節(jié)的內(nèi)容，將常用、常見、?？嫉乃阈g基礎知識進行詳細梳理和講解。第三章給出了解決數(shù)學運算題目常用的五種方法，即代入排除法、數(shù)字特性法、特值法、方程法、十字交叉法。這一章是學習、掌握、理解各種題型的基礎，而且在實際考試中也經(jīng)常用到。第四章是內(nèi)容最多的一章，對數(shù)學運算中?？嫉氖环N題型進行詳細解釋和梳理，并結(jié)合算術基礎知識和常用解題方法進行深入具體的認識。第四節(jié)數(shù)量運算備考建議數(shù)學運算部分很多考生喜歡通過題海戰(zhàn)術去復習，這樣的復習方法并非放之四海皆準的方法。首先，數(shù)學運算涉及的數(shù)學知識雖然只是中小學的基礎知識，但知識體系相對是比較龐雜的，如果只做題而不系統(tǒng)的總結(jié)這些知識，那么很多考生掌握的可能并不牢固，題目發(fā)生變化可能又不會了；其次，數(shù)學運算的題型是可以歸類的，而且不同題型的特點、特征差別很大，考生如果不加總結(jié)，即使出現(xiàn)相似的題目，依然不會；最后，數(shù)學運算的解題方法雖然并不多，但是不同的解題方法對不同題目的適用程度并不一樣，比如有的題目用方程法可能比代入排除法更高效，考生對此如果沒有認識，解題時可能出現(xiàn)用不合適的方法解題。綜上所述，數(shù)學運算的復習需要時間和耐心，只有掌握好基本的數(shù)學知識、理解常用的解題方法、掌握好?？嫉念}型才能讓數(shù)學運算題目的復習有成果。對于數(shù)學，一定要做練習題，但不一定是題海。做題的目的是為了更好的辨別題目，更好的掌握基礎知識，更熟練的使用解題方法。第二章算術基礎知識本章主要講解奇偶數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)、公約數(shù)和公倍數(shù)等基礎的算術知識，部分知識在考試中會直接考查，比如質(zhì)數(shù)與合數(shù)；部分知識是掌握各種解題技巧和各種題型的基礎，比如整除的知識；還有些知識是快速解題（即所謂的秒殺）的重要突破口，比如奇偶數(shù)的知識。第一節(jié)奇偶數(shù)一、概念如果一個整數(shù)除以2，余數(shù)為0，那么這個整數(shù)就是偶數(shù)，比如2、4、6都是偶數(shù)；如果一個整數(shù)除以2，余數(shù)不為0，那么這個整數(shù)就是奇數(shù)，比如1、3、5都是奇數(shù)。注意：奇數(shù)和偶數(shù)必須是整數(shù)。特別注意：因為0除2的余數(shù)為0，所以0是偶數(shù)。二、奇偶律奇數(shù)和偶數(shù)相加、相減、相乘時，存在一定的規(guī)律，具體如下表。規(guī)律示例奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)±偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)±偶數(shù)奇數(shù)規(guī)律總結(jié)：兩個數(shù)相加減時，如果這兩個數(shù)都是偶數(shù)或者都是奇數(shù)，那么結(jié)果一定是偶數(shù)；如果這兩個數(shù)一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)，那么結(jié)果一定是奇數(shù)。1（奇數(shù)）+1（奇數(shù)）=2（偶數(shù)）；1（奇數(shù)）-1（奇數(shù)）=0（偶數(shù)）；2（偶數(shù)）+6（偶數(shù)）=8（偶數(shù)）；1（奇數(shù)）+2（偶數(shù)）=3（奇偶）；1（奇數(shù)）-0（偶數(shù)）=1（奇數(shù)）；奇偶偶數(shù)奇奇奇數(shù)偶偶偶數(shù)規(guī)律總結(jié)：兩個數(shù)相乘時，如果這兩個數(shù)都是奇數(shù)，那么結(jié)果一定是奇數(shù)；如果兩個數(shù)中有一個數(shù)是偶數(shù)，另一個數(shù)無論是奇數(shù)還是偶數(shù)，結(jié)果一定是偶數(shù)。1（奇數(shù)）2（偶數(shù)）=2（偶數(shù)）；1（奇數(shù)）1（奇數(shù)）=1（奇數(shù)）；2（偶數(shù)）2（偶數(shù)）=4（偶數(shù)）；三、奇偶數(shù)在考試中的應用奇偶數(shù)的知識在考試中經(jīng)常用于題目的快速求解，尤其是奇偶律用于秒殺題目有時非常有效。具體應用情況如下。1.用于方程的快速求解如果題干當中存在方程或者根據(jù)題干能列出方程，但是這些方程求解起來較慢或者較困難，那么就可以考慮使用奇偶數(shù)的知識，結(jié)合選項給出的數(shù)字，進行快速求解。注意：用奇偶數(shù)的知識求解方程，必須保證方程中的未知數(shù)都是整數(shù)！【例1】（2015年真題）每年三月某單位都要組織員工去A、B兩地參加植樹活動。已知去A地每人往返車費20元，人均植樹5棵；去B地每人往返車費30元，人均植樹3棵。設到A地員工有x人，A、B兩地共植樹y棵，y與x之間滿足y=8x-15，若往返車費總和不超過3000元，那么，最多可植樹多少棵?A.498B.400C.489D.500解析：題目最終求的是“最多可植樹多少棵”，而根據(jù)題干條件“A、B兩地共植樹y棵”，可知植樹的棵數(shù)最多為y棵，且y=8x-15，并且未知數(shù)x和y都是整數(shù)。我們發(fā)現(xiàn)要解這個方程是比較困難的，所以考慮結(jié)合選項使用奇偶數(shù)的知識進行快速求解。根據(jù)奇偶性，8x中8是偶數(shù)，所以8x一定是偶數(shù)；8x-15中15為奇數(shù)，所以8x-15為奇數(shù)；所以最多可植的棵數(shù)y是一個奇數(shù)。選項中只有C項是奇數(shù)。所以正確答案為C項。點評：這道題如果用傳統(tǒng)的方法求解速度可能較慢，但如果使用奇偶數(shù)的知識，尤其奇偶律，題目的解答達到了秒殺的效果?！纠?】（補充例題）某國對居民收入實行下列稅率方案：每人每月不超過3000美元的部分（包括3000美元）按照1%稅率征收，超過3000美元不超過6000美元的部分（包括6000美元）按照x%稅率征收，超過6000美元的部分按y%稅率征收(x，y為整數(shù))。假設該國某居民月收入為6500美元，支付了120美元所得稅，則y為多少?A.6B.3C.5D.7解析：根據(jù)題目可列出方程：3000×1%+3000×x%+500×y%=120?；喎匠炭傻茫?x+y=18。x、y都是整數(shù)。但是方程求解很困難，所以考慮使用奇偶數(shù)的知識。因6x中6為偶數(shù)，所以6x一定為偶數(shù)；y=18-6x中18是偶數(shù)，所以18-6x也是偶數(shù)，排除B、C、D，選擇A。點評：很多題目都會存在列出方程，但因為題干條件不夠充分，導致方程求解很困難。這時，如果方程中的未知量x、y、z等是整數(shù)，就可以考慮使用奇偶數(shù)的知識結(jié)合選項進行求解。2.如果題目中的條件基本上是關于某些量的和、差、平均，比如“甲與乙的和是...”、“甲與乙的差是...”、“甲和乙一共是...”、“甲比乙多（少）...”、“甲、乙、丙的平均值是...”。而且題目最后求的是其中某個量或者某幾個量的和、差。對于這種情況的題目，也可以考慮使用奇偶數(shù)的知識進行求解?！纠?】（補充例題）四年級有4個班，不算甲班其余三個班的總?cè)藬?shù)是131人；不算丁班其余三個班的總?cè)藬?shù)是134人；乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人，問這四個班共有多少人？A．177B．178C．264D．265解析：由“不算甲班其余三個班的總?cè)藬?shù)是131人；不算丁班其余三個班的總?cè)藬?shù)是134人；乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人”可知題目條件基本上是關于人數(shù)的和、差，且最后求的是人數(shù)的和。所以考慮使用奇偶數(shù)的知識進行求解。因為“乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人”，設甲、丁兩班的人數(shù)為x，甲、乙、丙、丁四個班總?cè)藬?shù)為2x-1,根據(jù)奇偶律，四個班總?cè)藬?shù)應該是奇數(shù)，排除B、C兩項，又因為“不算甲班其余三個班的總?cè)藬?shù)是131人；不算丁班其余三個班的總?cè)藬?shù)是134人”，而131+134=265，其中重復計算了乙丙兩個班的總?cè)藬?shù)，所以總?cè)藬?shù)≠265，排除D項。正確答案為A項。點評：通過奇偶數(shù)的知識，尤其奇偶律，對于解決題目條件基本是關于和、差的數(shù)學運算題有時候非常奏效?！纠?】（補充例題）小王參加了五門百分制的測驗，每門成績都是整數(shù)。其中語文94分，數(shù)學的得分最高，外語的得分等于語文和物理的平均分，物理的得分等于五門的平均分，化學的得分比外語多2分，并且是五門中第二高的得分。問小王的物理考了多少分（）A．94B．95C．96D．97解析：由“外語的得分等于語文和物理的平均分，物理的得分等于五門的平均分，化學的得分比外語多2分”可知題目條件基本上是關于整數(shù)的平均值、差，且最后求解的是其中某個人的分數(shù)。所以考慮使用奇偶數(shù)的知識進行求解。因為“語文94分，外語的得分等于語文和物理的平均分”,所以物理得分=2×外語得分-語文得分，因為2×外語得分為偶數(shù)，語文得分94為偶數(shù)，所以物理得分為偶數(shù)，排除B項和D項；又因為“數(shù)學的得分最高、化學得分第二高，物理得分等于五門的平均分”，所以物理得分不可能等于語文得分，即94分，所以排除A項。所以正確答案為C項。點評：本題中，如果物理得分等于94分，那么外語得分也為94分，則五門成績的平均分大于94分，而五門成績的平均分就是物理得分，前后矛盾，所以A項是錯誤的。通過本題我們發(fā)現(xiàn)，題目條件基本是關于平均值、差的情況，通過奇偶數(shù)的知識進行求解還是比較快的。第二節(jié)質(zhì)數(shù)、合數(shù)一、概念質(zhì)數(shù)：一個整數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，則為質(zhì)數(shù)。比如5=1x5，所以5只有1和它本身兩個因數(shù)，5是質(zhì)數(shù)。合數(shù)：一個整數(shù)，如果除了1和它本身兩個因數(shù)外，還有其它因數(shù)則為合數(shù)。比如6=1x6=2x3，所以6除了1和它本身兩個因數(shù)外，還有2和3兩個因數(shù)，6是合數(shù)。二、性質(zhì)1.偶數(shù)中只有2是質(zhì)數(shù)，其它全是合數(shù)。2.1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。3.0是自然數(shù)。三、質(zhì)因數(shù)分解任何一個合數(shù)（比如30）都能分解成若干個質(zhì)數(shù)相乘的形式（比如30=2x3x5），這些質(zhì)數(shù)（2、3、5）稱為這個數(shù)（30）的質(zhì)因數(shù)，這個過程稱為質(zhì)因數(shù)分解。質(zhì)因數(shù)分解可以通過短除法來實現(xiàn)，其基本步驟是：從最小的質(zhì)數(shù)2開始，去除要分解的數(shù)，直到不能除盡，然后換更大的質(zhì)數(shù)繼續(xù)進行，直到得到一個質(zhì)數(shù)為止。舉例如下：462=2x3x7x11462=2x3x7x11四、質(zhì)數(shù)與合數(shù)在考試中的應用質(zhì)數(shù)與合數(shù)的相關知識一般會在考試中作為知識點直接考查?！纠?】（補充例題）一個質(zhì)數(shù)的3倍與另一個質(zhì)數(shù)的2倍之和等于20，那么這兩個質(zhì)數(shù)的和是多少？A.9B.8C.7D.6解析：由題可設兩個質(zhì)數(shù)分別為x和y，則可得3x+2y=20。根據(jù)奇偶律可知，和為20，則3x和2y必然是偶數(shù)，3x為偶數(shù)那么x必然是偶數(shù)，2y是偶數(shù)y可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)，又因為x和y都是質(zhì)數(shù)，所以x既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)，則x必然等于2，則y等于7。所以正確答案為A項。點評：質(zhì)數(shù)與合數(shù)作為直接考查的知識點，考生一定要清楚什么是質(zhì)數(shù)什么是合數(shù)。否則遇到題干中提到質(zhì)數(shù)、合數(shù)的情況會難以入手?！纠?】（補充例題）設有三個自然數(shù)，分別是一位數(shù)、兩位數(shù)和三位數(shù)，這三個數(shù)的乘積為2004，則三數(shù)之和為()。A.100B.180C.179D.178解析：因為2004是三個數(shù)相乘的結(jié)果，要求這三個數(shù)的和，首先得知道這三個數(shù)分別為多少。所以應用質(zhì)數(shù)與合數(shù)的知識，對2004進行質(zhì)因數(shù)分解，2004=2×2×3×167。因為乘數(shù)中有一個是兩位數(shù)，所以這個兩位數(shù)2×2×3=12，則一位數(shù)和三位數(shù)分別是1和167，2004=1×12×167。所以三個數(shù)之和為1+12+167=180。故正確答案為B。點評：本題考查了質(zhì)因數(shù)分解，考生一定要清楚，質(zhì)因數(shù)分解要說明的是任何一個合數(shù)（比如本題中的2004）都可以分解成多個質(zhì)數(shù)相乘的形式。第三節(jié)公約數(shù)和公倍數(shù)一、最大公約數(shù)12除以2的余數(shù)等于0，我們就說2就是12的約數(shù)，同時，2也是18的約數(shù)，則2就是12和18公共的約數(shù)，簡稱公約數(shù)。同時，3、6也是12和18的公約數(shù)。在12和18的所有公約數(shù)中，最大的那個公約數(shù)即最大公約數(shù)。求兩個或兩個以上數(shù)的最大公約數(shù)一般使用短除法，下面舉例說明其求解過程。用你能發(fā)現(xiàn)的公約數(shù)去作除數(shù)，進行除法，直到所得的兩個商互質(zhì)。最大公約數(shù)等于所有除數(shù)之積。所以12和18的最大公約數(shù)為：2x3=6?；ベ|(zhì)：1是任何整數(shù)的約數(shù)，則1是任意兩個整數(shù)的公約數(shù)。當兩個數(shù)沒有比1大的公約數(shù)時，就稱這兩個數(shù)互質(zhì)，比如3和8兩個數(shù)就是互質(zhì)的。二、最小公倍數(shù)6是2的倍數(shù)，6也是3的倍數(shù)，則6是2和3的一個公共倍數(shù)，簡稱公倍數(shù)。同時，12、18、24也是2和3的公倍數(shù)，即2和3有無限多個公倍數(shù)，其中最小的那個公共倍數(shù)即最小公倍數(shù)。求兩個或者兩個以上數(shù)的最小公倍數(shù)一般也使用短除法，下面舉例說明其求解過程。用你能發(fā)現(xiàn)的公約數(shù)去作除數(shù)，進行除法，直到所得的兩個商互質(zhì)。最小公倍數(shù)等于所有除數(shù)及最后的商相乘之積。所以56和70的最小公倍數(shù)為：2x7x4x5=280。三、公約數(shù)與公倍數(shù)在考試中的應用公約數(shù)與公倍數(shù)的相關知識一般會作為知識點在考試中直接考查?！纠?】（2011年真題）有甲、乙、丙三輛公交車于上午8:00同時從公交總站出發(fā)，三輛車再次回到公交總站所用的時間分別為40分鐘、25分鐘和50分鐘,假設這三輛公交車中途不休息，請問它們下次同時到達公交總站將會幾點？A.11點整B.11點20分C.11點40分D.12點整解析：甲、乙、丙都是上午8:00同時出發(fā)，若下次同時到達公交站，則他們各自用的總時間是一樣的，所以只需要求出40、25、50的最小公倍數(shù)即可。求解如下：最小公倍數(shù)是5x5x2x4x1x1=200。所以在200分鐘時甲、乙、丙三車同時回到公交車站，即11點20分。所以正確答案為B項。點評：公約數(shù)與公倍數(shù)作為直接考查的知識點，考生首先一定要清楚公約數(shù)、公倍數(shù)、最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的概念，以及求最大約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法。其次，考生要能辨別清楚題目是否在考查公約數(shù)與公倍數(shù)，要想能清楚的辨別，建議考生多做一些考查公約數(shù)與公倍數(shù)的題目，積累一定的辨別經(jīng)驗。【例2】（補充例題）有兩種中藥分別重25千克和15千克，將這兩種中藥分別平均分成若干份，并且兩種藥每份的重量也相等，那么請問至少分成多少份？A.3B.5C.8D.19解析：根據(jù)題目，每一份的重量應該既是25的約數(shù)，也是15的約數(shù)。要想分成的份數(shù)盡可能地少，每一份的重量應盡可能地大。即每一份的重量應是25和15的最大公約數(shù)，是5。總份數(shù)是（25+15）÷5=8。所以正確答案為C項。點評：本題考查了最大公約數(shù)，關鍵是要能辨別出題目考查了這個知識點，所以此類題目要多做練習，積累題目的辨別經(jīng)驗。第四節(jié)整除一、概念一個整數(shù)（比如20）除以另一個非零整數(shù)（比如5），商為整數(shù)（比如4），且余數(shù)為零，我們就說一個整數(shù)（比如20）能被另一個整數(shù)（比如5）整除。二、整除的重要結(jié)論1.如果，且如果c（比如3）與d互質(zhì)（比如4），那么就可得到a能被c（比如3）整除，b能被d（比如4）整除或者可以說a是c（比如3）的倍數(shù)，b是d（比如4）的倍數(shù)。2.如果，且如果c（比如3）與d互質(zhì)（比如4），那么就可得到a+b能被c+d（比如3+4）整除或者可以說a+b是c+d（3+4）的倍數(shù)。3.如果，且如果c（比如4）與d互質(zhì)（比如3），那么就可得到a-b能被c-d（比如4-3）整除或者可以說a-b是c-d（4-3）的倍數(shù)。4.如果數(shù)a能被b整除，數(shù)b能被c整除，則數(shù)a能被c整除。（傳遞性）【示例】42能被14整除，14能被7整除，42能被7整除。5.如果數(shù)a能被c整除，數(shù)b能被c整除，則a+b、a-b均能被c整除。（可加減性）【示例】9能被3整除，18能被3整除，9+18=27也能被3整除。三、整除的判定如果在具體計算之前，你預知正確答案可以被某個整除，那你只需要通過判斷哪個選項可以被這個數(shù)整除即可。根據(jù)整除判定的規(guī)律，可以將整除判定分為以下幾種情況：1.看尾數(shù)判定的情況能被2整除的判定依據(jù)末一位的數(shù)能被2整除能被5整除的判斷依據(jù)末一位的數(shù)能被5整除能被4整除的判定依據(jù)末兩位的數(shù)能被4整除能被25整除的判定依據(jù)末兩位的數(shù)能被25整除能被8整除的判斷依據(jù)末三位的數(shù)能被8整除能被125整除的判斷依據(jù)末三位的數(shù)能被125整除能被整除的判定依據(jù)末n位的數(shù)能被整除能被整除的判定依據(jù)末n位的數(shù)能被整除2.看全部判定的情況能被3整除的判定依據(jù)所有數(shù)位上的數(shù)加和的結(jié)果能被3整除能被9整除的判斷依據(jù)所有數(shù)位上的數(shù)加和的結(jié)果能被9整除在判斷較大的數(shù)字能否被3或9整除時，我們可以采用“棄3、棄9“法來簡化運算。所謂“棄3、棄9“是指任意數(shù)位的數(shù)字加和的結(jié)果如果為3或9，就可以先舍棄不要，看最后是否有任意數(shù)位的數(shù)字加和的結(jié)果，不是3或9，不能被3或9整除，是3或9則能被整除?！臼纠?19368204549276能被9整除嗎？解析：如果按判定依據(jù)將所有數(shù)位上的數(shù)字相加運算量較大，則可以用“棄3、棄9“法。最終得到不能被9整除。3.看拆分判斷的情況能被合數(shù)整除的判定依據(jù)將合數(shù)拆分為兩個互質(zhì)的數(shù)。則同時能被互質(zhì)的兩個數(shù)整除的數(shù)就能被合數(shù)整除能被6整除的判定依據(jù)同時能被2和3整除的數(shù)能被12整除的判定依據(jù)同時能被3和4整除的數(shù)能被35整除的判定依據(jù)同時能被5和7整除的數(shù)4.看差值判定的情況被7（11、13）整除的判定依據(jù)將一個數(shù)從右往左數(shù)，將奇數(shù)位上的數(shù)與偶數(shù)位上的數(shù)分別相加，然后將兩個數(shù)的和相減，差值能被7、11、13整除（包括差值為0）四、整除在考試中的應用整除在考試中應用的比較廣泛，當題目中出現(xiàn)倍數(shù)關系、百分數(shù)關系、比列關系、分數(shù)關系、平均數(shù)關系、這五種關系時，可考慮使用整除這一節(jié)的知識。題目中常見的關鍵詞有“倍”、“商”、“整除”、“平均”、“每”、“比”、“比例”、“百分數(shù)”、“分數(shù)”等?！纠?】（2014年真題）某單位組織參加理論學習的黨員和入黨積極分子進行分組討論，如果每組分配7名黨員和3名入黨積極分子，剛好剩下4名黨員未安排;如果每組分配5名黨員和2名入黨積極分子，則還剩下2名黨員未安排，問參加理論學習的黨員比入黨積極分子多多少人?A.16B.20C.24D.28解析：題目中出現(xiàn)了分組，即平均的關系。所以考慮使用整除的知識求解。由“如果每組分配5名黨員和2名入黨積極分子，則還剩下2名黨員未安排”，可以設分成了x組，則黨員的人數(shù)為（5x+2）名，入黨積極分子為2x，因此參加理論學習的黨員比入黨積極分子多（3x+2）名，即減去2是3的倍數(shù)，四個選項只有B項減去2后是3的倍數(shù)。所以正確答案為B項。點評：這道題目是比較典型的分組題，在這類分組的題目中因為每組人數(shù)和總?cè)藬?shù)都必須是整數(shù)，所以求人數(shù)時可以優(yōu)先考慮使用整除的知識進行排除。【例2】（2016年真題）2014年父親、母親的年齡之和是年齡之差的23倍，年齡之差是兒子年齡的1/5，5年后母親和兒子的年齡都是平方數(shù)。問2014年父親的年齡是多少？（年齡都按整數(shù)計算）A．36歲B．40歲C．44歲D．48歲解析：題目中出現(xiàn)倍數(shù)關系，且要求年齡是整數(shù)，考慮使用整除的知識求解。由“2014年父母年齡之差是兒子年齡的1/5,”可得兒子年齡是5的倍數(shù)，而兒子5年后年齡也必然是5的倍數(shù)，而5的倍數(shù)且為平方數(shù)的只能為25，則可得到現(xiàn)在兒子的年齡為20歲，年齡差即為20×1/5=4歲，年齡和為4×23=92歲，則父親年齡+母親年齡=92，|父親年齡-母親年齡|=4，假設父親年齡比母親年齡大，則可得父親年齡-母親年齡=4，聯(lián)立求解可得父親年齡=48，母親年齡=44，此時母親年齡五年后為49歲，是平方數(shù)，滿足條件。故父親年齡為48歲。故正確答案為D。點評：這道題目中典型的體現(xiàn)了倍數(shù)關系存在時，用整除的知識求解非常方便快捷?！纠?】（補充例題）兩個派出所某月內(nèi)共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件。問乙派出所在這個月中共受理多少起非刑事案件（）A．48B．60C．72D．96解析：題目中出現(xiàn)了百分數(shù)關系，考慮使用整除的知識進行求解。由“甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件”可知，甲所受理的案件數(shù)應為100的倍數(shù)（根據(jù)整除結(jié)論（1）得），而總數(shù)為160，則甲所受理的案件數(shù)為100起，乙所為60起。乙所受理的非刑事案件數(shù)為60×80%=48（起）。正確答案為A項。點評：這道題目典型的體現(xiàn)了使用整除的結(jié)論對題目進行求解，幾乎達到了秒殺的效果。第五節(jié)比例一、概念比例即數(shù)量之間的對比關系，就是用份數(shù)之比來代替兩個相關聯(lián)的實際量之比，以反映這兩個關聯(lián)量之間的關系。比如某校有男生333人，女生555人，則該校的男女比例為3:5，這個比例就是用3份和5份分別代替了男生人數(shù)和女生人數(shù)，即3份代表男生的人數(shù)，5份代表女生的人數(shù)，反映了男生和女生人數(shù)間的關系。二、比例計算的基礎知識在比例計算中涉及比例量、差值量、總量和實際量。比例量是指兩個有關聯(lián)的量之間的比例，差值量是指兩個比例之間做差的結(jié)果，總量是指兩個比例求和的結(jié)果，實際量是指比例量、差值量、總量實際代表的數(shù)值。具體通過下面的例題來理解?！臼纠考椎乃俣群鸵业乃俣戎葹?:3，甲的速度比乙的速度快4m/s，則甲的速度為多少？解析：首先列出甲和乙速度的比例量、差值量、總量和實際量如下：比例量差值量總量5:35-3=25+3=8實際量10m/s：6m/s4m/s16m/s因為差值量為2，即2份，這2份代表的實際值為4m/s，則1份代表2m/s。那么甲的比例量為5，即5份，則甲為10m/s；乙為3，即3份，則乙為6m/s；總量同理可得實際值為16m/s。三、比例的統(tǒng)一1.含義比例的統(tǒng)一是指將份數(shù)不一樣的比例統(tǒng)一成份數(shù)一樣的比例。比如已知甲：乙為2:3，乙：丙為5:6，則甲：乙：丙是多少？在這個問題中，乙在甲：乙和乙：丙中所代表的份數(shù)不一樣，所以只有將份數(shù)統(tǒng)一才能求得甲：乙：丙是多少？2.核心思想和方法比例統(tǒng)一的核心思想就是比例量每一份所代表的實際量一樣才能作比較。而要將比例統(tǒng)一，核心的方法就是先得找到不變的實際量作為橋梁，一般情況下通過求最小公倍數(shù)得到，然后將其它的比例量相應的做出變化即可。比如已知甲：乙為2:3，乙：丙為5:6，則甲：乙：丙是多少？在這個問題中，首先找到乙為公共量，即乙是不變的量，所以找出乙對應的3和5的最小公倍數(shù)，即15，然后甲和丙相應的擴大5倍和3倍，即可得甲：乙為10:15，乙：丙為15:18，則甲：乙：丙為10:15:18。四、比例在考試中的應用如果題目中出現(xiàn)了比例、分數(shù)、倍數(shù)、百分數(shù)、倍數(shù)等時，如果用整除的知識無法解決，那么就可以考慮用比例的知識。對于行程問題、工程問題、利潤問題等題型有時也會用到比例的知識求解?！纠?】（2014年真題）某單位利用業(yè)余時間舉行了3次義務勞動，總計有112人次參加。在參加義務勞動的人中，只參加1次、參加2次和3次全部參加的人數(shù)之比為5:4:1。問該單位共有多少人參加了義務勞動?A.70B.80C.85D.102解析:由題目“只參加1次、參加2次和3次全部參加的人數(shù)之比為5:4:1”，則參加的總?cè)藬?shù)為10份，即參加的總?cè)藬?shù)是10的倍數(shù)，可以排除C、D兩項，但A項和B項都是10的倍數(shù)，所以考慮使用比例的知識求解。由于參加人數(shù)之比為5:4:1，則對應人次之比為5:8:3，即人次總共是16份，而總的人次是112人次，所以每一份代表112/16=7人次。所以只參加1次，參加2次和3次全部參加的人次分別為35、56、21，對應人數(shù)分別為35、28、7人，故總?cè)藬?shù)為70人。因此，答案選擇A選項。點評：人次和人數(shù)在數(shù)學運算中不能混淆，以此題為例，只參加1次的人數(shù)等于只參加1次的人次，而參加2次的人次是參加2次的人數(shù)的2倍?！纠?】（2014年真題）某有色金屬公司四種主要有色金屬總產(chǎn)量的1/5為鋁，1/3為銅，鎳的產(chǎn)量是銅和鋁產(chǎn)量之和的1/4，而鉛的產(chǎn)量比鋁多600噸，問該公司鎳的產(chǎn)量為多少噸?A.600B.800C.1000D.1200解析：由題目“金屬總產(chǎn)量的1/5為鋁，1/3為銅，鎳的產(chǎn)量是銅和鋁產(chǎn)量之和的1/4”考慮使用比例的知識求解?！敖饘倏偖a(chǎn)量的1/5為鋁，1/3為銅”，即鋁的產(chǎn)量與金屬總產(chǎn)量的比例為1:5，銅的產(chǎn)量與金屬總產(chǎn)量的比例為1:3。金屬總產(chǎn)量是兩個比例共同的量，但在兩個比例中的值不一樣，所以進行統(tǒng)一，即鋁的產(chǎn)量：金屬總產(chǎn)量×，銅的產(chǎn)量：金屬總產(chǎn)量×。所以金屬總產(chǎn)量為15份，其中鋁占了3份，銅占了5份。由“鎳的產(chǎn)量是銅和鋁產(chǎn)量之和的1/4”可得鎳的產(chǎn)量為2份，則鉛的產(chǎn)量為5份。最后，鉛比鋁多2份，且“鉛的產(chǎn)量比鋁多600噸”，則2份代表600噸，而鎳占了2份，所以鎳的產(chǎn)量為600噸。所以正確答案為A項。點評：本題的解析雖然較長，但是理解起來相對是比較容易的，最重要的是通過比例的知識使題目的求解更加快速、高效。第六節(jié)等差和等比數(shù)列一、概念數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差都相等，這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列。這個相等的差叫這個等差數(shù)列的公差。比如：2,4,6,8,10就是一個公差為3的等差數(shù)列。等差數(shù)列第一項叫作首項，第n項用表示，前n項的和用表示。數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的比都相等，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個相等的比叫這個等比數(shù)列的公比。比如：2,4,8,16,32...就是一個公比為2的等比數(shù)列。等比數(shù)列第一項叫作首項，第n項用表示，前n項的和用表示。（注意：等比數(shù)列的公比不能等于0，首項也不能等于0）。二、公式1.等比數(shù)列的基本公式分類公式示例通項等比數(shù)列首項為3，公比為4，則=48求和等比數(shù)列首項為2，公比為3，則=802.等差數(shù)列的基本公式分類公式示例通項等差數(shù)列首項為2，公差為3，則=2+(5-1)x3=14公差等差數(shù)列第5項為24，第3項為14，則公差為（24-14）/(5-3)=5項數(shù)等差數(shù)列首項為15，末項為3，公差為4，項數(shù)為[（15-3）/4]+1=4平均數(shù)等差數(shù)列2，4，6，8，10，12，14數(shù)列各項的平均數(shù)=（2+14）÷2=8該數(shù)列項數(shù)為奇數(shù)，平均數(shù)=中項=8對稱等差數(shù)列2,4,6,8,10...=12等差數(shù)列的四要素：首項、末項、項數(shù)、公差，知道其中3個，就能確定第4個。關鍵是要能選用合適的公式，快速計算。3.等差數(shù)列求和公式分類公式示例一般求和等差數(shù)列首項為1，公差為3，則=6x1+[6x(6-1)/2]x3=51中項求和等差數(shù)列首項為2，第3項為6，則=6x5=30平均數(shù)求和等差數(shù)列首項為2，第6項為24，則=[（2+24）/2]x6=78等差數(shù)列求和要根據(jù)已知條件選擇適當?shù)墓娇焖儆嬎?。當?shù)列項數(shù)為奇數(shù)時，優(yōu)先考慮中項求和公式；已知首項和末項，優(yōu)先考慮平均數(shù)求和公式4.常見數(shù)列求和公式分類數(shù)列各項求和公式奇數(shù)列1，3,5,7，...，2n-1...偶數(shù)列2,4,6,8...2n...平方數(shù)列,,立方數(shù)列,,三、等差數(shù)列和等比數(shù)列在考試中的應用等差數(shù)列在考試中一般是作為一個知識點直接進行考查。等比數(shù)列在數(shù)學運算中的考查的比較少見?！纠?】(2016年真題)某商店10月1日開業(yè)后，每天的營業(yè)額均以100元的速度上漲，已知該月15號這一天的營業(yè)額為5000元，問該商店10月份的總營業(yè)額為多少元？A．163100B．158100C．155000D．150000解析：由“每天營業(yè)額以100元的速度上漲可知”，10月份營業(yè)額成一個公差為100的等差數(shù)列；由該月15號的營業(yè)額為5000元得知，=5000，=5100。10月共31天，由等差數(shù)列求和公式：，可得總共等于31x5100=158100元。故正確答案為B。點評：本題非常簡單，但是很多考生因為不清楚等差數(shù)列的求和公式，甚至沒有辨別出此題考查的是等差數(shù)列而放棄了這道題。所以建議考生多做一些有關數(shù)列的練習題，達到熟練辨別題目和熟練使用公式的效果?！纠?】（補充例題）某成衣廠對9名縫紉工進行技術評比，9名工人的得分恰好成等差數(shù)列，9人的平均得分是86分，前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少（）A．602B．623C．627D．631解析：根據(jù)等差數(shù)列之和=平均數(shù)x項數(shù)=中項x項數(shù)?？芍谖迕梅譃?6分，第三名得分是前5名的中項，得分為460÷5=92（分），第四名是第三名和第五名的平均數(shù)，得分為（92+86）÷2=89（分），同時，第四名又是前七名的中項，前七名的總分為89×7=623（分）。所以正確答案為B項。點評：只要掌握好數(shù)列的求和公式，本題非常容易求解。第三章常用解題方法本章講解數(shù)學運算在解題中常用的解題方法，比如代入排除法、特值法、方程法等，掌握這些解題方法對于快速、準確得到答案至關重要。數(shù)學運算中的題目在解答時有兩種順序，第一種是根據(jù)題目條件計算出答案，然后與選項對比，這種順序的出發(fā)點是題目條件，主要用的是方程法、公式法等中小學常用的解題方法。第二種是根據(jù)選項給出的結(jié)果代入題目中的條件，判斷是否符合題目中的要求，這種順序的出發(fā)點是所給的選項，主要用的是代入排除法、數(shù)字特性法等。第一節(jié)代入排除法一、適用范圍對于以下幾種情況的題目可以考慮使用代入排除法：第一種情況，題目中選項信息充分，即題目有幾個量，選項就有幾個量對應；第二種情況，題目所給出的條件過于復雜或者選項數(shù)據(jù)太大，導致從題目入手沒有思路或者運算很困難；第三種情況，根據(jù)題目列出的方程、式子不易求解。二、具體用法將選項作為一個常量或者作為題目的一個條件，代入到題干的數(shù)量關系中，通過驗算，計算出這個選項是否符合題干的要求，如果符合，即為正確答案，如果不符合，再代入下一個選項去做嘗試，直至找到正確答案。三、真題舉例【例1】（2013年真題）A、B兩桶中共裝有108公斤水。從A桶中取出1/4的水倒入B桶，再從B桶中取出1/4的水倒入A桶，此時兩桶中水的重量剛好相等。問B桶中原來有多少公斤水？（）A.42B.48C.50D．60解析：由題目“A、B兩桶中共裝有108公斤水”,而選項給出了B桶原來有多少公斤水，則A桶原來有多少公斤水也可以知道，所以題目中選項的信息非常充分，可以考慮使用代入排除法。由題意，最后兩桶水中各有54公斤水。代入D項，則B桶原來有60公斤水，A桶原來有48公斤水，按照題目的進行操作，發(fā)現(xiàn)最后A和B兩個桶里的水相等，都是54公式，所以符合題意。正確答案為D項。點評：選項的代入順序考生也可以適當注意，給出兩點建議（僅供參考）。第一，一般建議從整數(shù)選項代入；第二，個別題目有大小導向，比如題目問“最多（至少）有多少”，則從最大（最?。┑臄?shù)開始代入?！纠?】(補充例題）在一堆桃子旁邊住著5只猴子。深夜，第一只猴子起來偷吃了一個，剩下的正好平均分成5份，它藏起自己的一份，然后去睡覺。過了一會兒，第二只猴子起來也偷吃了一個，剩下的也正好平均分成5份，它也藏起自己的一份，然后去睡覺，第三個、第四、五只猴子也都依次這樣做。問那堆桃子最少有多少個？A.4520B.3842C.3121D.2101解析：本題選項數(shù)據(jù)太大計算復雜，且題目所給條件也復雜，考慮使用代入排除法。根據(jù)第一個條件，吃掉1個剩下的平均分成5份，可知答案應該減1可以被5整除，排除A、B選項；再根據(jù)題目的問法最少有多少個，所以從最小的開始代入，先看D項，2101-1=2100，被5整除后得到的是420，用2100-420=1680；1680-1=1679不能再被5整除，排除D項。所以正確答案為C項。點評：題目最后問最少多少個，所以代入時考慮從最小的選項開始代入，確實節(jié)省了代入排除的時間。【例3】（補充例題）有一支參加閱兵的隊伍正在進行訓練，這支隊伍的人數(shù)是5的倍數(shù)且不少于1000人，如果按每橫行排4人編隊，最后少3人，如果按每橫排3人編隊，最后少2人；如果按每橫排2人編隊，最后少1人。請問，這支隊伍最少有多少人？（）A.1045B.1125C.1235D.1345解析：這道題目給出了總?cè)藬?shù)的情況和總?cè)藬?shù)分不同情況排隊的情況，很多考生可能會考慮列方程，但列方程求解非常復雜，所以考慮使用代入排除法。因為題目最后問最少有多少人，所以從最小的值1045代入。首先，題目要求總?cè)藬?shù)是5的倍數(shù)且不少于100人，1045符合；其次，由“每橫行排4人編隊，最后少3人”可得，總?cè)藬?shù)加3是4的倍數(shù)，1045符合；再者，由“如果按每橫排3人編隊，最后少2人”可得，總?cè)藬?shù)加2是3的倍數(shù)，1045符合；最后由“如果按每橫排2人編隊，最后少1人”可得，總?cè)藬?shù)加1是2的倍數(shù)，1045符合。所以正確答案為A項。第二節(jié)數(shù)字特性法一、適用范圍如果題目的條件符合第一章中“奇偶數(shù)在考試中的應用”和“整除在考試中的應用”的要求，則可以考慮使用數(shù)字特性法進行求解。數(shù)字特性法常用于方程的快速求解和結(jié)合選項對答案進行快速排除，它是代入排除法的一個重要補充。二、具體用法根據(jù)題目的條件和選項，利用奇偶數(shù)和整除的知識對選項進行篩除從而確定正確選項。三、真題舉例【例1】（2012年真題）某公司三名銷售人員2011年的銷售業(yè)績?nèi)缦拢杭椎匿N售額是乙和丙銷售額的1.5倍，甲和乙的銷售額是丙的銷售額的5倍，已知乙的銷售額是56萬元，問甲的銷售額是（）。

A.140萬元

B.144萬元

C.98萬元

D.112萬元解析：題目中出現(xiàn)了倍數(shù)，考慮數(shù)字特性法。由題目“甲的銷售額是乙和丙銷售額的1.5倍”可得：甲=1.5(乙+丙），即甲：（乙+丙）=3:2，由整除的性質(zhì)可知，甲的銷售額是3的倍數(shù)，只有B項符合條件。再由題目“甲和乙的銷售額是丙的銷售額的5倍，已知乙的銷售額是56萬元”可得：甲+56=5丙，由整除的知識可知，甲加上56是5的倍數(shù)，符合條件的只有B項。綜上所述，正確答案為B項?！纠?】（補充例題）在某公司年終晚會上，所有員工分組表演節(jié)目。如果按7男5女搭配分組，則只剩下8名男員工；如果按9男5女搭配分組，只剩下40名女員工。該公司用工總數(shù)為（）人A.446B.488C.508D.576解析：題目中出現(xiàn)了分組，即平均，考慮使用數(shù)字特性法。由“如果按7男5女搭配分組，則只剩下8名男員工”，可以設共有x組，則總?cè)藬?shù)為12x+8,即總?cè)藬?shù)減去8一定是12的倍數(shù)（同時是3和4的倍數(shù)），排除A、C、D項，正確答案為B項。第三節(jié)特值法一、適用范圍如果題目中的條件存在以下情況，可以考慮使用特值法。第一種情況是題目中沒有出現(xiàn)具體的值，題目中的量都是以倍數(shù)、分數(shù)、比例、百分數(shù)的形式給出的。第二種情況是在A=BxC（比如路程=速度x時間）這樣的三量關系中，題目只給出其中一個量的具體值，其它量只是用比例關系表示甚至根本沒有提到；常見的題型有行程問題、利潤問題、工程問題等。二、具體用法在題目中未知量的值無論取多少都不影響結(jié)果的前提下，可以將未知的量設為便于計算的特殊值，比如設為1，從而快速得到答案。建議盡量給題目中不變的未知量設特值，以連接所有題干條件，從而簡化運算。一般常設工作總量、總路程、總價錢為所給數(shù)字的公倍數(shù)，設效率、成本、進價為簡單數(shù)，比如1、10、100。三、真題舉例【例1】（2012年真題）某網(wǎng)店以高于進價10%的定價銷售T恤，在售出2/3后，以定價的8折將余下的T恤全部售出，該網(wǎng)店預計盈利為成本的（）。A.3.2%

B.不賺也不虧

C.1.6%

D.2.7%解析：題目中沒有給出具體的值，題目中的量都是以百分數(shù)和比例關系給出的，所以考慮使用特值法。T恤的進價和總數(shù)不變，設一件T恤進價（即成本）為10，T恤的總數(shù)為3，則所有T恤的成本為30。根據(jù)題目“某網(wǎng)店以高于進價10%的定價銷售T恤”可得一件T恤的定價為11。根據(jù)題目可得所有T恤賣完的收入為2x11+11x0.8x1=30.8，則該網(wǎng)店的盈利為30.8-30=0.8。所以盈利為成本的0.8/30=0.027，即2.7%。所以正確答案為D項?！纠?】（補充例題）甲、乙二人從同一地點同時出發(fā)，繞西湖勻速背向而行，35分鐘后甲、乙二人相遇。已知甲繞西湖一圈需要60分鐘，則乙繞西湖一圈需要（）分鐘。A.25B.70C.80D.84解析：題目中只給出了時間這個量的具體值，但路程和速度這兩個量的值未給出，可以考慮使用特值法。西湖的周長不變，則可以設西湖的周長為已知量的公倍數(shù)，即60和35的公倍數(shù)420，則甲的速度為420/60=7，乙的速度為(420-35x7)/35=5，則乙繞西湖一圈的時間為420/5=84。所以正確答案為D項?！纠?】（補充例題）2010年某種貨物的進口價格是15元/公斤，2011年該貨物的進口量增加了一半，進口金額增加了20%。問2011年該貨物的進口價格是多少元/公斤（）A．10B．12C．18D．24解析：題目中只給出了單價這個量的具體值，但進口量和進口金額這兩個量的值未給出，可以考慮使用特值法。假設2010年進口量為4斤，根據(jù)題目可得2011年進口量為6斤。則2010年的進口金額為60元，2011年的進口金額為60x（1+20%）=72元。所以2011年進口價格是72/6=12元/斤。正確答案為B項。第四節(jié)方程法一、適用范圍如果題目中存在明顯的等量關系（比如甲是乙的2倍）就可以通過等量關系列出方程（比如甲=2乙）來求解。在不考慮解題效率的前提下，其實數(shù)學運算的大部分題型，都可以使用方程法來解答。等量關系一般有以下兩種形式。第一種是在題干中提到一些關鍵詞，比如“A和B相等”、“A是B的3倍”、“A比B多”等，這些都是列方程所需要的等量關系；第二種是在行程問題、工程問題、利潤問題等問題中的公式也可以作為列方程的等量關系，比如行程問題中，“路程=速度x時間”就可以作為該類題目列方程的等量關系。二、具體用法1.首先一定要找到并分析清楚題目中有哪些等量關系以及各個量之間的關系。2.設未知數(shù)，一般建議設中間量或所求量。3.把其它未知量用未知數(shù)表示。4.利用等量關系，列方程求解。三、真題舉例【例1】（2013年真題）某產(chǎn)品售價為67.1元，在采用新技術生產(chǎn)節(jié)約10%成本之后，售價不變，利潤可比原來翻一番。則該產(chǎn)品最初的成本為_____元。A.51.2B.54.9C.61D.62.5解析：由“采用新技術生產(chǎn)節(jié)約10%成本之后，售價不變，利潤可比原來翻一番”可知題目存在等量關系，所以考慮使用方程法。設最初的成本為x元，則原來的利潤為67.1-x；則采用新技術后的成本為（1-10%）x，采用新技術后的利潤為67.1-（1-10%）x。由題目中的等量關系列出方程：2x(67.1-x）=67.1-（1-10%）x。求解方程可得x=61。所以正確答案為C項?！纠?】（補充例題）某單位原有45名職工，從下級單位調(diào)入5名黨員職工后，該單位的黨員人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重上升了6個百分點，如果該單位又有2名職工入黨，那么該單位現(xiàn)在的黨員人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重為多少（）A．40%B．50%C．60%D．70%解析：由“比重上升了6個百分點”可得到等量關系，即調(diào)入5名黨員后的比重=原來比重+6%。所以考慮使用方程法。設原有45名員職工中有x個黨員，則原來黨員占原來總?cè)藬?shù)的比重為x/45，調(diào)入5名黨員后的比重為（x+5）/（5+45）。由等量關系列方程（x+5）/（5+45）=x/45+6%，解得x=18。最后計算新入黨的2名職工的情況，比重為（18+5+2）/50=0.5，即50%。所以正確答案為B項。點評：此題雖然求得是比重，但是題目中不斷出現(xiàn)黨員人數(shù)的關系，所以將最初黨員人數(shù)設為未知數(shù)能將題目中的條件連接起來，從而能列出方程。所以在設未知數(shù)時不一定要設所求量，也可以設中間量?？傊O未知數(shù)要本著方便列方程和方便計算的原則去做，這樣可以加快做題的速度。【例3】（補充例題）一容器內(nèi)有濃度為30%的糖水。若再加入30千克水與6千克糖，則糖水濃度變?yōu)?5%。問原來糖水中含糖多少千克？A.15B.18C.21D.24解析：設容器內(nèi)原來有x千克糖水，則現(xiàn)在有（x+6+30）千克糖水，則現(xiàn)在糖水中有（30%x+6）千克糖水。由公式：溶液x濃度=溶質(zhì)，可列出方程，（x+6+30）×25%=（30%x+6）。解得x=60.所以原來糖水中含糖30%×60=18千克。所以正確答案為B項。點評：本題最后求得是糖多少千克，即求得是溶質(zhì)，但設原來的糖水為未知數(shù)，即溶液為未知數(shù)可以避免出現(xiàn)除法運算，使計算更快。所以設未知數(shù)要本著方便計算和方便列方程的原則。本題的等量關系是利用了常用公式，所以對于常用公式，我們也可以將其作為方程的等量關系。第五節(jié)十字交叉法一、適用范圍如果題目給出的條件中出現(xiàn)了幾個平均量（比如男生的平均分是20，女生的平均分是30，全班的平均分是23），即平均量的混合，則可以考慮使用十字交叉法。平均量實質(zhì)上是指一個分數(shù)，平均量的混合就是分數(shù)的混合。比如速度就是一個平均量，速度實質(zhì)上是分子為路程分母為時間的分數(shù)，兩個速度的和速度就是速度的混合。所以對于濃度混合、利潤率混合、折扣混合、增長率的混合、平均數(shù)混合等常見的題目可以考慮使用十字交叉法。二、具體用法十字交叉法就是利用下圖中的規(guī)律解決平均量混合問題的。1.十字交叉法中大值、中值、小值的要求：十字交叉法中的中值必須是有大值和小值混合而成的，所以中值的大小一定介于大值和小值之間。而且大值、中值、小值的單位必須一致，比如大值是速度，則中值和小值也必須是速度。2.分母1和分母2:真比中的分母1和分母2是指是指大值、中值、小值的單位中的分母。3.真比和簡比的關系：真比和簡比是相等的。4.交叉平均量的求法:在求交叉平均量時一定要用大的減去小的。為了讓大家更具體的理解十字交叉法，下面通過一道例題進行說明。【示例】某單位舉行普法知識競賽，若該單位總的平均分為87分，其中男同志的平均分為83分，女同志的平均分為93分，請問該單位男同志30名，請問女同志有多少名？解析：利用十字交叉法解題如下圖所以可得女同志人數(shù)：男同志人數(shù)=4:6，男同志有30名，則女同志有20名。三、真題舉例【例1】（2016年真題）某高校藝術學院分音樂系和美術系兩個系別，已知學院男生人數(shù)占人數(shù)的30％，且音樂系男女生人數(shù)之比為1：3，美術系男女生人數(shù)之比為2：3，問音樂系和美術系的總?cè)藬?shù)之比為多少？A．5：2B．5：1C．3：1D．2：1解析：由“音樂系男女生人數(shù)之比為1：3”可得音樂系男生與音樂系總?cè)藬?shù)之比為1：4，即音樂系男生占音樂系總?cè)藬?shù)的25%；由“美術系男女生人數(shù)之比為2：3”可得美術系男生與美術系總?cè)藬?shù)之比為2:5，即美術系男生占美術系總?cè)藬?shù)的40%；且題目已知兩個學院男生人數(shù)占總數(shù)的30%，所以是一道平均量混合的題目，可以使用十字交叉法。所以正確答案為D項?！纠?】（補充例題）在環(huán)保知識競賽中，男選手的平均得分為80分，女選手的平均得分為65分，全部選手的平均得分為72分。已知全部選手人數(shù)在35到50之間，則全部選手人數(shù)為（）A.48B.45C.43D.40解析：由“男選手的平均得分為80分，女選手的平均得分為65分，全部選手的平均得分為72分”可知涉及3個平均量混合，所以考慮使用十字交叉法。通過十字交叉法解得男選手與女選手的人數(shù)之比為7:8，因此總?cè)藬?shù)應該是15的倍數(shù)，根據(jù)題意總?cè)藬?shù)在35至50之間，可知總?cè)藬?shù)為45人，所以正確答案為B項。第四章?？碱}型數(shù)學運算中涉及的知識點、公式、規(guī)律等較多、較雜，導致很多考生復習起來效率低下且收獲較少，備考難度大，為了幫助考生更高效的復習，將題目按考查的知識點的不同分類，從而掌握不同題型的知識點，把握第三章各種解題技巧在不同題型中的應用就非常重要,本章就是基于以上考慮而設置，希望能通過對常考題型的梳理，讓考生更高效的掌握雜亂的知識點和更熟練的掌握各種解題技巧。第一節(jié)計算問題計算問題是每年必考的一類題目，比如，2016年公務員行測考試中數(shù)學運算共10道題目，而計算問題就考查了3道。所以計算問題是必須掌握的一類題目，而且這類題目相對是比較簡單的。一、基礎知識計算問題涉及的知識點包括：奇偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、公約數(shù)與公倍數(shù)、整除、比例、數(shù)列、周期以及中小學最基本的加減乘除運算、平均數(shù)、不等式等。所以計算問題的知識點相對比較簡單，而且除了周期，其它知識點在第二章中已經(jīng)做過講解，在此補充一下周期的相關知識。（一）周期簡介有一些現(xiàn)象會按照一定的規(guī)律不斷重復出現(xiàn)。如人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬就是按照一定得規(guī)律不斷重復出現(xiàn)的；每周有7天，從星期一開始到星期日結(jié)束，總是以7天為一個循環(huán)，不斷重復出現(xiàn)的。在數(shù)學中，一些數(shù)和圖形的變化也是周而復始地循環(huán)出現(xiàn)的。我們把這種特殊的規(guī)律性問題稱為周期問題。（二）周期題目的求解思路第一步：確定一個周期內(nèi)的循環(huán)量；第二步：總量÷一個周期內(nèi)的循環(huán)量=周期數(shù)·····余數(shù)；第三步：根據(jù)周期數(shù)、余數(shù)和題目要求確定答案。下面舉例說明周期問題的解題思路，如下：【示例】假設今天是星期一，問再過2012天是星期幾?解析：對于該問題第一步能確定的是一個周期內(nèi)的循環(huán)量是7天，即今天是星期一的基礎上再過七天還是星期一，再過14天仍然是星期一，再過7的倍數(shù)天還是星期一。在第一步的基礎上根據(jù)一個周期內(nèi)的循環(huán)量7天和總量2012天，可知2012÷7=287…3，即再過287個7天，此時仍然是星期一，然后在星期一的基礎上再過3天，就可以得到最終的答案就是星期四。通過這一道簡單的題目可以發(fā)現(xiàn)對于周期問題，首先得知道它一個周期內(nèi)的循環(huán)量，對于有的題目一個周期內(nèi)的循環(huán)量立馬就能看出來(例如星期、生肖等問題)，而有的題目還需要我們?nèi)デ蟪鲆粋€周期內(nèi)的循環(huán)量才行。其次就是知道周期數(shù)和余數(shù)是多少，再在原基礎上往后推遲相應的余數(shù)即可。二、計算問題常用解題技巧計算問題相對比較簡單，有些題目直接計算即可，有些題目可能會用到代入排除法、數(shù)字特性法、方程法、十字交叉法。三、真題舉例【例1】（2015年真題）隨著臺灣自由行的開放，農(nóng)村農(nóng)民生活質(zhì)量的提高，某一農(nóng)村的農(nóng)民自發(fā)組織若干位同村農(nóng)民到臺灣旅行，其旅行費用包括：個人辦理赴臺手續(xù)費，在臺旅行的車費平均每人503元，飛機票平均每人1998元，其他費用平均每人1199元，已知這次旅行的總費用是92000元，總的平均費用是4600元，問：赴臺的總?cè)藬?shù)和個人辦理赴臺手續(xù)費分別是多少？A.20人，900元B.21人，650元C.20人，700元D.22人，850元解析：由題意，總?cè)藬?shù)=總費用÷人均費用=92000÷4600=20人。個人辦理赴臺手續(xù)費=4600-503-1998-1199=900元。因此，本題答案選擇A選項。點評：該題考查了平均數(shù)計算的知識和中小學的減法運算，非常簡單，也是一道典型的計算問題?！纠?】（2011年真題）某單位招待所有若干間房間，現(xiàn)在安排一支考察隊的隊員住宿，若每間住3人，則有2人無房可??；若每間住4人，則有一間房間不空也不滿，則該招待所的房間最多有：A.4間B.5間C.6間D.7間解析：假設房間數(shù)為x，那么4（x-1）+1≤3x+2≤4（x-1）+3，很容易得到3≤x≤5。也就是說x的最大值是5，所以選擇B選項。【例3】(2015年真題）設有編號為1、2、3、…、10的10張背面向上的紙牌，現(xiàn)有10名游戲者，第1名游戲者將所有編號是1的倍數(shù)的紙牌翻成另一面向上的狀態(tài)，接著第2名游戲者將所有編號是2的倍數(shù)的紙牌翻成另一面向上的狀態(tài)，……，第n名（n≤10）游戲者，將所有編號是n的倍數(shù)的紙牌翻成另一面向上的狀態(tài)，如此下去，當?shù)?0名游戲者翻完紙牌后，那些紙牌正面向上的最大編號與最小編號的差是（）A.2B.4C.6D.8解析：約數(shù)倍數(shù)計算類。逐個分析每個數(shù)字（1～10）的約數(shù)個數(shù)，10的約數(shù)有1、2、5、10，因此10共被翻轉(zhuǎn)四次，仍然背面向上；9的約數(shù)有1、3、9，共被翻轉(zhuǎn)三次，正面向上。1的約數(shù)只有1，因此向上。因此正面向上的最大編號和最小編號分別為9、1，差值為8。D項正確?！纠?】（補充例題）書架的某一層上有136本書，且是按照“3本小說、4本教材、5本工具書、7本科技書、3本小說、4本教材……”的順序循環(huán)從左至右排列的。問該層最右邊的一本是什么書（）A．小說B．教材C．工具書D．科技書解析：136本書是按照“3本小說、4本教材、5本工具書、7本科技書”的順次循環(huán)排列的，每個循環(huán)有3+4+5+7=19（本）書。136÷19=7……3，因此最右邊一本書是小說。第二節(jié)利潤問題利潤問題是行測中的常考題型，這類問題難度不大。考生只要掌握好利潤問題相關的概念（比如售價、利潤、利潤率等）和計算公式（比如利潤的計算公式、利潤率的計算公式等），恰當?shù)睦酶鞣N解題技巧，遇到這類問題還是可以快速解出的。利潤問題有三種常見題型：常規(guī)利潤型、分段計費型和統(tǒng)籌費用型，其中常規(guī)利潤型是所有利潤問題的基礎，即常規(guī)利潤型中的概念、計算公式是分段計費型和統(tǒng)籌費用型的基礎，分段計費型和統(tǒng)籌費用型是對利潤問題的細分。一、常規(guī)利潤型1.基礎知識（1）利潤常考公式項目計算公式示例利潤利潤=售價（收入）-進價（成本）一件衣服售價是50元，進價是40元，利潤=50-40=10元利潤率利潤率=利潤/成本（進價）×100%一件衣服的進價是40元，利潤是10元，利潤率=10/40×100%=25%售價（收入）售價（收入）=進價（成本）×（1+利潤率）一件衣服的進價是40元，利潤率是25%，售價=40×（1+25%）=50元進價（成本）進價（成本）=售價（收入）/（1+利潤率）一件衣服的售價是50元，利潤率是25%，進價=50/(1+25%)=40元（2）打折?？脊巾椖坑嬎愎绞纠劭鄞蛘?（現(xiàn)價/原價）×10一只筆現(xiàn)價是4元，原價是5元，折扣=（4/5）×10=8折折扣率折扣率=（1-現(xiàn)價/原價）×100%一只筆現(xiàn)價是4元，原價是5元，折扣率=（1-4/5）×100%=20%現(xiàn)價現(xiàn)價=（原價×折扣）/10一支筆原價是5元，現(xiàn)在打8折，則現(xiàn)價=（5×8）/10=4元原價原價=（現(xiàn)價/折扣）×10一支筆打8折后以4元的價格出售，則原價=（4/8）×10=5元2.常規(guī)利潤型常用解題技巧常規(guī)利潤問題經(jīng)常用到的解題技巧有：方程法和特值法。3.真題舉例【例1】（2016年真題）某種商品原價25元，每半天可銷售20個。現(xiàn)知道每降價1元，銷量即增加5個。某日上午將該商品打八折，下午在上午價格的基礎上再打八折出售，問其全天銷售額為多少元？A．1760B．1940C．2160D．2560解析：由題意可得，商品每降價1元銷量增加5個。上午商品打八折出售，下午商品在上午價格的基礎上再打八折，列表可得：售價銷量（半天）銷售額原計劃2520上午25×0.8=2020+5×5=4520×45=900下午20×0.8=1620+9×5=6516×65=1040所以，商品全天銷售額=900+1040=1940元。故正確答案為B。【例2】（補充例題）老王兩年前投資的一套藝術品市價上漲了50%，為盡快出手，老王將該藝術品按市價的八折出售，扣除成交價5%的交易費用后，發(fā)現(xiàn)與買進時相比賺了7萬元。問老王買進該藝術品花了多少萬元（）A．42B．50C．84D．100解析：設老王買進該藝術品時花了x元，根據(jù)題干中等量關系可以列出方程：x（1＋50%）×0.8×（1－5%）=x＋7，解方程求得x=50，即該藝術品的成本為50萬元。所以正確答案為B項?！纠?】（補充例題）某水果店新進一批時令水果，在運輸過程中腐爛了1/4，缺貨時又損失了1/5，剩下的水果當天全部售出，計算后發(fā)現(xiàn)還獲利10%，則這批水果的售價是進價的（）倍。A.1.6B.1.8C.2D.2.2解析：題目中只已知利潤率為10%，但售價、利潤、水果數(shù)量全都未知，考慮使用特值法。設水果的總數(shù)為20，每個水果的進價是1元，則所有水果的成本為20元。根據(jù)題目可得剩下的水果數(shù)量為：20-20×1/4-20×1/5=11，則剩下的水果售完后的總收入為：20×（1+10%）=22元，所以剩下的水果每個的售價為22/11=2元。所以這批水果的售價是進價的2倍。正確答案為C項。二、分段計費型1.基礎知識如果利潤問題中出現(xiàn)前后單價、收費方式、計費標準等不一致的情況，即需要分段計算。2.分段計費型常用的解題技巧分段計費型常用的解題技巧有方程法和特值法，但最關鍵的是要理解題目中的分段計費的標準。3.真題舉例【例1】（2016年真題）某地居民用水價格分二級階梯，戶年用水量在0~180（含）噸的水價5元/噸；180噸以上的水價7元/噸。戶內(nèi)人口在5人以上的，每多1人，階梯水量標準增加30噸。老張家5人，老李家6人，去年用水量都是210噸。問老李家的人均水費比老張家少約多少元？（ ）A．12B．35C．47D．60解析：由題目“戶年用水量在0~180（含）噸的水價5元/噸；180噸以上的水價7元/噸”可知，水費在180噸之上和之下的收費標準不一樣，所以是分段計費型。由題目條件可得：老張家5口人，基用水量為180噸，超出30噸，共計需要水費：180×5+（210-180）×7=1110元，人均222元；老李家6口人，基礎用水量210噸，共計需要水費210×5=1050元，人均175元；人均水費相差222-175=47元。所以正確答案為C項。【例2】（2013年真題）某商場開展購物優(yōu)惠活動：一次購買300元及以下的商品九折優(yōu)惠；一次購買超過300元的商品，其中300元九折優(yōu)惠，超過300元的部分八折優(yōu)惠。小王購物第一次付款144元，第二次又付款310元。如果他一次性購買并付款，可以節(jié)省多少元？A.16B.22.4C.30.6D.48解析：由題目“一次購買300元及以下的商品九折優(yōu)惠；一次購買超過300元的商品，其中300元九折優(yōu)惠，超過300元的部分八折優(yōu)惠?！笨芍欠侄斡嬞M型。根據(jù)題目首先要清楚分段計費的規(guī)則，如下：商品價格計費規(guī)則實際付款小于或等于300元打九折商品價格×0.9大于300元300元打九折，超過300元的部分打八折300×0.9+（商品價格-300）×0.8根據(jù)分段計算規(guī)則，可以得到小王分兩次付款的商品的價格如下：實際付款商品價格144元144/0.9=160元310元300+(310-300×0.9)/0.8=350元所以分兩次購買的商品的價格總共為160+350=510元。所以這些商品如果一次性付款的話，實際付款為300×0.9+（510-300）0.8=438元，所以比分兩次付款省了144+310-438=16元。所以正確答案為A 項?！纠?】（補充例題）商店進了100件同樣的衣服，售價定為進價的150%，賣了一段時間后價格下降20%繼續(xù)銷售，換季時剩下的衣服按照售價的一半處理，最后這批衣服盈利超過25%。如果處理的衣服不少于20件，問至少有多少件衣服是按照原售價賣出的？（）A.7B.14C.34D.47解析：由題目可知售價前后不一樣，所以是分段計費型。但題目中除了衣服總數(shù)量100、處理的衣服20和利潤率25%，進價、售價、按原售價賣出的衣服都未知，所以考慮使用特值法。設衣服的進價是100，原價售出的衣服有x件。根據(jù)題目條件可得到其分段計費的規(guī)則如下：進價及衣服數(shù)量售價及售出衣服數(shù)量降價即售出衣服數(shù)量換季價及售出衣服數(shù)量10015012075100件X件100-20-x件20件根據(jù)以上分析可以列出方程為：150x+120×（80-x）+75×20≧100×100（1+25%），解得x≧46.5，所以x只能取47。正確答案為D項。三、統(tǒng)籌費用型1.基礎知識如果題目要求費用最少、利潤最大等，那么這種問題就屬于統(tǒng)籌費用型，需要綜合考慮對比各種情況，選擇出能滿足要求的最優(yōu)化的方案。2.統(tǒng)籌費用型解題技巧統(tǒng)籌費用型題目常用方程法求解，但最關鍵的是要能找到最優(yōu)化的方案。3.真題舉例【例1】（2011年真題）某公司要買100本便簽紙和100支膠棒，附近有兩家超市。A超市的便簽紙0.8元一本，膠棒2元一支且買2送1.B超市的便簽紙1元一本且買3送1,膠棒1.5元一支，如果公司采購員要在這兩家超市買這些物品，則他至少要花多少元錢？A.183.5B.208.5C.225D.230解析：題目要求至少花多少錢，即費用最少是多少，所以屬于統(tǒng)籌費用型。根據(jù)題目條件，A超市貨物單價：便簽：0.8元/本；膠棒：3個4元，每個1.3元；B超市貨物單價便簽：4個3元，每個0.75元；膠棒：1.5元/個；根據(jù)單價，100本便簽在B超市買，4個便簽1組買，可分為25組，總共花的錢數(shù)為：25×3=75元;100個膠棒在A超市買，3個膠棒1組買，可分為33組余1個膠棒，總共花的錢數(shù)為：33×4+1.5=133.5元;（剩余的一個膠棒在B超市買）。所以總共花了：75+133.5=208.5元。所以正確答案為B項。【例2】（補充例題）一廠家生產(chǎn)銷售某新型節(jié)能產(chǎn)品。產(chǎn)品生產(chǎn)成本是168元，銷售定價為238元。一位買家向該廠家預訂了120件產(chǎn)品，并提出產(chǎn)品銷售價每降低2元，就多訂購8件。則該廠家在這筆交易中能獲得的最大利潤是（）元。A.17920 B.13920C.10000D.8400解析：題目要求利潤最大，所以屬于統(tǒng)籌費用型。設廠家降價x次，獲得利潤y元，故y=（238-168-2x）×(120+8x），化簡可得y=-16+320x+8400=-16+10000，當x=10時，取得最大值10000元。所以正確答案為C項。第三節(jié)幾何問題幾何問題在行測考試中考查的頻率很高，幾乎每年都會出現(xiàn)至少1道題目。幾何問題與常見的數(shù)學問題還是有區(qū)別的。這類題對考生的空間想象和創(chuàng)造力有要求，比如立體幾何就需要考生有較好的空間想象力，而平面幾何就需要考生能將圖形拆、補割等，即創(chuàng)造力。但和常見的數(shù)學問題一樣，掌握概念、公式和解題技巧對于解決幾何問題同樣是有效的，所以本章涉及的概念、公式以及幾何問題獨特的解題技巧就需要考生格外重視。根據(jù)幾何問題考查的圖形特點和知識點，我們可以將幾何問題分為平面幾何型、立體幾何型、幾何性質(zhì)型和幾何計數(shù)型四類。分類掌握不同題型可以使考生的復習和備考更加高效。一、平面幾何型1.基礎知識圖形圖例周長公式面積公式三角形正方形長方形梯形一般不考平行四邊形圓扇形2.解題技巧根據(jù)平面幾何型題目所給圖形的特征，我們將解題技巧分為兩種，如下：如果所給圖形是規(guī)則圖形，那么一般按照規(guī)則圖形對應的計算公式直接計算或者根據(jù)規(guī)則圖形的公式列方程計算。如果所給圖形是不規(guī)則圖形，那么可以通過分割、補齊、平移等手段將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，然后按規(guī)則圖形的解題方法求解。3.真題舉例【例1】（補充例題）在正方形草坪的正中有一個長方形池塘，池塘的周長是草坪的一半，面積是除池塘之外草坪面積的1/3，則池塘的長和寬之比為()。A.1:1B.2:1C.4:1D.：（2-）解析：題目的條件中給出的圖形是規(guī)則圖形，所以考慮使用公式直接求解或者列方程。但題目沒有給出具體的值，所以設池塘的面積為1，則除去池塘之外的草坪面積為3，則正方形草坪的面積為4，則正方形草坪的邊長為2。設池塘的長為x，寬為y。根據(jù)題意可以列出方程：xy=1和2（x+y）=4，解得x=1，y=1。所以正確答案為A項。【例2】（補充例題）下圖中的甲和乙都是正方形，BE=20厘米，EF=10厘米。那么，陰影部分ABC的面積是多少平方厘米？A.200B.220C.230D.250解析：題目給出的圖形是一個不規(guī)則的圖形，所以考慮將圖形轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)則圖形來求解。將整個圖形補齊，使其成為一個長方形，作圖如下。則三角形ABC的面積就等于長方形BGKF的面積減去三角形AGB、三角形BCF、三角形ACK的面積。即三角形ABC的面積=20×30-1/2×20×20-1/2×30×10-1/2×30×10=200平方厘米。正確答案為A項?！纠?】（補充例題）下列圖形均是由正方形與圓形所構成的，圖形中陰影部分的面積最大的是（）。A最大B.B最大C.C最大D.都一樣大解析：題目中所給的圖形的陰影部分是不規(guī)則圖形，所以考慮將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。對于A圖可以分割為兩部分，即所有陰影部分和空白部分的圓形，而這兩部分的面積和等于一個正方形的面積，所以陰影部分的面積=正方形的面積-空白部分圓形的面積==4-π。同理可得B圖陰影部分的面積=4-π；C圖陰影部分的面積=π-2。所以正確答案為C項?！纠?】（2010年真題）如下圖，長為1米的細繩上系有小球，從A處放手后，小球第一次擺到最低點B處共移動了多少米？A.1+1/3πB.1/2+1/2πC.2/3πD.1+2/3π解析：根據(jù)題目可得到小球的運動軌跡如下圖：即A點至C點，因為繩子對小球沒有拉力，所以小球的運動是垂直下落的；C點開始，繩子被拉直，所以繩子對小球有拉力，所以C點至B點小球的運動軌跡是扇形的一段弧長。要計算小球一共移動了多少米，分別計算出AC的長度和CB的弧長即可。AC在三角形ACO中，AO=BO，角AOC=60度，所以三角ACO是等邊三角形，所以AC=A0=CO=1；對于C點到B點的長度按