高二數(shù)學(xué)考點(diǎn)講解練(人教A版2019選擇性必修第一冊(cè))2.2.4均值不等式及其應(yīng)用(原卷版+解析)

2.2.4均值不等式及其應(yīng)用一、單選題1．若a，b都為正實(shí)數(shù)且，則的最大值是（

）A． B． C． D．2．已知，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．43．函數(shù)y＝3x2＋的最小值是(

)A．3－3 B．3C．6 D．6－34．若關(guān)于x的不等式的解集是，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．25．已知且，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．} C． D．6．已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．7．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或8．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．12二、多選題9．下列說法中，正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則10．設(shè)，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題11．函數(shù)y=1-2x-(x<0)的最小值為_______.12．已知，，，則的最小值為______.13．已知，，則的最小值為___________.14．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為__________．四、解答題15．已知關(guān)于的不等式的解集是．(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)若，，且，求的最小值．16．北京、張家港年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會(huì)，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估．該商品原來每件售價(jià)為元，年銷售萬件．(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高元，銷售量將相應(yīng)減少件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價(jià)到元．公司擬投入萬作為技改費(fèi)用，投入萬元作為宣傳費(fèi)用．試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià)．2.2.4均值不等式及其應(yīng)用一、單選題1．若a，b都為正實(shí)數(shù)且，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由基本不等式，結(jié)合題中條件，直接求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，都為正?shí)數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值.故選：D2．已知，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)給定條件利用均值不等式直接計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為.故選：C3．函數(shù)y＝3x2＋的最小值是(

)A．3－3 B．3C．6 D．6－3【答案】D【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：.4．若關(guān)于x的不等式的解集是，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】根據(jù)三個(gè)“二次”的關(guān)系可知，和是方程的兩根，由韋達(dá)定理求出，即可將化成關(guān)于的式子，變形，由基本不等式即可求出其最小值．【詳解】根據(jù)題意可得和是方程的兩根且，即，.故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：A．5．已知且，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．} C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式可取的最小值，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】∵，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，由恒成立可得，解得：，故選：D.6．已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式的最小值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】因?yàn)椋?，而為正?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為8.故選：C7．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或【答案】C【分析】先由結(jié)合基本不等式求出的最小值，進(jìn)而得，再解一元二次不等式即可.【詳解】由題意知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，又不等式恒成立，則不等式，即，解得.故選：C.8．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】令，用分別乘兩邊再用均值不等式求解即可.【詳解】因?yàn)椋覟檎龑?shí)數(shù)所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.所以.故選：B.二、多選題9．下列說法中，正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】ABD【分析】利用基本不等式分別判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，由，得，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由，得，即，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，雖然，，但不一定有，，故C不一定成立，故C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由基本不等式，得，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】本題考查不等關(guān)系及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10．設(shè)，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)特值可判斷A，利用基本不等式可判斷BCD.【詳解】因?yàn)椋?，令，則，故A錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：CD.三、填空題11．函數(shù)y=1-2x-(x<0)的最小值為_______.【答案】1+2【分析】因x<0，則-2x與是二正數(shù)，利用基本不等式求解即得.【詳解】因?yàn)閤<0，所以y=1-2x-=1+(-2x)+≥1+2=1+2，當(dāng)且僅當(dāng)x=-時(shí)取等號(hào)，故y的最小值為1+2.故答案為：1+212．已知，，，則的最小值為______.【答案】4【分析】把代入，再用基本不等式即可.【詳解】，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值，主要考查“1”的妙用，屬于基礎(chǔ)題型.13．已知，，則的最小值為___________.【答案】【分析】利用基本不等式所需的“積為定值”即可求解.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為.故答案為：.14．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為__________．【答案】【分析】通過換元，設(shè)，，再根據(jù)題干中這個(gè)條件，即可得到，然后利用均值不等式即可得到答案.【詳解】設(shè)，，，可得，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.四、解答題15．已知關(guān)于的不等式的解集是．(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)若，，且，求的最小值．【答案】(1)，．(2)【分析】（1）利用不等式的解集和對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系求出實(shí)數(shù)；（2）先求出，利用基本不等式求解的最小值.（1）因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是，所以和是方程的兩個(gè)根，所以解得當(dāng)，時(shí)，的解集是，符合題意，所以，．（2）由（1）知，，所以，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．16．北京、張家港年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會(huì)，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估．該商品原來每件售價(jià)為元，年銷售萬件．(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高元，銷售量將相應(yīng)減少件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價(jià)到元．公司擬投入萬作為技改費(fèi)用，投入萬元作為宣傳費(fèi)用．試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià)．【答案】(1)元(2)當(dāng)該商品改革后的銷售量至少達(dá)到萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為元．【分析】根據(jù)條件列出不等式，解不等式即可；將問題轉(zhuǎn)化為不等式有解問題有解，然后分離