高二數(shù)學考點講解練(人教A版2019選擇性必修第一冊)3.1.3函數(shù)的奇偶性(第一課時)(原卷版+解析)

3.1.3函數(shù)的奇偶性（第一課時）一、單選題1．下列命題正確的是（

）A．奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，且B．偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，且C．存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)D．奇?偶函數(shù)的定義域可以不關于原點對稱2．下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．3．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．4．已知在上是偶函數(shù)，且滿足，當時，，則（

）A． B． C． D．5．已知是定義在上的函數(shù)，則“是上的偶函數(shù)”是“都是上的偶函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．7．函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，且當時，，則的值是（

）A．2 B． C．0 D．二、多選題9．已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且當時，，則（

）A． B．C．是增函數(shù) D．10．已知是定義在R上的偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的有（

）A． B．C． D．三、填空題11．函數(shù)f（x）＝x3－x的圖象關于________對稱.12．若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則_____．13．已知函數(shù)f(x)滿足，且對于都有，請寫出滿足上述條件的一個函數(shù)解析式為_________________________（答案不唯一)14．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則時，的解析式為________．四、解答題15．已知函數(shù)．(1)當時，判斷函數(shù)的奇偶性；(2)當時，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明．16．已知函數(shù)．(1)證明函數(shù)為奇函數(shù)；(2)若，求函數(shù)的最大值和最小值．3.1.3函數(shù)的奇偶性（第一課時）一、單選題1．下列命題正確的是（

）A．奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，且B．偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，且C．存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)D．奇?偶函數(shù)的定義域可以不關于原點對稱【答案】C【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷．【詳解】奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，但不一定在x=0時有意義，比如，A錯誤；偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，但不一定等于0，如，B錯誤；函數(shù)y=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，C正確；奇?偶數(shù)的定義域均是關于原點對稱的區(qū)間，D錯誤.故選：C.2．下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.【詳解】對于A，為奇函數(shù)，所以A不符合題意；對于B，為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以B不符合題意；對于C，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，所以C符合題意；對于D，為奇函數(shù)，所以D不符合題意．故選：C．3．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及值域即可解出．【詳解】因為的定義域為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，所以排除C；又當時，，當且僅當時取等號，所以排除B，D．故選：A．4．已知在上是偶函數(shù)，且滿足，當時，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函數(shù)的周期性和奇偶性得到，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：在R上是偶函數(shù)，且滿足，當時，，則．故選：A．5．已知是定義在上的函數(shù)，則“是上的偶函數(shù)”是“都是上的偶函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，從是定義在上的偶函數(shù)出發(fā)去推導的奇偶性，然后再進行反向推理即可.【詳解】由都是R上的偶函數(shù)，得，設，，為偶函數(shù)，即“都是R上的偶函數(shù)時，則必為偶函數(shù)”，反之，“若為偶函數(shù)，則不一定能推出都是R上的偶函數(shù)”，例如：取，則是R上的偶函數(shù)，而都不具備奇偶性，故“是R上的偶函數(shù)”是“都是R上的偶函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B．6．設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，逐一計算各個選項中的函數(shù)，并分別判斷作答.【詳解】函數(shù)，對于A，，其圖象關于原點對稱，是奇函數(shù)，A是；對于B，，其圖象關于原點不對稱，不是奇函數(shù)，B不是；對于C，，其圖象關于原點不對稱，不是奇函數(shù)，C不是；對于D，，其圖象關于原點不對稱，不是奇函數(shù)，D不是.故選：A7．函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】法一：不妨設，解即可得出答案.法二：取，則有，又因為，所以與矛盾，即可得出答案.法三：根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可得，利用函數(shù)的單調(diào)性可得，解不等式即可求出答案.【詳解】［法一］：特殊函數(shù)法由題意，不妨設，因為，所以，化簡得．故選：D.［法二］：【最優(yōu)解】（特殊值法）假設可取，則有，又因為，所以與矛盾，故不是不等式的解，于是排除A、B、C．故選：D.［法三］：（直接法）根據(jù)題意，為奇函數(shù)，若，則，因為在單調(diào)遞減，且，所以，即有：，解可得：.故選：D.【整體點評】方法一：取滿足題意的特殊函數(shù)，是做選擇題的好方法；方法二：取特殊值，利用單調(diào)性排除，是該題的最優(yōu)解；方法三：根據(jù)題意依照單調(diào)性解不等式，是該題的通性通法．8．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，且當時，，則的值是（

）A．2 B． C．0 D．【答案】A【分析】先由可得的周期為6，再結(jié)合為奇函數(shù)，可得的對稱軸，然后對化簡計算即可.【詳解】解：因為函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，由得，，所以所以函數(shù)為周期函數(shù)，周期為6，所以，，由函數(shù)為奇函數(shù)，得，得函數(shù)圖象關于對稱，即，所以．故選：A二、多選題9．已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且當時，，則（

）A． B．C．是增函數(shù) D．【答案】ACD【解析】由是R上的奇函數(shù)，則可算出，代入可算得根據(jù)的對稱性可得出單調(diào)性，根據(jù)可求得【詳解】A.項

是R上的奇函數(shù)，故得，故A對對于B項，，故B錯對于C項，當時，在上為增函數(shù)，利用奇函數(shù)的對稱性可知，在上為增函數(shù)，故是上的增函數(shù)，故C對，故D對故選：ACD【點睛】正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個問題：(1)定義域關于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式．奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，反之也成立．利用這一性質(zhì)可簡化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性．10．已知是定義在R上的偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義逐一判斷即可.【詳解】解：因為是定義在R上的偶函數(shù)，所以，對于A，因為，所以為偶函數(shù)，故滿足題意；對于B，因為，所以為奇函數(shù)，故不滿足題意；對于C，易得為偶函數(shù)，故滿足題意；對于D，因為，所以不為偶函數(shù)，故不滿足題意；故選：AC三、填空題11．函數(shù)f（x）＝x3－x的圖象關于________對稱.【答案】原點【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義判斷可得.【詳解】已知函數(shù)的定義域為R，由f（－x）＝（－x）3－（－x）＝－x3＋x＝－f（x），知f（x）是奇函數(shù)，則其圖象關于原點對稱．故答案為：原點.12．若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則_____．【答案】##0.5【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，得到等量關系，求出，，進而求出答案.【詳解】由題意得：，解得：，又因為為偶函數(shù)，所以，即，解得：，所以.故答案為：13．已知函數(shù)f(x)滿足，且對于都有，請寫出滿足上述條件的一個函數(shù)解析式為_________________________（答案不唯一)【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調(diào)性即可求解.【詳解】由可得的對稱軸為，由對于都有，可知：在單調(diào)遞增，故，故答案為：14．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則時，的解析式為________．【答案】【分析】首先當時，可知，結(jié)合已知條件求出，然后利用函數(shù)奇偶性求的解析式即可.【詳解】解：當時，則，因為當時，，且是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，故時，的解析式為.故答案為：.四、解答題15．已知函數(shù)．(1)當時，判斷函數(shù)的奇偶性；(2)當時，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明．【答案】(1)奇函數(shù)(2)在上是單調(diào)遞減函數(shù)；證明見解析【分析】(1)利用奇函數(shù)的定義判斷即可；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義即可判斷與證明.（1）當時，，定義域為，關于原點對稱，，所以是奇函數(shù)．（2）當時，，證明：取，，所以，，則，即，所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)．16．已知函數(shù)．(1)證明函