人教版2024-2025學年八年級數(shù)學上冊舉一反三專題12.4全等三角形的經典模型【八大題型】(學生版+解析)

專題12.4全等三角形的經典模型【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一線三等角模型】 2【題型2倍長中線模型】 3【題型3截長補短模型】 5【題型4手拉手模型】 7【題型5半角模型】 9【題型6角平分線模型】 11【題型7雨傘模型】 13【題型8平行線中點模型】 15知識點1：一線三等角模型三個等角的頂點在同一條直線，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角.這個模型稱為一線三等角模型.一線三等角類型：（同側）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD（異側）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD【題型1一線三等角模型】【例1】（23-24八年級·云南昆明·期末）如圖，在△ABC中，AB=BC．(1)如圖1，直線NM過點B，AM⊥MN于點M，CN⊥MN于點N，且∠ABC=90°，求證：MN=AM+CN．(2)如圖2，直線NM過點B，AM交NM于點M，CN交NM于點N，且∠AMB=∠ABC=∠BNC，則MN=AM+CN是否成立？請說明理由！【變式1-1】（23-24八年級·福建龍巖·階段練習）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，于點E，AD⊥CE于點D．△BEC與

【變式1-2】（23-24八年級·浙江溫州·期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C．94 D．【變式1-3】（23-24八年級·北京朝陽·期中）如圖，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的長．知識點2：倍長中線模型當遇見中線或者中點的時候，可以嘗試倍長中線或類中線，使得延長后的線段是原中線的二倍，從而構造一對全等三角形(SAS)，并將已知條件中的線段和角進行轉移.已知點D為?ABC中BC邊中點，延長線段AD到點E使AD=DE,1）連接EC,則?ABD≌?ECD，AB∥CE2）連接BE,則?ADC≌?EDB，AC∥BE【題型2倍長中線模型】【例2】（23-24八年級·全國·專題練習）如圖所示，在ΔABC中，AD交BC于點D，點E是BC中點，EF∥AD交CA的延長線于點F，交AB于點G，若BG=CF，求證：AD為∠BAC的平分線.【變式2-1】（23-24八年級·山東泰安·期末）如圖，AD是△ABC的中線，點E在AD上，且BE＝AC，求證：∠BED＝∠CAD．【變式2-2】（23-24八年級·全國·課后作業(yè)）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=8，F(xiàn)為AB邊的中點，點D，E分別在AC,BC邊上運動，且保持AD=CE，連接DE,DF,EF．在此運動變化的過程中，下列結論：①△DEF是等腰直角三角形；②四邊形CDFE的面積保持不變；③AD+BE>DE．其中正確的是（

）

A．①②③ B．① C．② D．①②【變式2-3】（23-24八年級·遼寧大連·階段練習）如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BE是AC的中線，點D在AC的延長線上，連接BD，若∠ABE=∠D．(1)猜想BD=________BE；(2)完成（1）的證明過程．知識點3：截長補短模型該模型適用于求證線段的和差倍分關系，該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關鍵詞，可以采用截長補短法構造全等三角形來完成證明。其中截長指在長線段中截取一段等于已知線段，補短指將短線段延長，使短線段加上延長線段長度等于長線段。(1)截長:在較長線段上截取一段等于某一短線段,再證剩下的那一段等于另一短線段。

例:如圖,求證BE+DC=AD；方法:①在AD上取一點F,使得AF=BE,證DF=DC;②在AD上取一點F,使DF=DC,證AF=BE

(2)補短:將短線段延長,證與長線段相等【題型3截長補短模型】【例3】（23-24八年級·全國·單元測試）已知：如圖，在△ABC中，∠B=60°，D、E分別為AB、BC上的點，且AE、CD交于點F．若AE、CD為△ABC的角平分線．(1)求∠AFC的度數(shù)；(2)若AD=6，CE=4，求AC的長．【變式3-1】（23-24八年級·江西景德鎮(zhèn)·期末）如圖，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分線，求證：AE+BE=BC．【變式3-2】（23-24八年級·福建廈門·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，F(xiàn)是AC的中點，D在線段BC上，連接DF，以DF為邊在DF的右側作等邊△DFE，連接EC，若存在實數(shù)k，使得kBC+ECDC為定值a，則k和a分別是（

A．k=12，a=1 B．k=13，a=1 C．k=1，a=3【變式3-3】（23-24八年級·四川南充·期末）(1)閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，∠A+∠思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構造全等去解決問題．方法1：在BC上截取BM=BA，連接DM，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長BA到點N，使得BN=BC，連接DN，得到全等三角形，進而解決問題．結合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．(2)問題解決：如圖2，在(1)的條件下，連接AC，當∠DAC=60°時，探究線段AB，BC，BD(3)問題拓展：如圖3，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，過點D作DE⊥BC，垂足為點E，請寫出線段AB、CE知識點4：手拉手模型兩個頂角相等的等腰三角形共用頂角頂點，分別連接對應的兩底角頂點，從而可以得到一個經典的全等模型.因為頂點相連的四條邊，形象可以看作兩雙手，通常稱為“手拉手模型”.如圖，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=。結論：△BAD≌△CAE。【題型4手拉手模型】【例4】（23-24八年級·湖南長沙·階段練習）如圖，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，若∠AOB=∠COD=60°，連接AC、BD交于點P；(1)求證：△AOC≌△BOD．(2)求∠APB的度數(shù)．(3)如圖(2)，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AB=14cm，點D是射線AB上的一點，連接CD，在直線AB上方作以點C為直角頂點的等腰直角三角形△CDE，連接BE，若BD=4cm，求【變式4-1】（23-24·吉林長春·模擬預測）兩個大小不同的等腰直角三角板按圖1所示擺放，將兩個三角板抽象成如圖2所示的△ABC和△AED，其中∠BAC=∠EAD=90°，點B、C、E依次在同一條直線上，連結CD．若BC=4，CE=2，則△DCE的面積是．【變式4-2】（23-24八年級·山東濟寧·階段練習）如圖，大小不同的兩塊三角板△ABC和△DEC直角頂點重合在點C處，AC=BC，DC=EC，連接AE、BD，點A恰好在線段BD上．(1)找出圖中的全等三角形，并說明理由；(2)猜想AE與BD的位置關系，并說明理由．【變式4-3】（23-24八年級·甘肅武威·期末）如圖，D為△ABC內一點，AB=AC，∠BAC=50°，將AD繞著點A順時針旋轉50°能與線段AE重合．(1)求證：EB=DC；(2)若∠ADC=125°，求∠BED的度數(shù)．知識點5：半角模型當一個角包含著該角的半角，如90°角包含著45°角，120°角包含著60°角，270°角包含著135°角，即出現(xiàn)12如圖：已知∠2=12【說明】連接F′B，將△FOB繞點O旋轉至△FOA的位置，連接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF【題型5半角模型】【例5】（23-24八年級·福建龍巖·期中）如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，則△ABD與△AEC的面積之和為（A．36 B．21 C．30 D．22【變式5-1】（23-24八年級·山東濰坊·期末）如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點A按順時針方向旋轉90°后得到△AFB，連接EF，有下列結論：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正確的有（）

A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④【變式5-2】（23-24八年級·全國·專題練習）問題情境：已知，在等邊△ABC中，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點O，點M、N分別在直線AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關系．方法感悟：小芳的思考過程是在CM上取一點，構造全等三角形，從而解決問題；小麗的思考過程是在AB取一點，構造全等三角形，從而解決問題；問題解決：（1）如圖1，M、N分別在邊AC，AB上時，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關系，并證明；（2）如圖2，M在邊AC上，點N在BA的延長線上時，請你在圖2中補全圖形，標出相應字母，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關系，并證明．【變式5-3】（23-24八年級·浙江紹興·期中）問題情境在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點M，N，點D為△ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如圖1，當DM＝DN時，（1）∠MDB＝度；（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關系為；歸納證明（3）如圖2，當DM≠DN時，在NC的延長線上取點E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關系，并加以證明．拓展應用（4）△AMN的周長與△ABC的周長的比為．知識點6：角平分線模型模型一：如圖一，角平分線+對稱型利用角平分線圖形的對稱性,在角的兩邊構造對稱全等三角形,可以得到對應邊、對應角相等。利用對稱性把一些線段或角進行轉移,這是經常使用的種解題技巧。

【理論依據(jù)】:三邊對應相等的三角戲是全等三角形(SSS)、全等三角形對應角相等模型二：如圖二，角平分線+垂直兩邊型【幾何語言】:∵OC為∠AOB的角平分線,D為OC上一點DE⊥OA,DF⊥OB∴△CED≌△OFD(AAS),∴DE=DF模型三：如圖三，角平分線+垂直平分線型【說明】構造此模型可以利用等腰三角形的三線合一,也可以得到兩個全等的直角三角形,進而

得到對應邊、對應角相等。這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來。模型四：如圖四，角平分線+平行線型【說明】有角平分線時,常過角平分線上一點作角的有邊的平行線,構造等腰三角形,為證明結論提供更多的條件,體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關系?！绢}型6角平分線模型】【例6】（23-24八年級·四川成都·期末）（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．【變式6-1】（23-24八年級·湖北孝感·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，AC平分∠DAB，BD平分∠CBA，∠ADC+∠BCD=240°．

(1)求∠AOB的度數(shù)；(2)求證：OD=OC．【變式6-2】（23-24八年級·江蘇南京·期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．求證：BE＝12CD【變式6-3】（23-24八年級·湖北武漢·期中）在△ABC中，BE，CD為△ABC的角平分線，BE，CD交于點F．（1）求證：∠BFC=90°+1（2）已知∠A=60°．①如圖1，若BD=4，BC=6.5，求CE的長；②如圖2，若BF=AC，求∠AEB的大?。R點7：雨傘模型如圖AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足為點D，延長BD交AC于點C，則?ABD≌?ACD，AB=AC，BD=CD【題型7雨傘模型】【例7】（23-24八年級·江蘇蘇州·期中）如圖，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E，F(xiàn)為AB的中點，連接CF，交AD于點G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關系？并說明理由；（2）判斷△BEG的形狀，并說明理由．【變式7-1】（23-24八年級·上海浦東新·期末）如圖，△BAD和△CAE是等腰三角形且∠BAD=∠CAE=90°，AF⊥CB，垂足為F．(1)試說明∠ABF=∠ADC的理由(2)猜想CF和CE的位置關系，并說明理由；(3)試說明：CD=2BF+DE．【變式7-2】（23-24八年級·山東泰安·期末）已知，如圖ΔABC中，AB=AC，∠A=90°，∠ACB的平分線CD交AB于點E，求證：CE=2【變式7-3】（23-24八年級·福建漳州·期末）求證：在直角三角形中，若一個銳角等于30°，則它所對的直角邊等于斜邊的一半．要求：(1)根據(jù)給出的線段AB及∠B，以線段AB為直角邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出Rt△ABC的斜邊AC，使得∠A=30°(2)根據(jù)（1）中所作的圖形，寫出已知、求證和證明過程．知識點8：平行線中點模型已知AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在直線AB、CD上，點O為線段EF的中點，延長PO交CD于點Q，則?POE≌?QOF【題型8平行線中點模型】【例8】（23-24八年級·四川成都·期末）如圖1，點A是直線MN上一點，點B是直線PQ上一點，且MN//PQ．∠NAB和∠ABQ的平分線交于點C．（1）求證：BC⊥AC；（2）過點C作直線交MN于點D（不與點A重合），交PQ于點E,①若點D在點A的右側，如圖2，求證：AD+BE=AB；②若點D在點A的左側，則線段AD、BE、AB有何數(shù)量關系？直接寫出結論，不說理由．

【變式8-1】（23-24八年級·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知：如圖，AB∥CD，AB=CD，點E、F在AD上，且滿足(1)求證BE=CF；(2)若AE=OF，直接寫出面積為△COD面積一半的所有三角形．【變式8-2】（23-24八年級·福建福州·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，D是AC的中點，延長BC到點E，使CE=CD，連接ED并延長交AB于點F．求證：DE=2DF【變式8-3】（23-24八年級·陜西榆林·期末）如圖，在△ABC中，BD是邊AC上的高，BE為∠CBD的角平分線，且AD=DE，AO是△ABC的中線，延長AO到點F，使得BF∥AC，連接EF，EF交BC于點G，AF交BE于點H，交BD于點(1)試說明：BF=CD+DE；(2)若∠C=45°，試說明：EF⊥BC．專題12.4全等三角形的經典模型【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一線三等角模型】 2【題型2倍長中線模型】 6【題型3截長補短模型】 12【題型4手拉手模型】 21【題型5半角模型】 27【題型6角平分線模型】 35【題型7雨傘模型】 43【題型8平行線中點模型】 51知識點1：一線三等角模型三個等角的頂點在同一條直線，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角.這個模型稱為一線三等角模型.一線三等角類型：（同側）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD（異側）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD【題型1一線三等角模型】【例1】（23-24八年級·云南昆明·期末）如圖，在△ABC中，AB=BC．(1)如圖1，直線NM過點B，AM⊥MN于點M，CN⊥MN于點N，且∠ABC=90°，求證：MN=AM+CN．(2)如圖2，直線NM過點B，AM交NM于點M，CN交NM于點N，且∠AMB=∠ABC=∠BNC，則MN=AM+CN是否成立？請說明理由！【答案】(1)見解析(2)成立，理由見解析【分析】（1）本題主要考查全等三角形的判定和性質綜合，利用題目中的已知條件導角，可推導∠CBN=∠BAM，最后證明△AMB≌△BNC(AAS（2）利用∠AMB=∠ABC及∠ABN是△ABM的外角，可以推出∠MAB=∠CBN，再利用AAS可以判定△AMB≌△BNC(AAS【詳解】（1）證明：∵AM⊥MN于點M，CN⊥MN于點N；∴∠AMB=∠BNC=90°；∴∠MAB+∠ABM=90°；∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠NBC=90°；∴∠MAB=∠NBC；在△ABM和△BCN中，∠AMB=∠BNC∴△ABM≌△BCNAAS∴AM=BN，BM=CN；∴MN=BN+BM=AM+CN．（2）MN=AM+CN成立．理由如下：設∠AMB=∠ABC=∠BNC=α；∴∠ABM+∠BAM=∠ABM+∠CBN=180°?α；∴∠BAM=∠CBN；在△ABM和△BCN中；∠BAM=∠CBN∴△ABM≌△BCNAAS∴AM=BN，BM=CN；∴MN=BN+BM=AM+CN；故MN=AM+CN成立．【變式1-1】（23-24八年級·福建龍巖·階段練習）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，于點E，AD⊥CE于點D．△BEC與

【答案】全等，理由見解析【分析】首先證明∠CAD=∠BCE，即可證明△CDA≌【詳解】全等，理由如下：∵BE⊥CE，E，AD⊥CE∴∠BCE+∠DCA=90°，∠DAC+∠DCA=90°．∴∠CAD=∠BCE；在△BEC和△DAC中，∠BCE=∠DAC∴△BEC≌【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定，掌握證明全等三角形的方法是解題的關鍵．【變式1-2】（23-24八年級·浙江溫州·期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C．94 D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線段垂直平分線的性質得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結論．【詳解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線交BC于點D，∴AD＝ED，在△ABD與△DCE中，∠BAD=∠CDE∠B=∠C∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的性質，屬于基礎題．【變式1-3】（23-24八年級·北京朝陽·期中）如圖，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的長．【答案】3.5【分析】由平角定義及三角形內角和定理解得∠EDC=∠BFD，繼而證明△BFD?△CDE(AAS)，得到BF=CD=1.5【詳解】解：∵∠B=∠C=∠FDE=80°，∴∠BDF+∠EDC=100°,∠BDF+∠BFD=100°∴∠EDC=∠BFD在△BFD與△CDE中，∠B=∠C∴△BFD?△CDE(AAS)

∴BF=CD∴BC=BD+DC=2+1.5=3.5．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．知識點2：倍長中線模型當遇見中線或者中點的時候，可以嘗試倍長中線或類中線，使得延長后的線段是原中線的二倍，從而構造一對全等三角形(SAS)，并將已知條件中的線段和角進行轉移.已知點D為?ABC中BC邊中點，延長線段AD到點E使AD=DE,1）連接EC,則?ABD≌?ECD，AB∥CE2）連接BE,則?ADC≌?EDB，AC∥BE【題型2倍長中線模型】【例2】（23-24八年級·全國·專題練習）如圖所示，在ΔABC中，AD交BC于點D，點E是BC中點，EF∥AD交CA的延長線于點F，交AB于點G，若BG=CF，求證：AD為∠BAC的平分線.【答案】見解析【分析】延長FE，截取EH=EG，連接CH，可證△BEG≌△CEH，即可求得∠H=∠BGE，進一步證明∠F=∠BGE，最后由平行線的性質即可證得∠CAD=∠BAD，即可解題．【詳解】證明：延長FE，截取EH=EG，連接CH，∵E是BC中點，∴BE=CE，在△BEG和△CEH中，BE＝CE∠BEG＝∠CEH∴△BEG≌△CEH（SAS），∴∠BGE=∠H，BG=CH∵BG=CF∴CH=CF∴∠F=∠H∴∠F=∠BGE∵EF∥AD，∴∠F=∠CAD，∠BAD=∠BGE，∴∠CAD=∠BAD，∴AD平分∠BAC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，本題中求證△BEG≌△CEH是解題的關鍵．【變式2-1】（23-24八年級·山東泰安·期末）如圖，AD是△ABC的中線，點E在AD上，且BE＝AC，求證：∠BED＝∠CAD．【答案】見解析【分析】延長AD到E，使FD＝AD，連接BF，易證△ADC≌△FDB，得到BF＝AC，∠F＝∠CAD，而BE＝AC，所以BF＝BE，得∠BED＝∠F，等量代換即可．【詳解】證明：延長AD到E，使FD＝AD，連接BF在△ADC和△FDB中，BD=CD∠BDF=∠ADC∴△ADC≌△FDB（SAS）∴BF＝AC，∠F＝∠CAD．∵BE＝AC，∴BF＝BE∴∠BED＝∠F，∴∠BED＝∠CAD．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，倍長中線構造全等三角形是解題的關鍵．【變式2-2】（23-24八年級·全國·課后作業(yè)）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=8，F(xiàn)為AB邊的中點，點D，E分別在AC,BC邊上運動，且保持AD=CE，連接DE,DF,EF．在此運動變化的過程中，下列結論：①△DEF是等腰直角三角形；②四邊形CDFE的面積保持不變；③AD+BE>DE．其中正確的是（

）

A．①②③ B．① C．② D．①②【答案】A【分析】連接CF，利用SAS可證△ADF≌△CEF，從而得出DF=FE,∠AFD=∠CFE，從而求出∠EFD=90°，即可判斷①；根據(jù)全等三角形的性質可得S△ADF=S△CEF，從而得出四邊形CDFE的面積為12S△ABC，從而判斷②；延長DF到G使FG=DF【詳解】解：如圖，連接CF．∵AC=BC，F(xiàn)為AB的中點，∴CF⊥AB，∠ACF=∠BCF=1∵∠ACB=90°，∴∠A=∠ACF=∠BCF=45°，∴CF=AF．又∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF．∴DF=FE,∠AFD=∠CFE，∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=90°，∴∠EFD=90°，∴△DEF是等腰直角三角形．①正確．∵△ADF≌△CEF，∴S△ADF∴四邊形CDFE的面積為S△CDF∵S△ABC∴四邊形CDFE的面積為16，為定值．②正確．延長DF到G使FG=DF，連接EG,BG．∵AF=BF，∠AFD=∠BFG，DF=FG，∴△ADF≌△BCF，∴AD=BG．∵∠EFD=90°，∴EF⊥DF，∴DE=EG．在△EBG中，∵BG+BE>EG，∴AD+BE>DE．③正確．①②③均正確，故選A．

【點睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質、等腰直角三角形的判定和三角形的三邊關系，掌握構造全等三角形的方法是解決的關鍵．【變式2-3】（23-24八年級·遼寧大連·階段練習）如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BE是AC的中線，點D在AC的延長線上，連接BD，若∠ABE=∠D．(1)猜想BD=________BE；(2)完成（1）的證明過程．【答案】(1)2(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題意可進行求解；（2）延長BE至F，使得EF=BE，連接CF，易證△ABE≌△CFE，則有∠ABE=∠F，由題意易得∠EBC=∠DBC，∠D=∠F，然后可證△BCF≌△BCD，則BD=【詳解】（1）解：BD=2BE；延長BE至F，使得EF=BE，連接CF，如圖所示：∵BE是AC的中線，∴AE=∵∠AEB=∠CEF，∴△ABE≌△CFE（SAS），∴∠ABE=∠F，∵∠ABC=∠ABE+∠CBE,∠ACB=∠D+∠DBC，且∠ABC=∠ACB，∠ABE=∠D，∴∠EBC=∠DBC，∠D=∠F，∵BC=BC，∴△BCF≌△BCD（AAS），∴BD=BF=2BE．故答案為2；（2）證明：延長BE至F，使得EF=BE，連接CF，如圖所示：∵BE是AC的中線，∴AE=∵∠AEB=∠CEF，∴△ABE≌△CFE（SAS），∴∠ABE=∠F，∵∠ABC=∠ABE+∠CBE,∠ACB=∠D+∠DBC，且∠ABC=∠ACB，∠ABE=∠D，∴∠EBC=∠DBC，∠D=∠F，∵BC=BC，∴△BCF≌△BCD（AAS），∴BD=BF=2BE．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．知識點3：截長補短模型該模型適用于求證線段的和差倍分關系，該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關鍵詞，可以采用截長補短法構造全等三角形來完成證明。其中截長指在長線段中截取一段等于已知線段，補短指將短線段延長，使短線段加上延長線段長度等于長線段。(1)截長:在較長線段上截取一段等于某一短線段,再證剩下的那一段等于另一短線段。

例:如圖,求證BE+DC=AD；方法:①在AD上取一點F,使得AF=BE,證DF=DC;②在AD上取一點F,使DF=DC,證AF=BE

(2)補短:將短線段延長,證與長線段相等【題型3截長補短模型】【例3】（23-24八年級·全國·單元測試）已知：如圖，在△ABC中，∠B=60°，D、E分別為AB、BC上的點，且AE、CD交于點F．若AE、CD為△ABC的角平分線．(1)求∠AFC的度數(shù)；(2)若AD=6，CE=4，求AC的長．【答案】(1)120度(2)10【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、角平分線的定義等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線構造全等三角形解決問題．（1）由題意∠BAC+∠BCA=120°，根據(jù)∠AFC=180°?∠FAC?∠FCA＝（2）在AC上截取AG=AD=6，連接FG．只要證明△ADF≌△AGF，推出∠AFD=∠AFG=60°，∠GFC=∠CFE=60°，再證明△CGF≌【詳解】（1）解：∵AE、CD為△ABC的角平分線，∴∠FAC=∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA＝120°，∴∠AFC=180°?∠FAC?∠FCA（2）解：在AC上截取AG=AD=6，連接FG．∵AE、CD為△ABC的角平分線．∴∠FAC=∠FAD，∠FCA=∠FCE，∵∠AFC=120°，∴∠AFD=∠CFE=60°，∵AD=AG,AF=AF∴△ADF≌∴∠AFD=∠AFG=60°，∴∠GFC=∠CFE=60°，又∵CF=CF，∴△CGF∴CG=CE=4，∴AC=AG+GC=10【變式3-1】（23-24八年級·江西景德鎮(zhèn)·期末）如圖，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分線，求證：AE+BE=BC．【答案】見解析【分析】延長BE到F，使BF=BC，連接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通過△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，證得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到結論．【詳解】解：如圖，延長BE到F，使BF=BC，連接FC，∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=20°，∵BF=BC，∴∠F=∠BCF=80°，∴∠FCE=∠ACB=40°，在BC上取CF′=CF，連接EF′，在△FCE與△F′CE中，CF=CF∴△FCE≌△F′CE（SAS），∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，∴∠BF′E=100°，∴∠A=∠BF′E，在△ABE與△F′BE中，∠A=∠BF∴△ABE≌△F′BE（AAS），∴AE=EF′，∴AE=EF，∴AE+BE=BE+EF=BC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，等腰三角形的性質，作輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．【變式3-2】（23-24八年級·福建廈門·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，F(xiàn)是AC的中點，D在線段BC上，連接DF，以DF為邊在DF的右側作等邊△DFE，連接EC，若存在實數(shù)k，使得kBC+ECDC為定值a，則k和a分別是（

A．k=12，a=1 B．k=13，a=1 C．k=1，a=3【答案】A【分析】在BC上截取CG=CF，連接FG，通過證明△DFG≌△EFC，可得【詳解】解：如圖，在BC上截取CG=CF，連接FG，

∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∵F是AC的中點，∴CF=CG=1∴△FCG是等邊三角形，∴∠GFC=60°，F(xiàn)G=CF，∵△DFE是等邊三角形，∴FD=FE，∠DFE=60°，∴∠DFG=∠EFC，在△DFG與△EFC中，F(xiàn)D=EF∠DFG=∠EFC∴△DFG≌∴DG=EC，∴CF+EC=CD，∴1∴1∴k=12，故選：A．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，本題的難點是作出輔助線，構成全等三角形．【變式3-3】（23-24八年級·四川南充·期末）(1)閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，∠A+∠思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構造全等去解決問題．方法1：在BC上截取BM=BA，連接DM，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長BA到點N，使得BN=BC，連接DN，得到全等三角形，進而解決問題．結合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．(2)問題解決：如圖2，在(1)的條件下，連接AC，當∠DAC=60°時，探究線段AB，BC，BD(3)問題拓展：如圖3，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，過點D作DE⊥BC，垂足為點E，請寫出線段AB、CE【答案】（1）見解析；（2）AB+BC=BD，見解析；（3）BC?AB=2CE，見解析【分析】（1）方法1：在BC上截取BM=BA，連接DM，證明△ABD≌△MBD(SAS)，得出∠A=∠BMD，AD=MD，進而得出∠C=∠CMD，則DM=DC，等量代換即可得證；方法2：延長AB到N，使BN=BC，連接DN，證明△NBD≌△CBD(SAS（2）AB，BC，BD之間的數(shù)量關系為AB+BC=BD．方法1：在BD上截取BF=AB，連接AF，由(1)知∠BAD+∠BCD=180°，得出△ABF，△ADC為等邊三角形，證明△ABC≌△AFD(SAS)，得出DF=BC，進而即可得證；方法2：延長CB到P，使BP=BA，連接AP，由(1)知AD=CD，則△ADC，△ABP（3）線段AB、CE、BC之間的數(shù)量關系為BC?AB=2CE，連接BD，過點D作DF⊥AB于點F，證明△DFA≌△DEC(AAS)，Rt△BDF≌和Rt【詳解】解：（1）方法1：在BC上截取BM=BA，連接DM，∵BD平分∠ABC，∴∠在△ABD和△MBD中，BD=BD∠ABD=∠MBD∴△ABD≌△MBD(SAS∴∠A=∠∵∠BMD+∠∴∠∴DM=DC，∴DA=DC；方法2：延長AB到N，使BN=BC，連接DN，∵BD平分∠ABC，∴∠在△NBD和△CBD中，BD=BD∠NBD=∠CBD∴△NBD≌△CBD(SAS∴∠BND=∠∵∠NAD+∠∴∠∴DN=DA，∴DA=DC；（2）AB，BC，BD之間的數(shù)量關系為AB+BC=BD．方法1：理由如下：如圖2，在BD上截取BF=AB，連接AF，由(1)知∠BAD+∴∠∵∠∴∠∴∠∴△ABF為等邊三角形，∴AB=AF=BF，∠BAF=60°∵AD=DC，∴△ADC為等邊三角形，∴AD=AC，∠DAC=60°∴∠∴△ABC≌△AFD(SAS∴DF=BC，∴BD=BF+DF=AB+BC．方法2：理由：延長CB到P，使BP=BA，連接AP，由(1)知AD=CD，∵∠∴△ADC是等邊三角形，∴AC=AD，∠ADC=60°∵∠∴∠∴∠∵BP=BA，∴△ABP為等邊三角形，∴∠PAB=60°，∵∠∴∠即∠PAC=在△PAC和△BAD中，PA=BA∠PAC=∠BAD∴△PAC≌△BAD(SAS∴PC=BD，∵PC=BP+BC=AB+BC，∴AB+BC=BD；（3）線段AB、CE、BC之間的數(shù)量關系為BC?AB=2CE．連接BD，過點D作DF⊥AB于點F，∵∠BAD+∠∴∠在△DFA和△DEC中，∠DFA=∠DEC∠FAD=∠C∴△DFA≌△DEC(AAS∴DF=DE，AF=CE，在Rt△BDF和RtBD=BDDF=DE∴Rt∴BF=BE，∴BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE，∴BC?BA=2CE，【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．知識點4：手拉手模型兩個頂角相等的等腰三角形共用頂角頂點，分別連接對應的兩底角頂點，從而可以得到一個經典的全等模型.因為頂點相連的四條邊，形象可以看作兩雙手，通常稱為“手拉手模型”.如圖，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=。結論：△BAD≌△CAE?！绢}型4手拉手模型】【例4】（23-24八年級·湖南長沙·階段練習）如圖，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，若∠AOB=∠COD=60°，連接AC、BD交于點P；(1)求證：△AOC≌△BOD．(2)求∠APB的度數(shù)．(3)如圖(2)，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AB=14cm，點D是射線AB上的一點，連接CD，在直線AB上方作以點C為直角頂點的等腰直角三角形△CDE，連接BE，若BD=4cm，求【答案】(1)見解析(2)60°(3)BE=10cm或【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質，三角形內角和定理的應用；（1）根據(jù)題意得出∠AOC=∠BOD，即可證明△AOC≌（2）根據(jù)題意可得△AOB是等邊三角形，根據(jù)（1）的結論可得∠OAC=∠OBD，進而根據(jù)三角形的內角和定理，即可求解；（3）分情況討論，當D在線段AB上時，當D在AB的延長線上時，證明△CAD≌△CBESAS，得出AD=BE【詳解】（1）證明：∵∠AOB=∠COD=60°，∴∠AOC=∠BOD又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC（2）解：∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴∠OAB=∠OBA=60°∵△AOC≌△BOD∴∠OAC=∠OBD∴∠APB=180°?∠PAB?∠PBA=180°?=180°?60°+∠OAC?60°?∠OBD=60°；（3）解：如圖所示，當D在線段AB上時，∵△CDE是以點C為直角頂點的等腰直角三角形∴∠DCE=90°,CD=CE，又∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAD=90°?∠DCB=∠BCE∴△CAD≌△CBE∴AD=BE∵AB=14,BD=4∴BE=AD=AB?DB=10如圖所示，當D在AB的延長線上時，同理可得，∴△CAD≌△CBE∴AD=BE∵AB=14,BD=4∴BE=AD=AB+DB=18綜上所述，BE=10cm或【變式4-1】（23-24·吉林長春·模擬預測）兩個大小不同的等腰直角三角板按圖1所示擺放，將兩個三角板抽象成如圖2所示的△ABC和△AED，其中∠BAC=∠EAD=90°，點B、C、E依次在同一條直線上，連結CD．若BC=4，CE=2，則△DCE的面積是．【答案】6【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質等知識，根據(jù)SAS證明△ACD≌△ABE，由全等三角形的性質得出∠ACD=∠B，【詳解】解：∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△ACD≌△ABESAS∴∠ACD=∠B，∵∠B=45°，∴∠ACD=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∵BC=4，CE=2，∴BE=6，∴CD=6，∴S故答案為：6．【變式4-2】（23-24八年級·山東濟寧·階段練習）如圖，大小不同的兩塊三角板△ABC和△DEC直角頂點重合在點C處，AC=BC，DC=EC，連接AE、BD，點A恰好在線段BD上．(1)找出圖中的全等三角形，并說明理由；(2)猜想AE與BD的位置關系，并說明理由．【答案】(1)△CBD≌△CAE，理由見解析(2)AE⊥BD，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟記定理內容是解題關鍵．根據(jù)條件證△CBD≌△CAE即可求解．（1）根據(jù)題意得出∠BCD=∠ACE，再由全等三角形的判定證明即可；（2）利用全等三角形的性質及角的等量代換即可得出結果．【詳解】（1）解：△CBD≌△CAE，理由如下：∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△CBD與△CAE中，BC=AC∴△CBD≌△CAESAS（2）AE⊥BD，理由如下：設AE、CD交于點由（1）得△CBD≌△CAE，∴∠ADO=∠CEO，∵∠AOD=∠COE，∴∠OAD=∠OCE=90°，∴AE⊥BD．【變式4-3】（23-24八年級·甘肅武威·期末）如圖，D為△ABC內一點，AB=AC，∠BAC=50°，將AD繞著點A順時針旋轉50°能與線段AE重合．(1)求證：EB=DC；(2)若∠ADC=125°，求∠BED的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠BED=60°【分析】（1）根據(jù)將AD繞著點A順時針旋轉50°能與線段AE重合，得AD=AE，∠DAE=50°，通過SAS證明△ACD≌△ABE，即可證出EB=CD；（2）由△ACD≌△ABE得：∠ADC=∠AEB=125°，再根據(jù)AD=AE，∠DAE=50°，得∠AED=65°，即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵將AD繞著點A順時針旋轉50°能與線段AE重合，∴AD=AE，∠DAE=50°，∵∠BAC=50°，∴∠DAE=∠BAC，∴∠CAD=∠BAE，在△ACDE和△ABE中，AC=AB∠CAD=∠BAE∴△ACD≌△ABESAS∴EB=DC；（2）解：由△ACD≌△ABE得：∠ADC=∠AEB，∵∠ADC=125°，∴∠AEB=125°，∵AD=AE，∠DAE=50°，∴∠AED=65°，∴∠BED=60°．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、等腰三角形是性質、三角形全等的判定與性質等知識，證明出△ACD≌△ABE是解題的關鍵．知識點5：半角模型當一個角包含著該角的半角，如90°角包含著45°角，120°角包含著60°角，270°角包含著135°角，即出現(xiàn)12如圖：已知∠2=12【說明】連接F′B，將△FOB繞點O旋轉至△FOA的位置，連接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF【題型5半角模型】【例5】（23-24八年級·福建龍巖·期中）如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，則△ABD與△AEC的面積之和為（A．36 B．21 C．30 D．22【答案】B【分析】將△ADE關于AE對稱得到△AFE，從而可得△AFE的面積為15，再根據(jù)對稱的性質可得AF=AD,∠EAF=45°，然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出△ACF?△ABD，從而可得CF=BD=3,∠ACF=∠ABD=45°,S△ACF=S△ABD，最后根據(jù)△ABD與△AEC【詳解】解：如圖，將△ADE關于AE對稱得到△AFE，則AF=AD,∠EAF=45°，S△AFE∴∠CAF+∠CAD=∠DAE+∠EAF=45°+45°=90°，∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=180°?∠ABC?∠ACB=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，AC=AB∠CAF=∠BAD∴△ACF?△ABD(SAS)，∴CF=BD=3,∠ACF=∠ABD=45°,S∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，即△CEF是直角三角形，∴S∴S即△ABD與△AEC的面積之和為21，故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱的性質、三角形全等的判定定理與性質等知識點，通過作輔助線，構造全等三角形和直角三角形是解題關鍵．【變式5-1】（23-24八年級·山東濰坊·期末）如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點A按順時針方向旋轉90°后得到△AFB，連接EF，有下列結論：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正確的有（）

A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④【答案】C【分析】利用旋轉性質可得△ABF≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質一一判斷即可．【詳解】解：∵△ADC繞A順時針旋轉90°后得到△AFB，∴△ABF≌△ACD，∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正確，∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正確無法判斷BE＝CD，故①錯誤，故選：C．【點睛】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【變式5-2】（23-24八年級·全國·專題練習）問題情境：已知，在等邊△ABC中，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點O，點M、N分別在直線AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關系．方法感悟：小芳的思考過程是在CM上取一點，構造全等三角形，從而解決問題；小麗的思考過程是在AB取一點，構造全等三角形，從而解決問題；問題解決：（1）如圖1，M、N分別在邊AC，AB上時，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關系，并證明；（2）如圖2，M在邊AC上，點N在BA的延長線上時，請你在圖2中補全圖形，標出相應字母，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關系，并證明．【答案】（1）CM＝AN+MN，詳見解析；（2）CM＝MN﹣AN，詳見解析【分析】（1）在AC上截取CD＝AN，連接OD，證明△CDO≌△ANO，根據(jù)全等三角形的性質得到OD＝ON，∠COD＝∠AON，證明△DMO≌△NMO，得到DM＝MN，結合圖形證明結論；（2）在AC延長線上截取CD＝AN，連接OD，仿照（1）的方法解答．【詳解】解：（1）CM＝AN+MN，理由如下：在AC上截取CD＝AN，連接OD，∵△ABC為等邊三角形，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點O，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴OA＝OC，在△CDO和△ANO中，OC=OA∠OCD=∠OAN∴△CDO≌△ANO（SAS）∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，∵∠MON＝60°，∴∠COD+∠AOM＝60°，∵∠AOC＝120°，∴∠DOM＝60°，在△DMO和△NMO中，OD=ON∠DOM=∠NOM∴△DMO≌△NMO，∴DM＝MN，∴CM＝CD+DM＝AN+MN；（2）補全圖形如圖2所示：CM＝MN﹣AN，理由如下：在AC延長線上截取CD＝AN，連接OD，在△CDO和△ANO中，CD=AN∠OCD=∠OAN=150°∴△CDO≌△ANO（SAS）∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，∴∠DOM＝∠NOM，在△DMO和△NMO中，OD=ON∠DOM=∠NOM∴△DMO≌△NMO（SAS）∴MN＝DM，∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN．【點睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟知等邊三角形的性質及全等三角形的判定定理．【變式5-3】（23-24八年級·浙江紹興·期中）問題情境在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點M，N，點D為△ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如圖1，當DM＝DN時，（1）∠MDB＝度；（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關系為；歸納證明（3）如圖2，當DM≠DN時，在NC的延長線上取點E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關系，并加以證明．拓展應用（4）△AMN的周長與△ABC的周長的比為．【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，證明見解析；（4）2【分析】（1）先證明△MDN是等邊三角形，則MN＝DM＝DN，再證明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°；（2）由（1）得DM＝2BM，可得結論MN＝2BM＝BM+NC；歸納證明：先證△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再證△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得結論MN＝BM+CN；拓展應用：（3）首先根據(jù)題意利用SAS證明△DBM≌△DCE，然后證明△MDN≌△EDN，根據(jù)全等三角形對應相等通過線段之間的轉化即可得到MN＝BM+NC；（4）由（3）得到MN＝BM+NC，則△AMN的周長＝2AB，△ABC的周長＝3AB，即可得出結論．【詳解】特例探究：解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，∴MN＝DM＝DN，∵∠BDC＝120°，BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBM＝∠DCN＝90°，∵BD＝CD，DM＝DN，∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），∴∠MDB＝∠NDC＝30°，故答案為：30；（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），∴BM＝CN，∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，即MN＝BM+NC；歸納證明（3）解：猜想：MN＝BM+NC，證明如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°．∴∠MBD＝∠ECD＝90°，又∵BD＝CD，BM＝CE，∴△DBM≌△DCE（SAS），∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠MDB+∠NDC＝60°，∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°，∴∠EDN＝∠MDN，又∵DN＝DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC；拓展應用（4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC，∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC的周長＝3AB，∴△AMN的周長與△ABC的周長的比為2AB3AB＝2故答案為：23【點睛】此題考查了等邊三角形的性質的，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質．知識點6：角平分線模型模型一：如圖一，角平分線+對稱型利用角平分線圖形的對稱性,在角的兩邊構造對稱全等三角形,可以得到對應邊、對應角相等。利用對稱性把一些線段或角進行轉移,這是經常使用的種解題技巧。

【理論依據(jù)】:三邊對應相等的三角戲是全等三角形(SSS)、全等三角形對應角相等模型二：如圖二，角平分線+垂直兩邊型【幾何語言】:∵OC為∠AOB的角平分線,D為OC上一點DE⊥OA,DF⊥OB∴△CED≌△OFD(AAS),∴DE=DF模型三：如圖三，角平分線+垂直平分線型【說明】構造此模型可以利用等腰三角形的三線合一,也可以得到兩個全等的直角三角形,進而

得到對應邊、對應角相等。這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來。模型四：如圖四，角平分線+平行線型【說明】有角平分線時,常過角平分線上一點作角的有邊的平行線,構造等腰三角形,為證明結論提供更多的條件,體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關系。【題型6角平分線模型】【例6】（23-24八年級·四川成都·期末）（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）AE=13【分析】（1）由題意易得∠AOD=∠BOD，然后易證△AOD≌△BOD，進而問題可求證；（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，由題意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，則有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，則根據(jù)三角形外角的性質可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，進而問題可求證；（3）在AE上分別截取AF=AB，EG=ED，連接CF、CG，同理（2）可證△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，則有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，進而可得△CFG是等邊三角形，最后問題可求解．【詳解】證明：（1）∵射線OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA＝OB，∴△AOD≌△BOD（SAS），∴AD＝BD．（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，如圖所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD．（3）在AE上分別截取AF=AB=9，EG=ED=1，連接CF、CG，如圖所示：同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∵C為BD邊中點，∴BC=CD=CF=CG=3，∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△CFG是等邊三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【點睛】本題主要考查三角形全等的性質與判定、角平分線的定義、等腰三角形的性質與判定及等邊三角形的性質與判定，解題的關鍵是構造輔助線證明三角形全等．【變式6-1】（23-24八年級·湖北孝感·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，AC平分∠DAB，BD平分∠CBA，∠ADC+∠BCD=240°．

(1)求∠AOB的度數(shù)；(2)求證：OD=OC．【答案】(1)120°(2)見解析【分析】（1）由四邊形內角和性質求得∠DAB+∠ABC=120°．再由角平分線定義可得∠OAB=12∠DAB（2）作∠AOB的平分線交AB于E，證明△AOD≌△AOE，再由全等三角形的性質可得答案．【詳解】（1）在四邊形ABCD中，∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°，又∵∠ADC+∠BCD=240°，∴∠DAB+∠ABC=120°．∵AC平分∠DAB，BD平分∠CBA，∴∠OAB=12∠DAB∴∠OAB+∠OBA=1在△OAB中，∠AOB=180°?∠OAB+∠OBA（2）∠AOD=∠BOC=180°?∠AOB=60°．如圖，作∠AOB的平分線交AB于E．則∠AOE=∠BOE=∠DOA=∠COB=60°．

在△AOD和△AOE中，∠AOD=∠AOEOA=OA△AOD≌△AOEASA∴OD=OE．同理，OC=OE．∴OD=OC【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，正確地作出輔助線是解題的關鍵．【變式6-2】（23-24八年級·江蘇南京·期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．求證：BE＝12CD【答案】見解析【分析】分別延長BE、CA交于點F，首先結合題意推出△CFE≌△CBE，從而得到BE＝EF＝12BF，然后證明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD【詳解】證明：分別延長BE、CA交于點F，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠FEC＝90°．∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE．在△CFE與△CBE中，∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，∴△CFE≌△CBE，∴BE＝EF＝12BF在△CFE與△CAD中，∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝90°，∴∠F＝∠ADC．在△BFA與△CDA中，∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，∴△BFA≌△CDA，∴BF＝CD．∴BE＝12CD【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，理解角平分線的基本定義，熟練運用角平分線的性質構造輔助線，并且準確判定全等三角形是解題關鍵．【變式6-3】（23-24八年級·湖北武漢·期中）在△ABC中，BE，CD為△ABC的角平分線，BE，CD交于點F．（1）求證：∠BFC=90°+1（2）已知∠A=60°．①如圖1，若BD=4，BC=6.5，求CE的長；②如圖2，若BF=AC，求∠AEB的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）2.5；（3）100°．【分析】（1）由三角形內角和定理和角平分線得出∠FBC+∠FCB=90°?12∠A（2）在BC上取一點G使BG=BD，構造△BFG?△BFD（SAS），再證明△FEC?△FGC(ASA)，即可得BC=BD+CE，由此求出答案；（3）延長BA到P，使AP=FC，構造△BFC?△CAP（SAS），得PC=BC，∠P=∠BCF=12∠ACB，再由三角形內角和可求∠ABC=40°，∠ACB=80°【詳解】解：（1）∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，∴∠FBC+∠FCB=1∴∠BFC=180°?(∠FBC+∠FCB)=180°?(90°?1∴∠BFC=90°+1（2）如解（2）圖，在BC上取一點G使BG=BD，由（1）得∠BFC=90°+1∵∠BAC=60°，∴∠BFC=120°，∴∠BFD=∠EFC=180°?∠BFC=60°，在△BFG與△BFD中，BF=BF∠FBG=∠FBD∴△BFG?△BFD（SAS）∴∠BFD=∠BFG，∴∠BFD=∠BFG=60°，∴∠CFG=120°?∠BFG=60°，∴∠CFG=∠CFE=60°在△FEC與△FGC中，∠CFE=∠CFGCF=CF∴△FEC?△FGC(ASA)，∴CE=CG，∵BC=BG+CG，∴BC=BD+CE；∵BD=4，BC=6.5，∴CE=2.5（3）如解（3）圖，延長BA到P，使AP=FC，∵∠BAC=60°，∴∠PAC=180°?∠BAC=120°，在△BFC與△CAP中，BF=AC∠BFC=∠CAP=120°∴△BFC?△CAP（SAS）∴∠P=∠BCF，BC=PC，∴∠P=∠ABC，又∵∠P=∠BCF=1∴∠ACB=2∠ABC，又∵∠ACB+∠ABC+∠A=180°，∴3∠ABC+60°=180°，∴∠ABC=40°，∠ACB=80°，∴∠ABE=12【點睛】本題考查的是角平分線的性質、全等三角形的判定與性質，根據(jù)題意作出輔助線，構造出全等三角形是解答此題的關鍵．知識點7：雨傘模型如圖AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足為點D，延長BD交AC于點C，則?ABD≌?ACD，AB=AC，BD=CD【題型7雨傘模型】【例7】（23-24八年級·江蘇蘇州·期中）如圖，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E，F(xiàn)為AB的中點，連接CF，交AD于點G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關系？并說明理由；（2）判斷△BEG的形狀，并說明理由．【答案】（1）BE＝12AD，見解析；（2）△BEG【分析】（1）延長BE、AC交于點H，先證明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝12BH，再證明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，則BE＝12（2）先證明CF垂直平分AB，則AG＝BG，再證明∠CAB＝∠CBA＝45°，則∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可證明△BEG是等腰直角三角形．【詳解】證：（1）BE＝12AD如圖，延長BE、AC交于點H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，∠AEB=∠AEHAE=AE∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝12BH∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，∠BCH=∠ACDBC=AC∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝12AD（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝12∠CAB∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．【點睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等，理解等腰直角三角形的基本性質，并且掌握全等三角形中常見輔助線的作法是解題關鍵．【變式7-1】（23-24八年級·上海浦東新·期末）如圖，△BAD和△CAE是等腰三角形且∠BAD=∠CAE=90°，AF⊥CB，垂足為F．(1)試說明∠ABF=∠ADC的理由(2)猜想CF和CE的位置關系，并說明理由；(3)試說明：CD=2BF+DE．【答案】(1)見解析；(2)CF⊥CE，理由見解析(3)見解析【分析】（1）先根據(jù)等角的余角相等證得∠BAC=∠DAE，再根據(jù)全等三角形的判定證明即可得出∠ABC=∠ADE，根據(jù)領補角的定義，即可得證；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質和全等三角形的性質求得∠BCA=∠E=45°，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求得∠CAF=45°即可得出∠FAE=135°，進而證明AF∥（3）延長BF到G，使得FG=FB，根據(jù)全等三角形的判定與性質證明△AFB≌△AFGSAS，△CGA【詳解】（1）證明：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中，∵AB=AD∠BAC=∠DAE∴△BAC≌∴∠ABC=∠ADE，∴∠ABF=∠ADC；（2）解：∵∠CAE=90°，AC=AE，∴∠E=45°，由（1）知△BAC≌∴∠BCA=∠E=45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；又∵∠E=45°，∴∠FAE+∠E=180°，∴AF∥∵AF⊥BC，∴CF⊥CE；（3）證明：延長BF到G，使得FG=FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB和△AFG中，∴BF=GF∠AFB=∠AFG∴△AFB≌∴AB=AG，∠ABF=∠G，∵△BAC≌△DAE∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，∴∠CGA=∠CDA，∵∠GCA=∠DCA=45°，∴在△CGA和△CDA中，∠GCA=∠DCA∠CGA=∠CDA∴△CGA≌∴CG=CD，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，∴CD=2BF+DE．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、等角的余角相等、等腰三角形的性質、直角三角形的性質、線段的和差等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質，添加輔助線構造全等三角形求解線段問題是解答的關鍵．【變式7-2】（23-24八年級·山東泰安·期末）已知，如圖ΔABC中，AB=AC，∠A=90°，∠ACB的平分線CD交AB于點E，求證：CE=2【答案】見解析.【分析】延長BD交CA的延長線于F，先證得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再證△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出結論即可．【詳解】證明：如圖，延長BD交CA的延長線于F，∵∠BAC=∴∠BAF=∠BAC=∵∠BDC=∴∠BDC=∠FDC=∴∠ABF+∠BED=∵∠AEC=∠BED∴∠ACE=∠ABF∵AB=AC∴ΔACE≌ΔABF(ASA)∴CE=BF∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD∵CD=CD∴ΔCBD≌ΔCFD(ASA)∴BD=FD=∴BD=∴CE=2BD【點睛】此題考查三角形全等的判定與性質，角平分線的性質，根據(jù)已知條件，作出輔助線是解決問題的關鍵．【變式7-3】（23-24八年級·福建漳州·期末）求證：在直角三角形中，若一個銳角等于30°，則它所對的直角邊等于斜邊的一半．要求：(1)根據(jù)給出的線段AB及∠B，以線段AB為直角邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出Rt△ABC的斜邊AC，使得∠A=30°(2)根據(jù)（1）中所作的圖形，寫出已知、求證和證明過程．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)作一個角等于已知角的方法作圖即可；（2）根據(jù)圖形和命題的已知事項寫出已知，根據(jù)命題的未知事項寫出求證，再寫出證明過程即可．【詳解】（1）解：如圖所示，線段AC為所求作的線段；（2）已知：如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∠A=30°．求證：BC=1解法一：如圖，在AC上截取一點D，使得CD=CB，連接DB．∵∠ABC=90°，∠A=30