山東省聊城市莘縣第一中學2025屆高三上學期開學考試數(shù)學試題

2024-2025學年度62級高三開學考試題數(shù)學注意事項：本試卷共4頁.滿分150分，考試時間120分鐘.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算可求的值.【詳解】因為，所以，所以即，故，故選：D.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡集合，由交集的概念即可得解.【詳解】因為，且注意到，從而.故選：A.3.已知母線長為10的圓臺的側面積為，且其上底面的半徑與下底面的半徑滿足，則（）A2 B.4 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓臺側面積公式計算即可．【詳解】因為該圓臺的側面積為，母線長，所以，解得，則，故選：C．4.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由復數(shù)四則運算法則直接運算即可求解.【詳解】因為，所以.故選：C.5.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理進行邊角互化，結合兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】由正弦定理得，即，或．若，結合，有，故舍去．．，，故選：D．6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求的關系，結合的值可求前者，故可求的值.【詳解】因為，所以，而，所以，故即，從而，故，故選：A.7.記A，B為隨機事件，已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由全概率公式及并事件的概率公式求解．【詳解】記，由全概率公式有，代入數(shù)據(jù)有，解得，，故選：D．8.函數(shù)，若對任意，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)單調性的變形式即可判斷函數(shù)單調性，然后根據(jù)分段函數(shù)的性質即可求解.【詳解】因為對任意，都有成立，可得在上是單調遞減的，則，解得.故選：A二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.北京時間2024年7月27日，我國射擊健將黃雨婷?李豪戰(zhàn)勝韓國選手，摘奪了射擊混合團體10米氣步槍金牌，通過賽后數(shù)據(jù)記錄得到其中一名選手的得分分別為，則（）A.該組數(shù)據(jù)的極差為25B.該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為19C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17D.若該組數(shù)據(jù)去掉一個數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，利用極差、百分位數(shù)、平均數(shù)的概念逐項判斷即可.【詳解】對于A項，極差等于，故A正確；對于B項，，故分位數(shù)為20，故B錯誤；對于C項，平均數(shù)等于，故C正確；對于D項，去掉17后，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故D正確.故選：ACD.10.已知數(shù)列bn滿足，，記數(shù)列bn的前項積為，前項和為，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由已知計算數(shù)列的前幾項得出數(shù)列的周期性，利用周期性求解判斷．【詳解】已知數(shù)列滿足，則，所以數(shù)列是以3為一個周期的周期數(shù)列．對于A項，，A項正確；對于B項，，B項錯誤；對于C項，任意相鄰三項均在一個周期內，則，C項錯誤；對于D項，，所以，D項正確．故選：AD．11.已知函數(shù)是偶函數(shù)，點，點，點在函數(shù)的圖象上，且，記邊上的高為h，則（）A. B.函數(shù)是減函數(shù)C.點B可能在以為直徑的圓上 D.h的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】利用偶函數(shù)的性質求解參數(shù)判斷A，利用導數(shù)判斷B，利用圓的性質判斷C，利用不等式的取等條件判斷D即可.【詳解】對于A選項，由是偶函數(shù)得到，則，解得，故A正確；對于B選項，，故，且恒成立，故得為減函數(shù)，故B正確；對于C選項，由B知，即，由對稱性，可設，則．若點B在以為直徑的圓上，則有，帶入即，即．若，則，不滿足題意；若，，而，，故B不可能在以為直徑的圓上，故C錯誤；對于D選項，過點B作x軸的垂線交于點D，則（當且僅當時取等），而，記，則，當且僅當?shù)臅r候取等，即時取等，所以兩個不等號能同時取等，故h的最大值為，故D正確．故答案選：ABD【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)，解題關鍵是找到不等式的取等條件，然后得到參數(shù)值，得到所要求的最值即可．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為______．【答案】【解析】【分析】方法一：割補法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺體的體積公式直接運算求解.【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.方法二：棱臺的體積為.故答案為：.13.寫出一個同時具有下列性質的函數(shù)的解析式：__________.①不是常函數(shù)②的最小正周期為2③不存在對稱中心【答案】（不唯一）【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)所具有的性質，結合正弦函數(shù)的性質，即可確定答案.【詳解】根據(jù)題中函數(shù)需滿足的條件，可取函數(shù)為正弦型函數(shù)，即可取，其圖象為：結合圖象可知滿足題意，故答案為：（不唯一）14.已知直線與橢圓交于兩點，弦的中點為，則直線的方程為__________.【答案】【解析】【分析】點差法求出直線的斜率，點斜式得直線方程.【詳解】設點Ax1,y1,Bx將兩點代入橢圓方程，得，兩式作差得，整理得得直線的斜率為，直線的方程為，即.經(jīng)檢驗符合題意.A故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知橢圓過點和.（1）求的離心率；（2）若直線與有且僅有一個交點，求的一般式方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由橢圓過點和，求得，進而求得，即可得到的離心率；（2）聯(lián)立和的方程，得到關于的一元二次方程，由，可求得，即可得到的一般式方程.【小問1詳解】因為橢圓過點和，所以，解得，由，得，所以的離心率.【小問2詳解】由（1）可得的方程為，，聯(lián)立，得，由，得，直線的一般式方程為：.16.已知在中，A+B=3C,2sinA?C（1）求；（2）設，求邊上的高．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）根據(jù)角的關系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【小問1詳解】，，即，又，，，，即，所以，.【小問2詳解】由（1）知，，由=sinA由正弦定理，，可得，，.17.如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點.（1）求證：平面（2）求證：平面平面（3）若，求二面角余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）取的中點，由中位線定理可得，，推出四邊形是平行四邊形，進而可得，再由線面平行的判定定理，即可得出答案．（2）由線面垂直的判定定理可得平面，進而可得答案．（3）取的中點，連接，先找到二面角的平面角為，再計算余弦值，即可得出答案．【小問1詳解】證明：取中點，連接，因為為棱的中點，所以，，又，，為的中點，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．【小問2詳解】證明：因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，又平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，【小問3詳解】取的中點，連接，因為為的中點，所以，又，所以，又直三棱柱的幾何特征可得面，又面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以二面角的平面角為，因為，所以，，在中，，所以，所以二面角的余弦值為．18.設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．（1）求的值；（2）設函數(shù)，求的單調區(qū)間；（3）求的極值點個數(shù)．【答案】（1）（2）答案見解析（3）3個【解析】【分析】（1）先對求導，利用導數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調區(qū)間；（3）結合（2）中結論，利用零點存在定理，依次分類討論區(qū)間，，與上的零點的情況，從而利用導數(shù)與函數(shù)的極值點的關系求得的極值點個數(shù).【小問1詳解】因為，所以，因為在處的切線方程為，所以，，則，解得，所以.【小問2詳解】由（1）得，則，令，解得，不妨設，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調遞減，在，上單調遞增，即的單調遞減區(qū)間為和，單調遞增區(qū)間為和.【小問3詳解】由（1）得，，由（2）知在，上單調遞減，在，上單調遞增，當時，，，即所以在上存在唯一零點，不妨設，則，此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；所以在上有一個極小值點；當時，在上單調遞減，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，此時，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減；所以在上有一個極大值點；當時，在上單調遞增，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；所以在上有一個極小值點；當時，，所以，則單調遞增，所以在上無極值點；綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有個極值點.【點睛】關鍵點睛：本題第3小題的解題關鍵是判斷與的正負情況，充分利用的單調性，尋找特殊點判斷即可得解.19.若存在使得對任意恒成立，則稱為函數(shù)在上最大值點，記函數(shù)在上的所有最大值點所構成的集合為（1）若，求集合；（2）若，求集合；（3）設為大于1的常數(shù)，若，證明，若集合中有且僅有兩個元素，則所有滿足條件的從小到大排列構成一個等差數(shù)列．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）配方得到當且僅當時，取得最大值，得到；（2）求導，得到函數(shù)單調性，求出當或2時，取得最大值，故；（3）求導，得到函數(shù)單調性，并得到，得到，結合，得到為定值，故所有滿足條件的從小到大排列構成一個等差數(shù)列．【小問1詳解】,當且僅當時，在R上取得最大值，故；【小問2詳解】定義域為R，，令，則，令得，-0+極小值其中，故，，可以看出，故有且僅有2個零點，分別為1和2，令得或1或2，12+0-0+0-極大值極小值極大值其中，故當或2時，取得最大值，故；【小問3詳解】，，，，令得，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當，，單調遞增，…