江蘇省南京田家炳高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期初模擬考試數(shù)學(xué)試卷

2025屆南京田家炳期初模擬考試數(shù)學(xué)2024．08一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】先化簡，再根據(jù)虛部概念得解.【詳解】.故虛部為1.故選：D.2.的二項展開式中的系數(shù)為（）A.15 B.6 C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后令的次數(shù)為3，求出，從而可求得結(jié)果.【詳解】解：的通項公式為：，令，可得，所以二項展開式中系數(shù)：．故選：B．3.已知為單位向量，且則夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，得到，將等式展開由平面向量數(shù)量積定義即可得到答案.【詳解】設(shè)的夾角為，因為，為單位向量，所以，所以.故選：B.4.已知則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二倍角正余弦公式化簡,再根據(jù)平方關(guān)系求得結(jié)果.【詳解】故選：A【點睛】本題考查二倍角正余弦公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5.從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】方法一：先列舉出所有情況，再從中挑出數(shù)字之積是4倍數(shù)的情況，由古典概型求概率即可.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】無序從6張卡片中無放回抽取2張，共有15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有6種情況，故概率為.[方法二]：有序從6張卡片中無放回抽取2張，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12種情況，故概率為.故選：C.【整體點評】方法一：將抽出的卡片看成一個組合，再利用古典概型的概率公式解出，是該題的最優(yōu)解；方法二：將抽出的卡片看成一個排列，再利用古典概型的概率公式解出；6.等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】由結(jié)合等差中項的性質(zhì)可得，即可計算出公差，即可得的值.【詳解】由，則，則等差數(shù)列的公差，故.故選：B.7.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，且時，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.8.設(shè)函數(shù)，則曲線y=fx在點0,1處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算可得其在點0,1處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，即可得其面積.詳解】，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，不選或有選錯的得0分．9.對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（）A.與有相同的零點 B.與有相同的最大值C.與有相同的最小正周期 D.與的圖象有相同的對稱軸【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個選項即可.【詳解】A選項，令，解得，即為零點，令，解得，即為零點，顯然零點不同，A選項錯誤；B選項，顯然，B選項正確；C選項，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項正確；D選項，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)的對稱軸滿足，的對稱軸滿足，顯然圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.故選：BC10.拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（）A.l與相切B.當(dāng)P，A，B三點共線時，C.當(dāng)時，D.滿足的點有且僅有2個【答案】ABD【解析】【分析】A選項，拋物線準(zhǔn)線為，根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項，三點共線時，先求出的坐標(biāo)，進而得出切線長；C選項，根據(jù)先算出的坐標(biāo)，然后驗證是否成立；D選項，根據(jù)拋物線的定義，，于是問題轉(zhuǎn)化成的點的存在性問題，此時考察的中垂線和拋物線的交點個數(shù)即可，亦可直接設(shè)點坐標(biāo)進行求解.【詳解】A選項，拋物線的準(zhǔn)線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準(zhǔn)線和相切，A選項正確；B選項，三點共線時，即，則的縱坐標(biāo)，由，得到，故，此時切線長，B選項正確；C選項，當(dāng)時，，此時，故或，當(dāng)時，，，，不滿足；當(dāng)時，，，，不滿足；于是不成立，C選項錯誤；D選項，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，，這里，于是時點的存在性問題轉(zhuǎn)化成時點的存在性問題，，中點，中垂線的斜率為，于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，，即的中垂線和拋物線有兩個交點，即存在兩個點，使得，D選項正確.方法二：（設(shè)點直接求解）設(shè)，由可得，又，又，根據(jù)兩點間的距離公式，，整理得，，則關(guān)于的方程有兩個解，即存在兩個這樣的點，D選項正確.故選：ABD11.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則下列命題正確的是（

）A.當(dāng)時， B.函數(shù)有2個零點C.的解集為 D.，，都有【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)，則，利用函數(shù)的奇偶性即可判斷A；可看出，1，0都是的零點，即可判斷B；直接解不等式可判斷C；根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號可判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出的值域，即可判斷D.【詳解】是定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)，則，則，所以，故A正確；因為，f1=0，又，所以有3個零點，故B錯誤；當(dāng)時，由，得，得，當(dāng)時，由，得，得；所以的解集為，故C正確；當(dāng)時，，所以時，f′x<0，單調(diào)遞減，時，f′x>0所以時，取的最小值為，且時，，所以，即，當(dāng)時，，所以在0,2上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時，取最大值為，且時，，所以，所以，所以的值域為，所以，，都有，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為___________．【答案】【解析】【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出，結(jié)合雙曲線第一定義求出，即可得到的值，從而求出離心率.【詳解】由題可知三點橫坐標(biāo)相等，設(shè)在第一象限，將代入得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以.故答案為：13.已知為第一象限角，為第三象限角，，，則_______.【答案】【解析】【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得，再縮小的范圍，最后結(jié)合同角的平方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.詳解】法一：由題意得，因為，，則，，又因為，則，，則，則，聯(lián)立，解得.法二：因為為第一象限角，為第三象限角，則,，，則故答案為：.14.若數(shù)列滿足，（），則______.【答案】3268【解析】【分析】由數(shù)列遞推式可得到，和已知等式作差得，利用累加法即可求得答案.【詳解】由題意可得，作差得，故，故答案為：3268四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A．（2）若，，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對條件進行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出，然后根據(jù)正弦定理算出即可得出周長.【小問1詳解】方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點求解設(shè)，則，顯然時，，注意到，，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點，即，即，又，故方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設(shè)，由題意，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則，此時，即同向共線，根據(jù)向量共線條件，，又，故方法五：利用萬能公式求解設(shè)，根據(jù)萬能公式，，整理可得，，解得，根據(jù)二倍角公式，，又，故【小問2詳解】由題設(shè)條件和正弦定理，又，則，進而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長為16.記為數(shù)列an的前項和，已知．（1）求an（2）設(shè)，求數(shù)列bn的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用退位法可求an（2）利用錯位相減法可求.【小問1詳解】當(dāng)時，，解得．當(dāng)時，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列an是以4為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】,所以故所以，.17.如圖，在三棱錐中，，，為正三角形，為的中點，，.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，證明結(jié)合，先證明平面，得到，再證明，然后證明平面；（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，計算平面的法向量及，利用向量法求線面角.【小問1詳解】證明：作的中點，連接，因為是正三角形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因為∥，所以，又平面，所以平面；【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點,所在直線分別為為軸非負(fù)半軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖示，則，所以，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，取，則，設(shè)與平面所成角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左，右頂點分別為、，點是橢圓的右焦點，，．（1）求橢圓的方程；（2）不過點的直線交橢圓于、兩點，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過定點，并求出定點的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）證明見解析，．【解析】【分析】（1）寫出的坐標(biāo)，求出向量坐標(biāo)，根據(jù)向量的關(guān)系即可列出方程組，求得和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，，．聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，求出，根據(jù)即可求得和的關(guān)系，即可證明直線過定點并求出該定點．【小問1詳解】由題意知，，，，∵，，∴，解得，從而，∴橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，，．直線不過點，因此．由，得，時，，，∴，由，可得，即，故的方程為，恒過定點．19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)，求曲線在點處的切線方程．（2）若在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（3）若的最小值為1，求a．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出切線方程；（2）參變分離，構(gòu)造，求導(dǎo)，得到其最小值，求出a的取值范圍；（3）注意到，多次求導(dǎo)得到，從而分，，與，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，極值和最值情況，求出答案【小問1詳解】，，所以曲線在點處的切線方程，即．【小問2詳解】因為在區(qū)間上恒成立，所以，令，則，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，所以，所以在上單調(diào)遞增，故，所以．【小問3詳解】，令，則，令，則，當(dāng)時，，則，，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且，所以，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以．所以適合，當(dāng)時，當(dāng)時