熱點(diǎn)06平面向量、復(fù)數(shù)-2022年高考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】（新高考專用）（原卷版）

熱點(diǎn)06平面向量、復(fù)數(shù)

從新高考的考查情況來看，平面向量主要命題方向：向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積運(yùn)算，利用向量

數(shù)量積解決模長(zhǎng)、夾角問題，平行或垂直問題、平面向量基本定理及應(yīng)用，有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、平面解

析幾何進(jìn)行交匯命題共線向量定理，主要以選擇題和填空題的形式呈現(xiàn)，難度不大.考查考生的直觀想象、

數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)和方程思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.復(fù)數(shù)及其運(yùn)算也是新高考的一個(gè)必考點(diǎn)，內(nèi)容比較

簡(jiǎn)單，主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算。

i.平面向量的線性運(yùn)算技巧

（1）不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解.

（2）含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線

等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解.

求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較求參數(shù)的值.

2、數(shù)量積和模的計(jì)算問題，求解思路：①直接利用數(shù)量積的定義；②建立坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算求解.

在利用數(shù)量積的定義計(jì)算時(shí)，要善于將相關(guān)向量分解為圖形中模和夾角已知的向量進(jìn)行計(jì)算.求平面向量

的模時(shí)，常把模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方.

3、向量與平面幾何綜合問題的解法

1）坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代

數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.

2）基底法：適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來求解.

4、復(fù)數(shù)一般考查共聊復(fù)數(shù)以及復(fù)平面的意義比較多，中間夾雜著復(fù)數(shù)之間的運(yùn)算法則，這類題目相對(duì)比較

簡(jiǎn)單，屬于送分題目。牽涉到知識(shí)點(diǎn)也是比較少，主要注重基本運(yùn)算；特別會(huì)求復(fù)數(shù)類題目可采取答案帶

入式運(yùn)算。

熱點(diǎn)1.平面向量的最值(范圍)問題

①代數(shù)法：即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有

解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來解決.

②幾何法(數(shù)形結(jié)合法):即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根

據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；.

熱點(diǎn)2.平面向量與其它知識(shí)的交匯問題

1.向量在解析幾何中的作用

(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題時(shí)關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算

脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.

(2)工具作用：利用0_L6=a0=O；a//b<^a=Xb(b^O),可解決垂直、平行問題，特別是向量垂直、平行的坐

標(biāo)表示在解決解析幾何中的垂直、平行問題時(shí)經(jīng)常用到.

2.向量與三角的綜合應(yīng)用

解決這類問題的關(guān)鍵是應(yīng)用向量知識(shí)將問題準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為三角問題，再利用三角知識(shí)進(jìn)行求解.

“艮時(shí)檢測(cè)

A卷(建議用時(shí)60分鐘)

一、單選題

1.(2021?江蘇鎮(zhèn)江?高三期中)我國(guó)東漢數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證

明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示,

—3—

在“趙爽弦圖”中，若金亞缶=z,，則正=()

3—4一3—4一「4-3t4-3-

A.與+4B.—a+—bC.—。+—bD.-a+-b

772525252577

2.(2021?河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知向量1,5的夾角為。，|日+5|=28，\a-b\=2,則無5=()

A.2B-2&C.2GD.4G

3.(2021?江蘇?無錫市教育科學(xué)研究院高三期中)已知向量厲=(1,3),向量麗=(3,f),kq=2,則

COS(礪，福)等于()

.VioRVio「3Mn3x/io

10101010

4.(2021?陜西蒲城?高三期中)已知直角梯形ABC。中，AD//BC,ZADC=90°,AD=DC=2,BC=\,P

是oc的中點(diǎn)，則|AX+而|=()

A.V3B.45C.3D.9

5.(2021?山東?泰安一中模擬預(yù)測(cè))已知￡出是互相垂直的單位向量，若2=￡-2人則/2=()

A.-2B.-1C.0D.2

6.(2021?福建龍巖?高三期中)已知向量1=(0,4),很=(2,6),c=(x,2),若(3+2用〃2,則*=()

A.—B.—C.-D.1

234

7.(2021?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知單位向量￡晟的夾角為603=[+￡B=XI+21.若則實(shí)數(shù)1的值為

()

A.2B.-2C.4D.-4

ab

8.(2021?江蘇鹽城?高三期中)下列向量一定與向量網(wǎng)一付垂直的是()

9.(2021?四川成都?高三期中)已知向量：=(1,石)，B=(3,G),則方在￡方向上的投影是()

A.^3B.~\/3C.3D.-3

10.(2021?遼寧?高三期中)已知四邊形ABC。的三個(gè)頂點(diǎn)為A(0,2),8(-1,-2),C(3,1),S.BC=2AD,

則頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

A.(2,1)B.(2,g)C.(3,2)D.(1,3)

11.（2021?河南?高三期中）如圖所示，矩形45co的對(duì)角線相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E在線段。8上且0E=§08,

2

D.

3

2-bi

12.（2021?河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如果復(fù)數(shù)其中i為虛數(shù)單位,八為實(shí)數(shù)）為純虛數(shù),那么b=（)

A.1B.2C.4D.-4

13.（2021?福建省連城縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,-2）,則力的共

規(guī)復(fù)數(shù)為()

A.l-2iB.l+2iC.2+iD.2-i

14.（2021?福建師大附中高三期中）已知zi=3+4i,其中i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

15.（2021?江蘇海安?高三期中）己知2i-3是關(guān)于x的方程/+6》+4=0（4€汽）的一個(gè)根，則該方程的另一

個(gè)根為（）

A.2i+3B.-2i-3C.2i-3D.-2i+3

16.（2021?山東青島?高三期中）若復(fù)數(shù)z滿足|z-2-3i|=5,則復(fù)數(shù)z的共枕復(fù)數(shù)不可能為（）

A.2+8iB.-2-6iC.5+iD.5-7i

二、多選題

17.（2021?河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知a=（1,2）,5=（-4/）,則（）

A.若￡〃加，則f=8B.若。_L5，貝卜=2

C.17-刈的最小值為5D.若向量力與向量B的夾角為鈍角，貝打＜2

18.（2021?全國(guó)全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)。為正十邊形ABCOEFG"〃的中心，且OA=1,則下列結(jié)論

正確的有（)

A

B

G\/D

FE

uuuuuuuiomiuuimunuuuuuuuuu/^\/\1

A.AB//EHB.OAHE+OBHE=0C.OB+OF=IOD.\OAOB^\OBOD^=-

19.（2021?重慶一中高三期中）已知點(diǎn)G是三角形ABC的重心，以下結(jié)論正確的是（）

A.AB+AC=3AGB.若（或+品）?A月=0,則三角形ABC是等腰三角形

C.三角形43c的面積等于白而則A=fD.若|福=3,|蔗|=4,A=亭，則|布|=名竺

2433

20.（2021?重慶九龍坡?高三期中）下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若夫卜卜|,則￡=石或〃=—6B.ma=mb>me.R則”=石

C.若“//3，dlb<則〃//cD.若ma=6,tn&R,則機(jī)=。或a=0

21.（2021?重慶?模擬預(yù)測(cè)）己知復(fù)數(shù)4=-2+i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A,復(fù)數(shù)z,滿足

%-l+i|=2,zz在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B為（x,y）,則下列結(jié)論正確的有（）

A.復(fù)數(shù)句的虛部為iB.（x-l）2+（y+l）2=4

C.|Z|-Z2|的最大值至+2D.B+Z2I的最小值為g-2

22.（2021?江蘇?南京師大蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三期中）已知實(shí)數(shù)。滿足，瞥=2+i（,?為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)

1-1

z=（a+l）+（a-l）i，則（）

A.z為純虛數(shù)B.z?為虛數(shù)C.z+z=0D.z-z=4

23.（2021?浙江浙江?高三期末）下列命題為真命題的是（）

A.若4*2互為共輾復(fù)數(shù)，則ZK為實(shí)數(shù)B.若i為虛數(shù)單位，〃為正整數(shù)，則產(chǎn)+3甘

C.復(fù)數(shù)上7的共朝復(fù)數(shù)為-2-iD.復(fù)數(shù)為-2-i的虛部為一1

1-2

三、填空題

24.（2021?四川?成都七中高三期中）已知向量〃=（/,加），B=（3X-2,X+2）.

(1)若當(dāng)尤=2時(shí)，alb,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為；

(2)若存在正數(shù)X,使得：〃力，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

25.(2021?上海普陀?一模)設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=(l+2i"2-i),則z的實(shí)部與虛部的和為.

26.(2021?江蘇鎮(zhèn)江?高三期中)已知非零向量&石不共線，若麗=。+5，前=2萬-35，CD=2a-kb<

且A,C,。三點(diǎn)共線，則&=.

四、解答題

27.(2021?湖北?高三期中)如圖，在菱形ABC。中，若4B=3,ZBAD=6O°,BE=^BC,CF=2FD.

(1)若荏=2而+〃而，EF=xAB+yAD,求/I,〃，x,y的值；(2)求荏.甌的值.

D___F__________C

28.(2021?山東德州?高三期中)已知向量M與B是夾角為2的單位向量，且向量￡=31+41石=霍+2￡

(1)求向；(2)若求實(shí)數(shù)4的值.

29.(2021?全國(guó)?高三專題練習(xí))AA3C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知sj〃A+6cosA=0，

=2幣,b=2.(1)求角A和邊長(zhǎng)c；(2)設(shè)。為BC邊上一點(diǎn)，且A￡>為角A的平分線，試求三角形

的面積；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E為線段3。的中點(diǎn)，若荏=2而+〃/，分別求2和〃的值.

30.（2022?上海?高三專題練習(xí)）己知關(guān)于x的方程幺-3曲:-3a=0（aeR）的虛數(shù)根為為、x2.

（1）求岡+村的取值范圍；（2）若歸-q=1，求實(shí)數(shù)”的值.

B卷（建議用時(shí)90分鐘）

一、單選題

IutmIiULI

1.（2021?重慶九龍坡?高三期中）已知福'1福，|0叫=|O因=1,而=葩+砥，]。尸卜則|04|的取

值范圍（）

A.停，揚(yáng)B.（等,偽C.g,揚(yáng)D.（冬而

2.（2021?內(nèi)蒙古?海拉爾第二中學(xué)高三期中）如圖，在平行四邊形48co中，AE=\AD,BF=[BC,CE

34

與。尸交于點(diǎn)O.設(shè)通=￡,AD=b?若AO=4O+〃B,則4+〃=()

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知工坂是不共線向量，設(shè)次=22+5,詼=￡+2人浣=3〉力，朋=13%,

若△OAB的面積為3,則△。。。的面積為（）

A.8B.6C.5D.4

4.（2021?湖北?高三期末）已知復(fù)數(shù)4和z?滿足|z「8—⑷卜數(shù)區(qū)—4—64,忸―引=3,則國(guó)的取值范圍

為（）

A.[0,13]B.[3,9]C.[0,10]D.[3,13]

5.（2021?山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)高三期中）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，

深受大眾喜愛，下圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓4（前輪），圓。（后輪）的半徑均為正，

△ABE,ABEC,AECD均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，設(shè)點(diǎn)尸為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過程

A.24B.24+4癡C.30+20D.48

6.（2021?福建省福州第一中學(xué)高三期中）設(shè)￡、5、"為非零不共線向量，若卜一代+（17）巾忸Y|（feR）,

則（)

A.(a+B)_L(〃-c)B.(a+B)_L(/?+c)C.(a-b^L^ci-c^D.(a-c)-L(5+c)

7.（2021?上海虹口一模）已知復(fù)數(shù)z=a+?i（其中i為虛數(shù)單位）滿足ZS=4,給出下列結(jié)論:

①/+從的取值范圍是［1,4］：②他-可+■2+J（a+可+匕2=4：③'叵的取值范圍是

（-°°?—］,［）；④，?+，?的最小值為；

l^l,+°o2其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（)

A.1B.2C.3D.4

8.（2021?上海市徐匯中學(xué)高三期中）已知方程V+x+機(jī)=0（meR）有兩個(gè)虛根氏夕，若卜一刈=3,則，”的

值是（）

A.-2或一B.-2C.-D.——

222

9.（2021?黑龍江?大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)

系，并寫出以下公式e'、=cosx+isinx,這個(gè)公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋

/廠\2019

根據(jù)此公式，有下列四個(gè)結(jié)論：①e加+1=0;②（+烏=-1；③2cosx=e"+e』；④2sinx=e"-e*.

（22）

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）

A.①②③B.②④C.①②D.①③

二、多選題

10.（2021?湖北?高三期中）下列說法正確的是（）

A.若；=。,2）,k（l,-l）,且［與￡+4的夾角為銳角，則2的取值范圍是（9,5）

B.若M是“8C的外心，HPA+PB+PC=2PM，則P是“3。的內(nèi)心

C.若。為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且5面+4麗+3反=0,則AOAB,MAC,AOBC的面積之比3：4：5

D.若。是AABC的外心，AB=3,AC=5,厲.貸的值為-8

11.（2021?福建省福州第一中學(xué)高三期中）數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學(xué)》首次指出：

的外心。，重心G,垂心，，依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一

半，該直線被稱為歐拉線.若鉆=4,AC=2,則下列各式正確的是（）

A.2GO+GH=6B.AGBC=4C.AOBC=-6D.OH=OA+OB+OC

12.（2021?山東師范大學(xué)附中高三期中）在中，OA=WC，OB=2OD,AD,BC的交點(diǎn)為過

M的動(dòng)直線/分別交線段AC,BD于E,尸兩點(diǎn)，^OE=AOA，OF=juOB（A,〃>0）,則下列結(jié)論正

確的是（)

___1-,3—>r-12

A.OM——OA+—OBB.32+〃=72〃C.7^4-7//^4+2>/3D.

13.（2021?廣東?模擬預(yù)測(cè)）下列命題中正確的有（）

A.若復(fù)數(shù)z滿足則zeR;B.若復(fù)數(shù)z滿足z2eR，則zeR；

Z

C.若復(fù)數(shù)z”2滿足Z'CR,則4=云；D.若復(fù)數(shù)zeR,貝”eR.

14.（2021?湖北?襄陽四中模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)復(fù)數(shù)集X稱為某種運(yùn)算的“和諧集”是指X滿足性質(zhì):①XUC；②Va,

對(duì)某種規(guī)定的運(yùn)算。十4都有hex.則下列數(shù)集X是相應(yīng)運(yùn)算的“和諧集”的是（）

A.X={xGc|x=i",W〃eZ},其中，是虛數(shù)單位，規(guī)定運(yùn)算:a十（V“，bWX）

B.X={xeC|x-x=1},規(guī)定運(yùn)算:a十/?=3,（Va,beX）

b

C.X={XGC||X|<1},規(guī)定運(yùn)算:a96=a。，（Va,b^X）

D.X=1%ec||j|+|y|<|x-y|,y=l+j|,規(guī)定運(yùn)算:“十尻a+b,（Va,Z?GX）

三、填空題

15.（2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家棣莫佛（Oe〃加we,1667~1754）出生于法國(guó)香檳，他在概率論

和三角學(xué)方面，發(fā)表了許多重要論文.1707年棣莫佛提出了公式：上（cose+isin。）］"=/'（cos〃e+isin〃e）,

,、6「I4

其中？■>(),"eN*.根據(jù)這個(gè)公式，則|cos工+isir>E1=_____；若r(cos—+isin—)=-16,則，=_____.

I1212J44

16.（2021?天津二中高三期中）已知邊長(zhǎng)為4代的正AABC,內(nèi)切圓的圓心為O,過8點(diǎn)的直線/與圓相交

于M,N兩點(diǎn),（1）若圓心。到直線/的距離為1,則|麗卜；（2）若的=2麗+“就任"e（（），”）），

則義+〃的取值范圍為

17.（2021?天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）在AABC中，BC=3,AC=4,ZACB=90°,。在邊AB上（不

與端點(diǎn)重合）.延長(zhǎng)C。到P,使得CP=9.當(dāng)。為A8中點(diǎn)時(shí),P。的長(zhǎng)度為；若定=mPA+仁-沙8

3

（機(jī)為常數(shù)WHO且加二^）,則8。的長(zhǎng)度是一.

18.（2021?四川宜賓?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，且

滿足\P局O\

=2,記/（/）=卜?！?幻4（七/?）若/（「）的最小值為人必，則人而的最大值為

19.（2021?浙江?慈溪中學(xué)高三期中）已知平面向量,石忑滿足：同明=2,無5=0,c+^a=\,當(dāng)萬Y與bv

所成角0最大時(shí)，則sin，=

20.（2022?天津北辰。如圖，在平面四邊形ABC。中，AB±BC,AD±CD,ABAD=120°,AB=AD=\.若點(diǎn)

E為邊CQ上的動(dòng)點(diǎn)，則麗.麗的最小值為.

A

四、解答題

21.（2021?江蘇?無錫市教育科學(xué)研究院高三期中）在AABC中，已知Afi=2,AC=JFT，cosZBAC=,

22

。為BC的中點(diǎn)，E為48邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AO與CE交于點(diǎn)。.設(shè)無百=0瓦

1co

（1）若》=求=的值；（2）求而?麗的最小值.

4OE

22.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知O是線段43外一點(diǎn)，若礪=萬，礪。）設(shè)點(diǎn)4、&是線段A8

的三等分點(diǎn)，AOAA,、△。其人及△。48的重心依次為GI、G、G3,試用向量1、5表示南1+。42+何;

（2）如果在線段AB上有若干個(gè)等分點(diǎn)，你能得到什么結(jié)論？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

23.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，已知正方形A8CO的邊長(zhǎng)為亞，點(diǎn)尸為正方形內(nèi)一點(diǎn).