2023-2024學(xué)年吉林省通化市梅河口五中高二（上）第三次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

-2024學(xué)年吉林省通化市梅河口五中高二（上）第三次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．（5分）直線的傾斜角為A． B． C． D．2．（5分）已知在等差數(shù)列中，，，則A．4 B．6 C．8 D．103．（5分）雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．4．（5分）在遞增等比數(shù)列中，，，則公比為A．4 B．3 C．2 D．5．（5分）已知為橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，，則的周長為A．4 B． C．8 D．6．（5分）如圖，在圓錐中，軸截面的頂角，設(shè)是母線的中點(diǎn)，在底面圓周上，且，則異面直線與所成角的大小為A． B． C． D．7．（5分）已知是拋物線上的一動點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，垂直于軸，垂足為，則的最小值為A． B．2 C． D．8．（5分）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過作雙曲線的其中一條漸近線的垂線，垂足為（第一象限），并與雙曲線交于點(diǎn)，若，則的斜率為A．2 B．1 C． D．二、多選題9．（5分）已知直線和圓，則A．直線恒過定點(diǎn) B．直線與圓相交 C．存在使得直線與直線平行 D．直線被圓截得的最短弦長為10．（5分）已知橢圓，，分別為它的左右焦點(diǎn)，，分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于，的一個動點(diǎn)．下列結(jié)論中，正確的有A．橢圓的長軸長為 B．滿足△為直角三角形的點(diǎn)恰有6個 C．的最大值為8 D．直線與直線的斜率乘積為定值11．（5分）如圖，在棱長為2的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有A．為中點(diǎn)時，過，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面的周長為 B．不存在點(diǎn)，使得平面平面 C．存在點(diǎn)使得的值為 D．三棱錐外接球體積最大值為12．（5分）設(shè)數(shù)列的前項和為，若，，則下列結(jié)論正確的是A．是等比數(shù)列 B．是單調(diào)遞減數(shù)列 C． D．三、填空題13．（5分）已知直線與直線，若，則與之間距離是．14．（5分）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則取得最大值時的值為．15．（5分）已知數(shù)列的前項和為，若，，則的通項公式為．16．（5分）已知，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過且斜率為的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，記△的內(nèi)切圓半徑為，△的內(nèi)切圓半徑為．若，則．四、解答題17．（10分）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，存在四點(diǎn)，，，．（1）求過，，三點(diǎn)的圓的方程，并判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；（2）若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為8，求直線的方程．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，，是棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求平面與平面夾角的余弦值．條件①：平面平面；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．20．（12分）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線相交于不同的、兩點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）如果，直線是否過一定點(diǎn)，若過一定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不過一定點(diǎn)，試說明理由．21．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）求．22．（12分）已知橢圓的兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)是直角三角形的三個頂點(diǎn)，且橢圓過，斜率為的直線與橢圓交于、．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，記的中點(diǎn)為坐標(biāo)為且，求直線的方程，并寫出的坐標(biāo)．

參考答案一、單選題1．（5分）直線的傾斜角為A． B． C． D．解：由題設(shè)，令其傾斜角為，，，則，所以．故選：．2．（5分）已知在等差數(shù)列中，，，則A．4 B．6 C．8 D．10解：在等差數(shù)列中，則，解得．故選：．3．（5分）雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．解：雙曲線的離心率為，即，所以，則，故的漸近線方程為．故選：．4．（5分）在遞增等比數(shù)列中，，，則公比為A．4 B．3 C．2 D．解：根據(jù)題意，等比數(shù)列中，設(shè)其公比為，若，則，即，又由，則有，解可得：或，又由數(shù)列為遞增等比數(shù)列，則；故選：．5．（5分）已知為橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，，則的周長為A．4 B． C．8 D．解：直線恒過的定點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的定義知的周長為．故選：．6．（5分）如圖，在圓錐中，軸截面的頂角，設(shè)是母線的中點(diǎn)，在底面圓周上，且，則異面直線與所成角的大小為A． B． C． D．解：因為是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，所以異面直線與所成的角即為（或其補(bǔ)角）．易知．因為，，，平面，所以平面．因為平面，所以．又，，，平面，所以平面，而平面，所以．因為，，所以為等邊三角形，所以，所以．故選：．7．（5分）已知是拋物線上的一動點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，垂直于軸，垂足為，則的最小值為A． B．2 C． D．解：由題意得的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．所以等于到的距離減2．所以．當(dāng)是與拋物線的交點(diǎn)時．最小，最小值為．所以的最小值為．故選：．8．（5分）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過作雙曲線的其中一條漸近線的垂線，垂足為（第一象限），并與雙曲線交于點(diǎn)，若，則的斜率為A．2 B．1 C． D．解：由已知直線的方程為，即，點(diǎn)，則，因為，所以為線段的中點(diǎn)，則，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，則，在中，由余弦定理可得：，又，所以，故的斜率為1，故選：．二、多選題9．（5分）已知直線和圓，則A．直線恒過定點(diǎn) B．直線與圓相交 C．存在使得直線與直線平行 D．直線被圓截得的最短弦長為解：對于，由，可得，所以直線恒過定點(diǎn)，故錯誤；對于，因為，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，故正確；對于，因為直線的斜率為，所以直線的斜率為，此時直線的方程為，直線與直線重合，故錯誤；對于；設(shè)直線恒過定點(diǎn)，圓心到直線的最大距離為，此時直線被圓截得的弦長最短為，故正確．故選：．10．（5分）已知橢圓，，分別為它的左右焦點(diǎn)，，分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于，的一個動點(diǎn)．下列結(jié)論中，正確的有A．橢圓的長軸長為 B．滿足△為直角三角形的點(diǎn)恰有6個 C．的最大值為8 D．直線與直線的斜率乘積為定值解：對于，對于橢圓，，，它的長軸長為，錯誤；對于，△為直角三角形，若為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)作軸的垂線，則與橢圓有兩個交點(diǎn)，這兩個交點(diǎn)滿足題意；若為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)作軸的垂線，則與橢圓有兩個交點(diǎn)，這兩個交點(diǎn)也滿足題意；若為直角頂點(diǎn)，則，此時點(diǎn)為橢圓短軸的2個端點(diǎn)，故滿足△為直角三角形的點(diǎn)恰有6個，正確；對于，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最大值為8，正確；對于，由題意知，設(shè)，，則，，故，正確．故選：．11．（5分）如圖，在棱長為2的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有A．為中點(diǎn)時，過，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面的周長為 B．不存在點(diǎn)，使得平面平面 C．存在點(diǎn)使得的值為 D．三棱錐外接球體積最大值為解：選項，為中點(diǎn)時，連接，，，由于，分別是，，所以，由于，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，則過，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為梯形，其周長為，所以選項錯誤．選項，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，，0，，，，所以直線與平面不平行，所以不存在點(diǎn)，使得平面平面，選項正確．選項，將正方形、正方形展開成平面圖形如下圖所示，連接，交于，此時取得最小值為，所以不存在點(diǎn)使得的值為，選項錯誤．選項，對于三棱錐，其中，，兩兩相互垂直，其中，為定值，，而三棱錐外接球的直徑，是將其補(bǔ)形為長方體時，長方體的體對角線，也即，所以外接球半徑的最大值為，其體積的最大值為，選項正確．故選：．12．（5分）設(shè)數(shù)列的前項和為，若，，則下列結(jié)論正確的是A．是等比數(shù)列 B．是單調(diào)遞減數(shù)列 C． D．解：由題設(shè)，，則，當(dāng)，則，則，是首項、公比均為的等比數(shù)列，則，故，則，故不遞減，，在上遞增，，綜上，、、對，錯．故選：．三、填空題13．（5分）已知直線與直線，若，則與之間距離是．解：兩條直線與平行，則，解得．所以直線轉(zhuǎn)換為，所以兩直線間的距離．故答案為：．14．（5分）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則取得最大值時的值為8．解：由已知數(shù)列為等差數(shù)列，則，又，所以，則，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最大值，故答案為：8．15．（5分）已知數(shù)列的前項和為，若，，則的通項公式為．解：由題意，，，時，①，②，①②得：，整理得：，時，，不滿足上式，故，故答案為：．16．（5分）已知，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過且斜率為的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，記△的內(nèi)切圓半徑為，△的內(nèi)切圓半徑為．若，則．解：如圖，記△的內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓在邊、、上的切點(diǎn)分別為、、，易知、兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，，，，由，即，得，即，記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，則，得．記△的內(nèi)切圓圓心為，同理得內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，則軸，設(shè)直線的傾斜角為，則，在中，，同理，在中，，所以，即，所以．故答案為：．四、解答題17．（10分）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為．解：（1）設(shè)公差為，，故，解得，故；（2），故．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，存在四點(diǎn)，，，．（1）求過，，三點(diǎn)的圓的方程，并判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；（2）若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為8，求直線的方程．解：（1）設(shè)圓方程為，，，，把，，三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：解得，，，所以圓方程是，把點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：，故在圓內(nèi)；（2）由（1），可知圓，則圓心，半徑，由題意可知圓心到直線的距離是3，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為：，所以，解得，故直線的方程為；當(dāng)直線斜率不存在時，則直線方程為：，此時圓心到直線的距離是3，符合題意．綜上所述，直線的方程為或．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，，是棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求平面與平面夾角的余弦值．條件①：平面平面；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．解：（Ⅰ）證明：在底面中，連接交于點(diǎn)，可得為中點(diǎn)，連接，因為是的中位線，所以，因為平面，又因為平面，所以平面．（Ⅱ）選①：平面平面．因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面，所以，，又底面是正方形，所以，所以，，兩兩相互垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系則，0，，，2，，，0，．所以，2，，，0，，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，，所以，，，又因為平面，所以，0，為平面的一個法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，，所以平面與平面夾角的余弦值為．選②：．因為，，又底面是正方形，所以，，兩兩相互垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系則，0，，，2，，，0，，所以，2，，，0，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，則，，于是，，，又因為平面，所以，0，為平面的一個法向量．設(shè)平面與平面夾角為，所以，，所以平面與平面夾角的余弦值為．20．（12分）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線相交于不同的、兩點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）如果，直線是否過一定點(diǎn)，若過一定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不過一定點(diǎn)，試說明理由．解：（1）由題意可知，將點(diǎn)代入拋物線方程，可得，解得，則拋物線方程為．（2）因為直線與拋物線相交于不同的、兩點(diǎn)，所以直線不與軸平行，可設(shè)，聯(lián)立，消得，設(shè)，，，，所以，．由，解得，則直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)．21．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）求．解：（1）由，得，則當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，上式成立，所以；（2）由（1）知①，②，①②得，，．22．（12分）已