人教版九年級上冊數學舉一反三21.1一元二次方程【八大題型】(學生版+解析)

專題21.1一元二次方程【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1識別一元二次方程】 1【題型2由一元二次方程的概念求參數的值】 1【題型3由一元二次方程的概念求參數的取值范圍】 2【題型4一元二次方程的一般形式】 2【題型5由一元二次方程的解求參數的值】 3【題型6由一元二次方程的解求代數式的值】 3【題型7由一元二次方程的解通過降次求代數式的值】 4【題型8由一元二次方程的根求另一方程的根】 4【知識點1一元二次方程的定義】等號兩邊都就是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數得最高次數就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程?！绢}型1識別一元二次方程】【例1】（2023春·山東青島·九年級?？计谥校┫铝嘘P于x的方程：①ax2+bx+c=0；②3(x?9)2?(x+1)2=1；③x+3=1x；④a2+1xA．1 B．2 C．3 D．4【變式1-1】（2023春·廣東茂名·九年級統考期末）下列是一元二次方程的是（

）A．2x+1=0 B．x2+y=1 C．x2【變式1-2】（2023春·江蘇徐州·九年級?？计谀┫铝嘘P于x的方程中，一定是一元二次方程的為（）A．ax2+bx+c=0 B．x2?2=(x+3)【變式1-3】（2023春·甘肅蘭州·九年級統考期中）下列關于x的方程：①ax2+3x2+2=0；②x2+x?1=0；③A．1 B．2 C．3 D．4【題型2由一元二次方程的概念求參數的值】【例2】（2023春·新疆烏魯木齊·九年級烏市八中?？计谀﹎x|m?2|+3x?7=0【變式2-1】（2023春·江蘇無錫·九年級統考期末）若方程xm+1?3x+1=0是關于x的一元二次方程，則【變式2-2】（2023春·河南開封·九年級統考期末）若關于x的方程k?1x2+2x?3=0【變式2-3】（2023春·四川樂山·九年級統考期末）若m?1xm+1?3x+5=0是關于x【題型3由一元二次方程的概念求參數的取值范圍】【例3】（2023春·福建龍巖·九年級統考期中）已知關于x的方程a?3x2+【變式3-1】（2023春·福建莆田·九年級統考期末）若方程kx2?2x+1=0是關于x的一元二次方程，則kA．k>0 B．k≠0 C．k≥0 D．k為實數【變式3-2】（2023春·廣東深圳·九年級統考期末）關于x的方程（a2＋1）x2＋2ax﹣6＝0是一元二次方程，則a的取值范圍是（

）A．a≠±1 B．a≠0C．a為任何實數 D．不存在【變式3-3】（2023春·河南漯河·九年級統考期中）若關于x的方程ax2=x+1x?1A．a≠0 B．a≠1 C．a≠?1 D．a≠±1【知識點2一元二次方程的一般形式】一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)、其中，ax2就是二次項，a就是二次項系數；bx就是一次項，b就是一次項系數；c就是常數項?！绢}型4一元二次方程的一般形式】【例4】（2023春·河北邯鄲·九年級統考期中）將下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次項系數是4，一次項系數是?7，常數項是2的方程是（

）A．4x2+2=7x B．4x2?2=7x【變式4-1】（2023春·貴州銅仁·九年級統考期末）一元二次方程x2【變式4-2】（2023春·云南楚雄·九年級統考期末）一元二次方程2x2+x=3A．2 B．1 C．3 D．?3【變式4-3】（2023春·湖南株洲·九年級?？计谥校┤絷P于x一元二次方程(2a?4)x2+(3a+9)x+a?8=0【知識點3一元二次方程的解】使一元二次方程左右兩邊相等得未知數得值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解得定義就是解方程過程中驗根得依據?！绢}型5由一元二次方程的解求參數的值】【例5】（2023春·云南昆明·九年級統考期末）若關于x的一元二次方程2x2?3x?a【變式5-1】（2023春·廣東惠州·九年級統考期末）已知關于x的方程4x2?7x+m=0【變式5-2】（2023春·吉林四平·九年級統考期末）關于x的一元二次方程kx2+2x?3=0的一個根是1，則kA．1 B．2 C．3 D．無法確定【變式5-3】（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學校?？奸_學考試）已知關于x的一元二次方程x2?22x+m?1=0，若方程有一個根是【題型6由一元二次方程的解求代數式的值】【例6】（2023春·山東德州·九年級統考期末）若關于x的一元二次方程ax2+bx+2=0的一個根是x=?A．2018 B．2020 C．2022 D．2024【變式6-1】（2023春·山西朔州·九年級統考期末）已知t為一元二次方程x2?1011x+2023=0的一個解，則2tA．?2023 B．?2022 C．?4046 D．?4044【變式6-2】（2023春·北京西城·九年級北師大實驗中學校考開學考試）已知a是方程2x2?3x?7=0【變式6-3】（2023春·黑龍江雞西·九年級統考期末）設α，β是方程x2+2022x?2=0的兩個根，則【題型7由一元二次方程的解通過降次求代數式的值】【例7】（2023春·河北滄州·九年級統考期中）已知m是方程x2+x?1=0的根，則【變式7-1】（2023春·湖南永州·九年級?？计谀┤鬽(m≠0)是方程x2?x?1=0的一個根，則代數式m?1A．1 B．12 C．25【變式7-2】（2023春·山東濱州·九年級統考期末）已知a為方程x2+3x?2023=0的根，那么【變式7-3】（2023春·湖南岳陽·九年級統考期末）已知a是方程x2?2021x+1=0的一個根，則【題型8由一元二次方程的根求另一方程的根】【例8】（2023春·新疆·九年級新疆農業(yè)大學附屬中學校考期中）若關于x的一元二次方程ax2+2bx?2=0的一個根是x=2021，則一元二次方程aA．2020 B．2021 C．2022 D．2019【變式8-1】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）若關于x的一元二次方程ax2+bx+5=0a≠0有一根為2022，則方程A．2022 B．2020 C．2019 D．2021【變式8-2】（2023春·江蘇南京·九年級南京外國語學校仙林分校?？茧A段練習）關于x的方程x+m2=n的解是x1=-2，x【變式8-3】（2023春·江蘇連云港·九年級校考階段練習）關于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，（a，b，m均為常數，a≠0），則關于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是__________.

專題21.1一元二次方程【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1識別一元二次方程】 1【題型2由一元二次方程的概念求參數的值】 3【題型3由一元二次方程的概念求參數的取值范圍】 4【題型4一元二次方程的一般形式】 6【題型5由一元二次方程的解求參數的值】 8【題型6由一元二次方程的解求代數式的值】 9【題型7由一元二次方程的解通過降次求代數式的值】 11【題型8由一元二次方程的根求另一方程的根】 13【知識點1一元二次方程的定義】等號兩邊都就是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數得最高次數就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程?！绢}型1識別一元二次方程】【例1】（2023春·山東青島·九年級?？计谥校┫铝嘘P于x的方程：①ax2+bx+c=0；②3(x?9)2?(x+1)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據一元二次方程的定義求解即可．【詳解】解：①當a=0時，ax2+bx+c=0②3(x?9)2?③x+3=1④∵a∴(a2+1)所以②④是關于x的一元二次方程，共有2個，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的概念．只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0)【變式1-1】（2023春·廣東茂名·九年級統考期末）下列是一元二次方程的是（

）A．2x+1=0 B．x2+y=1 C．x2【答案】C【分析】一元二次方程的概念：只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，據此逐項判斷即可．【詳解】解：A中方程的未知數的最高次數是1次，故不是一元二次方程，不符合題意；B中方程含有兩個未知數，故不是一元二次方程，不符合題意；C中方程是一元二次方程，符合題意；D中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程滿足的條件是解答的關鍵．【變式1-2】（2023春·江蘇徐州·九年級?？计谀┫铝嘘P于x的方程中，一定是一元二次方程的為（）A．ax2+bx+c=0 B．x2?2=(x+3)【答案】D【分析】根據一元二次方程的定義進行判斷即可．【詳解】解：A、當a=0時，該方程不是關于x的一元二次方程，故A不符合題意；B、方程整理后不含有二次項，該方程不是關于x的一元二次方程，故B不符合題意；C、該方程屬于分式方程，不是關于x的一元二次方程，故C不符合題意；D、符合一元二次方程的定義，故D符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義．只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0【變式1-3】（2023春·甘肅蘭州·九年級統考期中）下列關于x的方程：①ax2+3x2+2=0；②x2+x?1=0；③A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題根據一元二次方程必須滿足兩個條件：（1）未知數的最高次數是2；（2）二次項系數不為0．據此逐項判定即可．【詳解】解：ax2+3x2x2x22x2?1=2所以正確的只有②共1個，故選：A．【點睛】本題考查一元二次方程的定義，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數且未知數的最高次數是2．【題型2由一元二次方程的概念求參數的值】【例2】（2023春·新疆烏魯木齊·九年級烏市八中?？计谀﹎x|m?2|+3x?7=0【答案】4【分析】根據只含有一個未知數，且未知數的最高指數為2的整式方程為一元二次方程，則m?2=2【詳解】解：mx∴|m?2|=2，m≠0∴m=4或0，m≠0，∴m=4，故答案為：4．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，結合一元二次方程的概念求出參數值是解題關鍵．【變式2-1】（2023春·江蘇無錫·九年級統考期末）若方程xm+1?3x+1=0是關于x的一元二次方程，則【答案】1【分析】根據只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程進行求解即可．【詳解】解：∵方程xm+1?3x+1=0是關于∴m+1=2，∴m=1，故答案為：1．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關鍵是掌握判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數”；“未知數的最高次數是2”；“二次項的系數不等于0”；“整式方程”．【變式2-2】（2023春·河南開封·九年級統考期末）若關于x的方程k?1x2+2x?3=0【答案】0（答案不唯一）【分析】根據一元二次方程的定義，可得二次項系數不為0，據此即可求解．【詳解】解：∵關于x的方程k?1x∴k?1≠0解得：k≠1，∴k的值可以是0（答案不唯一）．故答案為：0（答案不唯一）．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．一元二次方程定義，只含有一個未知數，并且未知數項的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程．【變式2-3】（2023春·四川樂山·九年級統考期末）若m?1xm+1?3x+5=0是關于x【答案】?3【分析】根據一元二次方程的定義進行求解即可．【詳解】解：∵m?1xm+1?3x+5=0∴m?1≠0m+1∴m=?3，故答案為：?3．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，一般地，形如ax2+bx+c=0（a、b、c【題型3由一元二次方程的概念求參數的取值范圍】【例3】（2023春·福建龍巖·九年級統考期中）已知關于x的方程a?3x2+【答案】a≥1且a≠3．【分析】直接利用一元二次方程的定義與二次根式有意義條件分析即可．【詳解】解：∵關于x的方程a?3x∴a-3≠0，且a-1≥0，解得：a≥1且a≠3．故答案為：a≥1且a≠3．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，正確把握一元二次方程的定義與二次根式有意義條件是解題關鍵．【變式3-1】（2023春·福建莆田·九年級統考期末）若方程kx2?2x+1=0是關于x的一元二次方程，則kA．k>0 B．k≠0 C．k≥0 D．k為實數【答案】B【分析】一元二次方程是指未知數只有一次且未知數最高次數為2次的方程，根據這一點判斷即可．【詳解】根據一元二次方程的定義未知數最高次數為2次故x2故k≠0故選B【點睛】本題考查一元二次方程的定義，理解這個定義是關鍵．【變式3-2】（2023春·廣東深圳·九年級統考期末）關于x的方程（a2＋1）x2＋2ax﹣6＝0是一元二次方程，則a的取值范圍是（

）A．a≠±1 B．a≠0C．a為任何實數 D．不存在【答案】C【分析】直接利用一元二次方程的定義分析得出答案．一元二次方程定義，只含有一個未知數，并且未知數項的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程．【詳解】解：∵關于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，a2+1不可能為0，∴a為任何實數．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，理解一元二次方程的定義是解題的關鍵．【變式3-3】（2023春·河南漯河·九年級統考期中）若關于x的方程ax2=x+1x?1A．a≠0 B．a≠1 C．a≠?1 D．a≠±1【答案】B【分析】由ax2=【詳解】∵關于x的方程ax∴a?1x∴a?1≠0，解得：a≠1，故選：B【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，熟練掌握方程的概念是解決問題的關鍵【知識點2一元二次方程的一般形式】一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)、其中，ax2就是二次項，a就是二次項系數；bx就是一次項，b就是一次項系數；c就是常數項?！绢}型4一元二次方程的一般形式】【例4】（2023春·河北邯鄲·九年級統考期中）將下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次項系數是4，一次項系數是?7，常數項是2的方程是（

）A．4x2+2=7x B．4x2?2=7x【答案】A【分析】把每個選項的方程化為一元二次方程的一般式即可得到答案．【詳解】解：A、4x2+2=7xB、4x2?2=7xC、4x2+7x=2D、?4x2?7x=2故選A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的二次項系數，一次項系數，常項數，正確把一元二次方程化為一般形式是解題的關鍵：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0中，a叫做二次項系數，【變式4-1】（2023春·貴州銅仁·九年級統考期末）一元二次方程x2【答案】2【分析】先化為一般形式，繼而即可求解．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a【詳解】解：x2+2x=1的一般形式為∴二次項系數、一次項系數與常數項分別為1,2,?1∴1+2?1=2，故答案為：2．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解題的關鍵．【變式4-2】（2023春·云南楚雄·九年級統考期末）一元二次方程2x2+x=3A．2 B．1 C．3 D．?3【答案】D【分析】把原方程移項化為一般形式，根據一元二次方程的定義解答即可．【詳解】解：2x移項得，2x則二次項系數、常數項分別為：2、?3，故選D．【點睛】本題考查的是一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0），在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a【變式4-3】（2023春·湖南株洲·九年級校考期中）若關于x一元二次方程(2a?4)x2+(3a+9)x+a?8=0【答案】?3【分析】根據一元二次方程的一次項系數為0和二次項系數不為0，列出方程和不等式求解即可．【詳解】解：由題意得：2a?4≠03a+9=0解得a=?3，故答案為：?3．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義和有關概念，準確理解題意是解題關鍵．【知識點3一元二次方程的解】使一元二次方程左右兩邊相等得未知數得值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解得定義就是解方程過程中驗根得依據?！绢}型5由一元二次方程的解求參數的值】【例5】（2023春·云南昆明·九年級統考期末）若關于x的一元二次方程2x2?3x?a【答案】±【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值；即用這個數代替未知數所得式子仍然成立．【詳解】解：把x=2代入方程2x得8?6?a解得a=±3故答案為：±3【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．【變式5-1】（2023春·廣東惠州·九年級統考期末）已知關于x的方程4x2?7x+m=0【答案】?2【分析】由題意知，4×2【詳解】解：由題意知，4×22?7×2+m=0故答案為：?2．【點睛】本題考查了一元二次方程的根，解一元一次方程．解題的關鍵在于正確的運算．【變式5-2】（2023春·吉林四平·九年級統考期末）關于x的一元二次方程kx2+2x?3=0的一個根是1，則kA．1 B．2 C．3 D．無法確定【答案】A【分析】把x=1代入方程可得到關于k的方程，然后求解即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程kx∴k×12+2×1?3=0故選A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，正確理解一元二次方程的解是使得一元二次方程左右兩邊成立的未知數的值是解題的關鍵．【變式5-3】（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學校?？奸_學考試）已知關于x的一元二次方程x2?22x+m?1=0，若方程有一個根是【答案】2【分析】將x=2【詳解】解：∵關于x的一元二次方程x2?22∴2+1解得：m=2；故答案為：2．【點睛】本題考查一元二次方程的解．熟練掌握方程的解是使等式成立的未知數的值，是解題的關鍵．【題型6由一元二次方程的解求代數式的值】【例6】（2023春·山東德州·九年級統考期末）若關于x的一元二次方程ax2+bx+2=0的一個根是x=?A．2018 B．2020 C．2022 D．2024【答案】C【分析】直接把x=?1代入方程ax2【詳解】解：∵關于x的一元二次方程ax2+bx+2=0∴a?b+2=0，∴a?b=?2，即b?a=2，∴2020?a+b=2020+b?a故選C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解，代數式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數的值是解題的關鍵．【變式6-1】（2023春·山西朔州·九年級統考期末）已知t為一元二次方程x2?1011x+2023=0的一個解，則2tA．?2023 B．?2022 C．?4046 D．?4044【答案】C【分析】根據一元二次方程解的定義可得t2?1011t+2023=0，求出【詳解】解：∵t為一元二次方程x2∴t2∴t2∴2t故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，熟知方程的解即為能使方程兩邊相等的未知數的值是解題的關鍵．【變式6-2】（2023春·北京西城·九年級北師大實驗中學?？奸_學考試）已知a是方程2x2?3x?7=0【答案】13【分析】先根據一元二次方程解的定義得到2a2?3a=7【詳解】解：∵a是方程2x∴2a∴2a∴a+1==4=2=2×7?1=13．【點睛】本題主要考查了整式的化簡求值，一元二次方程解的定義，靈活運用所學知識是解題的關鍵．【變式6-3】（2023春·黑龍江雞西·九年級統考期末）設α，β是方程x2+2022x?2=0的兩個根，則【答案】4【分析】首先根據題意得到α2+2022α=2，【詳解】∵α，β是方程x2∴α2+2022α?2=0∴α2+2022α=2，∴α故答案為：4．【點睛】此題考查了一元二次方程解的意義，解題的關鍵是掌握一元二次方程解的意義．【題型7由一元二次方程的解通過降次求代數式的值】【例7】（2023春·河北滄州·九年級統考期中）已知m是方程x2+x?1=0的根，則【答案】2024【分析】由m是方程的根，可得m2+m=1，變形m3【詳解】解：∵m是方程x2∴m2∴m==m=m+=1+2023=2024．故答案為：2024．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義及整體代入的思想，解決本題的關鍵是利用根的定義得關于m的等式，變形m3【變式7-1】（2023春·湖南永州·九年級?？计谀┤鬽(m≠0)是方程x2?x?1=0的一個根，則代數式m?1A．1 B．12 C．25【答案】A【分析】根據一元二次方程根的定義得出m2=m+1，再把代數式m?1【詳解】解：∵m(m≠0)是方程x2∴m∴m∴m?故選：A【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義和分式的化簡求值，熟練掌握一元二次方程根的定義是解題的關鍵【變式7-2】（2023春·山東濱州·九年級統考期末）已知a為方程x2+3x?2023=0的根，那么【答案】0【分析】根據一元二次方程的解的定義得到a2+3a?2023=0，然后對原式進行化簡，再將【詳解】解：∵x2∴a2∵a=a=aa=a=a將a2原式=a×0?0=0，故答案為：0．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解，也考查了代數式的變形，利用整體代入法的思想是解答本題的關鍵．【變式7-3】（2023春·湖南岳陽·九年級統考期末）已知a是方程x2?2021x+1=0的一個根，則【答案】?2021【分析】由方程根的定義可得a2?2021a+1=0，變形為a2+1=2021a．再將a2?2021a+1=0等號兩邊同時乘【詳解】∵a是方程x2∴a2?2021a+1=0，即將a2?2021a+1=0等號兩邊同時乘a(a2?2021a+1)=0∴a3故答案為：-2021．【點睛】本題考查一元二次方程解的定義以及代數式求值．熟練掌握整體代入的思想是解答本題的關鍵．【題型8由一元二次方程的根求另一方程的根】【例8】（2023春·新疆·九年級新疆農業(yè)大學附屬中學校考期中）若關于x的