人教版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三專題12.5判定兩個三角形全等的常用思路【九大題型】(學(xué)生版+解析)

專題12.5判定兩個三角形全等的常用思路【九大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1已知兩邊找另一邊，用SSS】 1【題型2已知兩邊找夾角，用SAS】 2【題型3一直角邊一斜邊用HL】 3【題型4已知邊為角的對邊找任一角，用AAS】 5【題型5已知邊為角的鄰邊找夾角的另一邊，用SAS】 6【題型6已知邊為角的鄰邊找夾邊的另一角，用ASA】 7【題型7已知邊為角的鄰邊找邊的對角，用AAS】 9【題型8已知兩角找夾邊，用ASA】 10【題型9已知兩角找任一角的對邊，用AAS】 11知識點：判定兩個三角形全等的常用思路【題型1已知兩邊找另一邊，用SSS】【例1】（23-24八年級·浙江寧波·期末）如圖所示，已知AB=DC，AE=DF，EC=BF，且B，F(xiàn)，E，C在同一條直線上．(1)求證：AB∥(2)若BC=11，EF=7，求BE的長度．【變式1-1】（23-24八年級·湖北武漢·階段練習(xí)）已知BE=CD，BD=CE，求證：∠B=∠C．【變式1-2】（23-24·吉林白城·一模）如圖，點E、F在BD上，且AB=CD,BF=DE,AE=CF，求證：∠AEO=∠CFO．【變式1-3】（23-24八年級·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，AB=AC，BO=CO，求證：∠ADC=∠AEB．【題型2已知兩邊找夾角，用SAS】【例2】（23-24八年級·陜西榆林·期末）如圖，在四邊形ADBC中，AC∥BD，AC=BD，E，F(xiàn)分別是對角線AB上兩點，且AE=BF，連接試說明：(1)CF∥(2)∠BCF=∠ADE．【變式2-1】（23-24八年級·四川雅安·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=60°，D為△ABC邊AC上一點，BC=CD，點M在BC的延長線上，CE平分∠ACM，且AC=CE．連接BE交AC于F，G為邊CE上一點，滿足CG=CF，連接DG交BE于H．

(1)∠BAC與∠DEC相等嗎？為什么？(2)求∠DHF的度數(shù)．【變式2-2】（23-24八年級·吉林·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，點D在BC邊上，連接AD，將AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)80°得到線段AE，連接CE．求證：BD=CE．

【變式2-3】（23-24八年級·陜西漢中·期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D,CE⊥AB于點E,AD與CE交于點F，連接BF，延長AD到點G，使得AG=BC，連接BG,CF=AB．

【問題解決】（1）試說明：△ABG≌△CFB；【問題探究】（2）BF與BG垂直嗎？請說明理由．【題型3一直角邊一斜邊用HL】【例3】（23-24八年級·河南平頂山·期末）在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'，AB=A'B'【變式3-1】（23-24八年級·四川甘孜·期末）如圖，已知∠C=∠F=90°，∠A=51°，AC=DF，AE=DB，BC與EF交于點O．(1)求證：△ABC≌△DEF．(2)求∠BOF．【變式3-2】（23-24八年級·重慶北碚·期末）如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點D，點F、G分別為AC、AB上的一點，接GF并延長交BD延長線于點E，若EF=AB，DF=DB，∠C+∠2=180°證明：∵BD⊥AC∴∠在Rt△EDF和Rt△ADB∴Rt△EDF≌Rt△ADB∴∠在△ABD中∵∠A+∠1+∴∠∴④∴∠∵∠∴⑤（⑥）∴∠∴CB⊥AB【變式3-3】（23-24八年級·重慶·期中）如圖，△ABC中，∠C=90°,AC=16cm,BC=8cm，過點A作AM⊥AC，點P，Q分別在線段AC和射線AM上移動．若PQ=AB，則當(dāng)AP=時，△ABC【題型4已知邊為角的對邊找任一角，用AAS】【例4】（23-24八年級·河北唐山·期中）如圖，在△ABC和△CDE中，點B，C，E在同一條直線上，∠B=∠E=∠ACD，AC=CD，若AB=2，BE=6，則DE的長為（

）

A．8 B．6 C．4 D．2【變式4-1】（23-24八年級·廣東惠州·期中）如圖，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，點E是BC的中點，DE⊥AB于點F，且AB=DE．(1)求證：△ACB≌△EBD；(2)若DB=12．①求AC的長；②求△DCE的面積．【變式4-2】（23-24·四川達州·模擬預(yù)測）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE⊥AF于點E，AD=BE，求證【變式4-3】（23-24八年級·山西太原·階段練習(xí)）如圖，教學(xué)樓與操場上的旗桿相距19m，小林同學(xué)從教學(xué)樓B點沿BD走到D點，一定時間后他到達P點，此時他測得CP和AP的夾角為90°，且CP=AP，已知∠ABD=∠CDB=90°，旗桿CD的高為7m，小林同學(xué)行走的速度為(1)請你求出教學(xué)樓AB的高度；(2)小林從P點到達D點還需要多長時間？【題型5已知邊為角的鄰邊找夾角的另一邊，用SAS】【例5】（23-24八年級·廣東深圳·期末）如圖，△ABC中，∠B=90°，以AC為邊向右下方作△ACD，滿足CA=AD，點M為BC上一點，連接AM,DM，若∠BAM=12∠CAD，BM=65，【變式5-1】（23-24八年級·江蘇蘇州·期末）如圖，在△ABC中，D為AC中點，F(xiàn)為AB邊上一點，連接FD，并延長FD至點E，使得ED=DF，連接CE．(1)求證：△CDE≌△ADF；(2)若EF∥BC，∠A=60°，∠E=50°，求【變式5-2】（23-24八年級·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知，AB=AC，BD=CE．

(1)如圖1，求證：∠B=∠C；(2)如圖2，BE與CD相交于點O，若∠A=36°，∠B=30°，求∠DOB的度數(shù)．【變式5-3】（23-24八年級·江西吉安·階段練習(xí)）如圖，某游樂園有兩個滑梯BC與EF，滑梯BC的高AC與滑梯EF水平方向DF的長度相等，且BD的長度等于長方形ADEG周長的一半．(1)兩個滑梯BC與EF的長度是否相等？并說明理由．(2)若∠BCD=90°，試說明CD∥【題型6已知邊為角的鄰邊找夾邊的另一角，用ASA】【例6】（23-24·四川達州·模擬預(yù)測）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE⊥AF于點E，AD=BE，求證【變式6-1】（23-24·吉林松原·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高線，EF⊥AB于點F，AE=CB．求證：△AEF≌△CBD【變式6-2】（23-24八年級·浙江寧波·期末）如圖，AD,BE是△ABC的高線，AD與BE相交于點F．若AD=BD=6，且△ACD的面積為12，則AF的長度為（

）A．1 B．32 C．2 【變式6-3】（23-24八年級·重慶大渡口·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，過點C作CE∥AB，連接(1)基本尺規(guī)作圖：作∠ABF=∠EAC，交線段AC于點F（保留作圖瘋跡）；(2)求證：BF=AE．解：∵CE∥∴________∵∠BAC=90°∴∠ACE=180°?∠BAC=90°=∠BAF在△BAF和△ACE中__________BA=AC∴△BAF≌△ACEASA∴BF=AE（_______）【題型7已知邊為角的鄰邊找邊的對角，用AAS】【例7】（23-24八年級·湖北鄂州·期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC，AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE，垂足為F，過B作

(1)求證：AE=CD；(2)若AC=12cm【變式7-1】（23-24八年級·江西吉安·階段練習(xí)）將兩個三角形紙板△ABC和△DBE按如圖所示的方式擺放，連接DC．已知∠DBA=∠CBE，∠BDE=∠BAC，AC=DE=DC．

(1)試說明△ABC≌(2)若∠ACD=72°，求∠BED的度數(shù)．【變式7-2】（23-24八年級·四川宜賓·期中）已知：如圖，在△ABN和△ACM中，AB=AC,AD=AE,∠BAN=∠CAM．求證：(1)BD=CE；(2)△AEM≌△ADN．【變式7-3】（23-24·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°,AD∥BC,DE⊥AC于點F，交BC于點G，交AB的延長線于點E，且AE=AC．(1)求證：△ABC≌△AFE；(2)如圖2，連接AG，若∠ACB=30°，請直接寫出圖2中的三角形，使寫出的每個三角形的面積是△BEG面積的2倍．【題型8已知兩角找夾邊，用ASA】【例8】（23-24八年級·陜西西安·期末）如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC,BE⊥CE，下列結(jié)論∶①CE平分∠BCD；②AB+CD=AD；③CE·BE=S四邊形ABCDA．①③ B．③④ C．①③④ D．②③④【變式8-1】（23-24八年級·云南昭通·期末）如圖，C，F(xiàn)為線段BE上兩點，AB∥DE，∠1=∠2，EF=BC．求證：【變式8-2】（23-24八年級·遼寧阜新·期末）如圖，AC⊥CF于點C，DF⊥CF于點F，AB與DE交于點O，且EC=BF，∠OEB=∠OBE．求證：AE=BD．【變式8-3】（23-24八年級·黑龍江哈爾濱·期末）在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BD、CE相交于點(1)如圖1，連接AF，求證：∠BFC?∠BAF=90°(2)如圖2，當(dāng)∠A=60°時，若BE=4,CD=3，求BC的長．【題型9已知兩角找任一角的對邊，用AAS】【例9】（23-24八年級·福建三明·期中）如圖，在△ABC中，∠B=80°，將AB沿射線BC的方向平移至A'B'，連接AA'，設(shè)A(1)若B'為BC的中點，求證：△AO(2)若AC平分∠BAA'，求【變式9-1】（23-24·陜西西安·三模）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，點A，D在這條直線的兩側(cè)，已知∠B=∠E，∠BAC=∠EDF，BF=CE．求證：AC∥FD．【變式9-2】（23-24八年級·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，點A、D、B、E在同一直線上，∠C=∠F=90°，(1)求證：Rt△ABC≌(2)當(dāng)∠CBA=65°時，求∠E的度數(shù)．【變式9-3】（23-24八年級·山東青島·期末）已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC>∠BAC．在∠ABC內(nèi)部作∠ABE=∠BAC，BE交AC于點D．將一個含有45°角的三角板FGH如圖放置，使直角邊FH與BE重合，三角板FGH沿

(1)如圖1，當(dāng)三角板FGH的另一條直角邊FG過點A時，試證明AF=BC；(2)將三角板FGH沿EB平移至圖2的位置，F(xiàn)G與AB交于點M，過點M作MN⊥AC，垂足為點N，試判斷線段MN，MF，BC之間的關(guān)系．專題12.5判定兩個三角形全等的常用思路【九大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1已知兩邊找另一邊，用SSS】 1【題型2已知兩邊找夾角，用SAS】 4【題型3一直角邊一斜邊用HL】 8【題型4已知邊為角的對邊找任一角，用AAS】 13【題型5已知邊為角的鄰邊找夾角的另一邊，用SAS】 17【題型6已知邊為角的鄰邊找夾邊的另一角，用ASA】 21【題型7已知邊為角的鄰邊找邊的對角，用AAS】 25【題型8已知兩角找夾邊，用ASA】 31【題型9已知兩角找任一角的對邊，用AAS】 35知識點：判定兩個三角形全等的常用思路【題型1已知兩邊找另一邊，用SSS】【例1】（23-24八年級·浙江寧波·期末）如圖所示，已知AB=DC，AE=DF，EC=BF，且B，F(xiàn)，E，C在同一條直線上．(1)求證：AB∥(2)若BC=11，EF=7，求BE的長度．【答案】(1)見解析(2)9【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，線段的和與差．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，線段的和與差是解題的關(guān)鍵．（1）證明△ABE≌△DCFSSS，則∠B=∠C，進而可證AB（2）由題意得，EC+BF=BC?EF=4，由EC=BF，可得EC=BF=2，根據(jù)BE=EF+BF，計算求解即可．【詳解】（1）證明：∵EC=BF，∴EC+EF=BF+EF，即CF=BE，∵AB=DC，AE=DF，BE=CF，∴△ABE≌△DCFSSS∴∠B=∠C，∴AB∥（2）解：∵BC=11，EF=7，∴EC+BF=BC?EF=4，∵EC=BF，∴EC=BF=2，∴BE=EF+BF=7+2=9，∴BE的長度為9．【變式1-1】（23-24八年級·湖北武漢·階段練習(xí)）已知BE=CD，BD=CE，求證：∠B=∠C．【答案】證明見詳解；【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，連接DE，根據(jù)邊邊邊判定證明△BDE≌△CED即可得到答案；【詳解】證明：連接DE，在△BDE與△CED中，∵BE=CDBD=CE∴△BDE≌△CED(SSS，∴∠B=∠C．【變式1-2】（23-24·吉林白城·一模）如圖，點E、F在BD上，且AB=CD,BF=DE,AE=CF，求證：∠AEO=∠CFO．【答案】見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)BF=DE，得BE=DF，利用SSS證△ABE≌△CDF，再利用全等三角形性質(zhì)即可證明結(jié)論，明解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用全等三角形解決問題．【詳解】證明：∵BF=DE，∴BF?EF=DE?EF，即BE=DF，在△ABE和△DFC中，AB=CDBE=DF∴△ABE≌△CDFSSS∴∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO．【變式1-3】（23-24八年級·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，AB=AC，BO=CO，求證：∠ADC=∠AEB．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì)，連接OA，證明△AOB≌△AOCSSS得出∠B=∠C【詳解】證明：如圖，連接OA，在△AOB和△AOC中，AB=ACOB=OC∴△AOB≌△AOCSSS∴∠B=∠C，∵∠DOB=∠EOC，∴∠B+∠DOB=∠C+∠EOC，∴∠ADC=∠AEB．【題型2已知兩邊找夾角，用SAS】【例2】（23-24八年級·陜西榆林·期末）如圖，在四邊形ADBC中，AC∥BD，AC=BD，E，F(xiàn)分別是對角線AB上兩點，且AE=BF，連接試說明：(1)CF∥(2)∠BCF=∠ADE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．（1）由SAS證明△ACF≌△BDE即可；（2）由SAS證明△BFC≌△AED即可．【詳解】（1）解：因為AE=BF，即AE+EF=BF+EF，所以AF=BE，因為AC∥所以∠CAF=∠DBE，在△ACF和△BDEAC=BD所以△ACF≌△BDESAS所以∠AFC=∠BED，DE=CF，所以CF∥（2）解：因為∠AFC=∠BED，所以∠BFC=∠AED，在△BFC和△AED中，BF=AE,所以△BFC≌△AEDSAS所以∠BCF=∠ADE．【變式2-1】（23-24八年級·四川雅安·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=60°，D為△ABC邊AC上一點，BC=CD，點M在BC的延長線上，CE平分∠ACM，且AC=CE．連接BE交AC于F，G為邊CE上一點，滿足CG=CF，連接DG交BE于H．

(1)∠BAC與∠DEC相等嗎？為什么？(2)求∠DHF的度數(shù)．【答案】(1)相等，理由見解析(2)60°【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用：（1）先求出∠DCE=12∠ACM=60°，再證△BAC≌△DECSAS，可得（2）先證△CDG≌△CBFSAS，推出∠CDG=∠CBF，結(jié)合∠DFH=∠BFC，可得∠DHF=∠FCB=60°【詳解】（1）解：∠BAC與∠DEC相等，理由如下：∵∠ACB=60°，CE平分∠ACM，∴∠DCE=1在△BAC與△DEC中，BC=DC∠BCA=∠DCE=60°∴△BAC≌△DECSAS∴∠BAC=∠DEC；（2）解：在△CDG與△CBF中，CD=CB∠DCG=∠BCF=60°∴△CDG≌△CBFSAS∴∠CDG=∠CBF，又∵∠DFH=∠BFC，∴∠DHF=∠FCB=60°．【變式2-2】（23-24八年級·吉林·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，點D在BC邊上，連接AD，將AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)80°得到線段AE，連接CE．求證：BD=CE．

【答案】證明見解析．【分析】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)全等三角形的判定與性質(zhì)，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知AD=AE，∠DAE=80°，則∠BAD=∠CAE，證明△BAD≌△CAESAS【詳解】證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知AD=AE，∠DAE=80°，∴∠BAC=∠DAE=80°，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE．【變式2-3】（23-24八年級·陜西漢中·期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D,CE⊥AB于點E,AD與CE交于點F，連接BF，延長AD到點G，使得AG=BC，連接BG,CF=AB．

【問題解決】（1）試說明：△ABG≌△CFB；【問題探究】（2）BF與BG垂直嗎？請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）BF與BG垂直，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，三角形的內(nèi)角和定理．（1）根據(jù)AD⊥BC得出∠BAG+∠ABD=90°，根據(jù)CE⊥AB得出∠BCF+∠ABD=90°，即可推出∠BAG=∠BCF，最后即可根據(jù)SAS得出△ABG≌△CFB；（2）根據(jù)垂直的定義得出∠G+∠DBG=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠G=∠CBF，則∠CBF+∠DBG=90°，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，則∠BAG+∠ABD=90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，則∠BCF+∠ABD=90°，∴∠BAG=∠BCF，在△ABG和△CFB中，AG=BC∠BAG=∠BCF∴△ABG≌△CFBSAS（2）解：BF與BG垂直，理由如下：∵AD⊥BC，∴∠BDG=90°，則∠G+∠DBG=90°，由（1）可得：△ABG≌△CFBSAS∴∠G=∠CBF，∴∠CBF+∠DBG=90°，即∠GBF=90°，∴BF⊥BG．【題型3一直角邊一斜邊用HL】【例3】（23-24八年級·河南平頂山·期末）在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'，AB=A'B'【答案】n°或180°?n°【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．過A作AD⊥BC于點D，過A'作A'D'⊥【詳解】解：過A作AD⊥BC于點D，過A'作A'D∵邊BC和B'∴AD=A當(dāng)B、C在點D的兩側(cè)，B'、C

∵AD=A'D∴Rt△ACD≌∴∠C當(dāng)B、C在點D的同側(cè)，B'、C

同理可得：∠A'C當(dāng)B、C在點D的兩側(cè)，B'、C

∵AD=A'D∴Rt△ACD≌∴∠A'C當(dāng)B、C在點D的同側(cè)，B'、C

同理可得：∠C綜上，∠C'的值為n°或故答案為：n°或180°?n°．【變式3-1】（23-24八年級·四川甘孜·期末）如圖，已知∠C=∠F=90°，∠A=51°，AC=DF，AE=DB，BC與EF交于點O．(1)求證：△ABC≌△DEF．(2)求∠BOF．【答案】(1)證明見解析(2)78°【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)，（1）根據(jù)HL證明兩個三角形全等即可；（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論；解題的關(guān)鍵是掌握三角形全等的判定．【詳解】（1）證明：∵AE=DB，∴AE+EB=DB+EB，即AB=DE，∵∠C=∠F=90°，在Rt△ACB和RtAC=DFAB=DE∴Rt△ABC≌（2）解：∵∠C=90°，∠A=51°，∴∠ABC=90°?∠A=90°?51°=39°，由（1）知：Rt△ABC≌∴∠ABC=∠DEF，∴∠DEF=39°，∴∠BOF=∠ABC+∠BEF=39°+39°=78°，∴∠BOF的度數(shù)為78°．【變式3-2】（23-24八年級·重慶北碚·期末）如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點D，點F、G分別為AC、AB上的一點，接GF并延長交BD延長線于點E，若EF=AB，DF=DB，∠C+∠2=180°證明：∵BD⊥AC∴∠在Rt△EDF和Rt△ADB∴Rt△EDF≌Rt△ADB∴∠在△ABD中∵∠A+∠1+∴∠∴④∴∠∵∠∴⑤（⑥）∴∠∴CB⊥AB【答案】EF=AB；HL；三角形的內(nèi)角和定理，∠E；EG∥BC；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，垂線的定義，靈活運用平行線的判定和性質(zhì)得出角的關(guān)系式解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線的判定及性質(zhì)以及垂線定義判斷求解即可．【詳解】解：證明：∵BD⊥AC∴∠在Rt△EDF和Rt△ADB∴Rt△EDF≌Rt△ADB∴∠在△ABD中∵∠A+∴∠∴∠E+∠1=90°∴∠∵∠∴EG∥BC(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)∴∠∴CB⊥AB故答案為：EF=AB；HL；三角形的內(nèi)角和定理，∠E；EG∥BC；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．【變式3-3】（23-24八年級·重慶·期中）如圖，△ABC中，∠C=90°,AC=16cm,BC=8cm，過點A作AM⊥AC，點P，Q分別在線段AC和射線AM上移動．若PQ=AB，則當(dāng)AP=時，△ABC【答案】8cm或【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分類討論，以免漏解．分情況討論：①AP=BC=8cm時，Rt△ABC≌Rt△QPAHL；②當(dāng)P運動到與C【詳解】解：①當(dāng)P運動到AP=BC時，如圖所示：在Rt△ABC和RtBC=PAAB=QP∴Rt△ABC即AP=BC=8cm②當(dāng)P運動到與C點重合時，如圖所示：在Rt△ABC和RtAC=PAAB=QP∴Rt△ABC即AP=AC=16cm綜上所述，AP的長度是8cm或16故答案為：8cm或16【題型4已知邊為角的對邊找任一角，用AAS】【例4】（23-24八年級·河北唐山·期中）如圖，在△ABC和△CDE中，點B，C，E在同一條直線上，∠B=∠E=∠ACD，AC=CD，若AB=2，BE=6，則DE的長為（

）

A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，證明△ABC≌△CEDAAS【詳解】解：∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∠B=∠E=∠ACD，∴∠ACD+∠ACB+∠BAC=180°，∵∠ACD+∠ACB+∠DCE=180°，∴∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CED中，∠BAC=∠DCE∠B=∠E∴△ABC≌∴BC=DE,AB=CE，∵AB=2，BE=6，∴DE=BC=BE?CE=BE?AB=6?2=4，故選：C．【變式4-1】（23-24八年級·廣東惠州·期中）如圖，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，點E是BC的中點，DE⊥AB于點F，且AB=DE．(1)求證：△ACB≌△EBD；(2)若DB=12．①求AC的長；②求△DCE的面積．【答案】(1)見解析(2)①6；②36【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．（1）由題意知，∠ABC+∠ABD=90°，∠ABD+∠EDB=90°，則∠ABC=∠EDB，證明△ACB≌△EBDAAS（2）①由題意知，CE=BE=12BC，由△ACB≌△EBDAAS，可得【詳解】（1）證明：∵∠DBC=90°，∴∠ABC+∠ABD=90°，∵DE⊥AB，∴∠DFB=90°，即∠ABD+∠EDB=90°，∴∠ABC=∠EDB，∵∠ACB=∠EBD，∠ABC=∠EDB，AB=DE，∴△ACB≌△EBDAAS（2）①解：∵點E是BC的中點，∴CE=BE=1由（1）可知，△ACB≌△EBDAAS∴AC=BE,BC=BD，∴AC=BE=1∴AC的長為6；②解：由題意知，S△DCE∴△DCE的面積為36．【變式4-2】（23-24·四川達州·模擬預(yù)測）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE⊥AF于點E，AD=BE，求證【答案】見解析【分析】本題主要考查全等三角形的判定以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意證明∠ABE=∠FAD，根據(jù)AAS即可得到答案．【詳解】證明：∵AB∥∴∠DAB+∠D=180°，∵∠D=90°，∴∠DAB=90°，∵BE⊥AF，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°?∠BAE=∠FAD，在△BEA和△ADF中，∠ABE=∠FAD∠AEB=∠D=90°∴△BEA≌△ADF(AAS【變式4-3】（23-24八年級·山西太原·階段練習(xí)）如圖，教學(xué)樓與操場上的旗桿相距19m，小林同學(xué)從教學(xué)樓B點沿BD走到D點，一定時間后他到達P點，此時他測得CP和AP的夾角為90°，且CP=AP，已知∠ABD=∠CDB=90°，旗桿CD的高為7m，小林同學(xué)行走的速度為(1)請你求出教學(xué)樓AB的高度；(2)小林從P點到達D點還需要多長時間？【答案】(1)12(2)24【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵；（1）先證明∠CPD=∠PAB，再結(jié)合CP=AP，即可得到結(jié)論；（2）利用路程除以速度即可得到答案．【詳解】（1）解：∵CP和AP的夾角為90°，∴∠APB+∠CPD=90°．∵∠ABD=90°，∴∠APB+∠PAB=90°，∴∠CPD=∠PAB．在△CDP和△PBA中，∠CPD=∠PAB∠CDP=∠PBA∴△CDP≌△PBA(AAS∴CD=PB，PD=AB．∵CD=7m∴PB=7m∵BD=19m∴PD=12m∴AB=12m答：教學(xué)樓AB的高度為12m（2）12÷0.5=24(s答：小林從P點到達D點還需要24s【題型5已知邊為角的鄰邊找夾角的另一邊，用SAS】【例5】（23-24八年級·廣東深圳·期末）如圖，△ABC中，∠B=90°，以AC為邊向右下方作△ACD，滿足CA=AD，點M為BC上一點，連接AM,DM，若∠BAM=12∠CAD，BM=65，【答案】5【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．延長CB到E，使BE=BM，連接AE，先證明△ABE≌△ABMSAS，得到∠BAE=∠BAM，AE=AM，再證明△EAC≌△MADSAS，得到EC=DM，即可由【詳解】解：延長CB到E，使BE=BM，連接AE，如圖，∵BE=BM，∠ABE=∠ABM=90°，AB=AB，∴△ABE≌△ABMSAS∴∠BAE=∠BAM，AE=AM，∴∠BAM=1∵∠BAM=1∴∠EAM=∠CAD，∴∠EAM+∠CAM=∠CAD+∠CAM，∴∠EAC=∠MAD，在△EAC與△MAD中，AE=AM∠EAC=∠MAD∴△EAC≌△MADSAS∴EC=DM，∴DM=EB+BM+CM=2BM+CM=2×6故答案為：5．【變式5-1】（23-24八年級·江蘇蘇州·期末）如圖，在△ABC中，D為AC中點，F(xiàn)為AB邊上一點，連接FD，并延長FD至點E，使得ED=DF，連接CE．(1)求證：△CDE≌△ADF；(2)若EF∥BC，∠A=60°，∠E=50°，求【答案】(1)證明見解析；(2)∠BCD=70°．【分析】（1）由D為AC中點得AD=CD，然后用“SAS”證明即可；（2）由△CDE≌△ADF，得∠A=∠DCE=60°，三角形的內(nèi)角和得∠CDE=70°，最后由平行線的性質(zhì)即可求解；本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵D為AC中點，∴AD=CD，在△CDE和△ADF中，AD=CD∠ADF=∠CDE∴△CDE≌△ADFSAS（2）由（1）得：△CDE≌△ADF，∴∠A=∠DCE=60°，∵∠CDE+∠E+∠DCE=180°，∠E=50°，∴∠CDE=70°，∵EF∥∴∠BCD=∠CDE=70°．【變式5-2】（23-24八年級·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知，AB=AC，BD=CE．

(1)如圖1，求證：∠B=∠C；(2)如圖2，BE與CD相交于點O，若∠A=36°，∠B=30°，求∠DOB的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)84°【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（1）利用三角形全等判定與性質(zhì)，證得△ABE≌△ACDSAS（2）利用全等三角形性質(zhì)得到∠C=∠B=30°，再由三角形外角性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理數(shù)形結(jié)合即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵AB=AC，BD=CE，∴AD=AE，在△ABE和△ACD中，AD=AE∴△ABE≌∴∠B=∠C；（2）解：由（1）知，∠C=∠B=30°，在△ACD中，∠BDC是其外角，則∠BDC=∠A+∠C=36°+30°=66°，∴在△BOD中，∠DOB=180°?∠B?∠BDO=180°?30°?66°=84°．【變式5-3】（23-24八年級·江西吉安·階段練習(xí)）如圖，某游樂園有兩個滑梯BC與EF，滑梯BC的高AC與滑梯EF水平方向DF的長度相等，且BD的長度等于長方形ADEG周長的一半．(1)兩個滑梯BC與EF的長度是否相等？并說明理由．(2)若∠BCD=90°，試說明CD∥【答案】(1)相等，理由見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用；確定兩角的大小關(guān)系，通?？勺C明這兩角所在的三角形全等，根據(jù)對應(yīng)角相等進行判定．（1）根據(jù)BD的長度等于長方形ADEG周長的一半，得出AB=DE，證明△ABC≌△DEF，即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠B=∠DEF，結(jié)合∠B+∠BDC=90°，得出∠DEF+∠BDC=90°，證出∠BDC=∠F，即可證明；【詳解】（1）解：BC=EF．理由：∵BD的長度等于長方形ADEG周長的一半，BD=AD+AB∴BD=AD+DE，∴AB=DE．在△ABC和△DEF中，AB=DE∠BAC=∠EDF=90°∴△ABC≌△DEFSAS∴BC=EF．（2）∵∠BCD=90°，∴∠B+∠BDC=90°．∵△ABC≌∴∠B=∠DEF，∴∠DEF+∠BDC=90°．∵∠DEF+∠F=90°，∴∠BDC=∠F，∴CD∥【題型6已知邊為角的鄰邊找夾邊的另一角，用ASA】【例6】（23-24·四川達州·模擬預(yù)測）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE⊥AF于點E，AD=BE，求證【答案】見解析【分析】本題主要考查全等三角形的判定以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意證明∠ABE=∠FAD，根據(jù)AAS即可得到答案．【詳解】證明：∵AB∥∴∠DAB+∠D=180°，∵∠D=90°，∴∠DAB=90°，∵BE⊥AF，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°?∠BAE=∠FAD，在△BEA和△ADF中，∠ABE=∠FAD∠AEB=∠D=90°∴△BEA≌△ADF(AAS【變式6-1】（23-24·吉林松原·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高線，EF⊥AB于點F，AE=CB．求證：△AEF≌△CBD【答案】見解析【分析】本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，利用AAS證明即可．【詳解】證明：在Rt△ABC中，∠B+∠A=90°∵DC⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°．∴∠A=∠BCD．∵EF⊥AB，∴∠EFA=∠BDC=90°．在△AEF和△CBD中，∠A=∠BCD∠EFA=∠BDC∴△AEF≌△CBD(AAS【變式6-2】（23-24八年級·浙江寧波·期末）如圖，AD,BE是△ABC的高線，AD與BE相交于點F．若AD=BD=6，且△ACD的面積為12，則AF的長度為（

）A．1 B．32 C．2 【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．利用ASA證明△ACD≌△BFD，得DF=DC，再根據(jù)三角形面積可得【詳解】解：∵AD，BE是△ABC的高線，∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=90°，∵∠BFD=∠AFE，∴∠DBF=∠CAD，在△ACD和△BFD中，∠DBF=∠CADBD=AD∴△ACD≌∴DF=DC，∵△ACD的面積為12，∴12∴CD=4，∴DF=4，∴AF=AD?DF=2，故選：C．【變式6-3】（23-24八年級·重慶大渡口·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，過點C作CE∥AB，連接(1)基本尺規(guī)作圖：作∠ABF=∠EAC，交線段AC于點F（保留作圖瘋跡）；(2)求證：BF=AE．解：∵CE∥∴________∵∠BAC=90°∴∠ACE=180°?∠BAC=90°=∠BAF在△BAF和△ACE中__________BA=AC∴△BAF≌△ACEASA∴BF=AE（_______）【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)運用作相等角的作圖方法畫圖即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可推出①及②，再根據(jù)全等三角形的判定定理和性質(zhì)可得③④．【詳解】（1）解：如圖：∠BAF即為所求；（2）解：∵CE∴∠BAC+∠ACE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）∵∠BAC=90°∴∠ACE=180°?∠BAC=90°=∠BAF在△BAF和△ACE中∠ABF=∠EAC∴△BAF≌△ACE∴BF=AE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．【題型7已知邊為角的鄰邊找邊的對角，用AAS】【例7】（23-24八年級·湖北鄂州·期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC，AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE，垂足為F，過B作

(1)求證：AE=CD；(2)若AC=12cm【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）證兩條線段相等，通常用全等，本題中的AE和CD分別在△AEC和△CDB中，在這兩個三角形中，已經(jīng)有一組邊相等，一組角相等了，因此只需再找一組角即可利用角角邊進行解答．（2）由（1）得BD=EC=12BC=12【詳解】（1）∵DB⊥BC，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．∴∠D=∠AEC．在△DBC和△ECA中，∵∠D∴△DBC≌∴AE=CD．（2）∵△CDB≌∴BD=CE，∵AE是BC邊上的中線，∴BD=EC=12BC=∴BD=6cm【點睛】三角形全等的判定一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．【變式7-1】（23-24八年級·江西吉安·階段練習(xí)）將兩個三角形紙板△ABC和△DBE按如圖所示的方式擺放，連接DC．已知∠DBA=∠CBE，∠BDE=∠BAC，AC=DE=DC．

(1)試說明△ABC≌(2)若∠ACD=72°，求∠BED的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠BED=36°【分析】（1）利用AAS證明三角形全等即可；（2）全等三角形的性質(zhì)，得到∠BED=∠BCA，證明△DBC≌△ABCSSS【詳解】（1）解：因為∠DBA=∠CBE，所以∠DBA+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠DBE=∠ABC．在△ABC和△DBE中，∠ABC=∠DBE∠BAC=∠BDE所以△ABC≌（2）因為△ABC≌所以BD=BA，∠BCA=∠BED．在△DBC和△ABC中，DC=ACCB=CB所以△DBC≌所以∠BCD=∠BCA=1所以∠BED=∠BCA=36°．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明三角形全等．【變式7-2】（23-24八年級·四川宜賓·期中）已知：如圖，在△ABN和△ACM中，AB=AC,AD=AE,∠BAN=∠CAM．求證：(1)BD=CE；(2)△AEM≌△ADN．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了三角形的全等判定和性質(zhì)，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)∠BAN=∠CAM得到∠1+∠MAN=∠2+∠MAN即∠1=∠2，證明△ACE≌△ABDSAS（2）根據(jù)△ACE≌△ABDSAS得到∠ADB=∠AEC，結(jié)合∠ADB=∠MDO,∠AEC=∠NEO,∠MOD=∠NOE，得到180°?∠MDO?∠MOD=180°?∠NEO?∠NOE即∠M=∠N【詳解】（1）∵∠BAN=∠CAM，∴∠1+∠MAN=∠2+∠MAN，∴∠1=∠2，∵AB=AC∠1=∠2∴△ACE≌△ABDSAS∴BD=CE．（2）∵△ACE≌△ABD∴∠ADB=∠AEC，∵∠ADB=∠MDO,∠AEC=∠NEO,∠MOD=∠NOE，∴180°?∠MDO?∠MOD=180°?∠NEO?∠NOE，∴∠M=∠N，∵∠M=∠N∠MAE=∠NAD∴△AEM≌△ADNAAS【變式7-3】（23-24·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°,AD∥BC,DE⊥AC于點F，交BC于點G，交AB的延長線于點E，且AE=AC．(1)求證：△ABC≌△AFE；(2)如圖2，連接AG，若∠ACB=30°，請直接寫出圖2中的三角形，使寫出的每個三角形的面積是△BEG面積的2倍．【答案】(1)見詳解(2)△AEG,△ACG,△ACD,△ADG,△CDG【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及共高三角形面積比等于底之比，熟練掌握基本知識是解題的關(guān)鍵；（1）用AAS即可證明△ABC≌△AFE；（2）先證明BA=BE，則S△AEG=2S△BEG，再證明△AEG≌△ACG，則S△ACG=2S△BEG，由△ACG與△CDG同底等高，得S△GCD得S△ACG=S【詳解】（1）證明：∵DE⊥AC∴∠AFE=90°∵∠ABC=90°∴∠AFE=∠ABC∴在△ABC和△AFE中，∠ABC=∠AFE∠BAC=∠FAE∴△ABC≌△AFE；（2）∵△ABC≌△AFE∴AB=AF，∵AG=AG，∴Rt△ABG≌∴∠1=∠2∵∠ACB=30°，∴∠1=∠2=∵△ABC≌△AFE，AE=AC∴∠ACB=30°=∠E，∴∠1=∠E，∴GA=GE，∵∠ABC=90°，∴BA=BE，∴S∵AG=AG∠1=∠2，AE=AC,∴△AEG≌△ACG，∴S∵AD∥BC∴△ACG與△CDG同底等高，∴S△ACG∴S∵∠1=∠2=30°，∴∠DAC=30°，∴∠2=∠DAC=30°,∴∠ADG=∠AGD=60°，∴AD=AG，∵AC=AC，∴△ADC≌△AGC，∴S△ACD∵AD∥BC∴△ACD與△DAG同底等高，∴S△ACD∴S△AGD∴△AEG,△ACG,△ACD,△ADG,△CDG的面積為△BEG面積的2倍．【題型8已知兩角找夾邊，用ASA】【例8】（23-24八年級·陜西西安·期末）如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC,BE⊥CE，下列結(jié)論∶①CE平分∠BCD；②AB+CD=AD；③CE·BE=S四邊形ABCDA．①③ B．③④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，理解題意，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)及各角之間的等量代換得出∠DCE+∠ABE=90【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=∵BE⊥CE∴∠BEC=∴∠BCE+∠CBE=∴∠DCE+∠ABE=180∵BE平分∠ABC∴∠CBE=∠ABE∴∠BCE=∠DCE，∴CE平分∠BCD在BC上截取BF=BA，連接EF，在△FBE和△ABE中，BF=BA∴△FBE?△ABE∴FE=AE,∠FEB=∠AEB∵∠FEC+∠FEB=∠BEC=∴∠DEC+∠AEB=180°∴∠FEC=∠DEC，在△FEC和△DEC中，∠FEC=∠DEC∴△FEC?△DEC∴CF=CD,FE=DE∴AB+CD=FB+FC=BC≠AD，AE=DE，故②不正確，④正確；∵∴∴2S∴CE·BE=S故③正確；故選：C．【變式8-1】（23-24八年級·云南昭通·期末）如圖，C，F(xiàn)為線段BE上兩點，AB∥DE，∠1=∠2，EF=BC．求證：【答案】見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，先由AB∥DE證明∠B=∠E，再證EC=BF，即可證明△AFB≌△DCEASA【詳解】證明：∵AB∥∴∠B=∠E，∵EF=BC，∴EF+FC=BC+FC，即EC=BF，在△AFB和△DCE中，∠1=∠2BF=EC∴△AFB≌△DCEASA∴AF=DC．【變式8-2】（23-24八年級·遼寧阜新·期末）如圖，AC⊥CF于點C，DF⊥CF于點F，AB與DE交于點O，且EC=BF，∠OEB=∠OBE．求證：AE=BD．【答案】證明見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，先利用ASA證明△ACB≌△DFEASA得到AC=DF，進而利用SAS證明△ACE≌△DFB，即可證明AE=DB【詳解】證明：∵AC⊥CF，DF⊥CF，∴∠ACB=∠DFE=90°．∵EC=BF，∴EC+EB=BF+EB，即CB=FE，又∵∠OEB=∠OBE，即∠ABC=∠DEF∴△ACB≌△DFEASA∴AC=DF，在△ACE與△DFB中，AC=DF∠ACE=∠DFB∴△ACE≌△DFBSAS∴AE=DB．【變式8-3】（23-24八年級·黑龍江哈爾濱·期末）在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BD、CE相交于點(1)如圖1，連接AF，求證：∠BFC?∠BAF=90°(2)如圖2，當(dāng)∠A=60°時，若BE=4,CD=3，求BC的長．【答案】(1)見解析(2)7【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)：（1）在△BCF中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠CBF+∠BCF=180°?∠BFC，再由角平分線的定義可得∠ABC+∠ACB=2∠CBF+2∠BCF=360°?2∠BFC，從而得到2∠BAF=2∠BFC?180°，即可解答；（2）連接AF，在BC上截取BG=BE=4，連接FG，由（1）得：∠BFC?∠BAF=90°，從而得到∠BFC=120°，∠DFC=∠BFE=60°，再證明△BEF≌△BGF，可得∠BFE=∠BFG=60°，從而得到∠CFG=∠CFD，可證明△FCG≌△FCD，從而得到CG=CD=3，即可求解．【詳解】（1）證明：在△BCF中，∠CBF+∠BCF=180°?∠BFC，∵∠ABC和∠ACB的平分線BD、CE相交于點∴∠ABC=2∠CBF,∠ACB=2∠BCF，∠BAC=2∠BAF，∴∠ABC+∠ACB=2∠CBF+2∠BCF=2∠CBF+∠BCF∴∠BAC=180°?∠A