人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三14.8整式的乘法與因式分解章末十大題型總結(jié)(培優(yōu)篇)(學(xué)生版+解析)

專題14.8整式的乘法與因式分解章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1冪的基本運(yùn)算】 1【題型2利用冪的運(yùn)算進(jìn)行比較大小】 1【題型3利用冪的運(yùn)算進(jìn)行簡便計(jì)算】 2【題型4冪的運(yùn)算中的新定義問題】 3【題型5整式乘除的計(jì)算與化簡】 4【題型6整式混合運(yùn)算的應(yīng)用】 4【題型7因式分解（提公因式與公式法綜合）】 6【題型8因式分解（十字相乘法）】 6【題型9因式分解（分組分解法）】 7【題型10利用因式分解求值】 8【題型1冪的基本運(yùn)算】【例1】（2023春·浙江·八年級(jí)期中）我們知道下面的結(jié)論：若am=an（a>0，且a≠1），則m=n．利用這個(gè)結(jié)論解決下列問題：設(shè)3m=2，3n=6，3p=18．現(xiàn)給出m，n，p三者之間的三個(gè)關(guān)系式：①m+p=2n，②3m+n=4p?6，③p2?n【變式1-1】（2023春·河北滄州·八年級(jí)?？计谥校┤鬾為正整數(shù)．且a2n=4，則2aA．4 B．16 C．64 D．192【變式1-2】（2023春·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知5a=4，5b=6，5c=9，則a，【變式1-3】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)石家莊市第二十一中學(xué)校考期中）按要求完成下列各小題(1)若x2=2，求(2)若m?n=1，求3m(3)若xm?x2n+1=【題型2利用冪的運(yùn)算進(jìn)行比較大小】【例2】（2023春·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）比較大?。?1312741．（填>、<或【變式2-1】（2023春·江蘇·八年級(jí)期末）若a3=2，b5=3，比較a，b大小關(guān)系的方法：因?yàn)閍15=a35=25=32，b15=b5【變式2-2】（2023春·陜西咸陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：下面是底數(shù)大于1的數(shù)比較大小的兩種方法：①比較2a，2b的大?。寒?dāng)a>b時(shí)，②比較340和260的大?。阂?yàn)?40=3220可以將其先化為同指數(shù)，再比較大小，所以同指數(shù)時(shí)，底數(shù)越大，值越大．根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)比較大?。?20__________915（填“>”或“(2)已知a=344，b=433，c=522，試比較【變式2-3】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀：已知正整數(shù)a，b，c，若對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)冪ab和ac(a≠1)，當(dāng)b>c時(shí)，則有ab>ac；若對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和c(1)比較大小：520______420，961(2)比較233與3(3)比較312×5【題型3利用冪的運(yùn)算進(jìn)行簡便計(jì)算】【例3】（2023秋·湖北荊州·八年級(jí)沙市一中?？计谥校┯?jì)算：?0.1255×?2A．1 B．-1 C．2 D．-2【變式3-1】（2023秋·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算310×1A．9 B．19 C．3 D．【變式3-2】（2023春·貴州六盤水·八年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算?0.1252020×2【變式3-3】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下圖是東東同學(xué)完成的一道作業(yè)題，請(qǐng)你參考東東的方法解答下列問題．東東的作業(yè)計(jì)算：45解：原式=(1)計(jì)算：①82022②(12(2)若3×9n×【題型4冪的運(yùn)算中的新定義問題】【例4】（2023春·江西撫州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于整數(shù)a、b，我們定義：a▲b=10a×10b，a△b=(1)求2▲1?(2)若x▲3=5△1，求x的值．【變式4-1】（2023秋·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于?1，記為i2=?1，那么這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如a+bi（a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a例如計(jì)算：(2+i根據(jù)以上信息，下列各式：①i3②i4③1+i④i+i其中正確的是（填上所有正確答案的序號(hào)）．【變式4-2】（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）對(duì)于整數(shù)a、b定義運(yùn)算：a※b=(ab)m+(ba(1)填空：當(dāng)m=1，n=2023時(shí)，2※?1(2)若?1※4=10，2※?2=【變式4-3】（2023秋·北京海淀·八年級(jí)?？计谥校┰趯W(xué)習(xí)平方根的過程中，同學(xué)們總結(jié)出：在ax=N中，已知底數(shù)a和指數(shù)x，求冪N的運(yùn)算是乘方運(yùn)算；已知冪N和指數(shù)x，求底數(shù)a的運(yùn)算是開方運(yùn)算．小明提出一個(gè)問題：“如果已知底數(shù)a和冪N，求指數(shù)小明課后借助網(wǎng)絡(luò)查到了對(duì)數(shù)的定義：如果N=ax（a>0，且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)（logarithm），記作：x=logaN小明根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，嘗試進(jìn)行了下列探究：(1)∵2∵2∵2∵2計(jì)算：log2(2)計(jì)算后小明觀黎（1）中各個(gè)對(duì)數(shù)的真數(shù)和對(duì)數(shù)的值，發(fā)現(xiàn)一些對(duì)數(shù)之間有關(guān)系，例如：log2(3)于是他猜想：logaM+logaN=__________（a>0且a≠1(4)根據(jù)之前的探究，直接寫出loga【題型5整式乘除的計(jì)算與化簡】【例5】（2023秋·上海金山·八年級(jí)校聯(lián)考期末）已知：a+b=32，ab=1，化簡a?2b?2【變式5-2】（2023春·遼寧沈陽·八年級(jí)?？计谥校?）運(yùn)用乘法公式計(jì)算：999（2）先化簡，再求值：2x+y2x?y?3x+yx?2y?【變式5-3】（2023春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）為了比較兩個(gè)數(shù)的大小，我們可以求這兩個(gè)數(shù)的差，若差為0，則兩數(shù)相等；若差為正數(shù)，則被減數(shù)大于減數(shù)．若M=a+3a?4，N=a+2(1)求M?N，要求化簡為關(guān)于a的多項(xiàng)式；(2)比較M，N的大?。绢}型6整式混合運(yùn)算的應(yīng)用】【例6】（2023秋·重慶大渡口·八年級(jí)重慶市第三十七中學(xué)校校聯(lián)考開學(xué)考試）閱讀材料：材料1：將一個(gè)三位數(shù)或三位以上的整數(shù)分成左中右三個(gè)數(shù)，如果滿足：中間數(shù)=左邊數(shù)的平方+右邊數(shù)的平方，那么我們稱該整數(shù)是平方和數(shù)，比如，對(duì)于整數(shù)251，它的中間數(shù)是5，左邊數(shù)是2，右邊數(shù)是1，因?yàn)?2+1材料2：將一個(gè)三位數(shù)或者三位以上的整數(shù)分成左中右三個(gè)數(shù)，如果滿足：中間數(shù)=2×左邊數(shù)×右邊數(shù)，那么我們稱該整數(shù)是雙倍積數(shù)；比如：對(duì)于整數(shù)163，它的中間數(shù)是6，左邊數(shù)是1，右邊數(shù)是3，因?yàn)?×1×3=6，所以163是雙倍積數(shù)；再比如，對(duì)于整數(shù)3305，因?yàn)?×3×5=30，所以3305是一個(gè)雙倍積數(shù)，顯然，361，5303這兩個(gè)數(shù)也肯定是雙倍積數(shù)．請(qǐng)根據(jù)上述定義完成下面問題：(1)如果一個(gè)三位整數(shù)既是平方和數(shù)，又是雙倍積數(shù)，則該三位整數(shù)是_____．（直接寫出結(jié)果）(2)如果我們用字母a表示一個(gè)整數(shù)分出來的左邊數(shù)，用字母b表示一個(gè)整數(shù)分出來的右邊數(shù)，則a585b為一個(gè)平方和數(shù)，a504b為一個(gè)雙倍積數(shù)，求a2【變式6-1】（2023秋·貴州遵義·八年級(jí)校考期中）如圖，學(xué)校操場主席臺(tái)前計(jì)劃修建一塊凹字形花壇．（單位：米）(1)用含a，b的整式表示花壇的面積；(2)若a=2,b=1，工程費(fèi)為500元/平方米，求建花壇的總工程費(fèi)為多少元?【變式6-2】（2023春·貴州銅仁·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在矩形ABCD內(nèi)，將一張邊長為a的正方形紙片和兩張邊長為b的正方形紙片（a>b），按圖1，圖2兩種方式放置（兩個(gè)圖中均有重疊部分），矩形中未被這三張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，當(dāng)AD?AB=2時(shí)，A．2a B．2b C．?2b+b2 【變式6-3】（2023秋·浙江·八年級(jí)期中）正方形ABCD中，點(diǎn)G是邊CD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合），以CG為邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B，C，E三點(diǎn)在同一條直線上，設(shè)正方形ABCD和正方形CEFG的邊長分別為a和b（a>b）．(1)求圖1中陰影部分的面積S1（用含a，b(2)當(dāng)a=5，b=3時(shí)，求圖1中陰影部分的面積(3)當(dāng)a=5，b=3時(shí)，請(qǐng)直接寫出圖2中陰影部分的面積【題型7因式分解（提公因式與公式法綜合）】【例7】（2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式（1）20a3-30a2（2）25（x+y）2-9（x-y）2【變式7-1】（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式：3a2【變式7-2】（2023秋·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？奸_學(xué)考試）多項(xiàng)式?2a3?4【變式7-3】（2023春·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)把下列各式分解因式(1)a(2)(【題型8因式分解（十字相乘法）】【例8】（2023春·湖南益陽·八年級(jí)校考期中）閱讀下面的材料，解答提出的問題：已知：二次三項(xiàng)式x2?4x+m有一個(gè)因式是x+3，求另一個(gè)因式及解：設(shè)另一個(gè)因式為x+n，由題意，得x2x2所以n+3=?4m=3n，解得m=?21所以另一個(gè)因式為x?7，m的值為?21．提出問題：(1)已知二次三項(xiàng)式x2?5x?p有一個(gè)因式是(2)已知二次三項(xiàng)式3x2+2x?k有一個(gè)因式是x?5【變式8-1】（2023春·湖南邵陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）多項(xiàng)式x2+x?6可因式分解成x+ax+b，其中a，b均為整數(shù)，則a+bA．?1 B．1 C．?2023 D．2023【變式8-2】（2023秋·上海靜安·八年級(jí)上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)?？计谥校┓纸庖蚴剑?x【變式8-3】（2023春·湖南懷化·八年級(jí)統(tǒng)考期末）材料1：由多項(xiàng)式乘法，x+ax+b=x2+a+bx+ab材料2：因式分解：(x+y)2+2x+y+1，解：將“x+y”看成一個(gè)整體，令x+y=A，則原式=A上述解題用到整體思想，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法．請(qǐng)你解答下列問題：(1)根據(jù)材料1將x2(2)根據(jù)材料2將(x?y)2(3)結(jié)合材料1和材料2，將m2【題型9因式分解（分組分解法）】【例9】（2023秋·山東日照·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a+b=3,ab=1，則多項(xiàng)式a2b+ab【變式9-1】（2023春·江蘇·八年級(jí)期中）分解因式：a4?4【變式9-2】（2023春·福建漳州·八年級(jí)?？计谥校╅喿x理解∶當(dāng)一個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有公因式又不能用公式法時(shí)，這里再介紹一種因式分解方法，叫分組分解法．比如因式分解：am+bm+an+bn=這種分組法是分組后用提公因式法分解；比如因式分解：a這種分組法是分組后用公式法分解．根據(jù)以上信息分解因式：(1)ab?a?b+1；(2)a2(3)n2【變式9-3】（2023秋·上?！ぐ四昙?jí)?？计谥校┮蚴椒纸猓簒2【題型10利用因式分解求值】【例10】（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）若a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，則多項(xiàng)式a2+bA．0 B．1 C．2 D．3【變式10-1】（2023春·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開中學(xué)?？计谥校┤魓2+x?3=0，則x3【變式10-2】（2023春·浙江杭州·八年級(jí)杭州市文暉中學(xué)?？计谥校?）當(dāng)mn=?4，m+n=3，求m?n的值．（2）已知x+y=2,xy=34，求【變式10-3】（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)泰州市第二中學(xué)附屬初中?？计谥校╅喿x材料：若m2+2mn+2n2?6n+9=0解：∵m2∴m2∴(m+n)2∴m+n=0，n?3=0，∴m=?3，n=3．像這樣將代數(shù)式進(jìn)行恒等變形，使代數(shù)式中出現(xiàn)完全平方式的方法叫做“配方法”．請(qǐng)利用配方法，解決下列問題：(1)已知x2+2y2?2xy?8y+16=0(2)若A=2a2?3a?1，B=a2?a?4，試比較A與B的大?。篈______(3)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2專題14.8整式的乘法與因式分解章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1冪的基本運(yùn)算】 1【題型2利用冪的運(yùn)算進(jìn)行比較大小】 3【題型3利用冪的運(yùn)算進(jìn)行簡便計(jì)算】 6【題型4冪的運(yùn)算中的新定義問題】 8【題型5整式乘除的計(jì)算與化簡】 13【題型6整式混合運(yùn)算的應(yīng)用】 15【題型7因式分解（提公因式與公式法綜合）】 19【題型8因式分解（十字相乘法）】 21【題型9因式分解（分組分解法）】 24【題型10利用因式分解求值】 26【題型1冪的基本運(yùn)算】【例1】（2023春·浙江·八年級(jí)期中）我們知道下面的結(jié)論：若am=an（a>0，且a≠1），則m=n．利用這個(gè)結(jié)論解決下列問題：設(shè)3m=2，3n=6，3p=18．現(xiàn)給出m，n【答案】①③/③①【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行變形可得3n=6=3×2=3×3m=3m+1【詳解】∵3m=2，∴n=1+m，即m=n?1，∵3p∴p=1+n=2+m，①m+p=n?1+1+n=2n，故正確；②3m+n=3(p?2)+p?1=4p?7，故錯(cuò)誤；③p2【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘除法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用同底數(shù)冪的乘除法公式，本題屬于中等題型．【變式1-1】（2023春·河北滄州·八年級(jí)校考期中）若n為正整數(shù)．且a2n=4，則2aA．4 B．16 C．64 D．192【答案】D【分析】根據(jù)積的乘方以及逆運(yùn)算對(duì)式子進(jìn)行化簡求解即可．【詳解】解析：2=4=4×4故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了冪的有關(guān)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪的有關(guān)運(yùn)算法則．同底數(shù)冪相乘（除），底數(shù)不變，指數(shù)相加（減）；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方，把每個(gè)因式分別乘方．【變式1-2】（2023春·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知5a=4，5b=6，5c=9，則a，【答案】a+c=2b【分析】根據(jù)4×9=6【詳解】∵4×9=62，5a=4，5∴5故5∴a+c=2b故答案為：a+c=2b．【點(diǎn)睛】此題主要考查冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知冪的運(yùn)算法則．【變式1-3】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)石家莊市第二十一中學(xué)?？计谥校┌匆笸瓿上铝懈餍☆}(1)若x2=2，求(2)若m?n=1，求3m(3)若xm?x2n+1=【答案】(1)?14(2)1(3)17【分析】（1）根據(jù)冪的乘方運(yùn)算法則將代數(shù)式轉(zhuǎn)換為含x2的式子，再將x（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法運(yùn)算法則將代數(shù)式進(jìn)行化簡，再將m?n=1代入計(jì)算即可；（3）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法運(yùn)算法則將代數(shù)式進(jìn)行化簡，根據(jù)等式的性質(zhì)建立兩個(gè)等式，將兩個(gè)等式相加即可得到答案．【詳解】（1）解：3x=9∵x2∴3x=9×2?4×=18?32=?14；（2）解：3=====1（3）解：∵xm?∴xm+2n+1=∴m+2n+1=11①將①+②得2m+n=17．【點(diǎn)睛】本題考查的代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪的乘方運(yùn)算、同底數(shù)冪的乘法和除法運(yùn)算，以及掌握等式的性質(zhì)．【題型2利用冪的運(yùn)算進(jìn)行比較大小】【例2】（2023春·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）比較大?。?1312741．（填>、<或【答案】>【分析】根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘整理成以3為底數(shù)的冪，再根據(jù)指數(shù)的大小比較即可．【詳解】解：81312741∵124>123，∴8131故答案為：>．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并轉(zhuǎn)換成以3為底數(shù)的冪是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·江蘇·八年級(jí)期末）若a3=2，b5=3，比較a，b大小關(guān)系的方法：因?yàn)閍15=a35=25=32，b15=b5【答案】<【詳解】解：參照題目中比較大小的方法可知，∵x35=(x∴x∴x<y，故答案為：<．【點(diǎn)睛】本題考查利用冪的乘方比較未知量的大小，熟練掌握冪的乘方的運(yùn)算法則（底數(shù)不變，指數(shù)相乘）是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·陜西咸陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：下面是底數(shù)大于1的數(shù)比較大小的兩種方法：①比較2a，2b的大小：當(dāng)a>b時(shí)，②比較340和260的大?。阂?yàn)?40=3220可以將其先化為同指數(shù)，再比較大小，所以同指數(shù)時(shí)，底數(shù)越大，值越大．根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)比較大?。?20__________915（填“>”或“(2)已知a=344，b=433，c=522，試比較【答案】(1)<(2)c<b<a【分析】（1）根據(jù)冪的乘方的逆運(yùn)算進(jìn)行化簡比較即可；（2）根據(jù)題目中的方法，變化成指數(shù)相同時(shí)，比較底數(shù)即可．【詳解】（1）因?yàn)?15=3所以320故答案為：<；（2）因?yàn)閍=3b=4c=5且25<64<81，所以2511所以c<b<a．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方的逆運(yùn)算及有理數(shù)的乘方運(yùn)算，熟練掌握冪的乘方的逆運(yùn)算是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀：已知正整數(shù)a，b，c，若對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)冪ab和ac(a≠1)，當(dāng)b>c時(shí)，則有ab>ac；若對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和c(1)比較大小：520______420，961(2)比較233與3(3)比較312×5【答案】(1)>，<(2)233<(3)312×【分析】（1）根據(jù)“同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和cb，當(dāng)a>c時(shí)，則有ab>cb，”即可比較520和420的大??；根據(jù)“對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)冪ab和ac(a≠1)，當(dāng)（2）據(jù)“對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)冪ab和ac(a≠1)，當(dāng)b>c時(shí)，則有ab>a（3）利用作商法，即可比較312×5【詳解】（1）解：∵5>4，∴520>4∵961=(∴961<27故答案為：>，<；（2）解：∵233=(∴233<3（3）解：∵312∴312×5【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方及有理數(shù)大小比較，掌握冪的乘方與積的乘方的法則是解決問題的關(guān)鍵．【題型3利用冪的運(yùn)算進(jìn)行簡便計(jì)算】【例3】（2023秋·湖北荊州·八年級(jí)沙市一中?？计谥校┯?jì)算：?0.1255×?2A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】D【分析】根據(jù)積的乘方和冪的乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行巧算．【詳解】解：?0.125====?2．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方和冪的乘方的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是利用0.125×8=1進(jìn)行巧算．【變式3-1】（2023秋·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算310×1A．9 B．19 C．3 D．【答案】A【分析】根據(jù)積的乘方及冪的乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：3====9，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方和積的乘方，熟練掌握冪的乘方和積的乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·貴州六盤水·八年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算?0.1252020×2【答案】-1【分析】利用冪的乘方與積的乘方的法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．【詳解】原式=?0.125===1×=?1故答案為：?1【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方，掌握冪的乘方與積的乘方的法則是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下圖是東東同學(xué)完成的一道作業(yè)題，請(qǐng)你參考東東的方法解答下列問題．東東的作業(yè)計(jì)算：45解：原式=(1)計(jì)算：①82022②(12(2)若3×9n×【答案】(1)①1；②25(2)n=4【分析】（1）①根據(jù)積的乘方及冪的乘方的運(yùn)算法則得到正確結(jié)果；②積的乘方及冪的乘方的運(yùn)算法則即可得到正確結(jié)果；（2）利用冪的乘方運(yùn)算法則的逆用及同底數(shù)冪的乘法法則即可得到n的值．【詳解】（1）解：①8===1；②(===1×=25（2）解：∵3×9∴3×3∴31+2n+4n∴36n+1∴6n+1=25，∴n=4．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法法則，積的乘方，冪的乘方的運(yùn)算法則等相關(guān)知識(shí)，熟記對(duì)應(yīng)法則是解題的關(guān)鍵．【題型4冪的運(yùn)算中的新定義問題】【例4】（2023春·江西撫州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于整數(shù)a、b，我們定義：a▲b=10a×10b，a△b=(1)求2▲1?(2)若x▲3=5△1，求x的值．【答案】(1)0(2)x=1【分析】（1）根據(jù)題干中新定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再計(jì)算同底數(shù)冪的乘法和除法，然后合并同類項(xiàng)，即可計(jì)算求值；（2）根據(jù)題干中新定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再計(jì)算同底數(shù)冪的乘法和除法，得到x+3=4，即可求出x的值．【詳解】（1）解：2▲1===0；（2）解：∵x▲3=5△1，∴10∴10∴x+3=4，∴x=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法和同底數(shù)冪的除法，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2023秋·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于?1，記為i2=?1，那么這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如a+bi（a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a例如計(jì)算：(2+i根據(jù)以上信息，下列各式：①i3②i4③1+i④i+i其中正確的是（填上所有正確答案的序號(hào)）．【答案】①②③④【分析】理解i的含義以及運(yùn)算，再對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：i3i41+i+∵i+i∴i5∴i+i故答案為：①②③④【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，乘方運(yùn)算，本題是閱讀型題目，理解并熟練應(yīng)用其中的定義與公式是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）對(duì)于整數(shù)a、b定義運(yùn)算：a※b=(ab)m+(ba(1)填空：當(dāng)m=1，n=2023時(shí)，2※?1(2)若?1※4=10，2※?2=【答案】(1)3(2)9【分析】（1）把相應(yīng)的值代入進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）把相應(yīng)的值代入運(yùn)算求得4m，4【詳解】（1）解：當(dāng)m=1，n=2023時(shí)，2※?1===3故答案為：32（2）解：∵?1※4=10，∴[(?1)4整理得：14n=9，14m∴=====9【點(diǎn)睛】本題主要考查冪乘方與積的乘方，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．【變式4-3】（2023秋·北京海淀·八年級(jí)校考期中）在學(xué)習(xí)平方根的過程中，同學(xué)們總結(jié)出：在ax=N中，已知底數(shù)a和指數(shù)x，求冪N的運(yùn)算是乘方運(yùn)算；已知冪N和指數(shù)x，求底數(shù)a的運(yùn)算是開方運(yùn)算．小明提出一個(gè)問題：“如果已知底數(shù)a和冪N，求指數(shù)小明課后借助網(wǎng)絡(luò)查到了對(duì)數(shù)的定義：如果N=ax（a>0，且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)（logarithm），記作：x=logaN小明根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，嘗試進(jìn)行了下列探究：(1)∵2∵2∵2∵2計(jì)算：log2(2)計(jì)算后小明觀黎（1）中各個(gè)對(duì)數(shù)的真數(shù)和對(duì)數(shù)的值，發(fā)現(xiàn)一些對(duì)數(shù)之間有關(guān)系，例如：log2(3)于是他猜想：logaM+logaN=__________（a>0且a≠1(4)根據(jù)之前的探究，直接寫出loga【答案】(1)4，5；(2)log2(3)loga(4)loga【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)與乘方之間的關(guān)系求解可得答案；（2）利用對(duì)數(shù)的定義結(jié)合（1）中結(jié)果求解可得答案；（3）根據(jù)（2）中結(jié)果進(jìn)行猜想，設(shè)logaM=x，logaN=y，可得ax（4）根據(jù)（3）中的探究可得logaM?logaN=logaMN，設(shè)log【詳解】（1）解：∵24∴l(xiāng)og2∵25∴l(xiāng)og2故答案為：4，5；（2）解：log2故答案為：log2（3）解：loga證明：設(shè)logaM=x，logaN=y，則∴ax∴l(xiāng)oga∴l(xiāng)oga故答案為：loga（4）根據(jù)之前的探究，可得loga設(shè)logaM=x，logaN=y，則∴ax∴l(xiāng)oga∴l(xiāng)oga故答案為：loga【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，有理數(shù)的乘方，同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是弄清對(duì)數(shù)與乘方之間的關(guān)系，并熟練運(yùn)用．【題型5整式乘除的計(jì)算與化簡】【例5】（2023秋·上海金山·八年級(jí)校聯(lián)考期末）已知：a+b=32，ab=1，化簡a?2b?2【答案】2【分析】先把所求式子化簡為ab?2a+b【詳解】解：a?2b?2=ab?2a?2b+4=ab?2a+b∵a+b=32，∴原式=1?2×3故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式——化簡求值，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·陜西西安·八年級(jí)?？计谥校┮阎猰滿足3m?20152(1)求2015?3m2014?3m(2)求6m?4029的值．【答案】(1)?2(2)±3【分析】（1）原式利用完全平方公式化簡，計(jì)算即可確定出原式的值；（2）原式利用完全平方公式變形，計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：設(shè)a=3m?2015，b=2014?3m，可得a+b=?1，a2∵（∴1=5+2ab，即ab=?2，則2015?3m2014?3m（2）解：設(shè)a=3m?2015，b=2014?3m，可得6m?4029=3m?2015∵a?b∴6m?4029則6m?4029=±3．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握公式及運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·遼寧沈陽·八年級(jí)?？计谥校?）運(yùn)用乘法公式計(jì)算：999（2）先化簡，再求值：2x+y2x?y?3x+yx?2y?【答案】（1）?1994；（2）?2y?10x，6【分析】（1）把原式化為1000?12（2）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的整式的乘法運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)，最后計(jì)算多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，再把x=?1，y=2【詳解】解：（1）999===?1994；（2）2x+y===?2y?10x；當(dāng)x=?1，y=2原式=?2×2?10×?1【點(diǎn)睛】本題考查的是整式的化簡求值，整式的混合運(yùn)算，完全平方公式與平方差公式的靈活運(yùn)用，熟記運(yùn)算公式與運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）為了比較兩個(gè)數(shù)的大小，我們可以求這兩個(gè)數(shù)的差，若差為0，則兩數(shù)相等；若差為正數(shù)，則被減數(shù)大于減數(shù)．若M=a+3a?4，N=a+2(1)求M?N，要求化簡為關(guān)于a的多項(xiàng)式；(2)比較M，N的大?。敬鸢浮?1)?(2)M<N【分析】（1）先計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng)即可；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）解：M?N===?a（2）∵a為有理數(shù)，∴a2∴?a∴M<N．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算．熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．【題型6整式混合運(yùn)算的應(yīng)用】【例6】（2023秋·重慶大渡口·八年級(jí)重慶市第三十七中學(xué)校校聯(lián)考開學(xué)考試）閱讀材料：材料1：將一個(gè)三位數(shù)或三位以上的整數(shù)分成左中右三個(gè)數(shù)，如果滿足：中間數(shù)=左邊數(shù)的平方+右邊數(shù)的平方，那么我們稱該整數(shù)是平方和數(shù)，比如，對(duì)于整數(shù)251，它的中間數(shù)是5，左邊數(shù)是2，右邊數(shù)是1，因?yàn)?2+1材料2：將一個(gè)三位數(shù)或者三位以上的整數(shù)分成左中右三個(gè)數(shù)，如果滿足：中間數(shù)=2×左邊數(shù)×右邊數(shù)，那么我們稱該整數(shù)是雙倍積數(shù)；比如：對(duì)于整數(shù)163，它的中間數(shù)是6，左邊數(shù)是1，右邊數(shù)是3，因?yàn)?×1×3=6，所以163是雙倍積數(shù)；再比如，對(duì)于整數(shù)3305，因?yàn)?×3×5=30，所以3305是一個(gè)雙倍積數(shù)，顯然，361，5303這兩個(gè)數(shù)也肯定是雙倍積數(shù)．請(qǐng)根據(jù)上述定義完成下面問題：(1)如果一個(gè)三位整數(shù)既是平方和數(shù)，又是雙倍積數(shù)，則該三位整數(shù)是_____．（直接寫出結(jié)果）(2)如果我們用字母a表示一個(gè)整數(shù)分出來的左邊數(shù)，用字母b表示一個(gè)整數(shù)分出來的右邊數(shù)，則a585b為一個(gè)平方和數(shù)，a504b為一個(gè)雙倍積數(shù)，求a2【答案】(1)121，282(2)287【分析】（1）根據(jù)平方和數(shù)的定義、雙倍積數(shù)的定義即可求解；（2）根據(jù)平方和數(shù)的定義可得a2+b【詳解】（1）解：設(shè)該三位整數(shù)是mcn，由題意得：m2+n∴m2∴m2+n2?2mn=0∴c=2∴m=1或2，∴該三位整數(shù)是121，282；（2）解：∵a585b為一個(gè)平方和數(shù)，∴a2∵a504b為一個(gè)雙倍積數(shù)，∴2ab=504，∴a2+b∴a+b=33,a?b=9，∴a2【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，學(xué)生的閱讀理解能力與知識(shí)的遷移能力，理解平方和數(shù)與雙倍積數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023秋·貴州遵義·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，學(xué)校操場主席臺(tái)前計(jì)劃修建一塊凹字形花壇．（單位：米）(1)用含a，b的整式表示花壇的面積；(2)若a=2,b=1，工程費(fèi)為500元/平方米，求建花壇的總工程費(fèi)為多少元?【答案】(1)花壇的面積是4a(2)建花壇的總工程費(fèi)為11500元．【分析】（1）用大長方形的面積減去一個(gè)小長方形面積即可；（2）將a和b的值代入（1）中的結(jié)果，求出面積即可．【詳解】（1）解：a+3b+a2a+b=4=4a答：花壇的面積是4a（2）當(dāng)a=2，b=1時(shí)，4=4×=16+4+3=23（平方米）23×500=11500（元）答：建花壇的總工程費(fèi)為11500元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·貴州銅仁·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在矩形ABCD內(nèi)，將一張邊長為a的正方形紙片和兩張邊長為b的正方形紙片（a>b），按圖1，圖2兩種方式放置（兩個(gè)圖中均有重疊部分），矩形中未被這三張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，當(dāng)AD?AB=2時(shí)，A．2a B．2b C．?2b+b2 【答案】C【分析】根據(jù)圖形和題目中的數(shù)據(jù)，可以表示出S1和S【詳解】解：由圖可得，S1S2S==AD·AB?=?b·AD+ab+=?b∵AD?AB=2，∴?bAD?AB即S1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確整式混合運(yùn)算的計(jì)算方法．【變式6-3】（2023秋·浙江·八年級(jí)期中）正方形ABCD中，點(diǎn)G是邊CD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合），以CG為邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B，C，E三點(diǎn)在同一條直線上，設(shè)正方形ABCD和正方形CEFG的邊長分別為a和b（a>b）．(1)求圖1中陰影部分的面積S1（用含a，b(2)當(dāng)a=5，b=3時(shí)，求圖1中陰影部分的面積(3)當(dāng)a=5，b=3時(shí)，請(qǐng)直接寫出圖2中陰影部分的面積【答案】(1)S(2)19(3)21【分析】（1）利用兩個(gè)正方形的面積減去空白部分的面積列式即可；（2）把a(bǔ)=5，b=3代入（3）延長AD和EF，交于點(diǎn)H．即可由S2=S長方形ABEH?S【詳解】（1）S==1（2）∵a=5，∴S==19（3）如圖，延長AD和EF，交于點(diǎn)H．∴S=a(a+b)?=ab?1∵a=5，∴S2【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，代數(shù)式求值，整式的混合運(yùn)算．求得兩個(gè)陰影部分的面積是解決問題的關(guān)鍵．【題型7因式分解（提公因式與公式法綜合）】【例7】（2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式（1）20a3-30a2（2）25（x+y）2-9（x-y）2【答案】（1）10a2（2a﹣3）（2）4(4x+y)(x+4y)【詳解】分析：（1）利用提公因式法，找到并提取公因式10a2即可；（2）利用平方差公式進(jìn)行因式分解，然后整理化簡即可.詳解：（1）解：20a3﹣30a2=10a2（2a﹣3）（2）解：25（x+y）2﹣9（x﹣y）2=[5（x+y）+3（x﹣y）][5（x+y）﹣3（x﹣y）]=（8x+2y）（2x+8y）；=4(4x+y)(x+4y).點(diǎn)睛：因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式積的形式.根據(jù)因式分解的一般步驟：一提（公因式）、二套（平方差公式a2?b【變式7-1】（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式：3a2【答案】3【分析】分別運(yùn)用提公因式，公式法進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：3=3=3=3故答案為：3m?n【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的相關(guān)知識(shí)．靈活運(yùn)用提公因式和公式法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意，分解一定要徹底，這是易錯(cuò)點(diǎn)．【變式7-2】（2023秋·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？奸_學(xué)考試）多項(xiàng)式?2a3?4【答案】?2a【分析】先提取公因式?2a，然后利用完全平方公式分解因式即可得．【詳解】解：?2=?2a=?2aa+1故答案為：?2aa+1【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握提取公因式法和公式法是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)把下列各式分解因式(1)a(2)(【答案】(1)a?b(2)(a+b)【分析】（1）把b?a變形為a?b后再提取公因式，最后運(yùn)用平方差公式求解即可；（2）原式先運(yùn)用平方差公式分解后，再運(yùn)用完全平方公式分解即可．【詳解】（1）a=a2=a?ba=a?b（2）(=(a=(a+b)【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，正確選用因式分解的方法是解答本題的關(guān)鍵．【題型8因式分解（十字相乘法）】【例8】（2023春·湖南益陽·八年級(jí)?？计谥校╅喿x下面的材料，解答提出的問題：已知：二次三項(xiàng)式x2?4x+m有一個(gè)因式是x+3，求另一個(gè)因式及解：設(shè)另一個(gè)因式為x+n，由題意，得x2x2所以n+3=?4m=3n，解得m=?21所以另一個(gè)因式為x?7，m的值為?21．提出問題：(1)已知二次三項(xiàng)式x2?5x?p有一個(gè)因式是(2)已知二次三項(xiàng)式3x2+2x?k有一個(gè)因式是x?5【答案】(1)x?4(2)另一個(gè)因式為3x+17，k的值為85【分析】（1）設(shè)另一個(gè)因式為x+n，由題意得x2?5x?p=x?1（2）設(shè)另一個(gè)因式為3x+m，由題意得：3x2+2x?k=【詳解】（1）解：設(shè)另一個(gè)因式為x+n，由題意得：x2則x2∴n?1=?5解得：n=?4p=?4∴另一個(gè)因式為x?4，故答案為：x?4；（2）解：設(shè)另一個(gè)因式為3x+m，由題意得：3x則3x∴m?15=2解得：m=17k=85∴另一個(gè)因式為3x+17，k的值為85．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解—十字相乘法，解二元一次方程組，正確設(shè)出另一個(gè)因式是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·湖南邵陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）多項(xiàng)式x2+x?6可因式分解成x+ax+b，其中a，b均為整數(shù)，則a+bA．?1 B．1 C．?2023 D．2023【答案】B【分析】先分解因式，求出a、b的值，再結(jié)合有理數(shù)的乘方進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案．【詳解】解：∵x又∵多項(xiàng)式x2+x?6可因式分解成∴a=3，b=?2或a=?2，b=3，∴a+b故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解、有理數(shù)的乘方，熟練掌握十字相乘法分解因式是解題關(guān)鍵．【變式8-2】（2023秋·上海靜安·八年級(jí)上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)校考期中）分解因式：2x【答案】4【分析】直接利用十字相乘法和完全平方公式進(jìn)行因式分解即可得到答案．【詳解】解：2==2=4x+3【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用十字相乘法和完全平方公式分解因式，熟練掌握十字相乘法和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023春·湖南懷化·八年級(jí)統(tǒng)考期末）材料1：由多項(xiàng)式乘法，x+ax+b=x2+a+bx+ab材料2：因式分解：(x+y)2+2x+y+1，解：將“x+y”看成一個(gè)整體，令x+y=A，則原式=A上述解題用到整體思想，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法．請(qǐng)你解答下列問題：(1)根據(jù)材料1將x2(2)根據(jù)材料2將(x?y)2(3)結(jié)合材料1和材料2，將m2【答案】(1)(x+3)(x+1)(2)(x?y?5)(3)(【分析】（1）仿照材料一分解即可；（2）把(x?y)看成一個(gè)整體，利用材料一的方法分解即可；（3）把(m【詳解】（1）解：x2（2）(x?y)2（3）(==(=(m【點(diǎn)睛】本題考查了整式的因式分解，讀懂題目給出的材料，會(huì)運(yùn)用題目給出材料的方法是解決本題的關(guān)鍵．【題型9因式分解（分組分解法）】【例9】（2023秋·山東日照·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a+b=3,ab=1，則多項(xiàng)式a2b+ab【答案】0【分析】先進(jìn)行因式分解，再代值計(jì)算即可．【詳解】解：a=ab?1當(dāng)a+b=3,ab=1時(shí)，原式=3×1?1故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值．熟練掌握分組法進(jìn)行因式分解，整體思想代入求值，是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023春·江蘇·八年級(jí)期中）分解因式：a4?4【答案】(a?3)(a+1)(【分析】本題有a的四次項(xiàng)、a的三次項(xiàng)，a的二次項(xiàng)，有常數(shù)項(xiàng)，所以首要考慮的就是三一分組，前三項(xiàng)提取公因式后可以利用完全平方公式分解因式，然后還可以與第四項(xiàng)繼續(xù)利用平方差公式分解因式．【詳解】解：a=(=a=(=(a?3)(a+1)(故答案為：(a?3)(a+1)(a【點(diǎn)睛】本題考查了分組分解法，十字相乘法分解因式，難點(diǎn)是采用兩兩分組還是三一分組，要考慮分組后還能進(jìn)行下一步分解，利用平方差公式分解后還要繼續(xù)利用十字相乘法分解因式，注意分解因式要徹底．【變式9-2】（2023春·福建漳州·八年級(jí)校考期中）閱讀理解∶當(dāng)一個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有公因式又不能用公式法時(shí)，這里再介紹一種因式分解方法，叫分組分解法．比如因式分解：am+bm+an+bn=這種分組法是分組后用提公因式法分解；比如因式分解：a這種分組法是分組后用公式法分解．根據(jù)以上信息分解因式：(1)ab?a?b+1；(2)a2(3)n2【答案】(1)(a?1)(b?1)(2)(a?3b)(a+3b?2)(3)(【分析】（1）分組，提公因式分解；（2）分組，分別運(yùn)用平方差公式，提公因式法分解；（3