數(shù)學(xué)奧林匹克專題講座

專題)1數(shù)學(xué)奧林匹克專題講座-―-素數(shù)

上海市上海中學(xué)顧濱

素數(shù)是數(shù)論中核心的問題之一，因為素數(shù)的定義如此簡單，分布卻如此不規(guī)

律.關(guān)于素數(shù)，我們知道的也很少，接下來我們將介紹有關(guān)素數(shù)的一些核心問題，

并對其中一些加以討論.

一.關(guān)于素數(shù)無窮多.Euclid第一個證明了：素數(shù)有無窮多個.

【定理1(Euclid)】：素有無窮多個.

它的證明是很經(jīng)典的無窮遞推法，當(dāng)然目前也有其它證法，有興趣的同學(xué)可以

參看《Theprooffromthebook>>一書，這里就略去了.下面我們來證明更強(qiáng)的結(jié)

論：

【定理2(Euler)】+8(這里Z表示對所有的素數(shù)求和，以后類同)

ppP

證明：首先證明Euler恒等式：設(shè)實數(shù)s>l,則口1+-5-+，一+-=￡，①

V(/?'p~J"=1ns

<n表示對所有的素數(shù)求積，以后類同).

p

我們已經(jīng)熟知當(dāng)S>1時，上式的右邊的級數(shù)是絕對收斂的，而由于算術(shù)基本定

理，若將上式左邊逐項展開，則對每個n,由于n恰有唯一的一種方法表為

p?p會…,因此恰出現(xiàn)一次，即證得Euler恒等式.

ns

n5+oo1(ns+<?1

現(xiàn)將Euler恒等式化為：Fl/—=￡二.兩邊取對數(shù)得Zin—g—=ln(Z=).

pP-1n=]nP(p-1)n=ln

1fn'S\4-QO1I

利用不等式x>ln(l+x)得：Z—r>Zln-7—=ln(S—).令s-1即知

PPPIP—]J?=1tl

Z-1—>ln(Z-)=+oo,又Z」一一Z-1—<1,故Z，->+8成立.

Pp-1?=inpp-1Ppp(p-Dppp

Euler這一證明有著很濃的解析色彩，將孤單的素數(shù)與全體正整數(shù)通過①式聯(lián)

系起來了，我們在后面證明Dirichlet定理時將用到一樣的思想.另外利用①式可

以證明任取兩數(shù)互素的概率為?，但這已經(jīng)離開主題較遠(yuǎn)，暫不考慮.

7T

為了以后的需要，我們先來定義一些函數(shù)：

若n=p^p^-p^(aj>l,j=l,2,-,k),則定義函數(shù)

(p(n)=n(l——)(1——)???(1——)；

PlPlPn

定義函數(shù)0(x)=ZInp；以及函數(shù)A(〃)=F子，P，n'm-I.以下我們一般以%

pz0,其他情況

表示正整數(shù)，P表示素數(shù)，d表示約數(shù).

關(guān)于A(〃)，我們顯然有l(wèi)n(〃)=ZA(d)(這里表示為對n的所有正約數(shù)求和)，

d\n

因此我們有：

Y

In囪!)=ZInx=ZZA(d)=ZA(d)?Z1=ZA(d).[一](交換和號值得注

n<xn<xd\nd<xd\nd<xd

n<x

意)

因止匕結(jié)合HInn-n<ln(〃!)<nInn可知：

rZ邛=EA3)-[f+Z(A(4)｛：｝)=ln([x]!)+Z八⑷u｝=xlnx+O(x)+工A(d)｛。

d<：xCld<xdd<xddWxClCl

,②

(這里0(x)表示至多與X同階，即存在G,。2eR使Gx<ln([X]!)-xInX<)，

又因為ZA(d)｛。<ZA(d)=O(x)(這一等式詳見第二個問題)因此，

d<xdd￡c

②=>=xlnx+O(x),故知￡"4=1113+0⑴.

d<xddsxd

更進(jìn)一步，由于

1

A(d)InpInpInpInpP2_1

。⑴

乙J乙一乙。一乙。一乙

d<.x&p￡xPpa<xrpPP(PT)i_lP(P-1)!

aN2a>2

P

故Z"^=lnx+O⑴，或者我們可記￡生*=lnx+/(x),,(x)|=O⑴③

P<xPP<xP

③式應(yīng)該說是關(guān)于素數(shù)分布的最基本的等式之一，由它可以導(dǎo)出許多有用的結(jié)

果.

現(xiàn)在，我們就來證明定理2的加強(qiáng)形式：

【定理3]：^―=Inlnx+/l+r2(x),其中>1=1-InIn2+￡dt,而

p《xP-tint

卜2(刈=。(J)，

Inx

(注:6(f)=0(1)說明]力收斂)

【證明】：我們有

十1=1+丁Inp1111?/、1,/、1/(2)r-v,1

§p22￡0也/2+八產(chǎn))=5+1@嬴一記山(，)*

（其中在⑵力上僅在t在為素數(shù)時不可微，然而當(dāng)t為素數(shù)時可以

呷p

形式得認(rèn)為此時/'（0=—；這一步運用了Abel求和的思想），從而利用分部積

分公式可得：

1,In母)+、(x)1

=--1---------------r

2Inx2〕;嚅件m胃扁"黑"

=1+0(—)+lnlnx-lnln2+^-dt-V^-dt

Inxj2tln2tJ'tln2t

又因為「小2?力=O(「力)=0(—L),因此我們就得到了定理3!

JatintJxtintInx

二?關(guān)于n(x)：

對大于2的實數(shù)x,令n（x）為不大于x的素數(shù)個數(shù),C.F.Gauss在一百多年前

提出了著名的猜想：【素數(shù)定理】：n（x）~L（xfo）MiimU?=D-

InxI+0cx

Inx

我們先來簡要回顧一下素數(shù)定理的提出與解決過程：

1850年，Chebyshev證明：存在正常數(shù)G，C使G—匚＜＜C,；

InxrrInx

1859年，Rieman在其論文中提出素數(shù)定理與Rieman的1s）函數(shù)的關(guān)系

.00_1

（久幻=￡二，在復(fù)分析中可將久，）解析開拓至全體復(fù)數(shù)s）,將數(shù)論與復(fù)變函數(shù)

〃=]〃

聯(lián)系在了一起.（Euler恒等式已初步體現(xiàn)了分析思想）1896年,14@€12111@口和Poisson

各自獨立地運用復(fù)分析證明了素數(shù)定理.（其中一個關(guān)鍵點是？（s）的零點s的實

部必小于1而大于0,而Riemann猜想是說這樣的零點s的實部均為工）;

2

1896年，Selberg和Erdos獨立給出了素數(shù)定理的初等證明.我們將不會證明素數(shù)

定理，只因復(fù)分析直觀而艱深；初等方法復(fù)雜而難以理解.在這一節(jié)中，我們將

討論Chebyshev不等式，并以此引入一些基本的解析數(shù)論技巧.

【定理