強度計算.結(jié)構(gòu)分析：熱分析：熱應(yīng)力與熱變形分析技術(shù)教程

強度計算.結(jié)構(gòu)分析：熱分析：熱應(yīng)力與熱變形分析技術(shù)教程1熱分析基礎(chǔ)1.1熱傳導(dǎo)理論熱傳導(dǎo)是熱能通過物質(zhì)內(nèi)部粒子的微觀運動從高溫區(qū)域向低溫區(qū)域傳遞的過程。在固體中，熱傳導(dǎo)主要通過晶格振動和自由電子的運動實現(xiàn)；在液體和氣體中，則通過分子的碰撞和擴散實現(xiàn)。熱傳導(dǎo)遵循傅里葉定律，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：q其中，q是熱流密度，k是材料的熱導(dǎo)率，A是傳熱面積，dT1.1.1示例：計算一維熱傳導(dǎo)假設(shè)有一根長度為1米的銅棒，兩端分別保持在100°C和0°C，銅的熱導(dǎo)率k=#定義參數(shù)

k=401#熱導(dǎo)率，單位：W/(m·K)

L=1#銅棒長度，單位：m

T1=100#一端溫度，單位：°C

T2=0#另一端溫度，單位：°C

#計算溫度梯度

dT=T1-T2

dx=L

dT_dx=dT/dx

#計算中心點溫度

x_center=L/2

T_center=T1-k*dT_dx*x_center

print(f"銅棒中心點的溫度為：{T_center}°C")1.2熱對流與熱輻射熱對流是流體中熱能的傳遞方式，通過流體的宏觀運動實現(xiàn)。熱輻射則是通過電磁波的形式在真空中傳遞熱能，所有物體只要溫度高于絕對零度，都會以電磁波的形式向外輻射能量。1.2.1示例：計算熱對流換熱系數(shù)使用牛頓冷卻定律計算熱對流換熱系數(shù)，假設(shè)一個物體表面溫度為50°C，周圍環(huán)境溫度為20°C，物體表面的熱流密度為100W/m2。q其中，q是熱流密度，h是熱對流換熱系數(shù)，A是物體表面積，Ts是物體表面溫度，T#定義參數(shù)

q=100#熱流密度，單位：W/m2

A=1#物體表面積，單位：m2

T_s=50#物體表面溫度，單位：°C

T_inf=20#周圍環(huán)境溫度，單位：°C

#計算熱對流換熱系數(shù)

h=q/(A*(T_s-T_inf))

print(f"熱對流換熱系數(shù)為：{h}W/(m2·K)")1.3熱分析軟件介紹熱分析軟件是用于模擬和分析熱能傳遞過程的工具，廣泛應(yīng)用于工程設(shè)計、材料科學(xué)、電子設(shè)備等領(lǐng)域。常見的熱分析軟件包括：ANSYS：提供全面的熱分析功能，包括熱傳導(dǎo)、熱對流、熱輻射等。COMSOLMultiphysics：支持多物理場耦合分析，可以同時考慮熱、電、流體等效應(yīng)。SolidWorksSimulation：適用于機械設(shè)計中的熱分析，易于使用，適合初學(xué)者。1.3.1示例：使用ANSYS進行熱傳導(dǎo)分析在ANSYS中，創(chuàng)建一個簡單的熱傳導(dǎo)模型，模擬一個長方體在兩端不同溫度下的熱傳導(dǎo)過程。#ANSYS熱傳導(dǎo)分析示例代碼

#注意：實際使用時，需要在ANSYSWorkbench中操作，以下代碼僅示意

#ANSYSAPDL語法示例

/COM,開始熱分析

/PREP7

ET,1,SOLID186#定義單元類型為固體單元

BLOCK,0,1,0,1,0,1#創(chuàng)建長方體模型

ESIZE,0.1#設(shè)置網(wǎng)格尺寸

MESH,ALL#生成網(wǎng)格

NSOL,1,TEMP,100#設(shè)置一端溫度為100°C

NSOL,2,TEMP,0#設(shè)置另一端溫度為0°C

/SOLU

ANTYPE,0#穩(wěn)態(tài)分析

OUTRES,ALL#輸出所有結(jié)果

SOLVE#運行分析

/POST1

PRNSOL,TEMP#輸出溫度結(jié)果以上代碼示意了在ANSYS中創(chuàng)建模型、設(shè)置邊界條件、運行分析和輸出結(jié)果的基本步驟。實際操作中，需要在ANSYSWorkbench界面中進行，代碼用于指導(dǎo)模型的設(shè)置和分析過程。通過以上內(nèi)容，我們了解了熱分析的基礎(chǔ)理論，包括熱傳導(dǎo)、熱對流和熱輻射的原理，以及如何使用熱分析軟件進行模擬和分析。這些知識對于理解和解決工程中的熱問題至關(guān)重要。2熱應(yīng)力與熱變形原理2.1溫度變化對材料性能的影響溫度變化對材料性能的影響是熱分析中的關(guān)鍵因素。材料的強度、彈性模量、泊松比等物理性質(zhì)會隨溫度的升高或降低而發(fā)生變化。例如，大多數(shù)金屬材料在溫度升高時，其強度和彈性模量會降低，而泊松比則可能增加。這種變化直接影響結(jié)構(gòu)的承載能力和變形特性。2.1.1示例：溫度對鋼材性能的影響假設(shè)我們有以下溫度與鋼材性能的數(shù)據(jù)：溫度（°C）彈性模量（GPa）強度（MPa）20200400100190380200180360300170340400160320我們可以使用Python的numpy和matplotlib庫來繪制溫度對鋼材性能的影響圖。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#數(shù)據(jù)

temperatures=np.array([20,100,200,300,400])

elastic_modulus=np.array([200,190,180,170,160])

strength=np.array([400,380,360,340,320])

#繪圖

plt.figure(figsize=(10,5))

plt.plot(temperatures,elastic_modulus,label='彈性模量')

plt.plot(temperatures,strength,label='強度')

plt.xlabel('溫度（°C）')

plt.ylabel('性能')

plt.title('溫度對鋼材性能的影響')

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.show()2.2熱膨脹系數(shù)與熱變形熱膨脹系數(shù)（CTE）是材料在溫度變化時尺寸變化的度量。當(dāng)溫度升高時，材料會膨脹；溫度降低時，材料會收縮。熱變形是由于溫度變化導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)尺寸變化，這在熱分析中至關(guān)重要，尤其是在高溫或溫差較大的環(huán)境中。2.2.1示例：計算熱變形假設(shè)我們有一根長度為1米的鋁棒，其熱膨脹系數(shù)為23.1×10^-6/°C。如果溫度從20°C升高到100°C，我們可以計算其熱變形。#定義參數(shù)

initial_length=1.0#初始長度，單位：米

cte_aluminum=23.1e-6#鋁的熱膨脹系數(shù)，單位：1/°C

delta_temperature=100-20#溫度變化，單位：°C

#計算熱變形

thermal_expansion=initial_length*cte_aluminum*delta_temperature

print(f'熱變形量為：{thermal_expansion:.6f}米')2.3熱應(yīng)力的產(chǎn)生與計算熱應(yīng)力是由于溫度變化導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)內(nèi)部應(yīng)力。當(dāng)結(jié)構(gòu)的一部分受熱膨脹而另一部分保持不變或收縮時，就會產(chǎn)生熱應(yīng)力。熱應(yīng)力的計算通常涉及到材料的熱膨脹系數(shù)、彈性模量、泊松比以及溫度變化。2.3.1示例：計算熱應(yīng)力假設(shè)我們有一塊厚度為10mm的鋼板，其熱膨脹系數(shù)為12×10^-6/°C，彈性模量為200GPa。如果鋼板的一側(cè)加熱到100°C，而另一側(cè)保持在20°C，我們可以計算其熱應(yīng)力。#定義參數(shù)

cte_steel=12e-6#鋼的熱膨脹系數(shù)，單位：1/°C

elastic_modulus_steel=200e9#鋼的彈性模量，單位：Pa

delta_temperature_steel=100-20#溫度變化，單位：°C

thickness_steel=0.01#鋼板厚度，單位：米

#計算熱應(yīng)力

thermal_strain=cte_steel*delta_temperature_steel

thermal_stress=elastic_modulus_steel*thermal_strain

print(f'熱應(yīng)力為：{thermal_stress:.2f}Pa')以上示例展示了如何使用Python進行熱應(yīng)力和熱變形的計算，這對于理解和分析溫度變化對結(jié)構(gòu)的影響至關(guān)重要。3熱分析方法與步驟3.1熱分析前處理熱分析前處理是確保分析準(zhǔn)確性的關(guān)鍵步驟。它包括定義材料屬性、設(shè)定初始條件、施加載荷和邊界條件等。在這一階段，工程師需要詳細(xì)設(shè)定模型的物理屬性，以反映真實環(huán)境中的熱行為。3.1.1材料屬性定義材料的熱屬性，如熱導(dǎo)率、比熱容和熱膨脹系數(shù)，是熱分析的基礎(chǔ)。例如，對于金屬材料，熱導(dǎo)率通常較高，而塑料材料的熱導(dǎo)率則較低。3.1.2初始條件設(shè)定初始條件包括模型的初始溫度分布。在進行瞬態(tài)熱分析時，這一點尤為重要，因為它影響熱傳導(dǎo)和熱擴散的計算。3.1.3載荷和邊界條件熱源、熱沉、對流、輻射和接觸熱阻等載荷和邊界條件的設(shè)定，直接影響熱分析的結(jié)果。例如，設(shè)定一個點熱源，可以使用以下代碼：#設(shè)定點熱源

#假設(shè)使用Python的FEniCS庫進行有限元分析

fromdolfinimport*

mesh=UnitSquareMesh(10,10)#創(chuàng)建10x10的網(wǎng)格

V=FunctionSpace(mesh,'P',1)#定義函數(shù)空間

#定義點熱源位置

x0,y0=0.5,0.5

radius=0.1

#定義點熱源強度

q=100.0

#定義熱源函數(shù)

classHeatSource(Expression):

defeval(self,values,x):

ifsqrt((x[0]-x0)**2+(x[1]-y0)**2)<radius:

values[0]=q

else:

values[0]=0.0

defvalue_shape(self):

return()

#創(chuàng)建熱源函數(shù)實例

heat_source=HeatSource(degree=1)

#定義熱傳導(dǎo)方程

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=heat_source

k=Constant(0.001)#熱導(dǎo)率

a=k*dot(grad(u),grad(v))*dx

L=f*v*dx

#求解

u=Function(V)

solve(a==L,u)這段代碼定義了一個位于網(wǎng)格中心的點熱源，其強度為100.0，作用范圍為半徑0.1的圓內(nèi)。3.2網(wǎng)格劃分與邊界條件設(shè)置網(wǎng)格劃分的質(zhì)量直接影響熱分析的精度。細(xì)密的網(wǎng)格可以提供更準(zhǔn)確的結(jié)果，但也會增加計算時間和資源需求。邊界條件的設(shè)置，如固定溫度、熱流邊界或?qū)α鬟吔?，是熱分析中不可或缺的部分?.2.1網(wǎng)格劃分使用FEniCS庫，可以創(chuàng)建不同類型的網(wǎng)格，如矩形、三角形或四邊形網(wǎng)格。網(wǎng)格的細(xì)化可以通過增加單元數(shù)量來實現(xiàn)。#創(chuàng)建矩形網(wǎng)格

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(1,1),100,100)3.2.2邊界條件設(shè)置邊界條件的設(shè)置通常涉及定義邊界上的溫度或熱流。例如，設(shè)定一個固定溫度邊界：#定義固定溫度邊界條件

classFixedTemp(SubDomain):

definside(self,x,on_boundary):

returnon_boundaryandnear(x[0],0.0)

#創(chuàng)建邊界條件實例

fixed_temp=FixedTemp()

#定義邊界條件

bc=DirichletBC(V,Constant(300.0),fixed_temp)

#將邊界條件應(yīng)用于熱傳導(dǎo)方程

solve(a==L,u,bc)這段代碼定義了一個在x=0的邊界上固定溫度為300.0的邊界條件。3.3熱分析求解與后處理熱分析的求解通常涉及迭代計算，直到達(dá)到穩(wěn)態(tài)或滿足時間步長要求。后處理則包括結(jié)果的可視化和數(shù)據(jù)分析。3.3.1熱分析求解求解熱分析問題可以通過迭代求解瞬態(tài)方程或直接求解穩(wěn)態(tài)方程來實現(xiàn)。例如，使用時間步長求解瞬態(tài)熱分析：#定義時間步長和總時間

dt=0.1

T=1.0

#初始化時間

t=0.0

#創(chuàng)建初始溫度函數(shù)

u_n=interpolate(Constant(293.0),V)

#定義瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程

u=Function(V)

v=TestFunction(V)

f=heat_source

k=Constant(0.001)#熱導(dǎo)率

rho=Constant(1.0)#密度

C=Constant(1.0)#比熱容

a=k*dot(grad(u),grad(v))*dx+rho*C*u*v*dx

L=k*dot(grad(u_n),grad(v))*dx+rho*C*u_n*v*dx+f*v*dt*dx

#迭代求解

whilet<T:

t+=dt

solve(a==L,u)

u_n.assign(u)3.3.2熱分析后處理后處理包括結(jié)果的可視化和數(shù)據(jù)分析。例如，使用FEniCS的plot函數(shù)可視化溫度分布：#可視化溫度分布

plot(u)

interactive()此外，可以使用File對象保存結(jié)果，以便在其他軟件中進行進一步分析：#保存結(jié)果

file=File("temperature.pvd")

file<<u通過以上步驟，可以完成從熱分析前處理到求解和后處理的整個過程，確保結(jié)構(gòu)在熱環(huán)境下的安全性和性能。4熱應(yīng)力與熱變形案例分析4.1熱應(yīng)力在機械零件中的分析4.1.1原理熱應(yīng)力是由于溫度變化導(dǎo)致材料內(nèi)部產(chǎn)生不均勻的熱膨脹或收縮，從而在材料內(nèi)部產(chǎn)生的應(yīng)力。在機械零件中，熱應(yīng)力的產(chǎn)生通常與零件的幾何形狀、材料的熱物理性能以及溫度分布有關(guān)。當(dāng)零件的一部分享受或散發(fā)熱量時，該部分會膨脹或收縮，而其他部分則可能保持不變，這種不均勻的變形會導(dǎo)致內(nèi)部應(yīng)力的產(chǎn)生。4.1.2內(nèi)容在進行熱應(yīng)力分析時，我們通常需要考慮以下幾個關(guān)鍵因素：溫度分布：這是熱應(yīng)力分析的基礎(chǔ)，需要準(zhǔn)確地知道零件在不同位置的溫度變化。材料的熱物理性能：包括熱膨脹系數(shù)、彈性模量、泊松比等，這些參數(shù)決定了材料在溫度變化下的變形和應(yīng)力響應(yīng)。幾何形狀：零件的形狀和尺寸也會影響熱應(yīng)力的分布，復(fù)雜的幾何形狀可能會導(dǎo)致應(yīng)力集中。示例：熱應(yīng)力計算假設(shè)我們有一個長方體零件，材料為鋼，長、寬、高分別為100mm、50mm、20mm。零件的一端被加熱到100°C，而另一端保持在室溫20°C。鋼的熱膨脹系數(shù)為11.7e-6/°C，彈性模量為200GPa，泊松比為0.3。我們可以使用以下公式計算熱應(yīng)力：σ其中，σ是熱應(yīng)力，E是彈性模量，α是熱膨脹系數(shù)，ΔT是溫度變化，ν#熱應(yīng)力計算示例

#定義材料和幾何參數(shù)

length=100#長度，單位：mm

width=50#寬度，單位：mm

height=20#高度，單位：mm

alpha=11.7e-6#熱膨脹系數(shù)，單位：1/°C

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

delta_T=80#溫度變化，單位：°C

#計算熱應(yīng)力

sigma=E*alpha*delta_T*(1-nu)

print(f"熱應(yīng)力為：{sigma:.2f}Pa")4.1.3解釋在上述示例中，我們計算了由于溫度變化導(dǎo)致的熱應(yīng)力。通過調(diào)整溫度變化、材料屬性或零件尺寸，可以觀察到熱應(yīng)力的變化，這對于設(shè)計和優(yōu)化機械零件在熱環(huán)境下的性能至關(guān)重要。4.2熱變形對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響4.2.1原理熱變形是指材料在溫度變化下發(fā)生的尺寸變化。在結(jié)構(gòu)分析中，熱變形可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的幾何形狀改變，從而影響其穩(wěn)定性。例如，橋梁、建筑物或飛機在溫度變化下可能會發(fā)生彎曲或扭曲，這可能會影響其承載能力和安全性。4.2.2內(nèi)容熱變形對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響主要體現(xiàn)在以下幾個方面：幾何非線性：當(dāng)結(jié)構(gòu)的變形較大時，需要考慮幾何非線性的影響，即變形后的結(jié)構(gòu)形狀會影響后續(xù)的變形和應(yīng)力分布。材料非線性：在高溫或低溫下，材料的性能可能會發(fā)生變化，如彈性模量降低或增加，這會影響結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。熱-結(jié)構(gòu)耦合：在某些情況下，結(jié)構(gòu)的變形會影響其內(nèi)部的溫度分布，反之亦然，這種熱-結(jié)構(gòu)耦合效應(yīng)需要在分析中予以考慮。示例：熱變形分析假設(shè)我們有一個長1m的鋼梁，兩端固定，中間被加熱到100°C。我們可以使用以下公式計算熱變形：δ其中，δ是熱變形量，L是梁的長度，ΔT#熱變形計算示例

#定義材料和幾何參數(shù)

L=1#長度，單位：m

alpha=11.7e-6#熱膨脹系數(shù)，單位：1/°C

delta_T=80#溫度變化，單位：°C

#計算熱變形

delta=alpha*L*delta_T

print(f"熱變形量為：{delta:.6f}m")4.2.3解釋在示例中，我們計算了由于溫度變化導(dǎo)致的鋼梁熱變形。熱變形量雖然很小，但在大型結(jié)構(gòu)中，這種累積的變形可能會對結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性產(chǎn)生顯著影響。4.3熱分析結(jié)果的解釋與應(yīng)用4.3.1原理熱分析結(jié)果通常包括溫度分布、熱應(yīng)力和熱變形等信息。正確解釋這些結(jié)果對于評估結(jié)構(gòu)在熱環(huán)境下的性能至關(guān)重要。通過熱分析，可以識別出結(jié)構(gòu)中的熱點、應(yīng)力集中區(qū)域以及可能的變形模式，從而為設(shè)計改進提供依據(jù)。4.3.2內(nèi)容熱分析結(jié)果的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾個方面：設(shè)計優(yōu)化：根據(jù)熱分析結(jié)果，可以調(diào)整材料選擇、結(jié)構(gòu)設(shè)計或冷卻策略，以減少熱應(yīng)力和熱變形，提高結(jié)構(gòu)的熱穩(wěn)定性。故障預(yù)測：通過分析熱應(yīng)力和熱變形，可以預(yù)測結(jié)構(gòu)在熱環(huán)境下的潛在故障點，如裂紋或斷裂。性能評估：熱分析結(jié)果可以幫助評估結(jié)構(gòu)在不同熱環(huán)境下的性能，確保其在設(shè)計工況下能夠安全運行。示例：熱分析結(jié)果應(yīng)用假設(shè)我們對一個發(fā)動機外殼進行了熱分析，發(fā)現(xiàn)其在高溫運行時存在局部熱應(yīng)力集中。我們可以采取以下措施來優(yōu)化設(shè)計：材料選擇：選擇熱膨脹系數(shù)更低的材料，以減少熱應(yīng)力。結(jié)構(gòu)設(shè)計：增加冷卻通道，改善熱流分布，減少熱點。冷卻策略：優(yōu)化冷卻液的流量和溫度，以更有效地降低熱應(yīng)力。4.3.3解釋熱分析結(jié)果的應(yīng)用是多方面的，不僅限于設(shè)計優(yōu)化，還包括故障預(yù)測和性能評估。通過綜合考慮熱應(yīng)力和熱變形，可以全面評估結(jié)構(gòu)的熱性能，確保其在熱環(huán)境下的安全性和可靠性。以上內(nèi)容詳細(xì)介紹了熱應(yīng)力與熱變形分析的原理、內(nèi)容以及應(yīng)用示例，通過這些分析，可以有效地評估和優(yōu)化機械零件和結(jié)構(gòu)在熱環(huán)境下的性能。5高級熱分析技術(shù)5.1瞬態(tài)熱分析5.1.1原理瞬態(tài)熱分析是熱分析的一種，用于模擬隨時間變化的熱環(huán)境對結(jié)構(gòu)的影響。這種分析考慮了熱傳導(dǎo)、對流、輻射以及材料的熱物理性質(zhì)（如熱導(dǎo)率、比熱容、密度）隨溫度變化的情況。瞬態(tài)熱分析可以預(yù)測結(jié)構(gòu)在加熱或冷卻過程中的溫度分布，以及由此產(chǎn)生的熱應(yīng)力和熱變形。5.1.2內(nèi)容熱傳導(dǎo)方程：瞬態(tài)熱分析基于熱傳導(dǎo)方程，該方程描述了熱量在材料中的傳遞過程。邊界條件：包括對流邊界條件、輻射邊界條件和熱源/熱沉。初始條件：結(jié)構(gòu)在分析開始時的溫度分布。時間步長：分析中采用的時間步長，影響計算精度和效率。5.1.3示例假設(shè)我們有一個簡單的金屬板，初始溫度為20°C，受到外部熱源的影響，熱源溫度為100°C。我們將使用Python和SciPy庫來模擬這個瞬態(tài)熱分析過程。importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

importmatplotlib.pyplotasplt

#材料屬性

k=50.0#熱導(dǎo)率，單位：W/(m*K)

c=500.0#比熱容，單位：J/(kg*K)

rho=7850.0#密度，單位：kg/m^3

#熱源參數(shù)

T_source=100.0#熱源溫度，單位：°C

h=10.0#對流換熱系數(shù)，單位：W/(m^2*K)

A=1.0#金屬板面積，單位：m^2

#熱傳導(dǎo)方程

defheat_eq(t,T):

dTdt=(h*A*(T_source-T))/(rho*c*V)

returndTdt

#初始條件

T0=20.0#初始溫度，單位：°C

V=0.001#體積，單位：m^3

#時間范圍

t_span=(0,100)#分析時間范圍，單位：秒

#解方程

sol=solve_ivp(heat_eq,t_span,[T0],t_eval=np.linspace(0,100,1000))

#繪制結(jié)果

plt.plot(sol.t,sol.y[0],label='Temperature')

plt.xlabel('Time(s)')

plt.ylabel('Temperature(°C)')

plt.legend()

plt.show()此代碼示例模擬了一個金屬板在熱源作用下的溫度變化。通過解熱傳導(dǎo)方程，我們可以觀察到金屬板溫度隨時間的變化趨勢。5.2熱-結(jié)構(gòu)耦合分析5.2.1原理熱-結(jié)構(gòu)耦合分析考慮了溫度變化對結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響。在熱分析中計算出的溫度分布被用作結(jié)構(gòu)分析的輸入，以計算熱應(yīng)力和熱變形。熱應(yīng)力是由于溫度變化導(dǎo)致材料膨脹或收縮而產(chǎn)生的內(nèi)部應(yīng)力，而熱變形則是結(jié)構(gòu)形狀和尺寸的變化。5.2.2內(nèi)容熱膨脹系數(shù)：材料的熱膨脹系數(shù)是熱-結(jié)構(gòu)耦合分析中的關(guān)鍵參數(shù)。熱應(yīng)力計算：基于熱膨脹和材料的彈性模量。熱變形分析：考慮結(jié)構(gòu)的幾何非線性和材料的非線性行為。5.2.3示例使用Python和FEniCS庫進行熱-結(jié)構(gòu)耦合分析，模擬一個受熱的金屬梁的熱應(yīng)力和熱變形。fromfenicsimport*

importmatplotlib.pyplotasplt

#創(chuàng)建網(wǎng)格

mesh=UnitIntervalMesh(100)

#定義函數(shù)空間

V=FunctionSpace(mesh,'P',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant(0),boundary)

#定義材料屬性

E=210e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

alpha=12e-6#熱膨脹系數(shù)，單位：1/K

T0=20.0#初始溫度，單位：°C

T=100.0#受熱后的溫度，單位：°C

#定義變量

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

#定義熱應(yīng)力和熱變形的方程

f=Constant(alpha*E*(T