2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)名校聯(lián)盟高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3內(nèi)蒙古自治區(qū)名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1、本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘．2．請(qǐng)將各題〖答案〗填寫(xiě)在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容；高考全部?jī)?nèi)容．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分．共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗．故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗解不等式得，函數(shù)的值域?yàn)?，所以，所?故選：C.3.“”是“方程表示圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榉匠?，即表示圓，等價(jià)于0，解得或.故“”是“方程表示圓”的充分不必要條件.故選：A4.曲線的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得．故選：B.5.某高?，F(xiàn)有400名教師，他們的學(xué)歷情況如圖所示，由于該高校今年學(xué)生人數(shù)急劇增長(zhǎng)，所以今年計(jì)劃招聘一批新教師，其中博士生80名，碩士生若干名，不再招聘本科生，且使得招聘后碩士生的比例下降了，招聘后全校教師舉行植樹(shù)活動(dòng)，樹(shù)苗共1500棵，若樹(shù)苗均按學(xué)歷的比例進(jìn)行分配，則該高校本科生教師共分得樹(shù)苗的棵數(shù)為（）A.100 B.120C.200 D.240〖答案〗B〖解析〗設(shè)招聘名碩士生，由題意可知，，解得，所以本科生教師共分得樹(shù)苗棵．故選：B6.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，排除C，D．當(dāng)時(shí)，，則，，所以，排除B．故選：A．7.某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是長(zhǎng)為3，寬為2的矩形，俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由三視圖可知，該幾何體是四分之一個(gè)圓柱（高為2，底面半徑為3），其體積．故選：D.8.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.6 B.12 C.15 D.21〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則，，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，，也成等差數(shù)列，則，解得．故選：C9.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，則（）A.9 B.10 C.11 D.〖答案〗D〖解析〗由方程可知，所以，所以，，，漸近線方程為，如圖，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn)到兩漸近線的距離相等，不妨取漸近線，則，在直角中，．由余弦定理，可得，所以．故選：D10.已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為4，圓心角為的扇形，將該圓錐加工打磨成一個(gè)球狀零件，則該零件表面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，得該圓錐的母線長(zhǎng)，設(shè)圓錐的底面半徑為R，高為h，如圖所示，由，得，所以，圓錐PO內(nèi)切球的半徑等于內(nèi)切圓的半徑，設(shè)的內(nèi)切圓為圓，其半徑為r，由，得，解得，故能制作的零件表面積的最大值為.故選：A.11.弘揚(yáng)國(guó)學(xué)經(jīng)典，傳承中華文化，國(guó)學(xué)乃我中華民族五千年留下的智慧精髓，其中“五經(jīng)”是國(guó)學(xué)經(jīng)典著作，“五經(jīng)”指《詩(shī)經(jīng)》《尚書(shū)》《禮記》《周易》《春秋》．小明準(zhǔn)備學(xué)習(xí)“五經(jīng)”，現(xiàn)安排連續(xù)四天進(jìn)行學(xué)習(xí)且每天學(xué)習(xí)一種，每天學(xué)習(xí)的書(shū)都不一樣，其中《詩(shī)經(jīng)》與《禮記》不能安排在相鄰兩天學(xué)習(xí)，《周易》不能安排在第一天學(xué)習(xí)，則不同安排的方式有（）A.32種 B.48種C.56種 D.68種〖答案〗D〖解析〗①若《周易》不排，先將《詩(shī)經(jīng)》與《禮記》以外的另外2種排列，再將《詩(shī)經(jīng)》與《禮記》插空，則共有種安排方式．②若排《周易》且《詩(shī)經(jīng)》與《禮記》都安排，在《尚書(shū)》和《春秋》中先選1種，然后將《詩(shī)經(jīng)》與《禮記》以外的另外2種排列，再將《詩(shī)經(jīng)》與《禮記》插空，減去將《周易》排在第一天的情況即可，共有種安排方式；③若排《周易》且《詩(shī)經(jīng)》與《禮記》只安排一個(gè)，先在《詩(shī)經(jīng)》與《禮記》中選1種，然后將《周易》排在后三天的一天，最后將剩下的3種書(shū)全排列即可，共有種安排方式．所以共有種安排方式．故選：D12.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，設(shè)函數(shù)，，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，故．故選：C.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題．每小題5分，共20分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．13.已知向量，，若，則______．〖答案〗1或〖解析〗因?yàn)?，所以，解得或．故〖答案〗為：或?4.若x，y滿(mǎn)足約束條件則的最大值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗畫(huà)出可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的交點(diǎn)時(shí)，z取得最大值．故〖答案〗為：.15.數(shù)列滿(mǎn)足，，則的前2023項(xiàng)和______.〖答案〗1351〖解析〗因?yàn)椋?，則從第3項(xiàng)起以3為周期的周期數(shù)列，所以.故〖答案〗為：135116.已知A，B，M，N為拋物線上四個(gè)不同的點(diǎn)，直線AB與直線MN互相垂直且相交于焦點(diǎn)F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為2，則四邊形AMBN的面積為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗不妨設(shè)，且．拋物線的焦點(diǎn)，因?yàn)榈拿娣e為，所以，代入拋物線方程可得，則．直線AB的方程為．由得，所以，于是有．直線MN的方程為，同理可得．因?yàn)椋运倪呅蜛MBN的面積為．故〖答案〗為：.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明．證明過(guò)程或演算步驟．17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題．考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.甲、乙兩名大學(xué)生參加面試時(shí)，10位評(píng)委評(píng)定的分?jǐn)?shù)如下．甲：93，91，80，92，95，89，88，97，95，93．乙：90，92，88，92，90，90，84，96，94，92．（1）若去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后再計(jì)算平均分，通過(guò)計(jì)算比較甲、乙面試分?jǐn)?shù)的平均分的高低．（2）在（1）前提下，以面試的平均分作為面試的分?jǐn)?shù)，筆試分?jǐn)?shù)和面試分?jǐn)?shù)的加權(quán)比為，已知甲、乙的筆試分?jǐn)?shù)分別為92，94，綜合筆試和面試的分?jǐn)?shù)，從甲、乙兩人中錄取一人，你認(rèn)為應(yīng)該錄取誰(shuí)？說(shuō)明你的理由．解：（1）依題意，設(shè)甲、乙面試分?jǐn)?shù)的平均分分別為，，，因?yàn)?，所以甲的面試分?jǐn)?shù)的平均分更高.（2）因?yàn)楣P試分?jǐn)?shù)和面試分?jǐn)?shù)的加權(quán)比為，所以甲的綜合分?jǐn)?shù)為，乙的綜合分?jǐn)?shù)為，因?yàn)椋砸业木C合分?jǐn)?shù)更高，故應(yīng)該錄取乙.18.如圖，在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，，，的面積為．（1）求的周長(zhǎng)；（2）求面積的最大值．解：（1）因?yàn)椋裕谥?，由余弦定理可得，解得．故的周長(zhǎng)為．（2）由，，，四點(diǎn)共圓可得：，在中，由余弦定理可得

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以，所以．故面積的最大值為.19.如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，為的中點(diǎn).（1）證明：.（2）求二面角的余弦值.解：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所?又，所以.由，平面，得平面.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以.由，平面，得平面.因?yàn)槠矫?，所?（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以?xún)蓛纱怪?，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則，令，得..由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為．（1）求橢圓的方程．（2）設(shè)、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的不同兩點(diǎn)，在橢圓上，且點(diǎn)異于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，試問(wèn)是否為定值？若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，其中，易知點(diǎn)，，所以，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為，又因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，，，則，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，，，，，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理可得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則直線與橢圓必有公共點(diǎn)，所以，，同理可得所以，，所以，，化簡(jiǎn)可得，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，、、三點(diǎn)重合，此時(shí)，.綜上所述，，即為定值.21.已知函數(shù)，（1）當(dāng)，求曲線在處的切線方程；（2）若，證明：．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，，曲線在處的切線方程為，即．（2）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，由，解得，由，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，要證，即證，即，令函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，即得證，故得證．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線相交于M，N兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，求.解：（1）由（參數(shù)），變形得到，平方相加得，故曲線的普通方程為.因?yàn)榧?，得直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）由于在直線方程中，且直線的斜率為3，故直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將其代入曲線的普通方程得，則，，由于，所以在曲線外部，故23.已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，所以.當(dāng)時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為，解得，綜上所述，不等式解集為.（2）因?yàn)?，所以恒成立等價(jià)于恒成立，顯然，當(dāng)時(shí)，則，解得或；當(dāng)時(shí)，則，解得或，故的取值范圍為.內(nèi)蒙古自治區(qū)名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1、本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘．2．請(qǐng)將各題〖答案〗填寫(xiě)在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容；高考全部?jī)?nèi)容．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分．共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗．故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗解不等式得，函數(shù)的值域?yàn)?，所以，所?故選：C.3.“”是“方程表示圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榉匠?，即表示圓，等價(jià)于0，解得或.故“”是“方程表示圓”的充分不必要條件.故選：A4.曲線的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得．故選：B.5.某高?，F(xiàn)有400名教師，他們的學(xué)歷情況如圖所示，由于該高校今年學(xué)生人數(shù)急劇增長(zhǎng)，所以今年計(jì)劃招聘一批新教師，其中博士生80名，碩士生若干名，不再招聘本科生，且使得招聘后碩士生的比例下降了，招聘后全校教師舉行植樹(shù)活動(dòng)，樹(shù)苗共1500棵，若樹(shù)苗均按學(xué)歷的比例進(jìn)行分配，則該高校本科生教師共分得樹(shù)苗的棵數(shù)為（）A.100 B.120C.200 D.240〖答案〗B〖解析〗設(shè)招聘名碩士生，由題意可知，，解得，所以本科生教師共分得樹(shù)苗棵．故選：B6.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗定義域?yàn)?，因?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)，排除C，D．當(dāng)時(shí)，，則，，所以，排除B．故選：A．7.某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是長(zhǎng)為3，寬為2的矩形，俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由三視圖可知，該幾何體是四分之一個(gè)圓柱（高為2，底面半徑為3），其體積．故選：D.8.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.6 B.12 C.15 D.21〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則，，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，，也成等差數(shù)列，則，解得．故選：C9.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，則（）A.9 B.10 C.11 D.〖答案〗D〖解析〗由方程可知，所以，所以，，，漸近線方程為，如圖，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn)到兩漸近線的距離相等，不妨取漸近線，則，在直角中，．由余弦定理，可得，所以．故選：D10.已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為4，圓心角為的扇形，將該圓錐加工打磨成一個(gè)球狀零件，則該零件表面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，得該圓錐的母線長(zhǎng)，設(shè)圓錐的底面半徑為R，高為h，如圖所示，由，得，所以，圓錐PO內(nèi)切球的半徑等于內(nèi)切圓的半徑，設(shè)的內(nèi)切圓為圓，其半徑為r，由，得，解得，故能制作的零件表面積的最大值為.故選：A.11.弘揚(yáng)國(guó)學(xué)經(jīng)典，傳承中華文化，國(guó)學(xué)乃我中華民族五千年留下的智慧精髓，其中“五經(jīng)”是國(guó)學(xué)經(jīng)典著作，“五經(jīng)”指《詩(shī)經(jīng)》《尚書(shū)》《禮記》《周易》《春秋》．小明準(zhǔn)備學(xué)習(xí)“五經(jīng)”，現(xiàn)安排連續(xù)四天進(jìn)行學(xué)習(xí)且每天學(xué)習(xí)一種，每天學(xué)習(xí)的書(shū)都不一樣，其中《詩(shī)經(jīng)》與《禮記》不能安排在相鄰兩天學(xué)習(xí)，《周易》不能安排在第一天學(xué)習(xí)，則不同安排的方式有（）A.32種 B.48種C.56種 D.68種〖答案〗D〖解析〗①若《周易》不排，先將《詩(shī)經(jīng)》與《禮記》以外的另外2種排列，再將《詩(shī)經(jīng)》與《禮記》插空，則共有種安排方式．②若排《周易》且《詩(shī)經(jīng)》與《禮記》都安排，在《尚書(shū)》和《春秋》中先選1種，然后將《詩(shī)經(jīng)》與《禮記》以外的另外2種排列，再將《詩(shī)經(jīng)》與《禮記》插空，減去將《周易》排在第一天的情況即可，共有種安排方式；③若排《周易》且《詩(shī)經(jīng)》與《禮記》只安排一個(gè)，先在《詩(shī)經(jīng)》與《禮記》中選1種，然后將《周易》排在后三天的一天，最后將剩下的3種書(shū)全排列即可，共有種安排方式．所以共有種安排方式．故選：D12.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，設(shè)函數(shù)，，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，故．故選：C.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題．每小題5分，共20分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．13.已知向量，，若，則______．〖答案〗1或〖解析〗因?yàn)?，所以，解得或．故〖答案〗為：或?4.若x，y滿(mǎn)足約束條件則的最大值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗畫(huà)出可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的交點(diǎn)時(shí)，z取得最大值．故〖答案〗為：.15.數(shù)列滿(mǎn)足，，則的前2023項(xiàng)和______.〖答案〗1351〖解析〗因?yàn)?，所以，則從第3項(xiàng)起以3為周期的周期數(shù)列，所以.故〖答案〗為：135116.已知A，B，M，N為拋物線上四個(gè)不同的點(diǎn)，直線AB與直線MN互相垂直且相交于焦點(diǎn)F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為2，則四邊形AMBN的面積為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗不妨設(shè)，且．拋物線的焦點(diǎn)，因?yàn)榈拿娣e為，所以，代入拋物線方程可得，則．直線AB的方程為．由得，所以，于是有．直線MN的方程為，同理可得．因?yàn)?，所以四邊形AMBN的面積為．故〖答案〗為：.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明．證明過(guò)程或演算步驟．17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題．考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.甲、乙兩名大學(xué)生參加面試時(shí)，10位評(píng)委評(píng)定的分?jǐn)?shù)如下．甲：93，91，80，92，95，89，88，97，95，93．乙：90，92，88，92，90，90，84，96，94，92．（1）若去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后再計(jì)算平均分，通過(guò)計(jì)算比較甲、乙面試分?jǐn)?shù)的平均分的高低．（2）在（1）前提下，以面試的平均分作為面試的分?jǐn)?shù)，筆試分?jǐn)?shù)和面試分?jǐn)?shù)的加權(quán)比為，已知甲、乙的筆試分?jǐn)?shù)分別為92，94，綜合筆試和面試的分?jǐn)?shù)，從甲、乙兩人中錄取一人，你認(rèn)為應(yīng)該錄取誰(shuí)？說(shuō)明你的理由．解：（1）依題意，設(shè)甲、乙面試分?jǐn)?shù)的平均分分別為，，，因?yàn)?，所以甲的面試分?jǐn)?shù)的平均分更高.（2）因?yàn)楣P試分?jǐn)?shù)和面試分?jǐn)?shù)的加權(quán)比為，所以甲的綜合分?jǐn)?shù)為，乙的綜合分?jǐn)?shù)為，因?yàn)?，所以乙的綜合分?jǐn)?shù)更高，故應(yīng)該錄取乙.18.如圖，在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，，，的面積為．（1）求的周長(zhǎng)；（2）求面積的最大值．解：（1）因?yàn)?，所以．在中，由余弦定理可得，解得．故的周長(zhǎng)為．（2）由，，，四點(diǎn)共圓可得：，在中，由余弦定理可得

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以，所以．故面積的最大值為.19.如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，為的中點(diǎn).（1）證明：.（2）求二面角的余弦值.解：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所?又，所以.由，平面，得平面.因?yàn)槠矫妫?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以.由，平面，得平面.因?yàn)槠矫?，所?（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋詢(xún)蓛纱怪?，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則，令，得..由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為．（1）求橢圓的方程．（2）設(shè)、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的不同兩點(diǎn)，在橢圓上