2022-2023學(xué)年浙江省杭州市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2浙江省杭州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，解得，所以，因?yàn)?，所?故選：B.2.若（是虛數(shù)單位），則（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所?故選：C.3.軍事上角的度量常用密位制，密位制的單位是“密位”1密位就是圓周的所對的圓心角的大小，若角密位，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?密位等于圓周角的，所以角密位時(shí)，.故選：C．4.已知平面平面，直線，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗設(shè)，在平面內(nèi)作，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，因?yàn)?，所以∥，因?yàn)?，，所以，而?dāng)平面平面，直線，時(shí)，與平面可能垂直，可能平行，可能相交不垂直，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.5.杭州亞運(yùn)會火炬如圖（1）所示，小紅在數(shù)學(xué)建?；顒訒r(shí)將其抽象為圖（2）所示的幾何體.假設(shè)火炬裝滿燃料，燃燒時(shí)燃料以均勻的速度消耗，記剩余燃料的高度為，則關(guān)于時(shí)間的函數(shù)的大致圖象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由圖可知，該火炬中間細(xì)，上下粗，燃燒時(shí)燃料以均勻的速度消耗，燃料在燃燒時(shí)，燃料的高度一直在下降，剛開始時(shí)下降的速度越來越快，燃料液面到達(dá)火炬最細(xì)處后，燃料的高度下降得越來越慢，結(jié)合所得的函數(shù)圖象，A選項(xiàng)較為合適.故選：A.6.雷峰塔位于杭州市西湖景區(qū)，主體為平面八角形體仿唐宋樓閣式塔，總占地面積平方米，項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組為了測量雷峰塔的高度，如圖選取了與底部水平的直線，測得、的度數(shù)分別為、，以及、兩點(diǎn)間的距離，則塔高（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗中，，由正弦定理可得，即，得，由題意可知，，所以，.故選：A.7.已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則（）A.B.，當(dāng)時(shí)，C.D，當(dāng)時(shí)，〖答案〗D〖解析〗由題，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，作出示意圖如圖所示：則時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；且，則結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，時(shí)，由圖可知，則D選項(xiàng)正確.故選：D.8.設(shè)函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為（）A.1 B.3 C.5 D.7〖答案〗B〖解析〗由，得，

由，得，

兩式作差，得，

因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，得，

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，，，因?yàn)椋栽趨^(qū)間上不單調(diào)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，，，因?yàn)?，所以在區(qū)間上不單調(diào)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，，，所以在區(qū)間上單調(diào)，符合題意，所以的最大值是3.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.）9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 B.函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱C.函數(shù)的值域?yàn)?D.函數(shù)是減函數(shù)〖答案〗AC〖解析〗的定義域?yàn)椋?，則，所以為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，A正確，B錯(cuò)誤；，因?yàn)?，所以，，所以，故的值域?yàn)?，C正確；設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，所以，即，所以函?shù)是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.如圖，是正六邊形的中心，則（）A. B.C. D.在上的投影向量為〖答案〗CD〖解析〗根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則，可得：對于A中，由，所以A不正確；對于B中，由，所以B不正確；對于C中，設(shè)正六邊形的邊長為，可得，，所以，所以C正確；對于D中，如圖所示，連接，可得，可得，所以在向量上的投影向量為，所以D正確.故選：CD.11.如圖，質(zhì)點(diǎn)和在單位圓上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動.若和同時(shí)出發(fā)，的角速度為，起點(diǎn)位置坐標(biāo)為，B的角速度為，起點(diǎn)位置坐標(biāo)為，則（）A.在末，點(diǎn)的坐標(biāo)為B.在末，扇形的弧長為C.在末，點(diǎn)在單位圓上第二次重合D.面積的最大值為〖答案〗BCD〖解析〗在末，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；，扇形的弧長為；設(shè)在末，點(diǎn)在單位圓上第二次重合，則，故在末，點(diǎn)在單位圓上第二次重合；，經(jīng)過s后，可得，面積的可取得最大值.

故選：BCD.12.圓錐內(nèi)半徑最大的球稱為該圓錐的內(nèi)切球，若圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則稱該球?yàn)閳A錐的外接球.如圖，圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合，且圓錐的底面直徑為，則（）A.設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則B.設(shè)內(nèi)切球的表面積，外接球的表面積為，則C.設(shè)圓錐的體積為，內(nèi)切球的體積為，則D.設(shè)、是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且，則平面截內(nèi)切球所得截面的面積為〖答案〗ACD〖解析〗作出圓錐的軸截面如下：因?yàn)閳A錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合，所以為等邊三角形，又，所以，設(shè)球心為（即為的重心），所以，，即內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，所以，故A正確；設(shè)內(nèi)切球的表面積，外接球的表面積為，則，故B錯(cuò)誤；設(shè)圓錐的體積為，則，內(nèi)切球的體積為，則，所以，故C正確；設(shè)、是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且，則所對的圓心角為（在圓上），設(shè)的中點(diǎn)為，則，不妨設(shè)為上的點(diǎn)，連接，則，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，所以，即，解得，所以平面截內(nèi)切球截面圓的半徑，所以截面圓的面積為，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.設(shè)函數(shù)，若，則__________.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，(舍)，．故〖答案〗為：.14.將曲線上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)圖象，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗將曲線上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，可得，因?yàn)榕c的圖象相同，所以，因?yàn)?，所以的最小值?故〖答案〗為：.15.已知正三棱柱的各條棱長都是2，則直線與平面所成角的正切值為__________；直線與直線所成角的余弦值為__________.〖答案〗〖解析〗空1：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，所以為直線與平面所成角，因?yàn)檎庵母鳁l棱長都是2，所以，所以，所以直線與平面所成角的正切值為，空2：分別取的中點(diǎn)，連接，則∥，，∥，，所以（或其補(bǔ)角）為直線與直線所成角，連接，則，在中，由余弦定理得，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角的范圍為，所以直線與直線所成角的余弦值為.故〖答案〗為：.16.對于函數(shù)，若存在，使得，則稱為函數(shù)的“不動點(diǎn)”.若存在，使得，則稱為函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”.記函數(shù)的“不動點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別為和，即.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：若函數(shù)為增函數(shù)，則.設(shè)函數(shù)，若存在使成立，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以等價(jià)于，即，所以，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，所以的取值范圍為.故〖答案〗：.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)．（1）求的值；（2）若角滿足，求的值．解：（1）由角的終邊過點(diǎn)，得．（2）由角的終邊過點(diǎn)，得，由，得，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上所述，或．18.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量與時(shí)間間的關(guān)系為（其中是正常數(shù)）.已知在前5個(gè)小時(shí)消除了10%的污染物.（1）求的值（精確到0.01）；（2）求污染物減少需要花的時(shí)間（精確到）？參考數(shù)據(jù)：.解：（1）由知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即，所以，即.（2）當(dāng)時(shí)，，即，則，故污染物減少需要花的時(shí)間約為.19.我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“@未來坐標(biāo)系”.如圖所示，分別為正方向上的單位向量.若向量，則把實(shí)數(shù)對叫做向量的“@未來坐標(biāo)”，記.已知分別為向是的@未來坐標(biāo).（1）證明：；（2）若向量的“@未來坐標(biāo)”分別為，，求向量的夾角的余弦值.解：（1）因?yàn)?，所?（2），，，，所以.20.在四邊形中，.（1）求證：.（2）若，且，求四邊形的面積.解：（1）在中，由正弦定理得，因?yàn)椋?，所以，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，所?（2）在中，由正弦定理得，所以，所以或，①當(dāng)時(shí)，則，在中，由余弦定理得，，又，解得，此時(shí)四邊形的面積，②當(dāng)時(shí)，則，在中，由余弦定理得，，解得，此時(shí)四邊形的面積.21.生活中為了美觀起見，售貨員用彩繩對長方體禮品盆進(jìn)行捆扎.有以下兩種捆扎方案：方案(1)為十字捆扎(如圖(1))，方案(2)為對角捆扎(如圖(2)).設(shè)禮品盒長，寬，高分別為.（1）在方案(2)中，若，設(shè)平面與平面的交線為，求證：平面；（2）不考慮花結(jié)用繩，對于以上兩種捆扎方式，你認(rèn)為哪一種方式所用彩繩最少，最短繩長為多少？解：（1）連接，在長方體中，，則，所以，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，，又平面平面平面；又平面，平面平面；又平面平面平面，又平面平面.（2）方案1中，繩長為；方案2中，將長方體盒子展開在一個(gè)平面上，在平面展開圖中彩繩是一條由到的折線，如圖所示，在扎緊的情況下，彩繩長度的最小值為長度，因?yàn)椋?，所以彩繩的最短長度為.22.已知函數(shù).（1）直接寫出的解集；（2）若，其中，求的取值范圍；（3）已知為正整數(shù)，求的最小值（用表示）.解：（1）∵，∴，即為，當(dāng)時(shí)，，故，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，，故，即，解得，

綜上所述，的解集為.（2）設(shè)，則，令，整理得：，故，且，得，∴在上單調(diào)遞增，所以，即.（3）①時(shí)，；②時(shí)，；③時(shí)，；④時(shí)，，∴，綜上所述，.浙江省杭州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，解得，所以，因?yàn)?，所?故選：B.2.若（是虛數(shù)單位），則（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所?故選：C.3.軍事上角的度量常用密位制，密位制的單位是“密位”1密位就是圓周的所對的圓心角的大小，若角密位，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?密位等于圓周角的，所以角密位時(shí)，.故選：C．4.已知平面平面，直線，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗設(shè)，在平面內(nèi)作，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，因?yàn)椋浴危驗(yàn)?，，所以，而?dāng)平面平面，直線，時(shí)，與平面可能垂直，可能平行，可能相交不垂直，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.5.杭州亞運(yùn)會火炬如圖（1）所示，小紅在數(shù)學(xué)建?；顒訒r(shí)將其抽象為圖（2）所示的幾何體.假設(shè)火炬裝滿燃料，燃燒時(shí)燃料以均勻的速度消耗，記剩余燃料的高度為，則關(guān)于時(shí)間的函數(shù)的大致圖象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由圖可知，該火炬中間細(xì)，上下粗，燃燒時(shí)燃料以均勻的速度消耗，燃料在燃燒時(shí)，燃料的高度一直在下降，剛開始時(shí)下降的速度越來越快，燃料液面到達(dá)火炬最細(xì)處后，燃料的高度下降得越來越慢，結(jié)合所得的函數(shù)圖象，A選項(xiàng)較為合適.故選：A.6.雷峰塔位于杭州市西湖景區(qū)，主體為平面八角形體仿唐宋樓閣式塔，總占地面積平方米，項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組為了測量雷峰塔的高度，如圖選取了與底部水平的直線，測得、的度數(shù)分別為、，以及、兩點(diǎn)間的距離，則塔高（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗中，，由正弦定理可得，即，得，由題意可知，，所以，.故選：A.7.已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則（）A.B.，當(dāng)時(shí)，C.D，當(dāng)時(shí)，〖答案〗D〖解析〗由題，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，作出示意圖如圖所示：則時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；且，則結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，時(shí)，由圖可知，則D選項(xiàng)正確.故選：D.8.設(shè)函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為（）A.1 B.3 C.5 D.7〖答案〗B〖解析〗由，得，

由，得，

兩式作差，得，

因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，得，

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，，，因?yàn)?，所以在區(qū)間上不單調(diào)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，所以，，，因?yàn)?，所以在區(qū)間上不單調(diào)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，，，所以在區(qū)間上單調(diào)，符合題意，所以的最大值是3.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.）9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 B.函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱C.函數(shù)的值域?yàn)?D.函數(shù)是減函數(shù)〖答案〗AC〖解析〗的定義域?yàn)?，，則，所以為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，A正確，B錯(cuò)誤；，因?yàn)?，所以，，所以，故的值域?yàn)椋珻正確；設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，所以，即，所以函?shù)是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.如圖，是正六邊形的中心，則（）A. B.C. D.在上的投影向量為〖答案〗CD〖解析〗根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則，可得：對于A中，由，所以A不正確；對于B中，由，所以B不正確；對于C中，設(shè)正六邊形的邊長為，可得，，所以，所以C正確；對于D中，如圖所示，連接，可得，可得，所以在向量上的投影向量為，所以D正確.故選：CD.11.如圖，質(zhì)點(diǎn)和在單位圓上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動.若和同時(shí)出發(fā)，的角速度為，起點(diǎn)位置坐標(biāo)為，B的角速度為，起點(diǎn)位置坐標(biāo)為，則（）A.在末，點(diǎn)的坐標(biāo)為B.在末，扇形的弧長為C.在末，點(diǎn)在單位圓上第二次重合D.面積的最大值為〖答案〗BCD〖解析〗在末，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；，扇形的弧長為；設(shè)在末，點(diǎn)在單位圓上第二次重合，則，故在末，點(diǎn)在單位圓上第二次重合；，經(jīng)過s后，可得，面積的可取得最大值.

故選：BCD.12.圓錐內(nèi)半徑最大的球稱為該圓錐的內(nèi)切球，若圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則稱該球?yàn)閳A錐的外接球.如圖，圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合，且圓錐的底面直徑為，則（）A.設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則B.設(shè)內(nèi)切球的表面積，外接球的表面積為，則C.設(shè)圓錐的體積為，內(nèi)切球的體積為，則D.設(shè)、是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且，則平面截內(nèi)切球所得截面的面積為〖答案〗ACD〖解析〗作出圓錐的軸截面如下：因?yàn)閳A錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合，所以為等邊三角形，又，所以，設(shè)球心為（即為的重心），所以，，即內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，所以，故A正確；設(shè)內(nèi)切球的表面積，外接球的表面積為，則，故B錯(cuò)誤；設(shè)圓錐的體積為，則，內(nèi)切球的體積為，則，所以，故C正確；設(shè)、是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且，則所對的圓心角為（在圓上），設(shè)的中點(diǎn)為，則，不妨設(shè)為上的點(diǎn)，連接，則，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，所以，即，解得，所以平面截內(nèi)切球截面圓的半徑，所以截面圓的面積為，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.設(shè)函數(shù)，若，則__________.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，(舍)，．故〖答案〗為：.14.將曲線上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)圖象，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗將曲線上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，可得，因?yàn)榕c的圖象相同，所以，因?yàn)?，所以的最小值?故〖答案〗為：.15.已知正三棱柱的各條棱長都是2，則直線與平面所成角的正切值為__________；直線與直線所成角的余弦值為__________.〖答案〗〖解析〗空1：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以為直線與平面所成角，因?yàn)檎庵母鳁l棱長都是2，所以，所以，所以直線與平面所成角的正切值為，空2：分別取的中點(diǎn)，連接，則∥，，∥，，所以（或其補(bǔ)角）為直線與直線所成角，連接，則，在中，由余弦定理得，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角的范圍為，所以直線與直線所成角的余弦值為.故〖答案〗為：.16.對于函數(shù)，若存在，使得，則稱為函數(shù)的“不動點(diǎn)”.若存在，使得，則稱為函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”.記函數(shù)的“不動點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別為和，即.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：若函數(shù)為增函數(shù)，則.設(shè)函數(shù)，若存在使成立，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以等價(jià)于，即，所以，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，所以的取值范圍為.故〖答案〗：.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)．（1）求的值；（2）若角滿足，求的值．解：（1）由角的終邊過點(diǎn)，得．（2）由角的終邊過點(diǎn)，得，由，得，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上所述，或．18.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量與時(shí)間間的關(guān)系為（其中是正常數(shù)）.已知在前5個(gè)小時(shí)消除了10%的污染物.（1）求的值（精確到0.01）；（2）求污染物減少需要花的時(shí)間（精確到）？參考數(shù)據(jù)：.解：（1）由知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即，所以，即.（2）當(dāng)時(shí)，，即，