2023-2024學年甘肅省武威市涼州區(qū)高二下學期期中質量檢測數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3甘肅省武威市涼州區(qū)2023-2024學年高二下學期期中質量檢測數(shù)學試卷注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將〖答案〗正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.隨機變量的分布列如表格所示，其中，則等于（）01A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題知，，得，即.故選：A2.投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國時期較為盛行.如圖為一幅唐朝的投壺圖，假設甲、乙、丙是唐朝的三位投壺游戲參與者，且甲、乙、丙每次投壺時，投中與不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壺1次，則這3人中至少有2人投中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗記甲、乙、丙投中分別即為事件，由題知，則3人中至少有2人投中的概率為：.故選：A3.設函數(shù)在點處的切線方程為，則（）A.4 B.2 C.1 D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)在點處的切線方程為，則.故選:C.4.若向量，且與的夾角的余弦值為，則（）A.2 B.C.或 D.2或〖答案〗C〖解析〗由題意，向量，得，解得或，故選：C5.如圖，在直三棱柱中，，，則向量與的夾角是（）A.30° B.45°C.60° D.90°〖答案〗C〖解析〗∵平面，平面，平面，∴.∵，，∴，又，∴E為的中點，∴.∵，∴.∵∴＝,又，∴.故選：C.6.下列求導計算中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗A〖解析〗對于A，；故A正確；對于B，；故B錯誤；對于C，；故C錯誤；對于D，；故D錯誤.故選：A.7.空間內(nèi)有三點，，，則點到的中點的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由、可得，故.故選：C.8.已知函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù)，，對任意實數(shù)都有，設，則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，因為，則，可知在上單調(diào)遞減，且，由不等式可得，解得，所以不等式的解集為.故選：B二、多選題（本題共3小題，每小題6分.在每題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部答對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知事件，滿足，，則下列結論正確的是（）A. B.如果，那么C.如果與互斥，那么 D.如果與相互獨立，那么〖答案〗BCD〖解析〗A選項：當與相互獨立時，，A選項錯誤；B選項：若，則，B選項正確；C選項：與互斥，那么，C選項正確；D選項：如果與相互獨立，那么，D選項正確；故選：BCD.10.下列命題中，正確的是（）A.兩條不重合直線的方向向量分別是，，則B.直線l的方向向量，平面的法向是，則C.兩個不同的平面，的法向量分別是，，則D.直線l的方向向量，平面的法向量，則直線l與平面所成角的大小為〖答案〗AC〖解析〗A選項：因為，且不重合，所以，A正確；B選項：因為，所以所以或，B錯誤；C選項：因為，所以，C正確；D選項：記直線l與平面所成角為，則，因為，所以，D錯誤.故選：AC11.對于定義在R上的可導函數(shù)，為其導函數(shù)，下列說法不正確的是（）A.使的一定是函數(shù)的極值點B.在R上單調(diào)遞增是在R上恒成立的充要條件C.若函數(shù)既有極小值又有極大值，則其極小值一定不會比它極大值大D.若在R上存在極值，則它在R一定不單調(diào)〖答案〗ABC〖解析〗A選項，的不一定是函數(shù)的極值點，比如在處導函數(shù)的值為0，但不是的極值點，A說法錯誤；在R上單調(diào)遞增，可能會在某點導函數(shù)等于0，比如為單調(diào)遞增函數(shù)，在處導函數(shù)值為0，故在R上單調(diào)遞增不是在R上恒成立的充要條件，B說法錯誤；若函數(shù)既有極小值又有極大值，則其極小值可能會比它的極大值大，比如，在處取得極大值-2，在處取得極小值2，極小值大于極大值，故C說法錯誤；根據(jù)極值點和極值的定義可以判斷，若在R上存在極值，則它在R一定不單調(diào)，D說法正確.故選：ABC第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知隨機變量的分布列為，那么實數(shù)_____.〖答案〗3〖解析〗因為隨機變量的分布列為，所以，因此.故〖答案〗為313.若曲線在點處的切線垂直于直線，則點的坐標是________．〖答案〗〖解析〗設，則，因為點處的切線垂直于直線，所以點處的切線的斜率為，所以，解得，則，即點的坐標是．故〖答案〗為：14.我國近代數(shù)學家蘇步青主要從事微分幾何學和計算幾何學等方面的研究，在仿射微分幾何學和射影微分幾何學等研究方面取得了出色成果．他的主要成就之一是發(fā)現(xiàn)了四次代數(shù)錐面：對于空間中的點P（x，y，z），若其坐標滿足關于x，y，z的四次代數(shù)方程式，稱點P的軌跡為四次代數(shù)曲面．若點K（1，k，0）是四次曲面：上的一點，則k＝___．〖答案〗2〖解析〗因為點K（1，k，0）是四次曲面：上的一點，所以，得，解得，故〖答案〗為：2四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求在區(qū)間上的最值．解：（1）對函數(shù)求導，，，所求得的切線方程為，即；（2）由（1）有，令，解得：或，故函數(shù)在遞增，在遞減，故函數(shù)在取最大值，，，故函數(shù)在的最大值為4，最小值為0．16.已知，，.（1）求；（2）求在上投影的數(shù)量.解：（1）因為，，，所以，.因為，，，所以，故.（2）因為，，所以.因為，所以在上投影的數(shù)量為.17.作為上海市副中心之一，徐匯區(qū)的建設不僅是上海市發(fā)展戰(zhàn)略的關鍵節(jié)點，也肩負著醫(yī)治上海市“大城市病”的歷史重任，因此，徐匯區(qū)的發(fā)展備受矚目．2017年發(fā)布的《上海市徐匯區(qū)統(tǒng)計年鑒（2017）》顯示：2016年徐匯區(qū)全區(qū)完成全社會固定資產(chǎn)投資939.9億元，比上年增長，下面給出的是徐匯區(qū)2011~2016年全社會固定資產(chǎn)投資及增長率，如圖一．又根據(jù)徐匯區(qū)統(tǒng)計局2018年1月25日發(fā)布：2017年徐匯區(qū)全區(qū)完成全社會固定資產(chǎn)投資1054.5億元，比上年增長．（1）在圖二中畫出2017年徐匯區(qū)全區(qū)完成全社會固定資產(chǎn)投資（柱狀圖），標出增長率并補全折線圖；（2）通過計算2011~2017這7年的平均增長率約為，現(xiàn)從2011~2017這7年中隨機選取2個年份，記X為“選取的2個年份中，增長率高于的年份的個數(shù)”，求X的分布列及數(shù)學期望.解：（1）如圖：（2）依題意，的可能取值為，；；，的分布列為：的數(shù)學期望.18.如圖，直三棱柱中，，是中點，是的中點．（1）證明：直線直線;（2）求直線與平面所成的角的大?。猓海?）不妨設，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖，,.,因為，所以.（2），,易知平面的一個法向量為,設直線與平面所成的角為，則，所以，即直線與平面所成的角的大小為.19.對于三次函數(shù)．定義：①的導數(shù)為，的導數(shù)為，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”；②設為常數(shù)，若定義在上的函數(shù)對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)，都有恒成立，則函數(shù)的圖象關于點對稱．（1）已知，求函數(shù)的“拐點”的坐標；（2）檢驗（1）中的函數(shù)的圖象是否關于“拐點”對稱.解：（1）由，則，則，當時，解得，又，故其拐點為；（2）由（1）知“拐點”坐標，又，由定義②知的圖象關于“拐點”對稱.甘肅省武威市涼州區(qū)2023-2024學年高二下學期期中質量檢測數(shù)學試卷注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將〖答案〗正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.隨機變量的分布列如表格所示，其中，則等于（）01A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題知，，得，即.故選：A2.投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國時期較為盛行.如圖為一幅唐朝的投壺圖，假設甲、乙、丙是唐朝的三位投壺游戲參與者，且甲、乙、丙每次投壺時，投中與不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壺1次，則這3人中至少有2人投中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗記甲、乙、丙投中分別即為事件，由題知，則3人中至少有2人投中的概率為：.故選：A3.設函數(shù)在點處的切線方程為，則（）A.4 B.2 C.1 D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)在點處的切線方程為，則.故選:C.4.若向量，且與的夾角的余弦值為，則（）A.2 B.C.或 D.2或〖答案〗C〖解析〗由題意，向量，得，解得或，故選：C5.如圖，在直三棱柱中，，，則向量與的夾角是（）A.30° B.45°C.60° D.90°〖答案〗C〖解析〗∵平面，平面，平面，∴.∵，，∴，又，∴E為的中點，∴.∵，∴.∵∴＝,又，∴.故選：C.6.下列求導計算中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗A〖解析〗對于A，；故A正確；對于B，；故B錯誤；對于C，；故C錯誤；對于D，；故D錯誤.故選：A.7.空間內(nèi)有三點，，，則點到的中點的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由、可得，故.故選：C.8.已知函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù)，，對任意實數(shù)都有，設，則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，因為，則，可知在上單調(diào)遞減，且，由不等式可得，解得，所以不等式的解集為.故選：B二、多選題（本題共3小題，每小題6分.在每題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部答對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知事件，滿足，，則下列結論正確的是（）A. B.如果，那么C.如果與互斥，那么 D.如果與相互獨立，那么〖答案〗BCD〖解析〗A選項：當與相互獨立時，，A選項錯誤；B選項：若，則，B選項正確；C選項：與互斥，那么，C選項正確；D選項：如果與相互獨立，那么，D選項正確；故選：BCD.10.下列命題中，正確的是（）A.兩條不重合直線的方向向量分別是，，則B.直線l的方向向量，平面的法向是，則C.兩個不同的平面，的法向量分別是，，則D.直線l的方向向量，平面的法向量，則直線l與平面所成角的大小為〖答案〗AC〖解析〗A選項：因為，且不重合，所以，A正確；B選項：因為，所以所以或，B錯誤；C選項：因為，所以，C正確；D選項：記直線l與平面所成角為，則，因為，所以，D錯誤.故選：AC11.對于定義在R上的可導函數(shù)，為其導函數(shù)，下列說法不正確的是（）A.使的一定是函數(shù)的極值點B.在R上單調(diào)遞增是在R上恒成立的充要條件C.若函數(shù)既有極小值又有極大值，則其極小值一定不會比它極大值大D.若在R上存在極值，則它在R一定不單調(diào)〖答案〗ABC〖解析〗A選項，的不一定是函數(shù)的極值點，比如在處導函數(shù)的值為0，但不是的極值點，A說法錯誤；在R上單調(diào)遞增，可能會在某點導函數(shù)等于0，比如為單調(diào)遞增函數(shù)，在處導函數(shù)值為0，故在R上單調(diào)遞增不是在R上恒成立的充要條件，B說法錯誤；若函數(shù)既有極小值又有極大值，則其極小值可能會比它的極大值大，比如，在處取得極大值-2，在處取得極小值2，極小值大于極大值，故C說法錯誤；根據(jù)極值點和極值的定義可以判斷，若在R上存在極值，則它在R一定不單調(diào)，D說法正確.故選：ABC第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知隨機變量的分布列為，那么實數(shù)_____.〖答案〗3〖解析〗因為隨機變量的分布列為，所以，因此.故〖答案〗為313.若曲線在點處的切線垂直于直線，則點的坐標是________．〖答案〗〖解析〗設，則，因為點處的切線垂直于直線，所以點處的切線的斜率為，所以，解得，則，即點的坐標是．故〖答案〗為：14.我國近代數(shù)學家蘇步青主要從事微分幾何學和計算幾何學等方面的研究，在仿射微分幾何學和射影微分幾何學等研究方面取得了出色成果．他的主要成就之一是發(fā)現(xiàn)了四次代數(shù)錐面：對于空間中的點P（x，y，z），若其坐標滿足關于x，y，z的四次代數(shù)方程式，稱點P的軌跡為四次代數(shù)曲面．若點K（1，k，0）是四次曲面：上的一點，則k＝___．〖答案〗2〖解析〗因為點K（1，k，0）是四次曲面：上的一點，所以，得，解得，故〖答案〗為：2四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求在區(qū)間上的最值．解：（1）對函數(shù)求導，，，所求得的切線方程為，即；（2）由（1）有，令，解得：或，故函數(shù)在遞增，在遞減，故函數(shù)在取最大值，，，故函數(shù)在的最大值為4，最小值為0．16.已知，，.（1）求；（2）求在上投影的數(shù)量.解：（1）因為，，，所以，.因為，，，所以，故.（2）因為，，所以.因為，所以在上投影的數(shù)量為.17.作為上海市副中心之一，徐匯區(qū)的建設不僅是上海市發(fā)展戰(zhàn)略的關鍵節(jié)點，也肩負著醫(yī)治上海市“大城市病”的歷史重任，因此，徐匯區(qū)的發(fā)展備受矚目．2017年發(fā)布的《上海市徐匯區(qū)統(tǒng)計年鑒（2017）》顯示：2016年徐匯區(qū)全區(qū)完成全社會固定資