2023-2024學(xué)年重慶市烏江新高考協(xié)作體高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3重慶市烏江新高考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某中學(xué)有三棟教學(xué)樓，如圖所示，若某學(xué)生要從處到達(dá)他所在的班級(jí)處（所有樓道間是連通的），則最短路程不同的走法為（）A.5 B.10 C.15 D.20〖答案〗C〖解析〗從到共需走6步，其中橫步（向右）有兩步，豎直向上的有4步，故最短路程的不同走法數(shù)為，故選C．2.展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A.30 B.24 C.20 D.15〖答案〗D〖解析〗，令，解得，所以含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：D3.若函數(shù)在時(shí)取得極值，則（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，，∵在時(shí)取得極值，所以此時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，是極值點(diǎn)．故選：D.4.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿(mǎn)足，則（）A.65 B.55 C.45 D.35〖答案〗D〖解析〗設(shè)數(shù)列的公差為，則，．故選：D5.在展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A.220 B.-220 C.100 D.–100〖答案〗D〖解析〗展開(kāi)式的通項(xiàng)為，于是得，，則展開(kāi)式中含的項(xiàng)是，所以含的項(xiàng)的系數(shù)是.故選：D6.設(shè)，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，為其導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，則使不等式成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以，，令，則，故為上的奇函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以奇函數(shù)在區(qū)間上也單調(diào)遞減，又，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，.故選：B.7.已知，若且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)和的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，且，由已知可得，所以，，，，所以，，令，其中，則，令，可得，列表如下：減極小值增所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，因?yàn)?，，故，所以，函?shù)在上的值域?yàn)?，因此，取值范圍?故選：D.8.已知函數(shù)，，若兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處它們的切線相同，則當(dāng)時(shí)，的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)公切點(diǎn)為，由題意得，解得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故，即的最大值為，故選A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得2分.9.給出下面幾個(gè)問(wèn)題，其中是組合問(wèn)題的有（）A.由1，2，3，4構(gòu)成含有2個(gè)元素的集合個(gè)數(shù)B.五個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽的比賽場(chǎng)次數(shù)C.由1，2，3組成兩位數(shù)的不同方法數(shù)D.由1，2，3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)〖答案〗AB〖解析〗A選項(xiàng)中集合的元素可以是無(wú)序的，即：集合與集合是相同的集合，故A選項(xiàng)為組合問(wèn)題；B選項(xiàng)中五個(gè)隊(duì)單循環(huán)比賽，即每個(gè)隊(duì)伍只與不同的隊(duì)比賽一次，例如：1隊(duì)2隊(duì)，1隊(duì)3隊(duì)，1隊(duì)4隊(duì)，1隊(duì)5隊(duì)，2隊(duì)3隊(duì)，2隊(duì)4隊(duì)，2隊(duì)5隊(duì)，3隊(duì)4隊(duì)，3隊(duì)5隊(duì)，4隊(duì)5隊(duì)，故B選項(xiàng)為組合問(wèn)題；C選項(xiàng)中如選1，2兩個(gè)數(shù)字，則有兩位數(shù)12，或者兩位數(shù)21，很明顯21和12是滿(mǎn)足要求的兩個(gè)不同的組合，為排列問(wèn)題；如選重復(fù)數(shù)字組成的兩位數(shù)，11、22、33，則不需要考慮順序，為組合問(wèn)題，故C選項(xiàng)中既有排列也有組合；D選項(xiàng)與C選項(xiàng)類(lèi)似，故D選項(xiàng)為排列問(wèn)題.故選：AB.10.已知X的分布列為X012Pa則下列說(shuō)法正確的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，即，∴，故A正確；，故B正確；，故C不正確；，故D正確.故選：ABD11.已知數(shù)列滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.為遞增數(shù)列C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)?，即，所以?shù)列為遞增數(shù)列，可得，選項(xiàng)A正確；因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列且，則為遞減數(shù)列，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，可得，兩邊平方整理得，選項(xiàng)C正確．因?yàn)?，整理得，兩邊平方得，即，可得，累加可得，即，所以，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的圖象在處的切線方程為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗∵，∴，，∴函數(shù)在處的切線方程為.故〖答案〗為:.13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，故〖答案〗為：.14.已知為常數(shù)，函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有2個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)殛P(guān)于的方程有且只有2個(gè)不同的解，所以的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，又及的圖像如圖所示：當(dāng)時(shí)，因的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故直線與相切，與有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，從而，解得，．當(dāng)時(shí)，因的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故直線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不同的解，即有兩個(gè)不同的解，即，所以，故，綜上，．故填．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的公差，且，，的前n項(xiàng)和為．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，，成等比數(shù)列，求m的值．解：（1）等差數(shù)列中，由，得，又，而，即，解得，則，于是所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，則，，，由，，成等比數(shù)列，得，即，整理得，而，解得，所以.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，又，二次函?shù)，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)時(shí)，所以關(guān)于的方程異號(hào)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解得或（舍），所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）依題意可得當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，則.令，，由，知上單調(diào)遞增，從而.經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是常函數(shù)，所以的取值范圍是.17.從甲、乙、丙、丁4人中隨機(jī)抽取3個(gè)人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出.（1）記甲乙丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列；（2）若剛好抽到甲乙丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為，.①直接寫(xiě)出，，的值；②求與的關(guān)系式（），并求（）.解：（1）的可能取值為2和3，則，所以隨機(jī)變量的分布列為：23（2）①若剛好抽到甲乙丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，次傳球后球在甲手中的概率為，，則有，，.②記表示事件“經(jīng)過(guò)次傳球后，球在甲手中”，所以即，，所以，且.所以數(shù)列表示以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以即次傳球后球在甲手中的概率是.18.將保護(hù)區(qū)分為面積大小相近的多個(gè)區(qū)域，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取其中15個(gè)區(qū)域進(jìn)行編號(hào)，統(tǒng)計(jì)抽取到每個(gè)區(qū)域的某種水源指標(biāo)和區(qū)域內(nèi)該植物分布的數(shù)量（，2，…，15），得到數(shù)組．已知，，．（1）求樣本（，2…，15）的相關(guān)系數(shù)；（2）假設(shè)該植物的壽命為隨機(jī)變量X（X可取任意正整數(shù)）．研究人員統(tǒng)計(jì)大量數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的，壽命為的樣本在壽命超過(guò)k的樣本里的數(shù)量占比與壽命為1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均等于0.1，這種現(xiàn)象被稱(chēng)為“幾何分布的無(wú)記憶性”．（?。┣螅ǎ┑谋磉_(dá)式；（ⅱ）推導(dǎo)該植物壽命期望的值．附：相關(guān)系數(shù)．解：（1）由，，，得相關(guān)系數(shù).（2）（?。┮李}意，，又，則，當(dāng)時(shí)，把換成，則，兩式相減，得，即，又，于是對(duì)任意都成立，從而是首項(xiàng)為0.1，公比為0.9的等比數(shù)列，所以；

（ⅱ）由定義知，，而，顯然，于是，兩式相減得，因此，當(dāng)足夠大時(shí)，，，則，可認(rèn)為．所以該植物壽命期望的值是10.19.組合數(shù)有許多豐富有趣的性質(zhì)，例如，二項(xiàng)式系數(shù)的和有下述性質(zhì)：.小明同學(xué)想進(jìn)一步探究組合數(shù)平方和的性質(zhì)，請(qǐng)幫他完成下面的探究.（1）計(jì)算：，并與比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？寫(xiě)出一般性結(jié)論并證明；（2）證明：（3）利用上述（1）（2）兩小問(wèn)的結(jié)論，證明：.解：（1），，規(guī)律：，證明如下：的展開(kāi)式中，的系數(shù)為，同時(shí)，的展開(kāi)式中的系數(shù)為，所以.（2）的展開(kāi)式中的系數(shù)為，又，的展開(kāi)式中的系數(shù)為，所以.（3）由（1）可知，由（2）可知，兩式相減可得，即.重慶市烏江新高考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某中學(xué)有三棟教學(xué)樓，如圖所示，若某學(xué)生要從處到達(dá)他所在的班級(jí)處（所有樓道間是連通的），則最短路程不同的走法為（）A.5 B.10 C.15 D.20〖答案〗C〖解析〗從到共需走6步，其中橫步（向右）有兩步，豎直向上的有4步，故最短路程的不同走法數(shù)為，故選C．2.展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A.30 B.24 C.20 D.15〖答案〗D〖解析〗，令，解得，所以含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：D3.若函數(shù)在時(shí)取得極值，則（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，，∵在時(shí)取得極值，所以此時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，是極值點(diǎn)．故選：D.4.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿(mǎn)足，則（）A.65 B.55 C.45 D.35〖答案〗D〖解析〗設(shè)數(shù)列的公差為，則，．故選：D5.在展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A.220 B.-220 C.100 D.–100〖答案〗D〖解析〗展開(kāi)式的通項(xiàng)為，于是得，，則展開(kāi)式中含的項(xiàng)是，所以含的項(xiàng)的系數(shù)是.故選：D6.設(shè)，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，為其導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，則使不等式成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以，，令，則，故為上的奇函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以奇函數(shù)在區(qū)間上也單調(diào)遞減，又，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，.故選：B.7.已知，若且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)和的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，且，由已知可得，所以，，，，所以，，令，其中，則，令，可得，列表如下：減極小值增所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，因?yàn)椋?，故，所以，函?shù)在上的值域?yàn)?，因此，取值范圍?故選：D.8.已知函數(shù)，，若兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處它們的切線相同，則當(dāng)時(shí)，的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)公切點(diǎn)為，由題意得，解得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故，即的最大值為，故選A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得2分.9.給出下面幾個(gè)問(wèn)題，其中是組合問(wèn)題的有（）A.由1，2，3，4構(gòu)成含有2個(gè)元素的集合個(gè)數(shù)B.五個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽的比賽場(chǎng)次數(shù)C.由1，2，3組成兩位數(shù)的不同方法數(shù)D.由1，2，3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)〖答案〗AB〖解析〗A選項(xiàng)中集合的元素可以是無(wú)序的，即：集合與集合是相同的集合，故A選項(xiàng)為組合問(wèn)題；B選項(xiàng)中五個(gè)隊(duì)單循環(huán)比賽，即每個(gè)隊(duì)伍只與不同的隊(duì)比賽一次，例如：1隊(duì)2隊(duì)，1隊(duì)3隊(duì)，1隊(duì)4隊(duì)，1隊(duì)5隊(duì)，2隊(duì)3隊(duì)，2隊(duì)4隊(duì)，2隊(duì)5隊(duì)，3隊(duì)4隊(duì)，3隊(duì)5隊(duì)，4隊(duì)5隊(duì)，故B選項(xiàng)為組合問(wèn)題；C選項(xiàng)中如選1，2兩個(gè)數(shù)字，則有兩位數(shù)12，或者兩位數(shù)21，很明顯21和12是滿(mǎn)足要求的兩個(gè)不同的組合，為排列問(wèn)題；如選重復(fù)數(shù)字組成的兩位數(shù)，11、22、33，則不需要考慮順序，為組合問(wèn)題，故C選項(xiàng)中既有排列也有組合；D選項(xiàng)與C選項(xiàng)類(lèi)似，故D選項(xiàng)為排列問(wèn)題.故選：AB.10.已知X的分布列為X012Pa則下列說(shuō)法正確的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，即，∴，故A正確；，故B正確；，故C不正確；，故D正確.故選：ABD11.已知數(shù)列滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.為遞增數(shù)列C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)?，即，所以?shù)列為遞增數(shù)列，可得，選項(xiàng)A正確；因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列且，則為遞減數(shù)列，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)椋傻?，兩邊平方整理得，選項(xiàng)C正確．因?yàn)?，整理得，兩邊平方得，即，可得，累加可得，即，所以，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的圖象在處的切線方程為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗∵，∴，，∴函數(shù)在處的切線方程為.故〖答案〗為:.13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，故〖答案〗為：.14.已知為常數(shù)，函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有2個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)殛P(guān)于的方程有且只有2個(gè)不同的解，所以的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，又及的圖像如圖所示：當(dāng)時(shí)，因的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故直線與相切，與有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，從而，解得，．當(dāng)時(shí)，因的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故直線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不同的解，即有兩個(gè)不同的解，即，所以，故，綜上，．故填．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的公差，且，，的前n項(xiàng)和為．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，，成等比數(shù)列，求m的值．解：（1）等差數(shù)列中，由，得，又，而，即，解得，則，于是所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，則，，，由，，成等比數(shù)列，得，即，整理得，而，解得，所以.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，又，二次函?shù)，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)時(shí)，所以關(guān)于的方程異號(hào)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解得或（舍），所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）依題意可得當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，則.令，，由，知上單調(diào)遞增，從而.經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是常函數(shù)，所以的取值范圍是.17.從甲、乙、丙、丁4人中隨機(jī)抽取3個(gè)人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出.（1）記甲乙丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列；（2）若剛好抽到甲乙丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為，.①直接寫(xiě)出，，的值；②求與的關(guān)系式（），并求（）.解：（1）的可能取值為2和3，則，所以隨機(jī)變量的分布列為：23（2）①若剛好抽到甲乙丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，次傳球后球在甲手中的概率為，，則有，，.②記表示事件