2024屆廣東省廣州市普通高中畢業(yè)班沖刺訓(xùn)練題（二）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3廣東省廣州市2024屆普通高中畢業(yè)班沖刺訓(xùn)練題（二）數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（）A.15 B.160 C. D.〖答案〗D〖解析〗由二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，可得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故選：D2已知向量，滿足，，且，則()A. B. C.2 D.4〖答案〗D〖解析〗，，又，，，，．故選：D．3.等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0．若成等比數(shù)列，則的前5項(xiàng)和為（）A. B. C.5 D.25〖答案〗A〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，由題意可知，，即，解得：或（舍），則數(shù)列的前5項(xiàng)和.故選：A4.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A，可以取，，，此時(shí)，所以A錯(cuò)誤.對(duì)于B：∵，∴，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C：取，時(shí)，則，，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)，時(shí)，，，則，故D錯(cuò)誤；故選：B.5.已知函數(shù)，則“”是“是偶函數(shù)，且是奇函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，則，，若是奇函數(shù)，則，解得，若是偶函數(shù)，則，解得，所以若是偶函數(shù)且是奇函數(shù)，則，所以由推得出是偶函數(shù)，且是奇函數(shù)，故充分性成立；由是偶函數(shù)，且是奇函數(shù)推不出，故必要性不成立，所以“”是“是偶函數(shù)，且是奇函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.6.如圖所示，某同學(xué)制作了一個(gè)工藝品.該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為8的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合）.若其中一截面圓的周長(zhǎng)為，則球的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)球的半徑為，截面圓的半徑為，兩個(gè)截面圓間的距離為，因?yàn)榻孛鎴A的周長(zhǎng)為，可得，解得，又因?yàn)樵摴に嚻房梢钥闯墒且粋€(gè)球被一個(gè)棱為8的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分，所以兩截面圓之間的距離為，解得，根據(jù)球的截面的性質(zhì)，可得，即（負(fù)值已舍去），所以球的體積為.故選：C.7.已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，一條漸近線的方程為，直線與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為.若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知，雙曲線的兩條漸近線方程分別為，.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，右焦點(diǎn).由得，解得：，因?yàn)槭请p曲線得一條漸近性，所以，則，將代入雙曲線方程，得.因?yàn)?，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，所以，點(diǎn)在直線上，所以，解得：.故選：C8.已知直線恒在曲線的上方，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，則，所以切線方程為，所以，，所以，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題9.已知，為異面直線，平面，平面.若直線滿足，，，，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.， B.與相交，且交線平行于C.， D.與相交，且交線垂直于〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)，假設(shè)，因?yàn)槠矫?，平面，則，這與直線，為異面直線矛盾，故A錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，假設(shè)，因?yàn)槠矫妫?，這與矛盾，故C錯(cuò)誤；BD選項(xiàng)，設(shè)，作，使得與相交，記與構(gòu)成平面，如圖，因?yàn)槠矫?，，則，又，故，同理：，而與構(gòu)成平面，所以；因?yàn)?，又，故，又，與構(gòu)成平面，所以，故而，即與的交線平行于，故B正確，D錯(cuò)誤；故選：ACD.10.已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn).若，.則（）A.的周長(zhǎng)為 B.C.的斜率為 D.橢圓的離心率為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A：過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)且，，連接，的平分線交于點(diǎn)，如圖所示：則的周長(zhǎng)等于故A正確；對(duì)于B：設(shè)，，則，而.設(shè)，則，于是，即.由，得,又，得，所以，故B正確；對(duì)于C：在，由余弦定理可得：，則，即.在中，，又是中點(diǎn)，所以，則，于是，所以的斜率為點(diǎn)在軸上方時(shí)，在軸下方時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，及導(dǎo)函數(shù)，的定義域均為.若是奇函數(shù)，且，，則（）A. B.是偶函數(shù)C. D.〖答案〗CD〖解析〗因?yàn)椋裕?，?又因?yàn)?，所以?則，所以.于是可得，令，則，所以.所以，所以，又因?yàn)?，所以，即①因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以②，，，所以A錯(cuò)誤.由①②得，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).因?yàn)椋虼撕瘮?shù)也是周期為4的函數(shù).又的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以B選項(xiàng)不正確.因?yàn)?，令，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C選項(xiàng)正確.因?yàn)?，所以，，，，則有，可得，所以D選項(xiàng)正確.故選：CD.三、填空題12.已知，是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，則______.〖答案〗-32〖解析〗已知，則，，為實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根.方法1：將代入方程有，化簡(jiǎn)得.所以，解得，，所以.方法2：因?yàn)?，都是方程的根，由韋達(dá)定理有，，所以.故〖答案〗為：-32.13.已知中，點(diǎn)在邊上，，，，則的面積為_(kāi)_____；若，則______.〖答案〗〖解析〗由正弦定理得，由余弦定理得，代入化簡(jiǎn)得，解得，.所以.方法1：由，得，.所以，，即.方法2：在中，.由，得，于是，在中，，所以.故〖答案〗為：；.14.如圖所示，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每隔等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)5次.該質(zhì)點(diǎn)在有且僅有一次經(jīng)過(guò)位置的條件下，共經(jīng)過(guò)兩次1位置的概率為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗設(shè)事件“有且僅有一次經(jīng)過(guò)”，事件“共經(jīng)過(guò)兩次位置1”，按到位置需要1步，3步，5步分類討論.記向左，向右，①若1步到位為事件，則滿足要求的是，（第5步無(wú)關(guān)），，（第5步無(wú)關(guān)），所以；②若3步到位為事件，則滿足要求的是，所以；③若5步到位為事件，則滿足要求的是，所以，所以滿足的情況有：，，，，所以所以.故〖答案〗為：四、解答題15.如圖所示的空間幾何體是以為軸的圓柱與以為軸截面的半圓柱拼接而成，其中為半圓柱的母線，點(diǎn)為弧的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)，平面與平面夾角的余弦值為時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離.解：（1）過(guò)作交弧上一點(diǎn)，連結(jié)，如圖所示：則為弧的中點(diǎn)，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以.由題意可知，，為等腰直角三角形，則；因?yàn)闉榛〉闹悬c(diǎn)，所以,則為等腰直角三角形，則，所以，則,因，則，又，又因?yàn)?、面，所以平面，因?yàn)槊妫云矫嫫矫?（2）由題意知，兩兩垂直，所以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，又，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，，設(shè)平面與平面的夾角為，解得（負(fù)舍），所以，，，則，所以點(diǎn)到直線的距離為.16.閱讀是人類獲取知識(shí)、啟智增慧、培養(yǎng)道德的重要途徑.某年級(jí)共有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，為了解學(xué)生每個(gè)學(xué)期的閱讀時(shí)長(zhǎng)，采用分層抽樣的方法抽取樣本，收集統(tǒng)計(jì)了他們的閱讀時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），計(jì)算得男生樣本的均值為100，標(biāo)準(zhǔn)差為16，女生樣本的均值為90，標(biāo)準(zhǔn)差為19.（1）如果男、女的樣本量都是25，請(qǐng)估計(jì)總樣本的均值.以該結(jié)果估計(jì)總體均值合適嗎？為什么？（2）已知總體劃分為2層，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，.記總的樣本的均值為，樣本方差為.（?。┳C明：；（ⅱ）如果已知男、女樣本量按比例分配，請(qǐng)直接寫出總樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差（精確到1）：（3）假設(shè)全年級(jí)學(xué)生的閱讀時(shí)長(zhǎng)服從正態(tài)分布，以（ⅱ）總樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為和的估計(jì)值.如果按照的比例將閱讀時(shí)長(zhǎng)從高到低依次劃分為，，，四個(gè)等級(jí)，試確定各等級(jí)時(shí)長(zhǎng)（精確到1）.附：，，，.（1）解：總樣本的均值為.用該結(jié)果作為總體均值的估計(jì)不合適，因?yàn)槟猩团拈喿x習(xí)慣差異比較大，這個(gè)樣本的分布與的分布相差可能比較大，所以總樣本均值作為總體均值的估計(jì)有偏差.（2）（?。┳C明：根據(jù)方差的定義，總樣本方差為.∵，同理.因此，.（ⅱ）解：因?yàn)槭前幢壤峙浞謱与S機(jī)抽樣，所以，得男生樣本的均值為，方差為，女生樣本的均值為，方差為，記總樣本的均值為，方差為，則，所以又，所以.總樣本的均值為96，標(biāo)準(zhǔn)差約為18.（3）解：由（2）知，，所以服從正態(tài)分布，所以，，故可將定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí).17.已知函數(shù)（）.（1）求在區(qū)間上的最大值與最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.（1）解：（）（），令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，.當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，而，.所以綜上所述，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，所以，.（2）證明：方法一：隱零點(diǎn)法因?yàn)?，，所以，欲證，只需證明，設(shè)，（），，令，易知在上單調(diào)遞增，而，，所以由零點(diǎn)的存在性定理可知，存在唯一的使得，即，因此，，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增；所以所以，因此.方法二：（同構(gòu)）因?yàn)?，，所以，欲證，只需證明，只需證明，因此構(gòu)造函數(shù)（），，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增：所以，所以，所以，因此.18.已知拋物線：，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若直線過(guò)的焦點(diǎn).(i)當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線的方程；(ii)當(dāng)，記的外接圓與的另一個(gè)交點(diǎn)為，求；（2）設(shè)圓（，）與交于四點(diǎn)，，，，記弦，的中點(diǎn)分別為，，求證：線段被定點(diǎn)平分，并求定點(diǎn)坐標(biāo).解：（1）由題意可知直線不會(huì)與拋物線對(duì)稱軸平行，設(shè)，.因?yàn)檫^(guò)，設(shè)直線為，與方差聯(lián)立可得：，所以有，.（?。c(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)椋?，所?當(dāng)，的面積取得最小值2，此時(shí)直線方程為.（ⅱ）解法一：設(shè)，，，若垂直于軸，此時(shí)，所以由可知斜率存在，因?yàn)橄疫^(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以，由拋物線定義可知，，所以，即，因?yàn)?，，所以，解?因?yàn)?、、、四點(diǎn)共圓,所以和相等或互補(bǔ)，記、、、的傾斜角分別為、、、，斜率分別為、、、，所以，所以，即，又因?yàn)?，同理有：、、代入可得：，解得：，即，所以，結(jié)合可知，所以.解法二：圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以可設(shè)圓為，與拋物線聯(lián)立可得：，此方程有4個(gè)不同的解0、、、，所以聯(lián)立方程可化簡(jiǎn)為，又因?yàn)椋?，所以，后面同解法?（2）如圖所示，設(shè)，，，所以，，中點(diǎn)為，類比第二問(wèn)解法二，可知，.由第二問(wèn)解法二可知，所以：，所以，，所以，即線段被定點(diǎn)平分.故定點(diǎn)坐標(biāo)為.19.若無(wú)窮項(xiàng)數(shù)列滿足（，，為常數(shù)，且），則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）設(shè)，，若首項(xiàng)為1的數(shù)列為“數(shù)列”，求；（2）若首項(xiàng)為1的等比數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（3）設(shè)，，若首項(xiàng)為1的數(shù)列為“數(shù)列”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求所有滿足的值.解：（1）由題意有，，，，則，，，，，，，，，，…一般有，，,所以（2）數(shù)列是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)其公比為，又為數(shù)列，，，當(dāng)時(shí)，，，.有，又，，，于是得，解得，有或，當(dāng)時(shí)，，，為數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，，為數(shù)列，當(dāng)時(shí)，則，，構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，即，有，解得，于是得，，，為數(shù)列，所以①當(dāng)，，是大于1的任意正整數(shù)，則，；②當(dāng)，，，則，.（3）依題意，，，，數(shù)列為“數(shù)列”，則，，，，，，，，，，，…，，，，是公差為1的等差數(shù)列，且,所以且,所以數(shù)列是以首項(xiàng)為9，公比為2的等比數(shù)列，所以,即,即,所以所以，即，化簡(jiǎn)得，代入，等式成立.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，方程無(wú)解，綜上所述，滿足成立的值為1.廣東省廣州市2024屆普通高中畢業(yè)班沖刺訓(xùn)練題（二）數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（）A.15 B.160 C. D.〖答案〗D〖解析〗由二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，可得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故選：D2已知向量，滿足，，且，則()A. B. C.2 D.4〖答案〗D〖解析〗，，又，，，，．故選：D．3.等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0．若成等比數(shù)列，則的前5項(xiàng)和為（）A. B. C.5 D.25〖答案〗A〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，由題意可知，，即，解得：或（舍），則數(shù)列的前5項(xiàng)和.故選：A4.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A，可以取，，，此時(shí)，所以A錯(cuò)誤.對(duì)于B：∵，∴，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C：取，時(shí)，則，，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)，時(shí)，，，則，故D錯(cuò)誤；故選：B.5.已知函數(shù)，則“”是“是偶函數(shù)，且是奇函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，則，，若是奇函數(shù)，則，解得，若是偶函數(shù)，則，解得，所以若是偶函數(shù)且是奇函數(shù)，則，所以由推得出是偶函數(shù)，且是奇函數(shù)，故充分性成立；由是偶函數(shù)，且是奇函數(shù)推不出，故必要性不成立，所以“”是“是偶函數(shù)，且是奇函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.6.如圖所示，某同學(xué)制作了一個(gè)工藝品.該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為8的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合）.若其中一截面圓的周長(zhǎng)為，則球的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)球的半徑為，截面圓的半徑為，兩個(gè)截面圓間的距離為，因?yàn)榻孛鎴A的周長(zhǎng)為，可得，解得，又因?yàn)樵摴に嚻房梢钥闯墒且粋€(gè)球被一個(gè)棱為8的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分，所以兩截面圓之間的距離為，解得，根據(jù)球的截面的性質(zhì)，可得，即（負(fù)值已舍去），所以球的體積為.故選：C.7.已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，一條漸近線的方程為，直線與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為.若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知，雙曲線的兩條漸近線方程分別為，.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，右焦點(diǎn).由得，解得：，因?yàn)槭请p曲線得一條漸近性，所以，則，將代入雙曲線方程，得.因?yàn)?，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，所以，點(diǎn)在直線上，所以，解得：.故選：C8.已知直線恒在曲線的上方，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，則，所以切線方程為，所以，，所以，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題9.已知，為異面直線，平面，平面.若直線滿足，，，，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.， B.與相交，且交線平行于C.， D.與相交，且交線垂直于〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)，假設(shè)，因?yàn)槠矫妫矫?，則，這與直線，為異面直線矛盾，故A錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，假設(shè)，因?yàn)槠矫?，所以，這與矛盾，故C錯(cuò)誤；BD選項(xiàng)，設(shè)，作，使得與相交，記與構(gòu)成平面，如圖，因?yàn)槠矫?，，則，又，故，同理：，而與構(gòu)成平面，所以；因?yàn)椋?，故，又，與構(gòu)成平面，所以，故而，即與的交線平行于，故B正確，D錯(cuò)誤；故選：ACD.10.已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn).若，.則（）A.的周長(zhǎng)為 B.C.的斜率為 D.橢圓的離心率為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A：過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)且，，連接，的平分線交于點(diǎn)，如圖所示：則的周長(zhǎng)等于故A正確；對(duì)于B：設(shè)，，則，而.設(shè)，則，于是，即.由，得,又，得，所以，故B正確；對(duì)于C：在，由余弦定理可得：，則，即.在中，，又是中點(diǎn)，所以，則，于是，所以的斜率為點(diǎn)在軸上方時(shí)，在軸下方時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，及導(dǎo)函數(shù)，的定義域均為.若是奇函數(shù)，且，，則（）A. B.是偶函數(shù)C. D.〖答案〗CD〖解析〗因?yàn)椋裕?，?又因?yàn)椋裕?則，所以.于是可得，令，則，所以.所以，所以，又因?yàn)椋?，即①因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以②，，，所以A錯(cuò)誤.由①②得，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).因?yàn)?，因此函?shù)也是周期為4的函數(shù).又的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以B選項(xiàng)不正確.因?yàn)椋?，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C選項(xiàng)正確.因?yàn)?，所以，，，，則有，可得，所以D選項(xiàng)正確.故選：CD.三、填空題12.已知，是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，則______.〖答案〗-32〖解析〗已知，則，，為實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根.方法1：將代入方程有，化簡(jiǎn)得.所以，解得，，所以.方法2：因?yàn)?，都是方程的根，由韋達(dá)定理有，，所以.故〖答案〗為：-32.13.已知中，點(diǎn)在邊上，，，，則的面積為_(kāi)_____；若，則______.〖答案〗〖解析〗由正弦定理得，由余弦定理得，代入化簡(jiǎn)得，解得，.所以.方法1：由，得，.所以，，即.方法2：在中，.由，得，于是，在中，，所以.故〖答案〗為：；.14.如圖所示，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每隔等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)5次.該質(zhì)點(diǎn)在有且僅有一次經(jīng)過(guò)位置的條件下，共經(jīng)過(guò)兩次1位置的概率為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗設(shè)事件“有且僅有一次經(jīng)過(guò)”，事件“共經(jīng)過(guò)兩次位置1”，按到位置需要1步，3步，5步分類討論.記向左，向右，①若1步到位為事件，則滿足要求的是，（第5步無(wú)關(guān)），，（第5步無(wú)關(guān)），所以；②若3步到位為事件，則滿足要求的是，所以；③若5步到位為事件，則滿足要求的是，所以，所以滿足的情況有：，，，，所以所以.故〖答案〗為：四、解答題15.如圖所示的空間幾何體是以為軸的圓柱與以為軸截面的半圓柱拼接而成，其中為半圓柱的母線，點(diǎn)為弧的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)，平面與平面夾角的余弦值為時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離.解：（1）過(guò)作交弧上一點(diǎn)，連結(jié)，如圖所示：則為弧的中點(diǎn)，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以.由題意可知，，為等腰直角三角形，則；因?yàn)闉榛〉闹悬c(diǎn)，所以,則為等腰直角三角形，則，所以，則,因，則，又，又因?yàn)?、面，所以平面，因?yàn)槊?，所以平面平?（2）由題意知，兩兩垂直，所以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，又，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，，設(shè)平面與平面的夾角為，解得（負(fù)舍），所以，，，則，所以點(diǎn)到直線的距離為.16.閱讀是人類獲取知識(shí)、啟智增慧、培養(yǎng)道德的重要途徑.某年級(jí)共有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，為了解學(xué)生每個(gè)學(xué)期的閱讀時(shí)長(zhǎng)，采用分層抽樣的方法抽取樣本，收集統(tǒng)計(jì)了他們的閱讀時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），計(jì)算得男生樣本的均值為100，標(biāo)準(zhǔn)差為16，女生樣本的均值為90，標(biāo)準(zhǔn)差為19.（1）如果男、女的樣本量都是25，請(qǐng)估計(jì)總樣本的均值.以該結(jié)果估計(jì)總體均值合適嗎？為什么？（2）已知總體劃分為2層，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，.記總的樣本的均值為，樣本方差為.（ⅰ）證明：；（ⅱ）如果已知男、女樣本量按比例分配，請(qǐng)直接寫出總樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差（精確到1）：（3）假設(shè)全年級(jí)學(xué)生的閱讀時(shí)長(zhǎng)服從正態(tài)分布，以（ⅱ）總樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為和的估計(jì)值.如果按照的比例將閱讀時(shí)長(zhǎng)從高到低依次劃分為，，，四個(gè)等級(jí)，試確定各等級(jí)時(shí)長(zhǎng)（精確到1）.附：，，，.（1）解：總樣本的均值為.用該結(jié)果作為總體均值的估計(jì)不合適，因?yàn)槟猩团拈喿x習(xí)慣差異比較大，這個(gè)樣本的分布與的分布相差可能比較大，所以總樣本均值作為總體均值的估計(jì)有偏差.（2）（?。┳C明：根據(jù)方差的定義，總樣本方差為.∵，同理.因此，.（ⅱ）解：因?yàn)槭前幢壤峙浞謱与S機(jī)抽樣，所以，得男生樣本的均值為，方差為，女生樣本的均值為，方差為，記總樣本的均值為，方差為，則，所以又，所以.總樣本的均值為96，標(biāo)準(zhǔn)差約為18.（3）解：由（2）知，，所以服從正態(tài)分布，所以，，故可將定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí).17.已知函數(shù)（）.（1）求在區(qū)間上的最大值與最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.（1）解：（）（），令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，.當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，而，.所以綜上所述，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，所以，.（2）證明：方法一：隱零點(diǎn)法因?yàn)?，，所以，欲證，只需證明，設(shè)，（），，令，易知在上單調(diào)遞增，而，，所以由零點(diǎn)的存在性定理可知，存在唯一的使得，即，因此，，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增；所以所以，因此.方法二：（同構(gòu)）因?yàn)?，，所以，欲證，只需證明，只需證明，因此構(gòu)造函數(shù)（），，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)