2024屆廣東省廣州市普通高中畢業(yè)班沖刺訓練題（二）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3廣東省廣州市2024屆普通高中畢業(yè)班沖刺訓練題（二）數(shù)學試題一、單項選擇題1.的展開式中常數(shù)項是（）A.15 B.160 C. D.〖答案〗D〖解析〗由二項式的展開式的通項公式為，令，可得，所以常數(shù)項為.故選：D2已知向量，滿足，，且，則()A. B. C.2 D.4〖答案〗D〖解析〗，，又，，，，．故選：D．3.等差數(shù)列的首項為1，公差不為0．若成等比數(shù)列，則的前5項和為（）A. B. C.5 D.25〖答案〗A〖解析〗設等差數(shù)列的公差為，則，，，由題意可知，，即，解得：或（舍），則數(shù)列的前5項和.故選：A4.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗對于A，可以取，，，此時，所以A錯誤.對于B：∵，∴，因為，所以，故B正確；對于C：取，時，則，，，則，故C錯誤；對于D：當，時，，，則，故D錯誤；故選：B.5.已知函數(shù)，則“”是“是偶函數(shù)，且是奇函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因為，則，，若是奇函數(shù)，則，解得，若是偶函數(shù)，則，解得，所以若是偶函數(shù)且是奇函數(shù)，則，所以由推得出是偶函數(shù)，且是奇函數(shù)，故充分性成立；由是偶函數(shù)，且是奇函數(shù)推不出，故必要性不成立，所以“”是“是偶函數(shù)，且是奇函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.6.如圖所示，某同學制作了一個工藝品.該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為8的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合）.若其中一截面圓的周長為，則球的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設球的半徑為，截面圓的半徑為，兩個截面圓間的距離為，因為截面圓的周長為，可得，解得，又因為該工藝品可以看成是一個球被一個棱為8的正方體的六個面所截后剩余的部分，所以兩截面圓之間的距離為，解得，根據(jù)球的截面的性質，可得，即（負值已舍去），所以球的體積為.故選：C.7.已知雙曲線：（，）的右焦點為，一條漸近線的方程為，直線與在第一象限內的交點為.若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知，雙曲線的兩條漸近線方程分別為，.設點坐標為，右焦點.由得，解得：，因為是雙曲線得一條漸近性，所以，則，將代入雙曲線方程，得.因為，點在第一象限內，所以，點在直線上，所以，解得：.故選：C8.已知直線恒在曲線的上方，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設直線與曲線切于點，則，所以切線方程為，所以，，所以，設，，當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以.故選：A.二、多項選擇題9.已知，為異面直線，平面，平面.若直線滿足，，，，則下面結論錯誤的是（）A.， B.與相交，且交線平行于C.， D.與相交，且交線垂直于〖答案〗ACD〖解析〗A選項，假設，因為平面，平面，則，這與直線，為異面直線矛盾，故A錯誤；C選項，假設，因為平面，所以，這與矛盾，故C錯誤；BD選項，設，作，使得與相交，記與構成平面，如圖，因為平面，，則，又，故，同理：，而與構成平面，所以；因為，又，故，又，與構成平面，所以，故而，即與的交線平行于，故B正確，D錯誤；故選：ACD.10.已知橢圓：（）的左、右焦點為，，過的直線與交于，兩點.若，.則（）A.的周長為 B.C.的斜率為 D.橢圓的離心率為〖答案〗ABD〖解析〗對于A：過的直線與交于，兩點且，，連接，的平分線交于點，如圖所示：則的周長等于故A正確；對于B：設，，則，而.設，則，于是，即.由，得,又，得，所以，故B正確；對于C：在，由余弦定理可得：，則，即.在中，，又是中點，所以，則，于是，所以的斜率為點在軸上方時，在軸下方時，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，及導函數(shù)，的定義域均為.若是奇函數(shù)，且，，則（）A. B.是偶函數(shù)C. D.〖答案〗CD〖解析〗因為，所以（，）.又因為，所以，.則，所以.于是可得，令，則，所以.所以，所以，又因為，所以，即①因為是奇函數(shù)，所以②，，，所以A錯誤.由①②得，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).因為，因此函數(shù)也是周期為4的函數(shù).又的圖像關于點對稱，所以的圖像關于點對稱，所以B選項不正確.因為，令，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C選項正確.因為，所以，，，，則有，可得，所以D選項正確.故選：CD.三、填空題12.已知，是關于的實系數(shù)方程的一個根，則______.〖答案〗-32〖解析〗已知，則，，為實系數(shù)方程的一個根.方法1：將代入方程有，化簡得.所以，解得，，所以.方法2：因為，都是方程的根，由韋達定理有，，所以.故〖答案〗為：-32.13.已知中，點在邊上，，，，則的面積為______；若，則______.〖答案〗〖解析〗由正弦定理得，由余弦定理得，代入化簡得，解得，.所以.方法1：由，得，.所以，，即.方法2：在中，.由，得，于是，在中，，所以.故〖答案〗為：；.14.如圖所示，一個質點在隨機外力的作用下，從原點出發(fā)，每隔等可能地向左或向右移動一個單位，共移動5次.該質點在有且僅有一次經(jīng)過位置的條件下，共經(jīng)過兩次1位置的概率為______.〖答案〗〖解析〗設事件“有且僅有一次經(jīng)過”，事件“共經(jīng)過兩次位置1”，按到位置需要1步，3步，5步分類討論.記向左，向右，①若1步到位為事件，則滿足要求的是，（第5步無關），，（第5步無關），所以；②若3步到位為事件，則滿足要求的是，所以；③若5步到位為事件，則滿足要求的是，所以，所以滿足的情況有：，，，，所以所以.故〖答案〗為：四、解答題15.如圖所示的空間幾何體是以為軸的圓柱與以為軸截面的半圓柱拼接而成，其中為半圓柱的母線，點為弧的中點.（1）求證：平面平面；（2）當，平面與平面夾角的余弦值為時，求點到直線的距離.解：（1）過作交弧上一點，連結，如圖所示：則為弧的中點，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以.由題意可知，，為等腰直角三角形，則；因為為弧的中點，所以,則為等腰直角三角形，則，所以，則,因，則，又，又因為、面，所以平面，因為面，所以平面平面.（2）由題意知，兩兩垂直，所以為坐標原點，以分別為軸，軸，軸的空間直角坐標系，如圖所示：設，又，則，，，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則，即，令，，設平面的一個法向量為，則，即，令，，設平面與平面的夾角為，解得（負舍），所以，，，則，所以點到直線的距離為.16.閱讀是人類獲取知識、啟智增慧、培養(yǎng)道德的重要途徑.某年級共有學生500人，其中男生300人，女生200人，為了解學生每個學期的閱讀時長，采用分層抽樣的方法抽取樣本，收集統(tǒng)計了他們的閱讀時長（單位：小時），計算得男生樣本的均值為100，標準差為16，女生樣本的均值為90，標準差為19.（1）如果男、女的樣本量都是25，請估計總樣本的均值.以該結果估計總體均值合適嗎？為什么？（2）已知總體劃分為2層，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，.記總的樣本的均值為，樣本方差為.（ⅰ）證明：；（ⅱ）如果已知男、女樣本量按比例分配，請直接寫出總樣本的均值和標準差（精確到1）：（3）假設全年級學生的閱讀時長服從正態(tài)分布，以（ⅱ）總樣本的均值和標準差分別作為和的估計值.如果按照的比例將閱讀時長從高到低依次劃分為，，，四個等級，試確定各等級時長（精確到1）.附：，，，.（1）解：總樣本的均值為.用該結果作為總體均值的估計不合適，因為男生和女生的閱讀習慣差異比較大，這個樣本的分布與的分布相差可能比較大，所以總樣本均值作為總體均值的估計有偏差.（2）（?。┳C明：根據(jù)方差的定義，總樣本方差為.∵，同理.因此，.（ⅱ）解：因為是按比例分配分層隨機抽樣，所以，得男生樣本的均值為，方差為，女生樣本的均值為，方差為，記總樣本的均值為，方差為，則，所以又，所以.總樣本的均值為96，標準差約為18.（3）解：由（2）知，，所以服從正態(tài)分布，所以，，故可將定為等級，定為等級，定為等級，定為等級.17.已知函數(shù)（）.（1）求在區(qū)間上的最大值與最小值；（2）當時，求證：.（1）解：（）（），令，則，當時，，所以在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調遞增，所以，.當時，，則當時，，在區(qū)間上單調遞減；當時，，在區(qū)間上單調遞增，所以，而，.所以綜上所述，當時，，；當時，所以，.（2）證明：方法一：隱零點法因為，，所以，欲證，只需證明，設，（），，令，易知在上單調遞增，而，，所以由零點的存在性定理可知，存在唯一的使得，即，因此，，當時，，，在上單調遞減；當時，，，在上單調遞增；所以所以，因此.方法二：（同構）因為，，所以，欲證，只需證明，只需證明，因此構造函數(shù)（），，當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增：所以，所以，所以，因此.18.已知拋物線：，直線與拋物線交于，兩點，為坐標原點.（1）若直線過的焦點.(i)當?shù)拿娣e最小時，求直線的方程；(ii)當，記的外接圓與的另一個交點為，求；（2）設圓（，）與交于四點，，，，記弦，的中點分別為，，求證：線段被定點平分，并求定點坐標.解：（1）由題意可知直線不會與拋物線對稱軸平行，設，.因為過，設直線為，與方差聯(lián)立可得：，所以有，.（?。c到直線的距離為，又因為：，所以.當，的面積取得最小值2，此時直線方程為.（ⅱ）解法一：設，，，若垂直于軸，此時，所以由可知斜率存在，因為弦過拋物線的焦點，所以，由拋物線定義可知，，所以，即，因為，，所以，解得.因為、、、四點共圓,所以和相等或互補，記、、、的傾斜角分別為、、、，斜率分別為、、、，所以，所以，即，又因為，同理有：、、代入可得：，解得：，即，所以，結合可知，所以.解法二：圓經(jīng)過點，所以可設圓為，與拋物線聯(lián)立可得：，此方程有4個不同的解0、、、，所以聯(lián)立方程可化簡為，又因為，，所以，后面同解法一.（2）如圖所示，設，，，所以，，中點為，類比第二問解法二，可知，.由第二問解法二可知，所以：，所以，，所以，即線段被定點平分.故定點坐標為.19.若無窮項數(shù)列滿足（，，為常數(shù)，且），則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）設，，若首項為1的數(shù)列為“數(shù)列”，求；（2）若首項為1的等比數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的通項公式及前項和；（3）設，，若首項為1的數(shù)列為“數(shù)列”，記數(shù)列的前項和為，求所有滿足的值.解：（1）由題意有，，，，則，，，，，，，，，，…一般有，，,所以（2）數(shù)列是首項為1的等比數(shù)列，設其公比為，又為數(shù)列，，，當時，，，.有，又，，，于是得，解得，有或，當時，，，為數(shù)列，當時，，，為數(shù)列，當時，則，，構成以為公差的等差數(shù)列，即，有，解得，于是得，，，為數(shù)列，所以①當，，是大于1的任意正整數(shù)，則，；②當，，，則，.（3）依題意，，，，數(shù)列為“數(shù)列”，則，，，，，，，，，，，…，，，，是公差為1的等差數(shù)列，且,所以且,所以數(shù)列是以首項為9，公比為2的等比數(shù)列，所以,即,即,所以所以，即，化簡得，代入，等式成立.因為當時，，所以當，方程無解，綜上所述，滿足成立的值為1.廣東省廣州市2024屆普通高中畢業(yè)班沖刺訓練題（二）數(shù)學試題一、單項選擇題1.的展開式中常數(shù)項是（）A.15 B.160 C. D.〖答案〗D〖解析〗由二項式的展開式的通項公式為，令，可得，所以常數(shù)項為.故選：D2已知向量，滿足，，且，則()A. B. C.2 D.4〖答案〗D〖解析〗，，又，，，，．故選：D．3.等差數(shù)列的首項為1，公差不為0．若成等比數(shù)列，則的前5項和為（）A. B. C.5 D.25〖答案〗A〖解析〗設等差數(shù)列的公差為，則，，，由題意可知，，即，解得：或（舍），則數(shù)列的前5項和.故選：A4.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗對于A，可以取，，，此時，所以A錯誤.對于B：∵，∴，因為，所以，故B正確；對于C：取，時，則，，，則，故C錯誤；對于D：當，時，，，則，故D錯誤；故選：B.5.已知函數(shù)，則“”是“是偶函數(shù)，且是奇函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因為，則，，若是奇函數(shù)，則，解得，若是偶函數(shù)，則，解得，所以若是偶函數(shù)且是奇函數(shù)，則，所以由推得出是偶函數(shù)，且是奇函數(shù)，故充分性成立；由是偶函數(shù)，且是奇函數(shù)推不出，故必要性不成立，所以“”是“是偶函數(shù)，且是奇函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.6.如圖所示，某同學制作了一個工藝品.該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為8的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合）.若其中一截面圓的周長為，則球的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設球的半徑為，截面圓的半徑為，兩個截面圓間的距離為，因為截面圓的周長為，可得，解得，又因為該工藝品可以看成是一個球被一個棱為8的正方體的六個面所截后剩余的部分，所以兩截面圓之間的距離為，解得，根據(jù)球的截面的性質，可得，即（負值已舍去），所以球的體積為.故選：C.7.已知雙曲線：（，）的右焦點為，一條漸近線的方程為，直線與在第一象限內的交點為.若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知，雙曲線的兩條漸近線方程分別為，.設點坐標為，右焦點.由得，解得：，因為是雙曲線得一條漸近性，所以，則，將代入雙曲線方程，得.因為，點在第一象限內，所以，點在直線上，所以，解得：.故選：C8.已知直線恒在曲線的上方，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設直線與曲線切于點，則，所以切線方程為，所以，，所以，設，，當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以.故選：A.二、多項選擇題9.已知，為異面直線，平面，平面.若直線滿足，，，，則下面結論錯誤的是（）A.， B.與相交，且交線平行于C.， D.與相交，且交線垂直于〖答案〗ACD〖解析〗A選項，假設，因為平面，平面，則，這與直線，為異面直線矛盾，故A錯誤；C選項，假設，因為平面，所以，這與矛盾，故C錯誤；BD選項，設，作，使得與相交，記與構成平面，如圖，因為平面，，則，又，故，同理：，而與構成平面，所以；因為，又，故，又，與構成平面，所以，故而，即與的交線平行于，故B正確，D錯誤；故選：ACD.10.已知橢圓：（）的左、右焦點為，，過的直線與交于，兩點.若，.則（）A.的周長為 B.C.的斜率為 D.橢圓的離心率為〖答案〗ABD〖解析〗對于A：過的直線與交于，兩點且，，連接，的平分線交于點，如圖所示：則的周長等于故A正確；對于B：設，，則，而.設，則，于是，即.由，得,又，得，所以，故B正確；對于C：在，由余弦定理可得：，則，即.在中，，又是中點，所以，則，于是，所以的斜率為點在軸上方時，在軸下方時，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，及導函數(shù)，的定義域均為.若是奇函數(shù)，且，，則（）A. B.是偶函數(shù)C. D.〖答案〗CD〖解析〗因為，所以（，）.又因為，所以，.則，所以.于是可得，令，則，所以.所以，所以，又因為，所以，即①因為是奇函數(shù)，所以②，，，所以A錯誤.由①②得，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).因為，因此函數(shù)也是周期為4的函數(shù).又的圖像關于點對稱，所以的圖像關于點對稱，所以B選項不正確.因為，令，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C選項正確.因為，所以，，，，則有，可得，所以D選項正確.故選：CD.三、填空題12.已知，是關于的實系數(shù)方程的一個根，則______.〖答案〗-32〖解析〗已知，則，，為實系數(shù)方程的一個根.方法1：將代入方程有，化簡得.所以，解得，，所以.方法2：因為，都是方程的根，由韋達定理有，，所以.故〖答案〗為：-32.13.已知中，點在邊上，，，，則的面積為______；若，則______.〖答案〗〖解析〗由正弦定理得，由余弦定理得，代入化簡得，解得，.所以.方法1：由，得，.所以，，即.方法2：在中，.由，得，于是，在中，，所以.故〖答案〗為：；.14.如圖所示，一個質點在隨機外力的作用下，從原點出發(fā)，每隔等可能地向左或向右移動一個單位，共移動5次.該質點在有且僅有一次經(jīng)過位置的條件下，共經(jīng)過兩次1位置的概率為______.〖答案〗〖解析〗設事件“有且僅有一次經(jīng)過”，事件“共經(jīng)過兩次位置1”，按到位置需要1步，3步，5步分類討論.記向左，向右，①若1步到位為事件，則滿足要求的是，（第5步無關），，（第5步無關），所以；②若3步到位為事件，則滿足要求的是，所以；③若5步到位為事件，則滿足要求的是，所以，所以滿足的情況有：，，，，所以所以.故〖答案〗為：四、解答題15.如圖所示的空間幾何體是以為軸的圓柱與以為軸截面的半圓柱拼接而成，其中為半圓柱的母線，點為弧的中點.（1）求證：平面平面；（2）當，平面與平面夾角的余弦值為時，求點到直線的距離.解：（1）過作交弧上一點，連結，如圖所示：則為弧的中點，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以.由題意可知，，為等腰直角三角形，則；因為為弧的中點，所以,則為等腰直角三角形，則，所以，則,因，則，又，又因為、面，所以平面，因為面，所以平面平面.（2）由題意知，兩兩垂直，所以為坐標原點，以分別為軸，軸，軸的空間直角坐標系，如圖所示：設，又，則，，，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則，即，令，，設平面的一個法向量為，則，即，令，，設平面與平面的夾角為，解得（負舍），所以，，，則，所以點到直線的距離為.16.閱讀是人類獲取知識、啟智增慧、培養(yǎng)道德的重要途徑.某年級共有學生500人，其中男生300人，女生200人，為了解學生每個學期的閱讀時長，采用分層抽樣的方法抽取樣本，收集統(tǒng)計了他們的閱讀時長（單位：小時），計算得男生樣本的均值為100，標準差為16，女生樣本的均值為90，標準差為19.（1）如果男、女的樣本量都是25，請估計總樣本的均值.以該結果估計總體均值合適嗎？為什么？（2）已知總體劃分為2層，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，.記總的樣本的均值為，樣本方差為.（?。┳C明：；（ⅱ）如果已知男、女樣本量按比例分配，請直接寫出總樣本的均值和標準差（精確到1）：（3）假設全年級學生的閱讀時長服從正態(tài)分布，以（ⅱ）總樣本的均值和標準差分別作為和的估計值.如果按照的比例將閱讀時長從高到低依次劃分為，，，四個等級，試確定各等級時長（精確到1）.附：，，，.（1）解：總樣本的均值為.用該結果作為總體均值的估計不合適，因為男生和女生的閱讀習慣差異比較大，這個樣本的分布與的分布相差可能比較大，所以總樣本均值作為總體均值的估計有偏差.（2）（ⅰ）證明：根據(jù)方差的定義，總樣本方差為.∵，同理.因此，.（ⅱ）解：因為是按比例分配分層隨機抽樣，所以，得男生樣本的均值為，方差為，女生樣本的均值為，方差為，記總樣本的均值為，方差為，則，所以又，所以.總樣本的均值為96，標準差約為18.（3）解：由（2）知，，所以服從正態(tài)分布，所以，，故可將定為等級，定為等級，定為等級，定為等級.17.已知函數(shù)（）.（1）求在區(qū)間上的最大值與最小值；（2）當時，求證：.（1）解：（）（），令，則，當時，，所以在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調遞增，所以，.當時，，則當時，，在區(qū)間上單調遞減；當時，，在區(qū)間上單調遞增，所以，而，.所以綜上所述，當時，，；當時，所以，.（2）證明：方法一：隱零點法因為，，所以，欲證，只需證明，設，（），，令，易知在上單調遞增，而，，所以由零點的存在性定理可知，存在唯一的使得，即，因此，，當時，，，在上單調遞減；當時，，，在上單調遞增；所以所以，因此.方法二：（同構）因為，，所以，欲證，只需證明，只需證明，因此構造函數(shù)（），，當時，，在上單調遞減；當時