2024屆河北省保定市高三下學期第二次模擬考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3河北省保定市2024屆高三下學期第二次模擬考試數(shù)學試題一、選擇題1.設集合,且,則（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗因為，所以是方程，即，得，當時，，解得：，此時，滿足，所以．故選：C.2.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以．故選：A.3.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設，則，所以為奇函數(shù)，設，可知為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，則B，C錯誤，易知，所以A正確，D錯誤．故選：A.4.如圖，在正四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗連接，如圖所示，正四棱柱中，有且，四邊形為平行四邊形，則有，則就是異面直線與所成的角．設，則，中，由余弦定理得．故選：C.5.已知雙曲線的離心率為方程的解，則的漸近線的斜率的絕對值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為方程的解為或，且雙曲線的離心率大于1，所以．由，解得．故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，解得或（舍去），所以．故選：B.7.6名同學想平均分成兩組進行半場籃球比賽，有同學提出用“剪刀、石頭、布”游戲決定分組．當大家同時展示各自選擇的手勢（剪刀、石頭或布）時，如果恰好只有3個人手勢一樣，或有3個人手勢為上述手勢中的同一種，另外3個人手勢為剩余兩種手勢中的同一種，那么同手勢的3個人為一組，其他人為另一組，則下列結論正確的是（）A.在進行該游戲前將6人平均分成兩組，共有20種分組方案B.一次游戲共有種手勢結果C.一次游戲分不出組的概率為D.兩次游戲才分出組的概率為〖答案〗D〖解析〗對A，一共有種分組方案，A錯誤．對B，每人有3種選擇，所以一次游戲共有種手勢結果，B錯誤．對CD，要分出組，有兩類情況．第一類情況，首先確定3個人出一樣的手勢，再確定另外2個人出其他兩種手勢中的一種，最后1個人出剩下的手勢，所以能分出組的手勢結果有種．第二類情況，當其中3個人出同一種手勢，另外3個人出剩余兩種手勢中的同一種時，能分出組的手勢結果有種，所以一次游戲就分出組的概率為，所以一次游戲分不出組的概率為，C錯誤．兩次游戲才分出組的概率為，D正確．故選：D8.已知橢圓的左、右焦點分別為是上的點，且在第一象限，是的角平分線，過點作的垂線,垂足為，若，則的離心率為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，延長交于點，可知，所以，所以．故選：B.二、選擇題9.下圖是2023年5月1日至5月5日某旅游城市每天最高氣溫與最低氣溫（單位：℃）的折線圖，則下列結論正確的是（）A.這5天的最高氣溫的平均數(shù)與最低氣溫的中位數(shù)的差為B.這5天的最低氣溫的極差為C.這5天的最高氣溫的眾數(shù)是D.這5天的最低氣溫的第40百分位數(shù)是〖答案〗ACD〖解析〗對于A，這5天的最高氣溫的平均數(shù)為，最低氣溫的中位數(shù)為，它們的差為，A正確．對于B，這5天的最低氣溫的極差為，B錯誤．對于C，這5天的最高氣溫的眾數(shù)為，C正確．對于D，最低氣溫從小到大排列為，且，所以這5天的最低氣溫的第40百分位數(shù)是，D正確．故選：ACD10.已知直四棱柱的側棱長為3,底面是邊長為2的菱形,為棱上的一點，且為底面內(nèi)一動點（含邊界），則下列命題正確的是（）A.若與平面所成角為，則點的軌跡與直四棱柱的交線長為B.若點到平面的距離為，則三棱錐體積的最大值為C.若以為球心的球經(jīng)過點，則該球與直四棱柱的公共部分的體積為D.經(jīng)過三點的平面截直四棱柱所得的截面面積為4〖答案〗AD〖解析〗如圖，對于A，可知軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，所以點的軌跡與直四棱柱的交線為圓弧，圓弧長為，故A正確．對于B，可知點在線段上，所以當點與點重合時，三棱錐體積最大，且最大值為，所以B錯誤．對于C，可知該球的半徑為1，球與直四棱柱的公共部分的體積為，所以C錯誤．對于D，經(jīng)過三點的平面截直四棱柱所得的截面為平行四邊形，其中，可得．設的中點為的中點為，連接，可得平面，所以，求得，所以，D正確．故選：AD11.已知定義域為的函數(shù)滿足，則（）A.B.C.是奇函數(shù)D.存在函數(shù)以及，使得的值為〖答案〗ACD〖解析〗由，取，得，A正確．取，得，解得．取，得，所以，B錯誤．取，得，所以是奇函數(shù)，C正確．當時，在兩邊同時除以，得，令，則，當時，，所以，所以，D正確．故選：ACD三、填空題12.已知向量的夾角的余弦值為，，且，則_______．〖答案〗4〖解析〗向量的夾角的余弦值為，，則，由，解得(負值舍去)．故〖答案〗為：4.13.在等比數(shù)列中，，則_______．〖答案〗〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，由，得，由，得，所以.故〖答案〗為：14.已知點為圓上位于第一象限內(nèi)的點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，直線分別交軸于兩點，則_______，_______．〖答案〗2〖解析〗圓的標準方程為，圓心，則為的角平分線，所以．設，則，所以，則，即，解得，則，所以點與重合，此時，可得，所以．故〖答案〗為：；四、解答題15.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為邊的中點，求的長.解：（1）因為，根據(jù)正弦定理，得，化簡得，因為，所以，因為，所以.（2）在中，由余弦定理得，所以，解得．因為為的中線，所以，所以，因為，所以，解得.16.某青少年跳水隊共有100人，在強化訓練前、后，教練組對他們進行了成績測試，分別得到如圖1所示的強化訓練前的頻率分布直方圖，如圖2所示的強化訓練后的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計強化訓練后的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）與成績的中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）.（2）我們規(guī)定得分80分以上（含80分）的為“優(yōu)秀”，低于80分的為“非優(yōu)秀”.

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計強化訓練前

強化訓練后

合計

將上面的表格補充完整，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷跳水運動員是否優(yōu)秀與強化訓練有關？附：.0.050.0100.0050.0013.84166357.87910.828解：（1）強化訓練后的平均成績約為.由于前三列概率之和為，設中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)約為83.13.（2）零假設為跳水運動員是否優(yōu)秀與強化訓練無關.補充完整的表格為

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計強化訓練前4060100強化訓練后6040100合計100100200則，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為跳水運動員是否優(yōu)秀與強化訓練有關.17.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，分別為的中點，且．（1）證明：．（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：連接，因為底面是菱形，分別為的中點，所以，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以．（2）解：因為是的中點，所以．又，平面，所以平面．連接，以為坐標原點的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示．設，則，，，．設是平面的法向量，由，得取，可得，設是平面的法向量，由得取，可得，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為．18.已知拋物線的焦點為，過作互相垂直的直線，分別與交于和兩點（A，D在第一象限），當直線的傾斜角等于時，四邊形的面積為．（1）求C的方程；（2）設直線AD與BE交于點Q，證明：點在定直線上．解：（1）當直線的傾斜角等于時，直線的傾斜角等于，直線的方程為，由拋物線的對稱性知，所以，得．聯(lián)立方程組，消去得．設兩點的橫坐標分別為，則，．又，所以，所以的方程為．（2）由（1）知，依題意，可設直線的方程為，則直線的方程為．聯(lián)立方程組消去得，顯然，設，則．設，同理可得，所以，同理可得．直線的方程為，即．同理，直線的方程為．兩直線方程聯(lián)立得，解得，即直線與的交點在定直線上．19.已知函數(shù)為其導函數(shù)．（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）若存在兩個不同的正數(shù)，使得，證明：．（1）解：，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減．所以，解得，即的取值范圍為．（2）證明：不妨設，則，要證，即證，則證，則證，所以只需證，即．令，則，．當時，，則，所以在上單調(diào)遞減，則．所以．由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，從而成立．河北省保定市2024屆高三下學期第二次模擬考試數(shù)學試題一、選擇題1.設集合,且,則（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗因為，所以是方程，即，得，當時，，解得：，此時，滿足，所以．故選：C.2.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以．故選：A.3.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設，則，所以為奇函數(shù)，設，可知為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，則B，C錯誤，易知，所以A正確，D錯誤．故選：A.4.如圖，在正四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗連接，如圖所示，正四棱柱中，有且，四邊形為平行四邊形，則有，則就是異面直線與所成的角．設，則，中，由余弦定理得．故選：C.5.已知雙曲線的離心率為方程的解，則的漸近線的斜率的絕對值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為方程的解為或，且雙曲線的離心率大于1，所以．由，解得．故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，解得或（舍去），所以．故選：B.7.6名同學想平均分成兩組進行半場籃球比賽，有同學提出用“剪刀、石頭、布”游戲決定分組．當大家同時展示各自選擇的手勢（剪刀、石頭或布）時，如果恰好只有3個人手勢一樣，或有3個人手勢為上述手勢中的同一種，另外3個人手勢為剩余兩種手勢中的同一種，那么同手勢的3個人為一組，其他人為另一組，則下列結論正確的是（）A.在進行該游戲前將6人平均分成兩組，共有20種分組方案B.一次游戲共有種手勢結果C.一次游戲分不出組的概率為D.兩次游戲才分出組的概率為〖答案〗D〖解析〗對A，一共有種分組方案，A錯誤．對B，每人有3種選擇，所以一次游戲共有種手勢結果，B錯誤．對CD，要分出組，有兩類情況．第一類情況，首先確定3個人出一樣的手勢，再確定另外2個人出其他兩種手勢中的一種，最后1個人出剩下的手勢，所以能分出組的手勢結果有種．第二類情況，當其中3個人出同一種手勢，另外3個人出剩余兩種手勢中的同一種時，能分出組的手勢結果有種，所以一次游戲就分出組的概率為，所以一次游戲分不出組的概率為，C錯誤．兩次游戲才分出組的概率為，D正確．故選：D8.已知橢圓的左、右焦點分別為是上的點，且在第一象限，是的角平分線，過點作的垂線,垂足為，若，則的離心率為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，延長交于點，可知，所以，所以．故選：B.二、選擇題9.下圖是2023年5月1日至5月5日某旅游城市每天最高氣溫與最低氣溫（單位：℃）的折線圖，則下列結論正確的是（）A.這5天的最高氣溫的平均數(shù)與最低氣溫的中位數(shù)的差為B.這5天的最低氣溫的極差為C.這5天的最高氣溫的眾數(shù)是D.這5天的最低氣溫的第40百分位數(shù)是〖答案〗ACD〖解析〗對于A，這5天的最高氣溫的平均數(shù)為，最低氣溫的中位數(shù)為，它們的差為，A正確．對于B，這5天的最低氣溫的極差為，B錯誤．對于C，這5天的最高氣溫的眾數(shù)為，C正確．對于D，最低氣溫從小到大排列為，且，所以這5天的最低氣溫的第40百分位數(shù)是，D正確．故選：ACD10.已知直四棱柱的側棱長為3,底面是邊長為2的菱形,為棱上的一點，且為底面內(nèi)一動點（含邊界），則下列命題正確的是（）A.若與平面所成角為，則點的軌跡與直四棱柱的交線長為B.若點到平面的距離為，則三棱錐體積的最大值為C.若以為球心的球經(jīng)過點，則該球與直四棱柱的公共部分的體積為D.經(jīng)過三點的平面截直四棱柱所得的截面面積為4〖答案〗AD〖解析〗如圖，對于A，可知軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，所以點的軌跡與直四棱柱的交線為圓弧，圓弧長為，故A正確．對于B，可知點在線段上，所以當點與點重合時，三棱錐體積最大，且最大值為，所以B錯誤．對于C，可知該球的半徑為1，球與直四棱柱的公共部分的體積為，所以C錯誤．對于D，經(jīng)過三點的平面截直四棱柱所得的截面為平行四邊形，其中，可得．設的中點為的中點為，連接，可得平面，所以，求得，所以，D正確．故選：AD11.已知定義域為的函數(shù)滿足，則（）A.B.C.是奇函數(shù)D.存在函數(shù)以及，使得的值為〖答案〗ACD〖解析〗由，取，得，A正確．取，得，解得．取，得，所以，B錯誤．取，得，所以是奇函數(shù)，C正確．當時，在兩邊同時除以，得，令，則，當時，，所以，所以，D正確．故選：ACD三、填空題12.已知向量的夾角的余弦值為，，且，則_______．〖答案〗4〖解析〗向量的夾角的余弦值為，，則，由，解得(負值舍去)．故〖答案〗為：4.13.在等比數(shù)列中，，則_______．〖答案〗〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，由，得，由，得，所以.故〖答案〗為：14.已知點為圓上位于第一象限內(nèi)的點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，直線分別交軸于兩點，則_______，_______．〖答案〗2〖解析〗圓的標準方程為，圓心，則為的角平分線，所以．設，則，所以，則，即，解得，則，所以點與重合，此時，可得，所以．故〖答案〗為：；四、解答題15.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為邊的中點，求的長.解：（1）因為，根據(jù)正弦定理，得，化簡得，因為，所以，因為，所以.（2）在中，由余弦定理得，所以，解得．因為為的中線，所以，所以，因為，所以，解得.16.某青少年跳水隊共有100人，在強化訓練前、后，教練組對他們進行了成績測試，分別得到如圖1所示的強化訓練前的頻率分布直方圖，如圖2所示的強化訓練后的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計強化訓練后的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）與成績的中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）.（2）我們規(guī)定得分80分以上（含80分）的為“優(yōu)秀”，低于80分的為“非優(yōu)秀”.

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計強化訓練前

強化訓練后

合計

將上面的表格補充完整，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷跳水運動員是否優(yōu)秀與強化訓練有關？附：.0.050.0100.0050.0013.84166357.87910.828解：（1）強化訓練后的平均成績約為.由于前三列概率之和為，設中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)約為83.13.（2）零假設為跳水運動員是否優(yōu)秀與強化訓練無關.補充完整的表格為

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計強化訓練前4060100強化訓練后6040100合計100100200則，根據(jù)小概率值的獨立性