專題13探索三角形相似的條件（5個知識點4種題型1種中考考法）（解析版）-初中數(shù)學北師大版9年級上冊

專題13探索三角形相似的條件（5個知識點4種題型1種中考考法）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.相似三角形的概念（重點）知識點2.相似三角形的判定方法1（重點）知識點3.相似三角形的判定方法2（重點）（難點）知識點4.相似三角形的判定方法3（重點）知識點5.黃金分割的有關(guān)概念【方法二】實例探索法題型1.相似三角形的判定題型2.相似三角形判定與性質(zhì)的綜合應用題型3.通過判定三角形相似得到比例式題型4.通過判定三角形相似說明黃金分割點【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法.相似三角形的判定【方法四】成果評定法【學習目標】了解相似三角形的概念。熟練掌握三角形相似的判定方法，并能靈活運用判定定理判斷兩個三角形是否相似。能綜合運用相似三角形的判定定理解決簡單的問題。了解黃金分割的概念及黃金比，能作出線段的黃金分割點，并會求滿足黃金分割的線段的長，體會黃金分割的美?！局R導圖】【倍速學習四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.相似三角形的概念（重點）定義三角分別相等，三邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形。如圖：在ABC和DEF中，相似三角形的“三性”：對應性、順序性、傳遞性【例1】下列能夠相似的一組三角形為().

A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一組直角相等，其他的角是否對應相等不可知；B中什么條件都不滿足；D中只有一條對應邊的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角組成的三角形，且對應邊的比也相等.答案選C.知識點2.相似三角形的判定方法1（重點）如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應相等，那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩角對應相等，兩個三角形相似．如圖，在與中，如果、，那么．常見模型如下：【例2】如圖，與中，，；證明：．

【分析】根據(jù)，得出，進而可得出結(jié)論．解：∵，∴，∴，∵，∴．【點撥】本題考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．知識點3.相似三角形的判定方法2（重點）（難點）如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似．如圖，在與中，，，那么．AABCA1B1C1【例3】已知如圖，D，E分別是的邊上的點，．求證：．【分析】根據(jù)“兩條邊對應成比例，且夾角相等的兩三角形相似”即可求證．解：∵，又∵，∴．【點撥】本題考查相似三角形的判定．熟記相關(guān)判定定理是解題的關(guān)鍵．知識點4.相似三角形的判定方法3（重點）如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似．可簡述為：三邊對應成比例，兩個三角形相似．如圖，在與中，如果，那么∽．AABCA1B1C1【例4】如圖判斷方格中的兩個三角形是否相似，并說明理由．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理判斷即可．解：相似，理由如下：∵在中，，，，在中，，，，∵，，，∴，∴．【點撥】本題考查了相似三角形的判定，熟知其判定定理是解題的關(guān)鍵．知識點5.黃金分割的有關(guān)概念黃金分割：一般地，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC（如圖），如果，則稱線段AB被點C黃金分割，點C叫線段AB的黃金分割點，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對于線段AB而言，黃金分割點有兩個．）【例5】已知線段的長度為，點P在線段上，，求線段的長．【答案】．【解析】根據(jù)題意，即有，解得，點是黃金分割點．【總結(jié)】考查黃金分割點的定義．【變式1】（1）點是線段的黃金分割點，，厘米，求的長；（2）已知點是線段的黃金分割點，，求的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）根據(jù)黃金分割點定義，且，可知，此時；線段的黃金分割點有兩個，與原線段比例分別為和，故或．【總結(jié)】注意黃金分割點和黃金分割的區(qū)別，一條線段的黃金分割點有兩個，滿足黃金分割黃金比的只有一個．【變式2】如圖，以長為的線段為邊作正方形，取的中點，連接．在的延長線上取點，使．以為邊作正方形，點在上．（1）求線段、的長；（2）求證：；（3）請指出圖中的黃金分割點．【解析】（1）是的中點，，可知，根據(jù)勾股定理得：，則，，；證明：，即證；根據(jù)定義可知是線段的黃金分割點，類似的，我們可以得到，可知是線段的黃金分割點．【總結(jié)】考查黃金比的綜合應用，黃金分割題目中容易出現(xiàn)別的黃金分割．【方法二】實例探索法題型1.相似三角形的判定1．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知如圖，D，E分別是的邊上的點，．求證：．【分析】根據(jù)“兩條邊對應成比例，且夾角相等的兩三角形相似”即可求證．【詳解】證明：∵，又∵，∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定．熟記相關(guān)判定定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖，四邊形的對角線與相交于點，，，，．求證：與是相似三角形．

【分析】對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形是相似三角形，由此證明即可．【詳解】證明：，，，，，．，與是相似三角形．【點睛】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形判定定理：對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形是相似三角形．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，點，分別在的邊，上，且，，，，求證：．

【分析】根據(jù)已知線段長證，結(jié)合，兩邊對應成比例，夾角相等的兩個三角形相似，可證．【詳解】證明：，，，，，，，，，，（兩邊對應成比例，夾角相等的兩個三角形相似）【點睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·湖南衡陽·九年級?？茧A段練習）如圖，點A、B、E、D在同一條直線上，，，求證：．

【分析】根據(jù)，，得到，即可得證．【詳解】證明：∵點A、B、E、D在同一條直線上，，，∴，∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定．熟練掌握相似三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·吉林長春·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，點是的邊上的一點，點為上的一點，若，，求證：．

【分析】先根據(jù)等邊對等角得到，進而得到，再由即可證明．【詳解】證明：，，

，

，

．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊對等角，熟知兩組角對應相等的兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在正方形中，E是的中點，點F在上，且．

(1)求證：；(2)與相似嗎？為什么？【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得,，再根據(jù)可得，進而說明，再結(jié)合，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)，利用E為邊的中點，，得到，則可計算出,由勾股定理逆定理可得以及再說明即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：∵正方形，∴,∵，∴，∵點F在上，∴,∴,∵,∴．（2）解：與相似，理由如下：設(shè)，∵E為邊的中點，，∴，∴，,,∴,即,∴,∵,∴,∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定、正方形的性質(zhì)、勾股定理逆定理等知識點，掌握兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市第一二六中學?？茧A段練習）如圖，，且，求證：．

【分析】由已知條件得到：，．則由“兩邊及夾角法”證得結(jié)論．【詳解】證明：，．又，，即，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定．熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8.如圖，點D為內(nèi)一點，點E為外一點，且滿足．求證：∽．AABCDE【解析】． ，即． ． ∽．【總結(jié)】本題考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性質(zhì)知識．題型2.相似三角形判定與性質(zhì)的綜合應用9.如圖，已知，下列條件中不能判斷和相似的是（

）A． B．平分C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理，結(jié)合平行線的性質(zhì)可判斷A；結(jié)合角平分線的定義可判斷B；結(jié)合直角三角形兩個銳角互余可判斷C；D選項沒有條件可判斷和相似．解：∵，∴，∵，∴，故A能判斷，不符合題意；∵平分，∴．∵，∴，故B能判斷，不符合題意；∵∴，∴．∵，∴．∵，故C能判斷，不符合題意；∵，結(jié)合題意沒有滿足使和相似的條件，∴不能判斷，符合題意．故選D．【點撥】本題主要考查三角形相似的判定．掌握三角形相似的判定定理是解題關(guān)鍵．10.如圖，矩形的兩條對角線相交于點O，，垂足為E，F(xiàn)是的中點，連接交于點P，那么．【答案】【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得到，利用三角形的三線合一得，過O作交于點Q，則有，，計算即可．解：∵是矩形，∴，∵F是的中點，∴，又∵，∴，過O作交于點Q，∴，，∴，故答案為：．【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．11.已知：如圖，在中，，，，點D在BC邊上， 且．（1）求AD的長；（2）取AD、AB的中點E、F，聯(lián)結(jié)CE、CF、EF．求證：∽．AABCDEF【解析】（1），， ． ． 在中，．（2）點分別是AD、AB的中點， ． 在、中，，． ， ∽．【總結(jié)】本題考查相似三角形的判定定理3、直角三角形的性質(zhì)和三角形中位線等知識．12.如圖，在中，為上一點，且滿足．（1）求證：；（2）當時，，，求的長．【分析】（1）由三角形外角的性質(zhì)和角的和差可得，再結(jié)合可得，然后結(jié)合運用兩組對應角相等的三角形是相似三角形即可證明結(jié)論；（2）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、等量代換可得，即是的角平分線、，進而說明，最后根據(jù)角平分線的判定定理即可解答．（1）解：∵，，∴，∵，∴．（2）解：作于H．

∵，，∴，∵，∴，∵∴，即是的角平分線，∴，∵∴,∵是的角平分線，，，∴．【點撥】本題主要考查了相似三角形的判定、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的判定定理、30度所對的直角邊等于斜邊的一半等知識點，靈活運用相關(guān)判定、性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．題型3.通過判定三角形相似得到比例式13.如圖，在中，，于D，E為AC上一點， 于F，聯(lián)結(jié)DF． 求證：．AABCDEF【解析】證明：，，．又，．，即．同理，得：．，．又，．．【總結(jié)】本題考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性質(zhì)等知識．題型4.通過判定三角形相似說明黃金分割點14．（2023·山西運城·校聯(lián)考模擬預測）“黃金三角形”是幾何歷史上的瑰寶，它有兩種類型，其中一種是頂角為的等腰三角形，如圖，在中，，．

(1)實踐與操作：利用尺規(guī)作的平分線，交邊于點（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）；(2)猜想與證明：請你利用所學知識，證明點是邊的黃金分割點．【分析】（1）作的角平分線，交于點；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義可知，再證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）∵在中，，，∴，平分，∴，，，，，∵，，∴，：：，：：，∴，點是邊的黃金分割點．【點睛】本題考查了黃金分割，等腰三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)，以及尺規(guī)作圖等知識；熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法.相似三角形的判定1．（2021?湘潭）如圖，在△ABC中，點D，E分別為邊AB，AC上的點，試添加一個條件：，使得△ADE與△ABC相似．（任意寫出一個滿足條件的即可）【分析】根據(jù)相似三角形判定定理：兩個角相等的三角形相似；夾角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似，即可解題．【解答】解：添加∠ADE＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故答案為：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．【點評】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022?邵陽）如圖，在△ABC中，點D在AB邊上，點E在AC邊上，請?zhí)砑右粋€條件，使△ADE∽△ABC．【分析】要使兩三角形相似，已知一組角相等，則再添加一組角或公共角的兩邊對應成比例即可．【解答】解：∵∠A＝∠A，∴當∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝時，△ADE∽△ABC，故答案為：∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝（答案不唯一）．【點評】此題考查了相似三角形的判定的理解及運用，熟練應用相似三角形的判定是解題關(guān)鍵．3．（2023?大慶）在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點A對應的點記為點M，若點M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是．【分析】利用矩形的性質(zhì)得到∠D＝∠C＝90°，然后利用折疊的性質(zhì)推導出∠BMN＝∠A＝90°，進而得到∠DNM＝∠CMB，由此推斷出△NDM∽△MCB．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折疊的性質(zhì)可知，∠BMN＝∠A＝90°，∴∠DMN+∠CBM＝90°，∴∠DNM＝∠CMB，∴△NDM∽△MCB，故答案為：△MCB．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定、矩形的性質(zhì)以及翻折變換（折疊問題），熟練掌握相似三角形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵：兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．4．（2022?菏澤）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是邊AC上一點，且BE＝BC，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：△ADE∽△ABC．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠C＝∠CEB＝∠AED，由AD⊥BE可得∠D＝∠ABC＝90°，即可得△ADE∽△ABC．【解答】證明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB，∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED，∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△ABC．【點評】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．【方法四】成果評定法一、選擇題1．（2023秋·安徽蚌埠·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點在的邊上，添加一個條件可判斷，下列不滿足的條件是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法，逐項判斷即可．【詳解】解：∵在和中，，∴當時，滿足兩組角對應相等，可判斷，故A不符合題意．當時，滿足兩組角對應相等，可判斷，故B不符合題意．當時，其夾角不相等，則不能判斷，故C符合題意．當時，滿足兩邊對應成比例且夾角相等，可判斷，故D不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即在兩個三角形中，滿足三邊對應成比例、兩邊對應成比例且夾角相等或兩組角對應相等，則這兩個三角形相似．2．（2023秋·浙江·九年級專題練習）下列兩個三角形不一定相似的是（）A．兩個等邊三角形 B．兩個頂角是的等腰三角形C．兩個全等三角形 D．兩個直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理依次判斷．【詳解】解：A、兩個等邊三角形，所有的角都是，相等，可以判定兩三角形相似，故本選項錯誤；B、兩個頂角是的等腰三角形，兩個底角一定都是，可以判定兩三角形相似，故本選項錯誤；C、全等是相似的特殊情況，兩個全等三角形一定相似，故本選項錯誤；D、兩個直角三角形，只有一個直角對應相等，無法判定相似，故本選項正確．故選：D．【點睛】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·吉林長春·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在中，，將沿圖中的線剪開，下列四種剪開的方法中，剪下的陰影三角形與原三角形相似的是（

）

A．①② B．③④ C．①③ D．①③④【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可．【詳解】①陰影部分的三角形與原三角形有兩個角對應相等，故兩三角形相似；②陰影部分的三角形與原三角形僅有一個角對應相等，故兩三角形不一定相似；③兩三角形對應邊不僅滿足，且夾角相等，故兩三角形相似；④兩三角形對應邊雖然滿足，但夾角不一定相等相等，故兩三角形不一定相似；故正確的有：①③，故選：C．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023秋·全國·九年級專題練習）含角的直角三角板與含角的直角三角板如圖放置，它們的斜邊與斜邊相交于點E．下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法，進行判斷即可．【詳解】解：由圖可知：，∴，∴，∴；故選A．【點睛】本題考查相似三角形的判定．熟練掌握相似三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·九年級課時練習）如圖，根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，一定能得到（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意，推出，再根據(jù)相似三角形的判定條件即可得到答案．【詳解】解：，，，，，，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定條件是解題關(guān)鍵．6．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，每個小正方形的邊長均為，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與相似的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得：，，，然后根據(jù)三組對應邊的比相等的兩個三角形相似可對各選項進行判定即可．【詳解】解：∵每個小正方形的邊長均為，∴，，，A．該三角形的三邊分別為：，，，但，則這個三角形與不相似，故此選項不符合題意；B．該三角形的三邊分別為：，，，且，則這個三角形與相似，故此選項符合題意；C．該三角形的三邊分別為：，，，但，則這個三角形與不相似，故此選項不符合題意；D．該三角形的三邊分別為：，，，但，則這個三角形與不相似，故此選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，注意：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似．掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，每個小正方形邊長均為1，則圖中的三角形中與相似的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用相似三角形的判定方法結(jié)合正方形的性質(zhì)分析得出答案．【詳解】解：由題意可得：，，，，，，，，，又，．故選：B．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定，正確得出對應邊的關(guān)系是解題關(guān)鍵．8.（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）我們把寬與長的比等于5?12的矩形稱為黃金矩形．如圖，在黃金矩形ABCD（AB<BC）的邊BC上取一點E，使得CE=AB，連接AE，則BEABA．22 B．5?12 C．3?【答案】B【分析】設(shè)BC=a，根據(jù)黃金矩形的概念求出AB，結(jié)合圖形計算，得到答案．【詳解】解：設(shè)BC=a，∵矩形ABCD為黃金矩形，∴AB=5?12∴BE=a-5?12a=3?∴?BE故選：B．【點睛】本題考查的是黃金分割、矩形的性質(zhì)，掌握黃金比值為5?19.（2023春·遼寧丹東·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點C是線段AB的黃金分割點，且AC<BC，下列選項錯誤的是（

）A．BCAB≈0.618 C．BC2=AB?AC【答案】B【分析】根據(jù)黃金分割的定義得BCAB【詳解】解：∵點C是線段AB的黃金分割點，且AC<BC，∴BC∴BC2=AB?AC∴A、C、D選項不符合題意，故選：B．【點睛】本題考查了黃金分割，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割的定義：把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，這個比值為5?12，近似值為10．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知是中的邊上的一點，，的平分線交邊于，交于，那么下列三角形中與一定相似的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的判定方法得出,進而得出，即可得出．【詳解】∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故選:．【點睛】此題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是要識別兩三角形相似，掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應邊和對應角．二、填空題11．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，已知，請再添加一個條件，使，你添加的條件是（寫出一個即可）．【答案】或【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理即可進行解答．【詳解】解：添加，∵，∴；添加，∵，，∴；故答案為：或．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握：三邊分別成比例的兩個三角形相似；兩邊成比例，夾角相等的兩個三角形相似；有兩個角相等的兩個三角形相似．12．（2023秋·河南漯河·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點為中點，點在上，當為時，與以點A、D、E為頂點的三角形相似．

【答案】3或【分析】先得到，再分與兩種情況討論即可解答．【詳解】解：當時，∵，∴，∴，當時，∵，∴，∴，綜上，或，故答案為：3或．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的運用及熟練掌握相似三角形的判定定理．13．（2023秋·九年級課時練習）如圖，的高，相交于點，寫出一個與相似的三角形，這個三角形可以是．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)已知條件得，，推出，其他同理.【詳解】解：；證明：∵的高，相交于點，∴，∵，∴；故答案為：（答案不唯一）.【點睛】本題考查相似三角形的判定，三角形的高的定義，解題的關(guān)鍵是掌握有兩角對應的兩個三角形相似.14．（2023·全國·九年級專題練習）在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．有一張矩形紙片如圖所示，點在邊上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為，點對應的點記為點，若點恰好落在邊上，則圖中與一定相似的三角形是．

【答案】【分析】由矩形的性質(zhì)得，從而得到，由折疊的性質(zhì)可得：，從而得到，由此推斷出．【詳解】解：四邊形是矩形，，，由折疊的性質(zhì)可得：，，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定，是解題的關(guān)鍵．15.（2023春·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）已知線段AB=2，若C，D是AB的兩個黃金分割點，則CD長為．【答案】2【分析】根據(jù)黃金分割的概念先計算出AC，然后再計算AD，最后根據(jù)CD=【詳解】如圖，C，D是AB的兩個黃金分割點，設(shè)AC>BC，AD<BD根據(jù)題意得，AC∴AD∴CD=故答案為:25【點睛】本題考查了黃金分割的概念：把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值5?116.（2023春·全國·九年級統(tǒng)考期中）人體下半身與身高的比例越接近0.618，越給人美感．遺憾的是，即使芭蕾舞演員也達不到如此的完美．某女士身高1.68m，下半身1.02m，她應該選擇穿（精確到0.1cm）的高跟鞋看起來更美．【答案】4.8【分析】設(shè)她應選擇高跟鞋的高度是xcm，根據(jù)黃金分割的定義，列出方程直接求解即可．【詳解】設(shè)她應選擇高跟鞋的高度是xcm，則102+x168+x解得：x≈4.8cm．經(jīng)檢驗知x≈4.8是原方程的解，答：她應該選擇穿4.8cm的高跟鞋看起來更美．故答案為4.8．【點睛】此題主要考查了黃金分割，據(jù)題黃金分割的定義列出方程是本題的關(guān)鍵．注意身高不要忘記加上高跟鞋的高度．17.（2023春·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）如圖，線段AB=1，點C是線段AB的黃金分割點AC>BC，C1是線段AC的黃金分割點C1AC1>C1【答案】5【分析】先按照黃金分割比例依次計算出AC、AC1、AC【詳解】解：設(shè)AC=a，BC=BA?AC=1?a，∵點C是線段AB的黃金分割點AC>BC，∴BCAC即1?aa=a解得a=5?12∴ACAB=5∵C1是線段AC的黃金分割點C∴AC1AC∵C2是線段A∴AC2A∵AC=5?12、A∴以此類推，AC故答案為：5?1【點睛】本題考查了黃金分割、規(guī)律探究表達，求出黃金分割比，并按照規(guī)律表示出AC18.（2023春·甘肅白銀·九年級校考期末）節(jié)目主持人在主持節(jié)目時，站在舞臺的黃金分割點處最自然得體．若舞臺AB長為20m，則主持人站在離A點處最自然得體．（結(jié)果精確到0.1【答案】12.4m或【分析】根據(jù)黃金分割定義，由黃金分割點的位置分兩種情況討論：①黃金分割點離A近；②黃金分割點離B近，由黃金分割比列式求解即可得到答案．【詳解】解：由題意可知，分兩種情況，作圖求解：當①黃金分割點離A近，如圖所示：∵AB=20m∴由黃金分割比可知ACBC設(shè)AC=xm，則BC=20?xm，代入得到x∴AC=30?105≈7.6m②黃金分割點離B近，如圖所示：∵AB=20m∴由黃金分割比可知BCAC設(shè)AC=ym，則BC=20?ym，代入得到20?y∴AC=?10+105≈12.4m綜上所述，主持人站在離A點12.4m或7.6故答案為：12.4m或7.6【點睛】本題考查利用黃金分割解決實際問題，讀懂題意，熟練掌握黃金分割比與黃金分割點是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，在平行四邊形中，點E為邊上的點（不與點B，點C重合），連接并延長，交的延長線于點F．求證：．

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明，，即可證得結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)以及相似三角形的判定，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．10．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，，那么圖中相似的三角形有哪幾對？

【答案】，，，．【分析】根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似可以判斷，，，．【詳解】解：根據(jù)，同時有公共角必相等，根據(jù)相似三角形判定定理，可得，，；同時由，可得：，得：，又，根據(jù)相似三角形判定定理，得：．【點睛】題目主要考查相似三角形判定定理，同時要注意根據(jù)題目條件推出一些其它角相等的條件，注意不要遺漏．21．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，、相交于點，已知，，，．求證：．【分析】首先根據(jù)各線段的長，可證得，再根據(jù)相似三角形的判定定理，即可證得結(jié)論．【詳解】證明：∵，，，，∴，，∴，又∵，∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握和運用相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．22．（2023秋·全國·