專題14相似三角形判定定理的證明（2個知識點(diǎn)6種題型1種中考考法）（原卷版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級上冊

專題14相似三角形判定定理的證明（2個知識點(diǎn)6種題型1種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點(diǎn)1.相似三角形判定定理的證明（重點(diǎn)）知識點(diǎn)2.證明相似三角形的一般思路（重點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.利用相似三角形證明角（或線段）相等題型2.相似三角形中的探究性問題題型3.相似三角形中等積式的證明題型4.相似三角形與函數(shù)的綜合運(yùn)用題型5.三角形全等與相似的綜合題型6.與相似三角形有關(guān)的拓展探究【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法.相似三角形的判定定理【方法四】成果評定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解相似三角形判定定理的證明過程，會選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明兩個三角形相似。會作輔助線來證明兩個三角形相似，掌握證明過程?！局R導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理知識點(diǎn)1.相似三角形判定定理的證明（重點(diǎn)）1．判定方法（一）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.

2．判定方法（二）：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似.3．判定方法（三）：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；要點(diǎn)詮釋：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應(yīng)用時必須注意這個角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯誤的.【例1】（2022秋·九年級課時練習(xí)）已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求證：△ABC∽△A′B′C′．【例2】（2022秋·九年級課時練習(xí)）已知：在△ABC和中，，，求證：．【例3】（2022秋·九年級課時練習(xí)）已知：在△ABC和△A′B′C′中，．求證：△ABC∽△A′B′C′．知識點(diǎn)2.證明相似三角形的一般思路（重點(diǎn)）有平行截線——用平行線的性質(zhì)，找“等角”

有一對等角——找“另一對等角”或“夾邊對應(yīng)成比例”

有兩邊對應(yīng)成比例——找“夾角相等”或“第三邊也對應(yīng)成比例”或“有一對直角”

直角三角形——找“一對銳角相等”或“兩直角邊對應(yīng)成比例”

等腰三角形——找“頂角相等”或“一對底角相等”或“底和腰對應(yīng)成比例”【例4】（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于點(diǎn)F，ME交BC于點(diǎn)G.寫出圖中的所有相似三角形，并選擇一對加以證明．【變式】（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在

△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE.（1）寫出圖中兩對相似三角形（不得添加字母和線）；（2）請證明你寫出的兩對相似三角形.【方法二】實(shí)例探索法題型1.利用相似三角形證明角（或線段）相等1．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，BE，CD是的高，連接DE.（1）求證：；（2）若，M為BC的中點(diǎn)，連接DM.求證：.題型2.相似三角形中的探究性問題2．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·九年級校考階段練習(xí)）如圖（1）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點(diǎn)的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1．（1）請你探究：，是否都成立？（2）請你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請問一定成立嗎？并證明你的判斷．（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，試求的值．題型3.相似三角形中等積式的證明3．（2022秋·安徽馬鞍山·九年級安徽省馬鞍山市第七中學(xué)?？计谥校┤鐖D：四邊形ABCD對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OD=2OA，OC=2OB．（1）求證：△AOB∽△DOC；（2）點(diǎn)E在線段OC上，若AB∥DE，求證：OD2=OE?OC．題型4.相似三角形與函數(shù)的綜合運(yùn)用4．（2021秋·河南南陽·九年級南陽市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點(diǎn)D是邊BC上（不與B，C重合）一動點(diǎn)，∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于點(diǎn)E，（1）不添加其它字母，寫出圖中所有的相似三角形，并選擇一對進(jìn)行證明；（2）設(shè)BD＝x，CE＝y(tǒng)，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并利用關(guān)系式求出線段AE長度的取值范圍；（3）當(dāng)△DCE為直角三角形時，BD的長為．題型5.三角形全等與相似的綜合5．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖所示，在正方形ABCD中，E是BC上的點(diǎn)連接作垂足為H，交CD于F作，交BF于求證：；．6．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形ABCD的對角線AC上，∠EBF=45°．（1）當(dāng)BE=BF時，求證：AE=CF；（2）求證：△ABF∽△CEB；（3）如圖2延長BF交CD于點(diǎn)G，連接EG．判斷線段BE與EG的關(guān)系，并說明理由．7．（2023秋·湖北襄陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖①，在正方形中，，為對角線上任意一點(diǎn)（不與重合），連接，過點(diǎn)作，交線段于點(diǎn).（1）求證：；（2）若，求證：；（3）如圖②，連接交于點(diǎn)．若，求的值．題型6.與相似三角形有關(guān)的拓展探究8．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖（1）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點(diǎn)的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1．（1）請你探究：，是否都成立？（2）請你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請問一定成立嗎？并證明你的判斷．（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，試求的值．9．（2022·江西南昌·九年級南昌市第十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，AD=DE=AB，連接DE．將△ADE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為θ．（1）問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)θ=0°時，=；②當(dāng)θ=180°時，=．（2）拓展探究試判斷：當(dāng)0°≤θ＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；（3）問題解決①在旋轉(zhuǎn)過程中，BE的最大值為；②當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)至B、D、E三點(diǎn)共線時，線段CD的長為．【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法.相似三角形的判定定理1．（2023?湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．（1）證明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長．2．（2023?邵陽）如圖，CA⊥AD，ED⊥AD，點(diǎn)B是線段AD上的一點(diǎn)，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．（1）證明：△ABC∽△DEB．（2）求線段BD的長．3．（2023?上海）如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點(diǎn)F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求證：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF?CE．4．（2023?黑龍江）如圖①，△ABC和△ADE是等邊三角形，連接DC，點(diǎn)F，G，H分別是DE，DC和BC的中點(diǎn)，連接FG，F(xiàn)H．易證：FH＝FG．若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如圖②；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，如圖③；其他條件不變，判斷FH和FG之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．【方法四】成果評定法一、單選題1．（2023秋·湖南懷化·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，、分別在、上，下列條件中不能判斷的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·福建莆田·九年級福建省莆田市中山中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，在下列各式中，不能證明的條件是（）A．AD:DB=DE:BC B．AD:AC=AE:ABC．∠1=∠B D．∠2=∠C3．（2022秋·湖南衡陽·九年級?？计谥校┤鐖D，在正方形中，是等邊三角形，、的延長線分別交于點(diǎn)、，連接、，與相交于點(diǎn)，給出下列結(jié)論：其中正確的是（

）①；②；③；④A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①③④4．（2023秋·湖南婁底·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在平行四邊形中，是延長線上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，那么圖中相似三角形（不含全等三角形）共有（）A．6對 B．5對 C．4對 D．3對5．（2023·山東東營·東營市勝利第一初級中學(xué)校考三模）如圖，點(diǎn)A在線段BD上，在BD的同側(cè)作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC＝∠AED＝90°，CD與BE、AE分別交于點(diǎn)P、M．對于下列結(jié)論：①△CAM∽△DEM；②CD＝BE；③MP·MD＝MA·ME；④2CB2＝CP·CM．其中正確的是(

)A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①③④6．（2023·云南昭通·統(tǒng)考二模）如圖，中，交于點(diǎn)，，，，，則的長等于（）A． B． C． D．7．（2023秋·河北邢臺·九年級邢臺五中?？茧A段練習(xí)）如圖，將邊長為1的小正方形拼成一行一字排開，A1、A2、A3…依次是第2、3、4…個小正方形右下角的頂點(diǎn)，P是第一個小正方形左上角的頂點(diǎn)．記△PA1A2、△PA1A3，△PA1A4…依次為①號三角形、②號三角形、③號三角形…．已知這些三角形中有一個三角形與①號三角形相似，則這個三角形的號數(shù)為（）A．③ B．④ C．⑤ D．⑥8．（2023秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知是中的邊上的一點(diǎn)，，的平分線交邊于，交于，那么下列結(jié)論中錯誤的是（）A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BECC．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE9．（2023春·福建廈門·九年級廈門市湖濱中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在?ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，EC交BD于點(diǎn)F，則△BEF與△DCB的面積比為（）A． B． C． D．10．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)E為?ABCD的AD邊上一點(diǎn)，且AE∶ED＝1∶3，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，EF交AC于點(diǎn)G，則AG∶GC等于()A．1∶2 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶3二、填空題11．（2023·河北滄州·校考二模）如圖，在中，，，直角的頂點(diǎn)在上，、分別交、于點(diǎn)、，繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)．當(dāng)時，的值為；當(dāng)時，為．（用含的式子表示）12．（2023秋·九年級課前預(yù)習(xí)）如圖，添上條件，則．13．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考開學(xué)考試）如圖，正方形ABCD的邊長為2，BE=CE,MN=1,線段MN的端點(diǎn)M,N分別在CD,AD上滑動，當(dāng)DM=時，△ABE與以D,M,N為頂點(diǎn)的三角形相似．14．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖所示，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=5cm，E是DC上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與D、C重合）連接AE，以AE所在的直線為折痕，折疊紙片，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D′，點(diǎn)F為線段BC上一點(diǎn)，連接EF，以EF所在的直線為折痕折疊紙片，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′落在直線ED′上，若CF=4時，DE=．15．（2023秋·九年級單元測試）如圖，是的斜邊上異于、的一定點(diǎn)，過點(diǎn)作直線截交于點(diǎn)，使截得的與相似．已知，，，則．三、解答題16．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，D，E，F(xiàn)分別是三邊上的點(diǎn)，，那么與相似嗎？請證明你的結(jié)論．17．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB向B以2cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC向C點(diǎn)以4cm/s的速度移動．如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘△PBQ與△ABC相似？18．（2023·江西·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，=8，=4,=6,,是的平分線，交于點(diǎn),求的長.19．（2023春·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，為上一點(diǎn)，且．求證：．若，，求的長．20．（2023春·廣東惠州·九年級惠州市惠陽區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分線分別與AC、AB交于點(diǎn)D、E．（1）在圖中作出AB的垂直平分線DE，并連接BD．（2）證明：△ABC