專題17圖形的位似（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)2種題型2種中考考法）（原卷版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級(jí)上冊(cè)

專題17圖形的位似（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)2種題型2種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.位似多邊形的有關(guān)概念（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2.位似圖形的性質(zhì)（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3.位似圖形的畫法（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)4.平面直角坐標(biāo)系中的位似變換（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.確定位似中心題型2.位似圖形的規(guī)律探究題【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1.平面直角坐標(biāo)系中的位似變換與坐標(biāo)變化考法2.作圖——位似變換【方法四】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解位似圖形、位似中心的概念，掌握位似圖形的性質(zhì)，理解位似變換是特殊的相似變換。會(huì)畫位似圖形，能夠利用位似把一個(gè)圖形放大或縮小。掌握位似圖形坐標(biāo)的變化規(guī)律，會(huì)利用這個(gè)規(guī)律求某些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)。【知識(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.位似多邊形的有關(guān)概念（重點(diǎn)）（1）如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，這樣的圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．注意：①成位似的兩個(gè)圖形必須是相似形；但相似圖形不一定是位似圖形②位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)；③位似圖形對(duì)應(yīng)邊平行．【例1】（2023春·安徽合肥·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列說法中，正確的是（

）A．兩個(gè)多邊形相似，則它們一定是位似圖形 B．兩個(gè)位似圖形的位似中心可能不止一個(gè)C．位似圖形一定是相似圖形 D．兩個(gè)多邊形相似，面積比一定是相似比【變式】（2022秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下圖所示的四種畫法中，能使得△DEF是△ABC位似圖形的有（

）A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④知識(shí)點(diǎn)2.位似圖形的性質(zhì)（重點(diǎn)）①對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊之比等于位似比；②位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比．③位似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比、周長比、對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于位似比，但面積的比等于位似比的平方．【例2】（2023·重慶渝中·統(tǒng)考二模）如圖，△ABC與△A1B1C1位似，位似中心是點(diǎn)O，若OA:OA1=1:2，則△ABC

A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:9【變式】（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△DEF是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若OB:BE=1:2，△ABC的面積為2，則△DEF的面積為（

）

A．4 B．6 C．8 D．18【例3】（2022秋·陜西咸陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，則△ABC與△DEF的周長之比為（

）

A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:2【變式】（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若OC:CF=2:3，△DEF的周長為15，則△ABC的周長為（

）

A．10 B．6 C．5 D．4知識(shí)點(diǎn)3.位似圖形的畫法（重點(diǎn)）利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過位似變換把原圖形放大；若位似比小于1，則通過位似變換把原圖形縮小。畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長（分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延長）；③根據(jù)相似比確定各線段的長度；④順次連接上述個(gè)點(diǎn)，得到圖形?！纠?】（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知A(0,?2)，B(?2,1)，C(3,2)．

(1)求線段AB的長；(2)把A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都乘2，得到A'，B'，C'的坐標(biāo)，畫出△(3)△ABC與△A【變式1】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中已作出△ABC的位似圖形△A(1)在圖中標(biāo)出△ABC與△A1B1C(2)若以點(diǎn)A1為位似中心，請(qǐng)?jiān)趫D中給定的網(wǎng)格內(nèi)畫出△A1B1C1【變式2】（2023春·寧夏銀川·九年級(jí)銀川一中校考期中）如圖，是邊長為1個(gè)單位的小正方形組成的12×12方格，在網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為?4,2和0,0．△ABC頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，將△ABC的三邊分別擴(kuò)大得到△A1B

(1)畫出△ABC向下平移3個(gè)單位后的三角形△A(2)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的三角形△A(3)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．知識(shí)點(diǎn)4.平面直角坐標(biāo)系中的位似變換（難點(diǎn)）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變化是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k（對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心同側(cè)）或者－k（對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心異側(cè)）。即：若設(shè)原圖形的某一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或。【例5】（2023·安徽淮北·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，與位似，位似中心為原點(diǎn)O，已知點(diǎn)，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)

A． B． C． D．【變式1】（2022秋·湖南衡陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A?6,9、B?9,?3，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為13，把△ABO縮小，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)AA．?2,3 B．?18,27C．?18,27或18,?27 D．?2,3或2,?3【變式2】（2022秋·吉林長春·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形，P是位似中心，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,4，點(diǎn)E的坐標(biāo)為?1,2．則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．?3,0 B．?2,0 C．?32,0【變式3】（2022秋·遼寧阜新·九年級(jí)阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD和正方形EFOG是位似圖形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,2，點(diǎn)F的坐標(biāo)為?1,?1，則這兩個(gè)正方形位似中心的坐標(biāo)為（

）

A．1,0或57,27 C．1,0 D．1,0或?5,?2【方法二】實(shí)例探索法題型1.確定位似中心1.（2022秋·河北滄州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O是等邊三角形PQR的中心，P'、Q'、R'分別是OP、OQ、OR的中點(diǎn)，則△P'Q'R'

A．2、點(diǎn)P B．12、點(diǎn)P C．2、點(diǎn)O D．122.（2022秋·福建泉州·九年級(jí)泉州五中校聯(lián)考期末）如圖，正方形網(wǎng)格圖中的△ABC與△A'BA．點(diǎn)O B．點(diǎn)P C．點(diǎn)Q D．點(diǎn)R3.（2022春·九年級(jí)單元測試）如圖所示的兩個(gè)三角形是位似圖形，它們的位似中心是（

）

A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D題型2.位似圖形的規(guī)律探究題4．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考一模）閱讀與思考探索位似的性質(zhì)利用圖形計(jì)算器或計(jì)算機(jī)等信息技術(shù)工具，可以很方便地將圖形放大或縮小，還可以探索位似的性質(zhì)．小明利用《幾何畫板》軟件，嘗試用“觀察—猜想—驗(yàn)證—應(yīng)用”的方法進(jìn)行探究，步驟如下：如圖1，任意畫一個(gè)△ABC，以點(diǎn)O為位似中心，自選新舊圖形的相似比為k，得到△A第一步，度量對(duì)應(yīng)邊的長度，并計(jì)算它們的比值，發(fā)現(xiàn)結(jié)果與k的值相等．第二步，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，分別度量點(diǎn)A，A'的橫坐標(biāo)，并計(jì)算比值；分別度量點(diǎn)A，A'的縱坐標(biāo)，并計(jì)算比值，觀察比值與第三步，作線段OA,OA',OB,O第四步，任意改變△ABC的位置或形狀，發(fā)現(xiàn)上面探究得出的結(jié)論仍然成立．于是，小明總結(jié)并得出了位似的性質(zhì)．任務(wù)：（1）第三步發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是______．（2）已知圖1中點(diǎn)A(6,2),A'(9,3),B(4,3),S△ABC（3）如圖2，以點(diǎn)P為位似中心，畫出與矩形MNOP的相似比為0.75的一個(gè)圖形．【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1.平面直角坐標(biāo)系中的位似變換與坐標(biāo)變化1．（2023?浙江）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）2．（2023?煙臺(tái)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形PA1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），則頂點(diǎn)A100的坐標(biāo)為（）A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）3．（2023?遂寧）在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)△ABC、△DEF成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）4．（2023?盤錦）如圖，△ABO的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以點(diǎn)O為位似中心，將△ABO縮小為原來的，得到△A′B′O，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為．5．（2023?綏化）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△AB′C′的相似比為1：2，點(diǎn)A是位似中心，已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)C（a，b），∠C＝90°．則點(diǎn)C′的坐標(biāo)為.（結(jié)果用含a，b的式子表示）6．（2023?阜新）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為2：3，則△ABC和△DEF的面積比是．考法2.作圖——位似變換7．（2022?河池）如圖、在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，1），B（2，3），C（1，2）．（1）畫出與△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)畫一個(gè)△A2B2C2，使它與△ABC的相似比為2：1，并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)．8．（2021?黑龍江）在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．（1）以點(diǎn)C為位似中心，作出△ABC的位似圖形△A1B1C，使其位似比為2：1，并寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo)；（2）作出△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A2B2C；（3）在（2）的條件下，求出點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑長．

【方法四】成果評(píng)定法一．選擇題（共10小題）1．（2023?銅梁區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△DEF關(guān)于原點(diǎn)O位似，若OB＝2OE，S△ABC＝8，則S△DEF為（）?A．2 B．4 C． D．2．（2023?牡丹區(qū)三模）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形．若OA：AD＝2：3，則△ABC與△DEF的周長比是（）A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：253．（2022秋?平度市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB與△COD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若A（3，0），B（2，﹣1），C（6，0），則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（4，﹣2） B．（6，﹣3） C．（4，2） D．（6，3）4．（2023?城廂區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，△DEF是由△ABC經(jīng)過位似變換得到的，點(diǎn)O是位似中心，D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC的中點(diǎn)，則△DEF與△ABC的面積比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：65．（2023?朝陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，2），B（4，1），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（1，1） B．（4，4）或（8，2） C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）6．（2022秋?永定區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的面積比為2：3，則OA：OA'＝（）A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．7．（2022秋?伊川縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，若A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），AB＝，則線段CD長為（）A．2 B．4 C．2 D．8．（2023?溫州模擬）如圖，△ABC與△DEF位似，位似中心為點(diǎn)D，位似比為2：3，則AB：DE的比值為（）?A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：139．（2023?碑林區(qū)校級(jí)開學(xué)）在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（）A．（6，4） B．（，1） C．（6，4）或（﹣6，﹣4） D．（，1）或（﹣，﹣1）10．（2021秋?江安縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△OAB以原點(diǎn)O為位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），則△OAB與△OCD的面積的比是（）A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．9：1二．填空題（共8小題）11．（2022秋?沈河區(qū)期末）如圖，在△ABO中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，5），以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)，把這個(gè)三角形放大為原來的2倍，得到△A'B'O，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)是．12．（2023?廣陵區(qū)校級(jí)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍得到△A′B′C′，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3），則A′的坐標(biāo)為．13．（2022秋?泰興市期末）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AD＝3，則＝．14．（2023?東營區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC與△ODE是位似圖形，其中點(diǎn)A（2，1），則位似中心的坐標(biāo)是．15．（2023?阜新）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為2：3，則△ABC和△DEF的面積比是．16．（2023?盤錦）如圖，△ABO的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以點(diǎn)O為位似中心，將△ABO縮小為原來的，得到△A′B′O，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為．17．（2023?裕華區(qū)三模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，以點(diǎn)O為位似中心，△ABC的位似圖形是（用圖中字母表示），△ABC與該三角形的位似比為．?18．（2022秋?細(xì)河區(qū)期末）如圖．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E（﹣6，2），F(xiàn)（﹣2，﹣2），以點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把△EFO縮小，則點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E'的坐標(biāo)為．三．解答題（共8小題）19．（2023?南陵縣二模）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣3，﹣3），B（﹣1，﹣3），C（﹣1，﹣1）．（1）畫出△ABC，并畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1（2）以O(shè)為位似中心，在第一象限內(nèi)把△ABC擴(kuò)大到原來的兩倍，得到△A2B2C2．20．（2022秋?大荔縣期末）如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B的坐標(biāo)分別為（3，1）、（2，﹣1）．（1）畫出△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后得到的圖形．（2）在y軸的左側(cè)以O(shè)為位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新圖與原圖的相似比為2：1，并分別寫出A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)．21．（2022秋?惠來縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點(diǎn)分別是A（1，1），B（2，3），C（3，2）．（1）作出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1；（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸的左側(cè)畫出△A2B2C2，使它與原三角形相似比為2：1；（3）求△A2B2C2的面積．22．（2023?城廂區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）將△ABC向左平移7個(gè)單位，請(qǐng)畫出平移后的△A1B1C1．并寫出B1的坐標(biāo)．（2）以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小，使變換后得到的△A2B2C2與△ABC對(duì)應(yīng)邊的比為1：2．請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，并寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo)：．23．（2023?揭陽開學(xué)）（一）看圖填空．（如圖中每個(gè)方格的邊長表示1厘米）（1）圖中的平行四邊形沿高分成了兩部分，把其中涂色的三角形向平移厘米，平行四邊形就變成了長方形．（2）三角形ABC中，點(diǎn)B的位置用數(shù)對(duì)表示是，點(diǎn)B在點(diǎn)C的偏度方向上．（