專題18 投影 （4個(gè)知識(shí)點(diǎn)3種題型1種中考考法）（解析版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級(jí)上冊(cè)

專題18投影（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)3種題型1種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.投影與中心投影知識(shí)點(diǎn)2平行投影（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3.中心投影和平行投影的異同點(diǎn)（難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)4.正投影（重點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.與中心投影有關(guān)的作圖與計(jì)算題型2.與平行投影有關(guān)的作圖與計(jì)算題型3.與正投影有關(guān)的計(jì)算【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法.投影下物體形狀的判斷【方法四】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解投影、中心投影、平行投影、正投影的含義，會(huì)畫物體在不同光線下的投影，會(huì)根據(jù)投影判斷點(diǎn)光源的位置。2.知道物體在燈光下與太陽(yáng)光下的影子的不同特征以及不同時(shí)刻、不同位置影子的變化情況，體會(huì)燈光下的投影（中心投影）與太陽(yáng)光下的投影（平行投影）的區(qū)別。3.能利用投影和相似的知識(shí)解決某些實(shí)際生活中的問(wèn)題。【知識(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.投影與中心投影一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面(地面或墻壁等)上得到的影子，叫做物體的投影.若一束光線是從一點(diǎn)發(fā)出的，像這樣的光線照射在物體上所形成的投影，叫做中心投影.這個(gè)“點(diǎn)”就是中心，相當(dāng)于物理上學(xué)習(xí)的“點(diǎn)光源”.生活中能形成中心投影的點(diǎn)光源主要有手電筒、路燈、臺(tái)燈、投影儀的燈光、放映機(jī)的燈光等.相應(yīng)地，我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：(1)等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng).

(2)等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短.

在中心投影的情況下，還有這樣一個(gè)重要結(jié)論：點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位置.

注意：

光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).

【例1】（2022秋?大東區(qū)期末）下列各種現(xiàn)象屬于中心投影的是（）A．晚上人走在路燈下的影子 B．中午用來(lái)乘涼的樹(shù)影 C．上午人走在路上的影子 D．陽(yáng)光下旗桿的影子【答案】A【解答】解：中心投影的光源為燈光，平行投影的光源為陽(yáng)光與月光，在各選項(xiàng)中只有A選項(xiàng)得到的投影為中心投影．故選：A．【變式】（2022秋?浦江縣期末）如圖，小樹(shù)AB在路燈O的照射下形成投影BC．若樹(shù)高AB＝2m，樹(shù)影BC＝3m，樹(shù)與路燈的水平距離BP＝4.5m．則路燈的高度OP為（）A．5m B．4.5m C．4m D．3m【答案】A【解答】解：∵AB⊥CP，PO⊥PC，∴OP∥AB，∴△ABC∽△OPC，∴＝，即：＝，解得：OP＝5（m），故選：A．知識(shí)點(diǎn)2平行投影（重點(diǎn)）1.只要有光線，有被光線照到的物體，就存在影子.太陽(yáng)光線可看做平行的，象這樣的光線照射在物體上，所形成的投影叫做平行投影.由此我們可得出這樣兩個(gè)結(jié)論：

(1)等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在太陽(yáng)光下，它們的影子一樣長(zhǎng).

(2)等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示，它們?cè)谔?yáng)光下的影子一樣長(zhǎng)，且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng)度.

2.物高與影長(zhǎng)的關(guān)系（1）在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時(shí)刻，物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長(zhǎng)也是由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng).

（2）在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成正比例.

即：.

利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.

注意：利用影長(zhǎng)計(jì)算物高時(shí)，要注意的是測(cè)量?jī)晌矬w在同一時(shí)刻的影長(zhǎng).

注意：1．平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.利用平行投影知識(shí)解題要分清不同時(shí)刻和同一時(shí)刻.2．物體與影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是平行的就說(shuō)明是平行光線.【例2】（2023春?和平區(qū)期末）如圖，已知太陽(yáng)光線AC和DE是平行的，在同一時(shí)刻，如果將兩根高度相同的木桿豎直插在地面上，那么在太陽(yáng)光照射下，其影子一樣長(zhǎng)．這里判斷影長(zhǎng)相等利用了全等圖形的性質(zhì)，其中判斷△ABC≌△DFE的依據(jù)是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【答案】B【解答】解：依題意得：AC∥ED，AH⊥GT，DT⊥GT，AH＝DT，∴∠AGH＝∠DKT，∠AHG＝∠DTK＝90°，在△AGH和△DKT中，，∴△AGH≌△DKT（AAS）．故選：B．【變式】（2022秋?廣宗縣期末）如圖所示，表示兩棵小樹(shù)在同一時(shí)刻陽(yáng)光下的影子的圖形可能是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、影子的方向不相同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、影子平行，且較高的樹(shù)的影子長(zhǎng)度大于較低的樹(shù)的影子，故本選項(xiàng)正確；C、相同樹(shù)高與影子是成正比的，較高的樹(shù)的影子長(zhǎng)度小于較低的樹(shù)的影子，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、影子的方向不相同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．知識(shí)點(diǎn)3.中心投影和平行投影的異同點(diǎn)（難點(diǎn)）聯(lián)系：

（1）中心投影、平行投影都是研究物體投影的一種，只不過(guò)平行投影是在平行光線下所形成的投影，通常的平行光線有太陽(yáng)光線、月光等，而中心投影是從一點(diǎn)發(fā)出的光線所形成的投影，通常狀況下，燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點(diǎn)發(fā)射出來(lái)的光線.

（2）在平行投影中，同一時(shí)刻改變物體的方向和位置，其投影也跟著發(fā)生變化；在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也跟著發(fā)生變化.在中心投影中，固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發(fā)生變化.

2.區(qū)別：

（1）太陽(yáng)光線是平行的，故太陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)度都與物體高度成比例；燈光是發(fā)散的，燈光下的影子與物體高度不一定成比例.

（2）同一時(shí)刻，太陽(yáng)光下影子的方向總是在同一方向，而燈光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.

注意：

在解決有關(guān)投影的問(wèn)題時(shí)必須先判斷準(zhǔn)確是平行投影還是中心投影，然后再根據(jù)它們的具體特點(diǎn)進(jìn)一步解決問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)4.正投影（重點(diǎn)）正投影的定義：

如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點(diǎn)，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對(duì)著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.

(1)線段的正投影分為三種情況.如圖所示.

①線段AB平行于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長(zhǎng)相等；

②線段AB傾斜于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A2B2，長(zhǎng)小于線段AB的長(zhǎng)；

③線段AB垂直于投影面P時(shí)，它的正投影是一個(gè)點(diǎn).

(2)平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.

①當(dāng)平面圖形平行于投影面Q時(shí)，它的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個(gè)平面圖形全等；

②當(dāng)平面圖形傾斜于投影面Q時(shí)，平面圖形的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會(huì)縮小，是類似圖形但不一定相似.

③當(dāng)平面圖形垂直于投影面Q時(shí)，它的正投影是直線或直線的一部分.(3)立體圖形的正投影.

物體的正投影的形狀、大小與物體相對(duì)于投影面的位置有關(guān)，立體圖形的正投影與平行于投影面且過(guò)立體圖形的最大截面全等.注意：

(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.

(2)由線段、平面圖形和立體圖形的正投影規(guī)律，可以識(shí)別或畫出物體的正投影.

(3)由于正投影的投影線垂直于投影面，一個(gè)物體的正投影與我們沿投影線方向觀察這個(gè)物體看到的圖象之間是有聯(lián)系的.【例3】（2023·江蘇南通·?？既＃┮粋€(gè)正五棱柱如下圖擺放，光線由上到下照射此正五棱柱時(shí)的正投影是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】正投影即投影線垂直于頂面產(chǎn)生的投影，據(jù)此直接選擇即可．【詳解】光線由上向下照射，此正五棱柱的正投影是故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查平行投影，解題關(guān)鍵此五棱柱的正投影與頂面的形狀大小完全相同．【變式】（2023·湖北恩施·?？寄M預(yù)測(cè)）物體正投影的形狀、大小與它相對(duì)于投影面的位置有關(guān)．一個(gè)三角板的正投影不可能是（

）A．一條線段 B．一個(gè)與原三角板全等的三角形C．一個(gè)等腰三角形 D．一個(gè)小圓點(diǎn)【答案】D【分析】由三角板所在的平面與投影光線的關(guān)系逐一分析可得答案．【詳解】解：當(dāng)三角板所在的平面與投影光線平行時(shí)，可得投影是一條線段，故A不符合題意；當(dāng)三角板所在的平面與投影光線垂直時(shí)，可得投影是一個(gè)與原三角板全等的三角板，故B不符合題意；當(dāng)三角板所在的平面與投影光線成一定的角度時(shí)，可得投影是一個(gè)變形的三角板，可能為等腰三角形，不可能是一個(gè)點(diǎn)，故C不符合題意；D符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是投影的含義，理解物體正投影的形狀、大小與它相對(duì)于投影面的位置有關(guān)是解本題的關(guān)鍵．【方法二】實(shí)例探索法題型1.與中心投影有關(guān)的作圖與計(jì)算1.（2022秋?寶安區(qū)校級(jí)期中）如圖，一路燈距地面5.6米，身高1.6米的小方從距離燈的底部（點(diǎn)O）5米的A處，沿OA所在的直線行走到點(diǎn)C時(shí)，人影長(zhǎng)度增長(zhǎng)3米，求小方行走的路程．【解答】解：∵AE⊥OD，GO⊥OD，∴EA∥GO，∴△AEB∽△OGB，∴＝，∴＝，解得AB＝2（m）；∵OA所在的直線行走到點(diǎn)C時(shí)，人影長(zhǎng)度增長(zhǎng)3米，∴DC＝5（m），同理可得△DFC∽△DGO，∴＝，即＝，解得AC＝7.5（m）．答：小方行走的路程AC為7.5m．2.（2023?三水區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（4，3）是一個(gè)光源，CD為木桿AB在x軸上的投影，A（0，1），B（6，1），過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交AB于點(diǎn)N，求CD的長(zhǎng)．【答案】9．【解答】解：∵A（0，1），B（6，1）．∴AB∥x軸，AB＝6，∵點(diǎn)P（4，3），∴PM＝3，PN＝PM﹣MN＝3﹣1＝2，∴△PAB∽△PCD，∴，即，∴CD＝9，即CD的長(zhǎng)為9．3.（2022秋?市北區(qū)期末）如圖，路燈下一墻墩（用線段AB表示）的影子是BC，小明（用線段DE表示）的影子是EF，在M處有一棵大樹(shù)，它在這個(gè)路燈下的影子是MN．（1）在圖中畫出路燈的位置并用點(diǎn)P表示；（2）在圖中畫出表示大樹(shù)的線段MQ．【解答】解：（1）點(diǎn)P位置如圖；（2）線段MQ如圖．4.（2022春?連山區(qū)月考）如圖，身高1.6m的小王晚上沿箭頭方向散步至一路燈下，他想通過(guò)測(cè)量自己的影長(zhǎng)來(lái)估計(jì)路燈的高度，具體做法如下：先從路燈底部向東走20步到M處，發(fā)現(xiàn)自己的影子端點(diǎn)剛好在兩盞路燈的中間點(diǎn)P處，繼續(xù)沿剛才自己的影子走5步到P處，此時(shí)影子的端點(diǎn)在Q處．（1）找出路燈的位置．（2）估計(jì)路燈的高，并求影長(zhǎng)PQ．【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)O為路燈的位置；（2）作OA垂直地面，如圖，AM＝20步，MP＝5步，MN＝PB＝1.6m，∵M(jìn)N∥OA，∴△PMN∽△PAO，∴＝，即＝，解得OA＝8（m），∵PB∥OA，∴△QPB∽△QAO，∴＝，即＝，解得PQ＝．答：路燈的高8m，影長(zhǎng)PQ為步．題型2.與平行投影有關(guān)的作圖與計(jì)算5.（2022秋?臨渭區(qū)期末）如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，已知AB＝5m，某一時(shí)刻AB在太陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)BC＝3m．（1）在圖中畫出此時(shí)DE在太陽(yáng)光下的影子EF；（2）在測(cè)量AB的影子長(zhǎng)時(shí)，同時(shí)測(cè)量出EF＝6m，計(jì)算DE的長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖所示：EF即為所求；（2）由題意可得：＝，解得：DE＝10，答：DE的長(zhǎng)為10m．6.（2022秋?榆陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，小亮利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量某旗桿AB的高度．（1）請(qǐng)你根據(jù)小亮在陽(yáng)光下的投影，畫出旗桿AB在陽(yáng)光下的投影．（2）已知小亮的身高為1.72m，在同一時(shí)刻測(cè)得小亮和旗桿AB的投影長(zhǎng)分別為0.86m和6m，求旗桿AB的高．【解答】解：（1）如圖所示：（2）如圖，因?yàn)镈E，AB都垂直于地面，且光線DF∥AC，所以Rt△DEF∽R(shí)t△ABC，所以＝，即＝，所以AB＝12（m）．答：旗桿AB的高為12m．7.（2023?市北區(qū)開(kāi)學(xué)）甲、乙兩棟樓的位置如圖所示，甲樓AB高16米．當(dāng)?shù)刂形?2時(shí)，物高與影長(zhǎng)的比是1：．（1）如圖1，當(dāng)?shù)刂形?2時(shí)，甲樓的影子剛好不落到乙樓上，則兩樓間距BD的長(zhǎng)為米．（2）當(dāng)?shù)叵挛?4時(shí)，物高與影長(zhǎng)的比是1：2．如圖2，甲樓的影子有一部分落在乙樓上，求落在乙樓上的影子DE的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）（16﹣）米．【解答】解：（1）由題意得：，即，解得BD＝（米），故答案為：；（2）如圖，設(shè)FE⊥AB于點(diǎn)F，那么在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，EF＝BD＝米．∵物高與影長(zhǎng)的比是1：2，∴，則AF＝EF＝（米），故DE＝FB＝（16﹣）米．答：落在乙樓上的影子DE的長(zhǎng)為（16﹣）米．8.（2022秋?榕城區(qū)期末）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，在某一時(shí)刻測(cè)得1m長(zhǎng)的竹竿豎直放置時(shí)影長(zhǎng)為1.5m，在同時(shí)刻測(cè)量旗桿的影長(zhǎng)時(shí)，因旗桿靠近一教學(xué)樓，影子不全落在地面上，有一部分落在墻上，測(cè)得落在地面上的影長(zhǎng)為18m，留在墻上的影高為3m，求旗桿的高度．【答案】15m．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠B＝∠BDC＝∠BEC＝90°，∴四邊形BECD為矩形，∴CE＝BD＝18m，BE＝CD＝3m，根據(jù)題意可得，即，解得AE＝12，∴AB＝AE+BE＝12+3＝15（m），答：旗桿的高度為15m．題型3.與正投影有關(guān)的計(jì)算9．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，正方形紙板在投影面上的正投影為，其中邊與投影面平行，與投影面不平行．若正方形的邊長(zhǎng)為5厘米，，求其投影的面積．【答案】【分析】先根據(jù)求出投影的各個(gè)邊長(zhǎng)，再求面積【詳解】解：過(guò)B點(diǎn)作于H，如圖，∵，∴，∵正方形紙板在投影面上的正投影為，∴，，∴四邊形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形在投影中的應(yīng)用，掌握計(jì)算方法是關(guān)鍵．10．（2023春·四川自貢·九年級(jí)四川省榮縣中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）操作與研究∶如圖，被平行于的光線照射，于，在投影面上．(1)指出圖中的投影是什么，與的投影呢？(2)探究∶如圖1，中，，，我們可以利用與相似證明，這個(gè)結(jié)論我們稱之為射影定理，試證明這個(gè)定理．(3)【結(jié)論運(yùn)用】如圖2，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，①試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明；②若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)的投影是，的投影是點(diǎn)，的投影是(2)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(3)①證明過(guò)程見(jiàn)詳解；②【分析】（1）根據(jù)投影的定義，即可求解；（2）根據(jù)中，，，可得，是公共角，由三角形相似的判定及性質(zhì)即可求證；（3）①根據(jù)射影定理可得，，且，根據(jù)三角形相似的判定方法即可求解；②先計(jì)算，，，的長(zhǎng)度，在根據(jù)①中的結(jié)論即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，的投影是，的投影是點(diǎn)，的投影是．（2）證明：∵中，，，∴，，∴，且是公共角，∴，∴，∴．（3）解：①證明：∵四邊形是正方形，∴，∴，中，∵，，∴，∴，即，且（公共角），∴；②∵，且，∴，，在中，，在中，，∵，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形，直角三角形，相似三角形的綜合，掌握正方形的性質(zhì)，直角三角形中判定三角形的相似，以及相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法.投影下物體形狀的判斷1．（2021?南京）如圖，正方形紙板的一條對(duì)角線垂直于地面，紙板上方的燈（看作一個(gè)點(diǎn)）與這條對(duì)角線所確定的平面垂直于紙板．在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正方形紙板的一條對(duì)角線垂直于地面，紙板上方的燈（看作一個(gè)點(diǎn)）與這條對(duì)角線所確定的平面垂直于紙板，則在地面上的投影關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱，因?yàn)闊粼诩埌迳戏?，所以上方投影比下方投影要長(zhǎng)．【解答】解：根據(jù)正方形紙板的一條對(duì)角線垂直于地面，紙板上方的燈（看作一個(gè)點(diǎn)）與這條對(duì)角線所確定的平面垂直于紙板，燈在紙板上方，∴上面兩條邊離點(diǎn)光源近，在同一投影面上的影子就長(zhǎng)于下方離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的兩條邊，∴上方投影比下方投影要長(zhǎng)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查中心投影的知識(shí)，弄清題目中光源和紙板的相對(duì)位置是解題的關(guān)鍵．2．（2017?賀州）小明拿一個(gè)等邊三角形木框在太陽(yáng)下玩耍，發(fā)現(xiàn)等邊三角形木框在地面上的投影不可能是（）A． B． C． D．【分析】在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同，不同時(shí)刻物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方向也在改變，依此進(jìn)行分析．【解答】解：當(dāng)?shù)冗吶切文究蚺c陽(yáng)光平行時(shí)，投影是A；當(dāng)?shù)冗吶切文究蚺c陽(yáng)光有一定角度時(shí)，投影是C或D；投影不可能是B．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)平行投影的理解和掌握，能熟練地觀察圖形得出正確結(jié)論是解此題的關(guān)鍵．【方法四】成果評(píng)定法一、單選題1．（2022春·河北保定·九年級(jí)保定市第十七中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列光線所形成的投影是平行投影的是（

）A．太陽(yáng)光線 B．臺(tái)燈的光線 C．手電筒的光線 D．路燈的光線【答案】A【分析】判斷投影是平行投影的方法是看光線是否是平行的，如果光線是平行的，所得到的投影就是平行投影．【詳解】解：四個(gè)選項(xiàng)中只有太陽(yáng)光可認(rèn)為是平行光線；故太陽(yáng)光線下形成的投影是平行投影．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行投影，解題關(guān)鍵是看光線是否是平行的.2．（2023·河南信陽(yáng)·二模）小明利用一面鏡子把太陽(yáng)光經(jīng)鏡子反射后，光線平行于地面照到了墻上，如圖鏡子與地面夾角為，則太陽(yáng)光與地面所成角度是（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和反射定理解答即可．【分析】解：∵，

∴，∴，∴太陽(yáng)光與地面所成角度．故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等和反射定理等相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·湖南株洲·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某一時(shí)刻太陽(yáng)光下身高的小明的影長(zhǎng)為2m，同一時(shí)刻旗桿的影長(zhǎng)為6m則旗桿的高度為（

）A． B．8m C． D．7m【答案】A【分析】根據(jù)成比例關(guān)系可知，人身高比上人的影長(zhǎng)等于旗桿長(zhǎng)比上旗桿的影長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)即可得出答案．【詳解】解∶設(shè)旗桿高度為xm，有解得．故選∶A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影以及一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解在同一時(shí)刻物體的高與其影子長(zhǎng)比值是相同的．4．（2023春·山東臨沂·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正五邊形，若，則（）

A．56° B．66° C．72° D．76°【答案】B【分析】根據(jù)正五邊形得到，利用三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)和分別交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G和I，

∵六邊形是正五邊形，∴，∴，∴，由平行光線知，；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行投影的性質(zhì)、多邊形外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，構(gòu)造三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是一個(gè)光源．木桿兩端的坐標(biāo)分別為，．則木桿在x軸上的投影長(zhǎng)為（

）

A． B． C．5 D．6【答案】D【分析】延長(zhǎng)、分別交軸于、，作軸于，交于，證明，得到，即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)、分別交軸于、，作軸于，交于，如圖，，，．，，，，，，即，，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影：中心投影的光線特點(diǎn)是從一點(diǎn)出發(fā)的投射線．物體與投影面平行時(shí)的投影是放大（即位似變換）的關(guān)系．6．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）幻燈機(jī)是教師常用的教具之一，它能把精致的圖片投到銀幕上，如圖，在與中，下列結(jié)論一定正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)投影的性質(zhì)：投影后的圖像與投影前的圖像相似，逐個(gè)判斷即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，∴，故A錯(cuò)誤，，故B正確，，故C，D不一定成立，故選B；【點(diǎn)睛】本題考查投影的性質(zhì)：投影后的圖像與投影前的圖像相似．7．（2023春·山東泰安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列各種現(xiàn)象屬于中心投影現(xiàn)象的是（）A．早上升旗時(shí)地面上旗桿的影子 B．上午人走在路上的影子C．中午用來(lái)乘涼的樹(shù)影 D．晚上人走在路燈下的影子【答案】D【分析】根據(jù)中心投影的性質(zhì)，找到燈光的燈源即可．【詳解】解：中心投影的燈源為燈光，平行投影的光源為陽(yáng)光與月光，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查中心投影的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解中心投影的形成光源為燈光．8．（2022·河北石家莊·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是一個(gè)光源，木桿兩端的坐標(biāo)分別為，，則木桿在x軸上的投影長(zhǎng)為（

）

A． B． C．5 D．6【答案】D【分析】利用中心投影，延長(zhǎng)、分別交x軸于點(diǎn)、，作軸于點(diǎn)E，交于點(diǎn)D，證明，然后利用相似比即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)、分別交x軸于點(diǎn)、，作軸于點(diǎn)E，交于點(diǎn)D，如圖，∵，，，∴，，，∵，∴，，∴，∴，即，∴，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查中心投影，熟練掌握中心投影的概念證明是解題的關(guān)鍵．9．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考二模）當(dāng)下，戶外廣告已對(duì)我們的生活產(chǎn)生直接的影響．圖中的是安裝在廣告架上的一塊廣告牌，和分別表示太陽(yáng)光線．若某一時(shí)刻廣告牌在地面上的影長(zhǎng)，在地面上的影長(zhǎng)，廣告牌的頂端A到地面的距離，則廣告牌的高為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)太陽(yáng)光線是平行的可得，從而可得；接下來(lái)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，代入數(shù)值求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出廣告牌的高．【詳解】解：∵太陽(yáng)光線是平行的，∴，∴，∴，由題意得：，∴，解得，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影，以及相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中整理出相似三角形．10．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是一個(gè)光源，木桿兩端的坐標(biāo)分別是，，則木桿在x軸上的投影的長(zhǎng)是（

）A．4 B． C． D．5【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分別求得直線的解析式，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵，，，設(shè)直線的解析式為：，直線的解析式為：，∴解得：，∴，中，當(dāng)時(shí)，，則,中，當(dāng)時(shí)，，則∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影，一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）正午時(shí)我們?cè)谔?yáng)下的影子長(zhǎng)度比下午時(shí)我們?cè)谔?yáng)底下的影子的長(zhǎng)度要．（長(zhǎng)，短）【答案】短【分析】根據(jù)太陽(yáng)光不同時(shí)刻照射時(shí)的角度，以及平行投影的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：太陽(yáng)光可理解為平行光線，正午時(shí)刻太陽(yáng)光照射的角度更大，因此我們于地面形成的影子更短，而下午的時(shí)候，照射時(shí)的角度變小，在地面形成的影子就更長(zhǎng)．故答案為：短．【點(diǎn)睛】本題考查投影，注意理解太陽(yáng)光是平行光線，并且理解入射角度越大，形成的投影越短，角度越小，形成的投影越長(zhǎng)．12．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）由陽(yáng)光形成的影子是投影，由燈光形成的影子是投影（選題“平行”或“中心”）【答案】平行中心【分析】由平行光線形成的投影是平行投影；由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源）發(fā)出的光線所形成的投影是中心投影．【詳解】由陽(yáng)光形成的影子是平行投影，由燈光形成的影子是中心投影，故答案為：平行；中心【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影和平行投影的概念，熟記概念是解題關(guān)鍵．13．（2023·湖南長(zhǎng)沙·校聯(lián)考二模）身高1.6米的小明利用影長(zhǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，如圖，當(dāng)他站在點(diǎn)C處時(shí)，他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合在點(diǎn)A處，測(cè)量得到米，米，則旗桿的高度是【答案】16米【分析】根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)旗桿高度為h，由題意得：，解得：（米）；故答案為：16米．【點(diǎn)睛】本題考查平行投影．熟練掌握同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例，是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）在相同時(shí)刻太陽(yáng)光線是平行的，如果高米的測(cè)桿影長(zhǎng)3米，那么此時(shí)影長(zhǎng)米的旗桿的高度為m【答案】【分析】根據(jù)平行投影的性質(zhì)列方程求解即可．【詳解】設(shè)旗桿的高度為x米∵測(cè)桿的高度：測(cè)桿的影長(zhǎng)=旗桿的高度：旗桿的影長(zhǎng)，∴，解得：米故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查平行投影，解題關(guān)鍵是根據(jù)平行投影可得比例式，進(jìn)而列出方程求解．15．（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，小明晚上由路A下的B處走到C處時(shí)，測(cè)得影子的長(zhǎng)為1米，繼續(xù)往前走3米到達(dá)E處時(shí)，測(cè)得影子的長(zhǎng)為2米，已知小明的身高是米，那么路燈的高度等于米．【答案】【分析】根據(jù)題意可知：，當(dāng)小明在處時(shí)，，即，當(dāng)小明在處時(shí)，，即，由，可得，設(shè)，，可得，可得，再根據(jù)，可得：，問(wèn)題隨之得解．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可知：，∵,當(dāng)小明在處時(shí)，，即，當(dāng)小明在處時(shí)，，即，∵身高不變，即，∴，即，∵米，米，米，米，設(shè)，，∴，即，即，解得：（經(jīng)檢驗(yàn)，此根是原方程的解），即根據(jù)，可得：，解得，，（經(jīng)檢驗(yàn)，此根是原方程的解），即路燈A的高度米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了中心投影的特點(diǎn)和規(guī)律以及相似三角形性質(zhì)的運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是利用中心投影的特點(diǎn)可知在這兩組相似三角形中有一組公共邊，利用其作為相等關(guān)系求出所需要的線段，再求公共邊的長(zhǎng)度．16．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）小華家客廳有一張直徑為，高為的圓桌，有一盞燈到地面垂直距離為，圓桌的影子為，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．【答案】/4米【分析】根據(jù)相似三角形的相似比等于對(duì)應(yīng)高的比，求出即可得到答案．【詳解】解：延長(zhǎng)交于，如圖所示：由題意得，，∵，∴，∴，即，解得，∴（），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查中心投影，正確將中心投影相關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相似三角形的問(wèn)題是解題關(guān)鍵．17．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）公元前6世紀(jì)，古希臘學(xué)者泰勒斯用圖1的方法巧測(cè)金字塔的高度．如圖2，小明仿照這個(gè)方法，測(cè)量圓錐形小山包的高度，已知圓錐底面周長(zhǎng)為．先在小山包旁邊立起一根木棒，當(dāng)木棒影子長(zhǎng)度等于木棒高度時(shí)，測(cè)得小山包影子長(zhǎng)為（直線過(guò)底面圓心），則小山包的高為（?。敬鸢浮俊痉治觥看祟}為平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根據(jù)圓錐底面周長(zhǎng)求出圓錐底面圓的半徑，最后推論出高．【詳解】連接，過(guò)作于，由題意可知，∴∵圓錐底面周長(zhǎng)為．∴，解得，∵,∴∴小山包的高為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查平行投影，解題關(guān)鍵是根據(jù)通過(guò)三角形相似，將小山包的高轉(zhuǎn)化為的長(zhǎng)進(jìn)行求解．18．（2023·浙江·一模）日晷是我國(guó)古代利用日影測(cè)定時(shí)刻的一種計(jì)時(shí)儀器，它由“晷面”和“晷針”組成，古人常用的日晷有水平式日晷（圖1）和赤道式日晷（圖2）．其中水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度且“晷面”與地面平行；赤道式日晷的“晷面”與赤道面平行當(dāng)太陽(yáng)光照在日晷上時(shí)，晷針的影子就會(huì)投向晷面．隨著時(shí)間的推移，晷針的影子在晷面上慢慢地移動(dòng)，以此來(lái)顯示時(shí)刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均勻，赤道式日晷的“晷面”刻度則是均勻的．

（1）如圖1，當(dāng)水平式日晷放在緯度為（即）位置時(shí)，晷針與晷面的夾角為°．（2）如圖3，將兩種日晷的“晷針”重合，n小時(shí)后，兩種日晷對(duì)應(yīng)的時(shí)刻一致，即兩種晷“晷針”的影子所在的直線相交于點(diǎn)．此時(shí)與滿足的關(guān)系式．【答案】【分析】（1）根據(jù)水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，根據(jù)平行投影證明，根據(jù)，得出即可．【詳解】解：（1）∵水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度，∴當(dāng)水平式日晷放在緯度為（即）位置時(shí)，晷針與晷面的夾角為；故答案為：；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：

則，∴，根據(jù)題意可知，赤道日晷的晷面與晷針垂直，∴，∴，∴，∴，根據(jù)平行投影可知，當(dāng)12點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在水平方向的投影為點(diǎn)E，經(jīng)過(guò)n小時(shí)后，的投影在上，因此，∵，

∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移投影的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，發(fā)揮空間想象能力，根據(jù)平行投影得出．三、解答題19．（2020秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）小紅想利用陽(yáng)光下的影長(zhǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．如圖，他在某一時(shí)刻在地面上豎直立一個(gè)2米長(zhǎng)的標(biāo)桿，測(cè)得其影長(zhǎng)米．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出此時(shí)旗桿在陽(yáng)光下的投影．(2)如果，求旗桿的高．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)6.4米【分析】（1）連接，過(guò)點(diǎn)A作交于，則為所求；（2）利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：連接，過(guò)點(diǎn)A作交于，則為所求，如圖，（2）解：∵，，而，，，即，．答：旗桿的高為．【點(diǎn)睛】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，相似三角形的應(yīng)用，平行投影等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．20．（2022秋·遼寧丹東·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，身高米的小明站在處，路燈底部到的距離為米，此時(shí)小明的影長(zhǎng)米．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出表示路燈高的線段并求出路燈的高度；(2)小明沿所在直線又行走了一段距離到達(dá)處，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出表示小明在處時(shí)影長(zhǎng)的線段．【答案】(1)，圖見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，為所求，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則為所求【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，為所求

由題意知：米，米，米，∴米∵，∴∴

即

解得答：路燈高度為7.5米（2）如圖，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則為所求

【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握中心投影是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋·廣東茂名·九年級(jí)統(tǒng)考期末）小紅想利用陽(yáng)光下的影長(zhǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，如圖，他在某一時(shí)刻在地面上豎直立一個(gè)2m長(zhǎng)的標(biāo)桿，測(cè)得其影長(zhǎng)m．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出此時(shí)旗桿在陽(yáng)光下的投影；(2)如果m，求旗桿的高．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)旗桿的高為．【分析】（1）根據(jù)太陽(yáng)光是平行光，畫出圖即可；（2）根據(jù)太陽(yáng)光是平行光，可得，可證明，再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出答案．【詳解】（1）解：連接，過(guò)A點(diǎn)作交于，則為所求，如圖；

（2）∵，∴，而，∴，

∴，即，∴m．

答：旗桿的高為m．【點(diǎn)睛】本題考查投影作圖，相似三角形的判斷和性質(zhì)，理解太陽(yáng)光是平行光，并證明出三角形相似是解題的關(guān)鍵．22．（2023春·河南信陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）陽(yáng)光明媚的天，實(shí)踐課上，亮亮準(zhǔn)備用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量教學(xué)樓前一座假山AB的高度，如圖，亮亮在地面上的點(diǎn)F處，眼睛貼地觀察，看到假山頂端A、教學(xué)樓頂端C在一條直線上．此時(shí)他起身在F處站直，發(fā)現(xiàn)自己的影子末端和教學(xué)樓的影子末端恰好重合于點(diǎn)G處，測(cè)得米，亮亮的身高EF為1.6米．假山的底部B處因有花園圍欄，無(wú)法到達(dá)，但經(jīng)詢問(wèn)和進(jìn)行部分測(cè)量后得知，米，點(diǎn)D、B、F、G在一條直線上，，，，已知教學(xué)樓的高度為16米，請(qǐng)你求出假山的高度．

【答案】【分析】根據(jù)同一時(shí)刻，物高和影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例得到，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的長(zhǎng)，證明，列式求解即可．【詳解】解：由題意，得：，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似．23．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)校聯(lián)考期中）李航想利用太陽(yáng)光測(cè)量樓高．他帶著皮尺來(lái)到一棟樓下，發(fā)現(xiàn)對(duì)面墻上有這棟樓的影子，針對(duì)這種情況，他設(shè)計(jì)了一種測(cè)量方案，具體測(cè)量情況如下：如示意圖，李航邊移動(dòng)邊觀察，發(fā)現(xiàn)站到點(diǎn)E處時(shí)，可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊，且高度恰好相同．此時(shí)，測(cè)得李航落在墻上的影子高度CD=1.2m，CE=0.6m，CA=30m（點(diǎn)A、E、C在同一直線上）．已知李航的身高EF是1.6m，請(qǐng)你幫李航求出樓高AB．【答案】21.2m【分析】過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AB，可得四邊形CDME、ACDN是矩形，即可證明△DFM∽△DBN，從而得出BN，進(jìn)而求得AB的長(zhǎng)．【詳解】解：作DN⊥AB.垂足為N,交EF于M,∴四邊形CDME、ACDN是矩形，∴AN=ME=CD=1.2m，DN=AC=30m，DM=CE=0.6m，∴MF=EF-ME=1.6-1.2=0.4m，∴依題意知，EF∥AB，∴△DFM∽△DBN，∴，即：，∴BN=20，∴AB=BN+AN=20+1.2=21.2答：樓高為21.2米．【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影和相似三角形的應(yīng)用，是中考常見(jiàn)題型，要熟練掌握．24．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）小明在晚上由路燈走向路燈，當(dāng)他走到處時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后影子頂部正好觸到路燈底部，當(dāng)他向前再步行到達(dá)時(shí)，發(fā)現(xiàn)他的影子的頂點(diǎn)正好接觸到路燈的底部．已知小明的身高是，兩個(gè)路燈的高度都是，且．(1)求：兩個(gè)路燈之間的距離；(2)小明在兩個(gè)路燈之間行走時(shí)，在兩個(gè)路燈下的影長(zhǎng)之和是否為定值？如果是定值，直接寫出此定值，如果不是定值，求說(shuō)明理由．【答案】(1)兩路燈之間的距離為米