2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記·巧練（北師大版）第5章 投影與視圖（知識(shí)歸納+題型突破）（原卷版）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記·巧練（北師大版）

第5章投影與視圖（知識(shí)歸納+題型突破）1.在觀察、操作、想象等活動(dòng)中增強(qiáng)對(duì)空間物體的把握和理解能力；

2.通過實(shí)例了解中心投影與平行投影；

3.會(huì)畫直棱柱、圓柱、圓錐和球的三種視圖；4.能根據(jù)三種視圖描述簡(jiǎn)單的幾何體.一、投影投影現(xiàn)象物體在光線的照射下，會(huì)在地面或其他平面上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象.影子所在的平面稱為投影面.2.中心投影

手電筒、路燈和臺(tái)燈的光線可以看成是從一點(diǎn)發(fā)出的，這樣的光線照射在物體上所形成的投影，稱為中心投影.相應(yīng)地，我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：(1)等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng).

(2)等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短.

在中心投影的情況下，還有這樣一個(gè)重要結(jié)論：點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位置.

要點(diǎn)：

光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).3.平行投影

1.平行投影的定義：太陽(yáng)光線可看成平行光線，平行光線所形成的投影稱為平行投影.相應(yīng)地，我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：

①等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在太陽(yáng)光下，它們的影子一樣長(zhǎng).

②等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示，它們?cè)谔?yáng)光下的影子一樣長(zhǎng)，且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng)度.

2.物高與影長(zhǎng)的關(guān)系①在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時(shí)刻，物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長(zhǎng)也是由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng).②在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成正比例.

即：.

利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.

注意：利用影長(zhǎng)計(jì)算物高時(shí)，要注意的是測(cè)量?jī)晌矬w在同一時(shí)刻的影長(zhǎng).

要點(diǎn)：1．平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.利用平行投影知識(shí)解題要分清不同時(shí)刻和同一時(shí)刻.

2．物體與影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是平行的就說明是平行光線.4、正投影如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點(diǎn)，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對(duì)著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，當(dāng)平行光線與投影面垂直時(shí)，這種投影稱為正投影.要點(diǎn)：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.

二、中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系1.區(qū)別：（1）太陽(yáng)光線是平行的，故太陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)度都與物體高度成比例；燈光是發(fā)散的，燈光下的影子與物體高度不一定成比例.

（2）同一時(shí)刻，太陽(yáng)光下影子的方向總是在同一方向，而燈光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.2.聯(lián)系：（1）中心投影、平行投影都是研究物體投影的一種，只不過平行投影是在平行光線下所形成的投影，通常的平行光線有太陽(yáng)光線、月光等，而中心投影是從一點(diǎn)發(fā)出的光線所形成的投影，通常狀況下，燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點(diǎn)發(fā)射出來的光線.

（2）在平行投影中，同一時(shí)刻改變物體的方向和位置，其投影也跟著發(fā)生變化；在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也跟著發(fā)生變化.在中心投影中，固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發(fā)生變化.

要點(diǎn)：在解決有關(guān)投影的問題時(shí)必須先判斷準(zhǔn)確是平行投影還是中心投影，然后再根據(jù)它們的具體特點(diǎn)進(jìn)一步解決問題.

三、視圖1.三視圖

（1）視圖：用正投影的方法繪制的物體在投影面上的圖形，稱為物體的視圖.

（2）三視圖

在實(shí)際生活和工程中，人們常常從正面、左面和上面三個(gè)不同方向觀察一個(gè)物體，分別得到這個(gè)物體的三個(gè)視圖.通常我們把從正面得到的視圖叫做主視圖，從左面得到的視圖叫做左視圖，從上面得到的視圖叫做俯視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.

2.三視圖之間的關(guān)系（1）位置關(guān)系

一般地，把俯視圖畫在主視圖下面，把左視圖畫在主視圖右面，如圖(1)所示.

（2）大小關(guān)系

三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.如圖(2)所示.

要點(diǎn)：三視圖把物體的長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方面反映到各個(gè)視圖上，具體地說，主視圖反映物體的長(zhǎng)和高；俯視圖反映物體的長(zhǎng)和寬，左視圖反映物體的高和寬，抓住這些特征能為畫物體的三視圖打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).3.畫幾何體的三視圖畫一個(gè)幾何體的三視圖時(shí)，要從三個(gè)方面觀察幾何體，具體畫法如下：

(1)確定主視圖的位置，畫出主視圖；

(2)在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長(zhǎng)對(duì)正”；

(3)在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.

幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線要畫成虛線.

要點(diǎn)：畫一個(gè)幾何體的三視圖，關(guān)鍵是把從正面、上方、左邊三個(gè)方向觀察時(shí)所得的視圖畫出來，所以，首先要注意觀察時(shí)視線與觀察面垂直，即觀察到的平面圖是該圖的正投影；其二，要注意正確地用虛線表示看不到的輪廓線；其三，要充分發(fā)揮想象，多實(shí)踐，多與同學(xué)交流探討，多總結(jié)；最后，按三視圖的位置和大小要求從整體上畫出幾何體的三視圖.4.由三視圖想象幾何體的形狀

由三視圖想象幾何體的形狀，首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側(cè)面，然后綜合起來考慮整體圖形.

要點(diǎn)：由物體的三視圖想象幾何體的形狀有一定的難度，可以從如下途徑進(jìn)行分析：(1)根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀以及幾何體的長(zhǎng)、寬、高；(2)根據(jù)實(shí)線和虛線想象幾何體看得見和看不見的輪廓線；(3)熟記一些簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖會(huì)對(duì)復(fù)雜幾何體的想象有幫助；(4)利用由三視圖畫幾何體與由幾何體畫三視圖為互逆過程，反復(fù)練習(xí)，不斷總結(jié)方法.題型一平行投影【例1】下列光線所形成的投影是平行投影的是（

）A．太陽(yáng)光線 B．臺(tái)燈的光線 C．手電筒的光線 D．路燈的光線鞏固訓(xùn)練：1．下圖中各投影是平行投影的是（

）A． B．C． D．2．如圖，一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正五邊形，若，則（）

A．56° B．66° C．72° D．76°題型二中心投影【例2】中心投影的光線是（

）A．平行的 B．從一點(diǎn)發(fā)出的 C．不平行的 D．向四面發(fā)散的鞏固訓(xùn)練：1．當(dāng)你走在路燈下，越來越接近路燈時(shí)，你的影子的長(zhǎng)是如何變化（

）A．變長(zhǎng) B．變短 C．不變 D．無(wú)法確定2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是一個(gè)光源．木桿兩端的坐標(biāo)分別為，．則木桿在x軸上的投影長(zhǎng)為（

）

A． B． C．5 D．6題型三正投影【例3】物體正投影的形狀、大小與它相對(duì)于投影面的位置有關(guān)．一個(gè)三角板的正投影不可能是（

）A．一條線段 B．一個(gè)與原三角板全等的三角形C．一個(gè)等腰三角形 D．一個(gè)小圓點(diǎn)鞏固訓(xùn)練：1．一個(gè)正五棱柱如下圖擺放，光線由上到下照射此正五棱柱時(shí)的正投影是（

）A． B． C． D．2．幻燈機(jī)是教師常用的教具之一，它能把精致的圖片投到銀幕上，如圖，在與中，下列結(jié)論一定正確的是（

）

A．B． C． D．3．如圖，一塊含角的直角三角形木板，將它的直角頂點(diǎn)放置于直線上，點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的正投影分別是點(diǎn)，點(diǎn)，若，，則在直線上的正投影的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．題型四視點(diǎn)、視角和盲區(qū)【例4】．如圖，從點(diǎn)觀測(cè)建筑物的視角是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在房子屋檐E處安有一臺(tái)監(jiān)視器，房子前有一面落地的廣告牌，那么監(jiān)視器的盲區(qū)是（）

A． B． C． D．四邊形2．圖1表示正六棱柱形狀的高大建筑物，圖2中的陰影部分表示該建筑物的俯視圖，P、Q、M、N表示小明在地面上的活動(dòng)區(qū)域．小明想同時(shí)看到該建筑物的三個(gè)側(cè)面，他應(yīng)在（）A．P區(qū)域 B．Q區(qū)域 C．M區(qū)域 D．N區(qū)域題型五三視圖【例5】．如圖是由四個(gè)相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖為（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．如圖是一個(gè)放置在水平試驗(yàn)臺(tái)上的錐形瓶，從上往下看該立體圖形得到的平面圖形是（

）

A．

B．

C．

D．

2．如圖是某組合體的三視圖，則該組合體是（

）

A．

B．

C．

D．

題型六由三視圖求體積和表面積【例6】．如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體從正面、上面看到的圖形如圖所示，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積等于（

）

A．18 B．12 C．9 D．6鞏固訓(xùn)練：1．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的側(cè)面積是（）

A． B． C． D．2．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（結(jié)果保留π）．

題型七由三視圖判斷正方體個(gè)數(shù)最少或最多問題【例7】．由一些完全相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖和左視圖如圖所示，組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少和最多分別是（

）A．5，10 B．6，10 C．6，9 D．5，9鞏固訓(xùn)練：1．由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則搭成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最多為（

）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)2．由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體從正面看和從上面看如圖所示，則搭成該幾何體的小正方體最多是個(gè)．題型八投影與視圖綜合解答題【例8】．下列物體是由六個(gè)小正方體搭成的，分別畫出從正面、左面、上面看到的立體圖形的形狀．

鞏固訓(xùn)練：1．由小立方體堆成的某幾何體的俯視圖如圖所示，其中正方形內(nèi)的數(shù)字表示該位置小方塊的個(gè)數(shù)，請(qǐng)你畫出該幾何體的主視圖和左視圖．2．陽(yáng)光明媚的天，實(shí)踐課上，亮亮準(zhǔn)備用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量教學(xué)樓前一座假山AB的高度，如圖，亮亮在地面上的點(diǎn)F處，眼睛貼地觀察，看到假山頂端A、教學(xué)樓頂端C在一條直線上．此時(shí)他起身在F處站直，發(fā)現(xiàn)自己的影子末端和教學(xué)樓的影子末端恰好重合于點(diǎn)G處，測(cè)得米，亮亮的身高EF為1.6米．假山的底部B處因有花園圍欄，無(wú)法到達(dá)，但經(jīng)詢問和進(jìn)行部分測(cè)量后得知，米，點(diǎn)D、B、F、G在一條直線上，，，，已知教學(xué)樓的高度為16米，請(qǐng)你求出假山的高度．

3．某工廠要加工一批上下底密封紙盒，設(shè)計(jì)者給出了密封紙盒的三視圖，如圖1．

(1)由三視圖可知，密封紙盒的形狀是______________；(2)根據(jù)該幾何體的三視圖，在圖2中補(bǔ)全它的表面展開圖；(3)請(qǐng)你根據(jù)圖1中的數(shù)據(jù)，計(jì)算這個(gè)密封紙盒的側(cè)面積．4．甲、乙兩棟樓的位置如圖所示，甲樓高16米．當(dāng)?shù)刂形?2時(shí)，物高與影長(zhǎng)的比是．

(1)如圖1，當(dāng)?shù)刂形?2時(shí)，甲樓的影子剛好不落到乙樓上，則兩樓間距的長(zhǎng)為_________米．(2)當(dāng)?shù)叵挛?4時(shí)，物高與影長(zhǎng)的比是．如圖2，甲樓的影子有一部分落在乙樓上，求落在乙樓上的影子的長(zhǎng)．5．通常，路燈、臺(tái)燈、手電筒……的光可以看成是從一個(gè)點(diǎn)發(fā)出的，在點(diǎn)光源的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為中心投影．(1)【畫圖操作】如圖①，三根底部在同一直線上的旗桿直立在地面上，第一根、第二根旗桿在同一燈光下的影長(zhǎng)如圖所示．請(qǐng)?jiān)趫D中畫出光源的位置及第三根旗桿在該燈光下的影長(zhǎng)（不寫畫法）；

(2)【數(shù)學(xué)思考】如圖②，夜晚，小明從點(diǎn)A經(jīng)過路燈C的正下方沿直線走到點(diǎn)B，他的影長(zhǎng)y隨他與點(diǎn)A之間的距離x的變化而變化，那么表示y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖像大致為________；A．

B．

C．

D．

(3)【解決問題】如圖③，河對(duì)岸有一燈桿，在燈光下，小明在點(diǎn)D處測(cè)得自己的影長(zhǎng)，沿方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)F處測(cè)得自己的影長(zhǎng)．已知小明的身高為，求燈桿的高度．

6．（1）一個(gè)幾何體由一些大小相同的小正方體搭成，如圖是從上面看這個(gè)幾何體的形狀圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小正方體的個(gè)數(shù)，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出從正面和左面看到的幾何體的形狀圖．（2）用小立方塊搭一幾何體，使它從正面看，從左面看，從上面看得到的圖形如圖所示．請(qǐng)?jiān)趶纳厦婵吹降膱D形的小正方