2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記·巧練（北師大版）第6章 反比例函數(shù)（壓軸題專練）（原卷版）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記·巧練（北師大版）

第6章反比例函數(shù)（壓軸題專練）題型01：反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題1．定義：把橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．如圖，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)相交于整點(diǎn)A，與一次函數(shù)相交于整點(diǎn)B、C，正比例函數(shù)與一次函數(shù)相交于點(diǎn)D，線段與線段上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)之比記作．

(1)當(dāng)時(shí)，求D點(diǎn)的坐標(biāo)和m值．(2)當(dāng)線段BC上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為7，時(shí)，求t的值．(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出t與m之間的關(guān)系式．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與雙曲線交于點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)為，作軸交直線于點(diǎn)，連接、．

(1)求a、b的值；(2)求的面積與的函數(shù)關(guān)系式，并求的最大值；(3)當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，連接，并將直線向上平移個(gè)單位后與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)、、三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、、，是否存在正實(shí)數(shù)使得等式成立，如果存在，求出的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．3．圖形的平移變換、對(duì)稱變換等是研究幾何圖形常用方法，小明同學(xué)用平移變換和對(duì)稱變換對(duì)直線和曲線進(jìn)行了探究：探究一：如圖1，當(dāng)直線l與曲線c有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，n的值是多少？探究二：如圖2，直線l與曲線c交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是；直線與曲線c和直線l分別交于E，G兩點(diǎn)，則與的比值是多少？探究三：如圖3，將曲線c沿直線l翻折得另一曲線，直線與兩條曲線分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若，則n的值是多少？請(qǐng)完成小明提出的以上三個(gè)探究，并寫出探究過程．

4．如圖，已知線段，，，現(xiàn)將線段沿y軸方向向下平移得到線段．直線過M、N兩點(diǎn)，且M、N兩點(diǎn)恰好也落在雙曲線的一條分支上，

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)①直接寫出不等式的解集；②若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，且的面積為8.5，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)，在雙曲線上，試比較和的大?。?．如圖所示，直線的圖像與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)交于的C，且B為線段的中點(diǎn)，向上平移直線與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，四邊形為平行四邊形．

(1)若，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_______，反比例函數(shù)的表達(dá)式為_______；(2)在（1）的條件下，求平移后的直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)平行四邊形的面積等于30時(shí)，求的值．題型02：反比例函數(shù)與幾何-存在性問題6．如圖，直線與雙曲線交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)是雙曲線第一象限分支上的一點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，且．

(1)求的值，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，，求的最小值和點(diǎn)坐標(biāo)；(3)是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，，使得四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．7．綜合與實(shí)踐如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，把線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，與直線交于兩點(diǎn)E和F．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)如圖2，若點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是1，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)是．①直接寫出線段和的數(shù)量關(guān)系和當(dāng)時(shí)，x的取值范圍；②連接和，求的面積；(3)當(dāng)點(diǎn)M在x軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在反比例函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)A，D，M和N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是反比例函數(shù)的圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸交直線于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，且，連接(1)求k，b的值.(2)當(dāng)?shù)拿娣e為3時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)設(shè)的中點(diǎn)為C，點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)E為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).9．如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，作直線．

(1)判斷點(diǎn)B是否在反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由；(2)如圖1，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C和點(diǎn)D，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是4，順次連接，，和．求證：四邊形是矩形；(3)已知點(diǎn)P在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)O，B，P和Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．題型03：反比例函數(shù)與幾何-最值問題10．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰的邊與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，其中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)H．

(1)已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)O，B，求該一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是線段上的一點(diǎn)，滿足，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，記的面積為，設(shè)①用t表示T（不需要寫出t的取值范圍）；②當(dāng)T取最小值時(shí)，求m的值．11．【思路點(diǎn)撥】：如圖1，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作軸，軸的垂線，垂足為，，連結(jié)，，．可以利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)證明，從而由點(diǎn)的坐標(biāo)可求點(diǎn)的坐標(biāo)．【應(yīng)用拓展】：如圖2，若點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且在函數(shù)的圖象上．

(1)求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是直線．上的任意一點(diǎn)，連結(jié)，，求的最小值．題型04：反比例函數(shù)與幾何-動(dòng)態(tài)幾何12．在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)后，小華在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中畫出了和的圖像，兩個(gè)函數(shù)圖像交于兩點(diǎn)，在線段上選取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的平行線交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)Q（如圖1），在點(diǎn)P移動(dòng)的過程中，發(fā)現(xiàn)的長(zhǎng)度隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化．為了進(jìn)一步研究的長(zhǎng)度與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，小華提出了下列問題：

(1)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，的長(zhǎng)度為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為______；(2)為了進(jìn)一步研究（1）中的函數(shù)關(guān)系，決定運(yùn)用列表，描點(diǎn)，連線的方法繪制函數(shù)的圖像：①列表：x123469y0m4n0表中m＝______，n＝______；②描點(diǎn)：根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，在圖2中描出各點(diǎn)；③連線：請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出該函數(shù)的圖像．觀察函數(shù)圖像，當(dāng)______時(shí)，y的最大值為______．(3)①已知某矩形的一組鄰邊長(zhǎng)分別為m，n，且該矩形的周長(zhǎng)W與n存在函數(shù)關(guān)系，求m取最大值時(shí)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)．②如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)M為反比例函數(shù)上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)D．求四邊形面積的最小值．13．已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，點(diǎn)在軸上，連接，如圖1，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)，點(diǎn)正好落在軸上．

(1)求的值和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接、，①如圖2，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，試說明平分；②如圖3，連接交于點(diǎn)，將沿著翻折，記點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，若點(diǎn)恰好落在線段上，求與面積之比．14．如圖1，在線段上找一點(diǎn)，把分成和兩段，且滿足，則我們稱點(diǎn)為線段的品質(zhì)點(diǎn)，他們的比們叫做品質(zhì)數(shù)，記為．即：．顯然，品質(zhì)數(shù)與線段的長(zhǎng)度無關(guān)，是一個(gè)定值．

(1)求的值；(2)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正方形的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，邊分別在軸、軸上，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，使得沿所在直線折疊后點(diǎn)與上的點(diǎn)重合．求證：是線段的品質(zhì)點(diǎn)；(3)在（2）的條件下，如圖3，已知點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，并與過點(diǎn)的反比例函數(shù)分別交于兩點(diǎn)(其中)，若為線段的品質(zhì)點(diǎn)，求的取值范圍．題型05：反比例函數(shù)新定義題15．中國(guó)象棋棋盤上雙方的分界處也稱為“楚河漢界”，以“楚河漢界”比喻軍對(duì)壘的分界線，數(shù)學(xué)中為了對(duì)兩個(gè)圖形進(jìn)行分界，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)“楚河漢界線”給出如下定義：點(diǎn)P是圖形上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是圖形上的任意一點(diǎn)，若存在直線L：滿足且，則稱直線L：是圖形與的“楚河漢界線”．例如：如圖1，直線l：是函數(shù)的圖象與正方形的一條“楚河漢界線”．

(1)在直線①，②，③，④中，是圖1函數(shù)的圖象與正方形的“楚河漢界線”的有___________（填序號(hào)）：(2)如圖2，第一象限的等腰直角的兩腰分別與坐標(biāo)軸平行，直角頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是，與的“楚河漢界線”有且只有一條，求出此“楚河漢界線”的表達(dá)式；(3)正方形的一邊在y軸上，其他三邊都在y軸的右側(cè)，點(diǎn)M是此正方形的中心，若存在直線是函數(shù)的圖象與正方形的“楚河漢界線”，求t的取值范圍．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系第一象限中，當(dāng)，為正整數(shù)時(shí)：

將反比例函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)叫做“雙曲格點(diǎn)”，記作，例如，點(diǎn)表示圖象上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．把的圖象沿著軸平移或以平行于軸的直線為對(duì)稱軸進(jìn)行翻折，將得到的函數(shù)圖象叫做它的“派生曲線”，例如，圖中的曲線是圖象的一條“派生曲線”．(1)①“雙曲格點(diǎn)”的坐標(biāo)為；②若線段的長(zhǎng)為，則．(2)若“雙曲格點(diǎn)”，的縱坐標(biāo)之和為，求線段的長(zhǎng)；(3)圖中的曲線是圖象的一條“派生曲線”，且經(jīng)過點(diǎn)，則的函數(shù)表達(dá)式為；(4)已知圖象的“派生曲線”經(jīng)過“雙曲格點(diǎn)”，且不與的圖象重合，試在圖中畫出的位置(先描點(diǎn)，再連線)17．類比一次函數(shù)和反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，某數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)小組嘗試探究“的函數(shù)圖像與性質(zhì)”，進(jìn)行了如下活動(dòng)．(1)【小組合作：討論交流】同學(xué)甲說：“我們可以從表達(dá)式分析，猜想圖像位置．”同學(xué)乙回應(yīng)道：“是的，因?yàn)樽宰兞康娜≈捣秶?，所以圖像與軸不相交．”同學(xué)丙補(bǔ)充說：“又因?yàn)楹瘮?shù)值大于0，所以圖像一定在第象限．”……(2)【獨(dú)立操作：探究性質(zhì)】在平面直角坐標(biāo)系中，畫出的圖像．

結(jié)合圖像，描述函數(shù)圖像與性質(zhì)：①函數(shù)的圖像是兩條曲線；②該函數(shù)圖像關(guān)于______________對(duì)稱；③圖像的增減性是__________________；④同學(xué)丁說：“將第二象限的曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，與第一象限的曲線重合．”請(qǐng)你判斷同學(xué)丁的說法是否正確？若錯(cuò)誤，舉出反例；若正確，請(qǐng)說明理由．(3)【拓展探究：綜合應(yīng)用】直接寫出不等式的解集是____________________．18．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，且點(diǎn)N的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時(shí)，則稱點(diǎn)N為圖形M的“夢(mèng)之點(diǎn)”．

(1)如圖①，矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，在點(diǎn)，，中，是矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”的是___________；(2)點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，則該函數(shù)圖象上的另一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”H的坐標(biāo)是___________，直線的解析式是___________．當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是___________．(3)如圖②，已知點(diǎn)A，B是拋物線上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，連接，，，判斷的形狀，并說明理由．題型06：反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用19．綜合與實(shí)踐如圖1，某興趣小組計(jì)劃開墾一個(gè)面積為的矩形地塊種植農(nóng)作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長(zhǎng)為．

【問題提出】小組同學(xué)提出這樣一個(gè)問題：若，能否圍出矩形地塊？【問題探究】小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個(gè)問題：設(shè)為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)；木欄總長(zhǎng)為，得到，滿足條件的可看成一次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的就可以看成兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)．如圖2，反比例函數(shù)的圖象與直線：的交點(diǎn)坐標(biāo)為和_________，因此，木欄總長(zhǎng)為時(shí)，能圍出矩形地塊，分別為：，；或___________m，__________m．

（1）根據(jù)小穎的分析思路，完成上面的填空．【類比探究】（2）若，能否圍出矩形地塊？請(qǐng)仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數(shù)圖象并說明理由．【問題延伸】當(dāng)木欄總長(zhǎng)為時(shí)，小穎建立了一次函數(shù)．發(fā)現(xiàn)直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，直線與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)．（3）請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出直線過點(diǎn)時(shí)的圖象，并求出的值．【拓展應(yīng)用】小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問題”可以轉(zhuǎn)化為“與圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn)的存在問題”．（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長(zhǎng)均不小于，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．20．某果農(nóng)今年試種了一種新品種的水果，5月份開始上市．根據(jù)其它相似產(chǎn)品的銷售經(jīng)驗(yàn)，若設(shè)該水果上市第t天的銷售單價(jià)為（元/千克），則與之間滿足如下關(guān)系：t123456…P（元/千克）1206040302420…而該水果每天的銷售量（千克）與t之間滿足的函數(shù)關(guān)系如下圖所示：

(1)猜想銷售單價(jià)P與t之間滿足我們學(xué)過的哪種函數(shù)關(guān)系？并直接寫出銷售單價(jià)P與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出自變量取值范圍）；(2)求每天的銷售量s（千克）與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求上市第幾天銷售量最大，最大銷售量是多少千克？(3)當(dāng)每天的銷售收入低于600元時(shí)，該水果將失去生產(chǎn)銷售的價(jià)值．該水果最只能上市銷售幾天？最低銷售單價(jià)是多少元？（銷售收入＝銷售單價(jià)P×銷售量S）(4)當(dāng)每天的銷售量不低于200千克時(shí)，這種水果的最低售價(jià)是多少元？21．為了探索函數(shù)的圖象與性質(zhì)，我們參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法，列表：x…12345…y…2…描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，如圖1所示：(1)如