2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假提升學(xué)與練（人教版）第04講 勾股定理（解析版）

第04講勾股定理1．勾股定理勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：．【注意】（1）應(yīng)用勾股定理時(shí)，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=c2時(shí)，斜邊只能是c．若b為斜邊，則關(guān)系式是a2+c2=b2；若a為斜邊，則關(guān)系式是b2+c2=a2．（2）如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時(shí)必須進(jìn)行分類討論，以免漏解．公式變形，，，，，.2．勾股定理的證明在西方，勾股定理被稱為畢達(dá)哥拉斯定理．對(duì)于勾股定理的證明，現(xiàn)在世界上已找出很多種運(yùn)用圖形的割、移、補(bǔ)、拼構(gòu)造特殊圖形，并根據(jù)面積之間的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)的方法，著名的證法有趙爽“勾股圓方圖”（“趙爽弦圖”）、劉徽（“青朱出入圖”）、加菲爾德總統(tǒng)拼圖、畢達(dá)哥拉斯拼圖等．1.已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng)，關(guān)鍵是先明確所求邊是斜邊還是直角邊，再?zèng)Q定用勾股定理的原式還是變式．2.勾股定理的證明是通過拼圖法或割補(bǔ)法完成的，探索時(shí)利用面積關(guān)系，將“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題．下面是勾股定理的幾種常用證明方法：方法1等面積法：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以.方法2趙爽弦圖法：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以.方法3總統(tǒng)證明法：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形．，所以.3.利用勾股定理解應(yīng)用題的關(guān)鍵是尋找直角三角形，若不存在直角三角形，可通過添加輔助線構(gòu)造出直角三角形．經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想和方程思想.考點(diǎn)剖析【考點(diǎn)1】利用勾股定理求邊長(zhǎng)【例1】如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，，，垂足為，與交于點(diǎn)，(1)求的長(zhǎng)；(2)求的長(zhǎng)．【解析】（1）在中，，，，，；（2）如圖，連接，，，，平分，，在和中，，，，．設(shè)，則，由勾股定理可得：，，解得，．【變式1】在中，，，，，為垂足．求的長(zhǎng)．【解析】在中，，，，∴由勾股定理得，∵，∴，∴．【考點(diǎn)2】以直角三角形的三邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的圖形面積【例2】如圖，在四邊形中，，分別以四邊形的四條邊為邊長(zhǎng)，向外作四個(gè)正方形，面積分別為，，，．若，，，則的值為．【答案】16【解析】如圖，連接，在中，，．在中，，，解得．故答案為：16．【變式2】如圖，由兩個(gè)直角三角形和三個(gè)正方形組成的圖形，其中陰影部分的面積是．【答案】25【解析】如圖，在中，，，則，∵四邊形為正方形，∴，在中，，∴陰影部分的面積是25，故答案為：25．【考點(diǎn)3】勾股定理與網(wǎng)格問題【例3】如圖，由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成一個(gè)大長(zhǎng)方形，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得到，則中邊上的高是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)中邊上的高為h，由勾股定理，得，∵，，∴，解得，∴中邊上的高是．故選A．【變式3】如圖，在網(wǎng)格圖中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C均在小正方形的頂點(diǎn)上，則點(diǎn)C到的距離為．【答案】【解析】由勾股定理得，．設(shè)點(diǎn)C到的距離為d，則有，解得，所以點(diǎn)C到的距離為．答案為：．【考點(diǎn)4】利用勾股定理解翻折問題【例4】如圖所示，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊，，現(xiàn)將直角邊沿直線折疊，使它落在斜邊上且與重合，求的長(zhǎng).【解析】在直角三角形中，，，由勾股定理可知：，由折疊的性質(zhì)可知：，，∴，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，即，解得，∴．【變式4】如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形紙片折疊，使點(diǎn)D落在邊的中點(diǎn)E處，折痕為，則線段的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，由折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴，故選A．【考點(diǎn)5】勾股定理與弦圖問題【例5】清代數(shù)學(xué)家梅文鼎在《勾股舉隅》一書中，用四個(gè)全等的直角三角形拼出正方形的方法證明了勾股定理（如圖），連接，若，，則正方形的面積為．【答案】【解析】如圖所示，由四個(gè)全等的直角三角形可得，，由勾股定理得，，∴，∴，由勾股定理得，，即正方形的面積為．故答案為：．【變式5】如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)為5，大正方形的邊長(zhǎng)為13，則中間小正方形的面積是．【答案】49【解析】由題意可得：小正方形的邊長(zhǎng)，小正方形的面積為，故答案為：49．【考點(diǎn)6】利用勾股定理求兩坐標(biāo)間的距離【例6】在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，P為x軸上的一點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】或【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵，∴，，，當(dāng)時(shí)，則，∴，解得，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，則軸，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或，故答案為：或．【變式6】點(diǎn)到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為，到原點(diǎn)的距離為．【答案】84【解析】點(diǎn)到x軸的距離為8，到y(tǒng)軸的距離為4，到原點(diǎn)的距離為；故答案為：．【考點(diǎn)7】利用勾股定理求最值問題【例7】如圖，在中，，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為直角邊在左側(cè)作等腰直角，且，連接，則的最小值為．【答案】18【解析】作于點(diǎn)，，，，，，，是等腰直角三角形，且，，，，，的最小值為3，當(dāng)時(shí)，，的最小值為18．故答案為：18．【變式7】如圖，在中，，，點(diǎn)D為上一點(diǎn)且，點(diǎn)F和點(diǎn)E分別是線段和上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，則三角形周長(zhǎng)的最小值為．【答案】【解析】如圖，作D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，作D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)H，連接交于F、交于E，則此時(shí)的周長(zhǎng)最小，且周長(zhǎng)的最小值為的長(zhǎng)度，∵垂直平分，∴，，∴．∵，∴，∴，即三角形周長(zhǎng)的最小值為，故答案為：．【考點(diǎn)8】利用勾股定理證線段之間的平方關(guān)系【例8】如圖，在中，已知，是斜邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，，求的周長(zhǎng)及的長(zhǎng)．【解析】（1）∵是斜邊的中點(diǎn)，，∴是線段的垂直平分線，∴.在中，由勾股定理得，∴，即.（2）∵是斜邊的中點(diǎn)，，∴.在中，由勾股定理得，∴.又∵，∴，∴的周長(zhǎng)為.∵，∴，即，解得．【變式8】如圖，在等腰直角中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，作等腰直角，且，連接(1)求證：；(2)請(qǐng)你判斷線段之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【解析】（1）∵和都是等腰直角三角形，∴，∴，∴．在與中，，∴；（2），理由如下：∵是等腰直角三角形，∴，由（1）得，∴，，，∵，．【考點(diǎn)9】勾股定理的證明問題【例9】如圖，四邊形中，，，A是邊DE上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B．(1)求證：；(2)設(shè)的三邊分別為a、b、c，利用此圖證明勾股定理．【解析】（1）如圖所示：，，，，，，，在和中，，，，又，．（2）由（1）可知：，，，四邊形的面積正方形的面積，，即，，，，即，整理得．【變式9】如圖，已知點(diǎn)C，B，D在同一條直線上，且，．(1)求證：；(2)若設(shè)，，，試?yán)眠@個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定理．【解析】（1），，，又，；（2），，，，梯形的面積，①梯形的面積，②由①，②可得，即．【考點(diǎn)10】構(gòu)造直角三角形解三角形【例10】如圖，在中，，，，求的面積．某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請(qǐng)你按照他們的解題思路，完成解答過程．(1)作于D，設(shè)，用含x的代數(shù)式表示，則___________；(2)請(qǐng)根據(jù)勾股定理，利用作為“橋梁”建立方程，并求出x的值；(3)利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再計(jì)算三角形的面積．【解析】（1）設(shè)，∵，∴；（2）∵是邊上的高，∴和都是直角三角形．在中，根據(jù)勾股定理，得；在中，根據(jù)勾股定理，得；∴，解得，即．（3），得，則．【變式10】已知，如圖，有一塊直角的綠地，量得兩直角邊m，，現(xiàn)要將這塊綠地?cái)U(kuò)充成等腰，且擴(kuò)充部分（）是以8m為直角邊長(zhǎng)的直角三角形，(1)在圖1中，當(dāng)m時(shí)，的周長(zhǎng)為______；(2)在圖2中，當(dāng)m時(shí)，的周長(zhǎng)為_______；(3)在圖3中，當(dāng)時(shí)，求的周長(zhǎng)．【解析】（1）如圖1，∵m，m，∴（m），則的周長(zhǎng)為：（m）．故答案為：32m；（2）如圖2，當(dāng)m時(shí)，則（m），故，則的周長(zhǎng)為；故答案為：m；（3）如圖3，，∴設(shè)m，則m，∴，即，解得，∵m，m，∴m，故的周長(zhǎng)為：(m)．過關(guān)檢測(cè)一、單選題1．在中，斜邊，則的值為（

）A．15 B．25 C．50 D．無法計(jì)算【答案】C【解析】∵在中，斜邊，∴，∴，故選C．2．若一直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，則斜邊長(zhǎng)為（

）A．13 B． C．13或15 D．15【答案】A【解析】∵一直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，∴由勾股定理得，斜邊長(zhǎng)，故選A．3．如圖，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷數(shù)軸上點(diǎn)C所表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，由圖可得，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離和點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，即點(diǎn)所表示的數(shù)是，故選C．4．如圖長(zhǎng)方形中，，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為，則△的面積為（

）A．6 B． C． D．12【答案】B【解析】由折疊的性質(zhì)可得，，∴，∴，∴，設(shè)，，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴，故選B．5．勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國(guó)古算書周髀算經(jīng)中早有記載．如圖，以直角三角形的各邊為邊分別向外作等邊三角形，再把較小的兩張等邊三角形紙片按圖的方式放置在最大等邊三角形內(nèi)．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）圖1圖2A．直角三角形的面積 B．較小兩個(gè)等邊三角形重疊部分的面積C．最大等邊三角形的面積 D．最大等邊三角形與直角三角形的面積和【答案】B【解析】設(shè)三個(gè)正三角形面積分別為，，，，兩個(gè)小正三角形的重疊部分的面積為，，，故答案為：B．二、填空題6．在如圖的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，三個(gè)正方形A，B，C的面積分別用，，表示，則圖中，，，.請(qǐng)寫出、、之間的關(guān)系式:．【答案】16；9；25；【解析】依題意，16，，∵在如圖的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，∴根據(jù)勾股定理，得正方形C的邊長(zhǎng)為，∴，∵16，，，∴．故答案為：16；9；25；．7．已知一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角之比為，它的面積是18，則它的周長(zhǎng)是．【答案】【解析】∵三角形三個(gè)內(nèi)角的比是，三個(gè)內(nèi)角分別是：，∴這個(gè)三角形是等腰直角三角形，設(shè)腰為a，則，或（舍），斜邊的長(zhǎng)，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．故答案為：．8．已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為10，則m的值為．【答案】或【解析】由勾股定理可得：，兩邊平方得：，移項(xiàng)：，解得：或，故答案為或．9．如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)D，連接，則的長(zhǎng)為．【答案】【解析】∵是的垂直平分線，∴，設(shè)，∵，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，故答案為：．10．如圖，直線與坐標(biāo)軸交于A，兩點(diǎn)，在軸上有一點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】或【解析】當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，是以為腰的等腰三角形，當(dāng)時(shí)，，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，在中，，即，解得：，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是或．故答案為：或．三、解答題11．在中，，求：

(1)邊上的中線的長(zhǎng)；(2)的面積．【解析】（1）解：∵在中，，是的中線，∴是的高線，∵，∴．（2）由面積計(jì)算公式得，∴．12．如圖，把長(zhǎng)方形紙片沿折疊后，使得點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)的位置上．(1)若，求，的度數(shù)；(2)若，求．【解析】（1）∵，∴，∵把長(zhǎng)方形紙片沿折疊，∴，∴；（2）∵把長(zhǎng)方形紙片沿折疊，∴，∵，∴，∴．13．勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí)，都可以用“面積法”來證明，請(qǐng)你利用圖1或圖2證明勾股定理（其中），求證：．【解析】利用圖1進(jìn)行證明：證明：依題意，∵，且，點(diǎn)C，A，E在一條直線上，∴，則，∵，又∵，∴，∴；利用圖2進(jìn)行證明：證明：如圖，連接，過點(diǎn)D作邊上的高，則，∵，又∵，∴，∴．14．如圖，在△中，，，．若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒的速度沿邊運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．當(dāng)時(shí)，求t的值．【解析】連接，如圖，為直角三角形，，由勾股定理可得：，即，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，又∵，∴，則，∵在中，，由勾股定理可得：，即，解得