2024年七年級數(shù)學(xué)寒假提升學(xué)與練（滬教版）專題10平行線的性質(zhì)定理（2大考點+8種題型）（解析版）

專題10平行線的性質(zhì)定理（2大考點+8種題型）思維導(dǎo)圖核心考點與題型分類聚焦考點一：平行線的性質(zhì)定理考點二：綜合應(yīng)用題型一：兩直線平行同位角相等題型二：兩直線平行內(nèi)錯角相等題型三：兩直線平行同旁內(nèi)角互補題型四：根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系題型五：根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)題型六：根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度題型七：根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明題型八：利用平行線間距離解決問題考點一：平行線的性質(zhì)定理（1）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；簡記為：兩直線平行，同位角相等．（2）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等；簡記為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．（3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補； 簡記為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．考點二：綜合應(yīng)用1．三個距離：兩點之間的距離；點到直線、射線、線段的距離；平行線間的距離．2．幾種角：余角：∠1+∠2=90°，補角：∠1+∠2=180°；鄰補角：∠1+∠2=180°(有一條公共邊和公共頂點)；對頂角；同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角．3．可以用來推理的依據(jù)：同角的余角相等，同角的補角相等；對頂角相等；鄰補角的意義；角平分線的意義；垂直的意義；判定平行線的三個方法：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；平行線的三個性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；垂直于同一條直線的兩條直線平行；平行于同一條直線的兩條直線平行；平行線間的距離處處相等；等量代換；等式的性質(zhì)．4．幾個基本性質(zhì)兩點之間，垂線段最短；垂線段最短；經(jīng)過一點有且只有一條直線垂直于已知直線；經(jīng)過直線外的一點有且只有一條直線平行于已知直線．題型一：兩直線平行同位角相等【例1】．（2023下·上?！て吣昙壠谥校┮惠v汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，還在原來的方向上平行前進，那么這兩次拐彎的角度應(yīng)是（

）A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐【答案】B【分析】根據(jù)兩條直線平行的性質(zhì)：兩條直線平行，同位角相等．再根據(jù)題意可得兩次拐彎的方向不相同，但角度相等．【詳解】解：如圖，第一次拐的角是，第二次拐的角是，由兩次拐彎后，還在原來的方向上平行前進得：，由此可知，兩次拐彎的方向不相同，但角度相等，觀察四個選項可知，只有選項B符合，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．【變式1】．（2022下·七年級單元測試）如圖，將矩形紙條折疊，折痕為，折疊后點C，D分別落在點，處，與交于點G．已知，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)折疊得出，得出，求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵矩形紙條中，∴，∴，根據(jù)折疊可知，，∴，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行，同位角相等．【變式2】．（2023下·上海閔行·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，，三角尺的直角頂點在直線b上，，的度數(shù)為．

【答案】/41度【分析】根據(jù)兩直線平行同位角相等求出，再根據(jù)即可求出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2021下·上海閔行·七年級?？计谥校┤鐖D，已知，垂足分別為點D、G，且，請說明與相等的理由．

【答案】見解析【分析】根據(jù)，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，證明，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定，內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．【變式4】．（2021下·上海松江·七年級?？计谥校┮阎喝鐖D，線、線是直線，，，．試說明．解：∵（已知），∴_________（

），∴（已知），∴_________（

），∵（已知），∴（

），即_________，∴_________（

），∴（

）．

【答案】，兩直線平行，同位角相等；，等量代換；等式的性質(zhì)；；，等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【分析】由已知條件和兩直線平行，同位角相等得出，根據(jù)，進而得出，根據(jù)，得出，最終得出，證出．【詳解】證明：∵（已知），（兩直線平行，同位角相等），（已知），（等量代換），（已知），（等式的性質(zhì)），，（等量代換），（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：，兩直線平行，同位角相等；，等量代換；等式的性質(zhì)；；，等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定條件與性質(zhì)并靈活運用．【變式5】．（2022下·上?！て吣昙壣贤飧街行？计谀┤鐖D，已知∠B＝∠F，∠BAC+∠ADE＝180°，說明AFBC的理由．解：因為∠BAC+∠ADE＝180°（已知），所以ABDE（______）．所以∠B＝∠______（______）．因為∠B＝∠F（已知），所以∠______＝∠______（______）．所以AFBC（______）．【答案】同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；DEC；兩直線平行，同位角相等；F，DEC；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】先根據(jù)平行線的判定證得ABDE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠B=∠DEC，進一步證得AFBC．【詳解】解：因為∠BAC+∠ADE＝180°（已知），所以ABDE（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），所以∠B＝∠DEC（兩直線平行，同位角相等），因為∠B＝∠F（已知），所以∠F＝∠DEC（等量代換），所以AFBC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；故答案為：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；DEC；兩直線平行，同位角相等；F，DEC；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．題型二：兩直線平行內(nèi)錯角相等【例2】．（2023下·上海普陀·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，下列說法中正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)對每一項判斷即可解答．【詳解】解：項∵由得不到，故項不符合題意；項∵由得不到，故項不符合題意；項∵由得不到，故項不符合題意；項∵由可得到，故項符合題意．故選．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2022下·上?！て吣昙壣虾Ｊ形膩碇袑W(xué)校考期中）如圖：已知，，試說明的理由．【答案】過程見詳解【分析】充分利用兩直線平行內(nèi)錯角相等、兩直線平行同位角相等，同位角相等兩直線平行和內(nèi)錯相等兩線直平行，即可得證．【詳解】證明∵∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，∴∠2=∠4，∴AB//EF，∴∠3=∠5，∵∠3=∠B，∴∠5=∠B，∴DE//BC，∴∠7=∠C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確運用平行線的性質(zhì)和判定定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式2】．（2020下·上海金山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，，說明的理由．【答案】理由見解析【分析】證明DE∥BC，得到，通過等量代換，證明，進而結(jié)論得證．【詳解】證明：∵∠ADE=∠B，∴DE∥BC，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定．解題的關(guān)鍵在于找出角度的數(shù)量關(guān)系．【變式3】．（2021下·上?！て吣昙壭？计谥校┤鐖D，已知，BD//EF，那么∠B與∠1相等嗎？為什么？【答案】∠B=∠1；證明見詳解；【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求證；【詳解】解：∠B=∠1，理由如下：∵，∴DE//BC．∴．∵BD//EF，∴，∴∠B=∠1．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及證明，掌握平行線的相關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式4】．（2022下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）已知：如圖，△ABC求證：∠A+∠B+∠C＝180°．證明：如圖，作BC的延長線CD，過點C作CE∥AB，∵CE∥AB，∴∠1＝∠B，∠2＝∠A，∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．【答案】已知；兩條直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平角的定義；等量代換【分析】作BC的延長線CD，過點C作CE∥BA，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1＝∠B，∠2＝∠A，由平角的定義得到∠1+∠2+∠ACB＝180°，等量代換即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵CE∥AB，（已知）∴∠1＝∠B，（兩條直線平行，同位角相等）．∠2＝∠A，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，（平角的定義），∴∠A+∠B+∠ACB＝180°，（等量代換）．故答案為：已知；兩條直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平角的定義；等量代換【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解題關(guān)鍵．題型三：兩直線平行同旁內(nèi)角互補【例3】．（2023下·上海松江·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，，，求的度數(shù)．（請寫出過程依據(jù)）【答案】，過程依據(jù)見解析【分析】由平行線的性質(zhì)可得，由對頂角相等得，等量代換得，把，代入求出的值可得出結(jié)論．【詳解】解：（已知），（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），（對頂角相等），（等量代換），即，解得：，．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，對頂角相等，熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023下·上海浦東新·七年級?？计谀┤鐖D，已知，，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】由平行線的性質(zhì)得到，，再利用補角的性質(zhì)得到，進而列方程解答即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，補角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·上海奉賢·七年級?？计谥校┤鐖D，已知，，、分別是和的角平分線，試完成下列填空：說明．解：因為（已知）所以（____________）因為（已知）所以______（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）所以（____________）因為、分別是和的角平分線（已知）所以，（____________）所以______（等式性質(zhì)）因為（已知）所以（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）所以（____________）所以（____________）【答案】兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；；同角的補角相等；角平分線定義；；等量代換；同位角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵（已知），∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∵（已知），∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∴（同角的補角相等），∵、分別是和的角平分線（已知），∴，（角平分線定義），∴（等式性質(zhì)），∵（已知），∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴（等量代換），∴同位角相等，兩直線平行），故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；；同角的補角相等；角平分線定義；等量代換；同位角相等，兩直線平行．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2022下·上?！て吣昙壠谥校┤鐖D，已知：∠E＝∠F，∠1＝∠2，試說明：∠ABH+∠CHB＝180°．【答案】見解析【分析】首先過點E作EMAB，過點F作FNCD，由：∠E＝∠F，∠1＝∠2，易證得∠MEF＝∠NFE，由平行線的判定，可得EMFN，繼而可得ABEMFNCD，然后由平行線的性質(zhì)，即可證得：∠ABH＋∠CHB＝180°．【詳解】證明：過點E作EMAB，過點F作FNCD，∴∠2＝∠BEM，∠1＝∠HFN，∵∠BEF＝∠EFH，∠1＝∠2，∴∠BEF﹣∠BEM＝∠EFH﹣∠HFN，∴∠MEF＝∠NFE，∴EMFN，∴ABEMFNCD，∴∠ABH+∠CHB＝180°．【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法是關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式4】．（2022下·上海·七年級校聯(lián)考期末）如圖所示，、之間是一座山，一條高速公路要通過、兩點，在地測得公路走向是北偏西如果、兩地同時開工，那么在地按北偏東多少度施工，才能使公路在山腹中準(zhǔn)確接通？為什么？【答案】在地按北偏東施工【分析】根據(jù)題意可得有平行線的性質(zhì)，同旁內(nèi)角互補即可得出解答．【詳解】解：在地按北偏東施工，就能使公路在山腹中準(zhǔn)確接通．指北方向相互平行，、兩地公路走向形成一條直線，這樣就構(gòu)成了一對同旁內(nèi)角，，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，可得在地按北偏東施工．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和方向角，熟練地掌握同旁內(nèi)角互補的知識點是解決此題的關(guān)鍵．題型四：根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系【例4】．（2021下·上?！て吣昙壣虾Ｊ心涎竽７冻跫壷袑W(xué)校考期中）如圖，已知，，于點，那么與有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？【答案】∠4與∠5互余，理由見解析【分析】由題意知∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠4＝90°，∠2＝∠5，得到∠5＋∠4＝90°，進而可判斷兩角關(guān)系．【詳解】解：∠4與∠5互余，理由：∵OE⊥OA，∴∠AOE＝90°，即∠2＋∠3＝90°，∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠1＋∠4＝90°∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠4＝90°，∵，∴∠2＝∠5，∴∠5＋∠4＝90°，即∠4與∠5互余．【點睛】本題考查了同角的余角相等，平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于找出角度的數(shù)量關(guān)系．【變式1】．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）已知直線AB//CD，EF是截線，點M在直線AB、CD之間．(1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見詳解(2)；理由見詳解【分析】（1）過點作，由，可知．由此可知：，，故；（2）由（1）可知．再由，∠AGM＝∠HGQ，可知：，利用三角形內(nèi)角和是180°，可得．【詳解】（1）解：如圖：過點作，∴，∴，，∵，∴．（2）解：，理由如下：如圖：過點作，由（1）知，∵平分，∴，∵∠AGM＝∠HGQ，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，正確的作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵，同時這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應(yīng)用．【變式2】．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）已知直線，直線EF分別與直線a，b相交于點E，F(xiàn)，點A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點P是直線EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如圖，當(dāng)點在線段上運動時，試說明∠1＋∠3＝∠2；(2)當(dāng)點P在線段EF外運動時有兩種情況．①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明；②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．【答案】(1)證明見詳解(2)①；證明見詳解；②；證明見詳解【分析】（1）如圖4過點作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出；（2）①如圖5過點作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出；②如圖6過點作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出．【詳解】（1）解：如圖4所示：過點作，∵∴∴，，∵，∴；（2）解：①如圖5過點作，∵∴∴，，∵，∴；②如圖6過點作，∵∴∴，，∵，∴．【點睛】本題利用“豬蹄模型”及其變式考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確的作出輔助線和找到對應(yīng)的內(nèi)錯角是解決本題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023下·七年級單元測試）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線，連結(jié)，可以發(fā)現(xiàn)請把下面的證明過程補充完整：證明：過點作，∴（______）．∵（已知），．∴（______）．∴．∵（______）．∴．（等量代換）．（2）拓展探究：如果點運動到圖②所示的位置，其他條件不變，說明：．（3）解決問題：如圖③，，是與之間的點，直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線互相平行；（2）見解析（3）見解析【分析】（1）過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可；（2）過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可；（3）過點作，過作，過作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．【詳解】（1）證明：過點作，∴（_兩直線平行，內(nèi)錯角相等_____）．∵（已知），．∴（__平行于同一條直線的兩條直線互相平行____）．∴．∵（______）．∴．（等量代換）（2）證明：∵過做∴∵∴∴∴∴∵∴(3)解：理由如下：過點作，過作，過作∴，，，∴，，∴，，，∴【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式4】．（2021下·上海金山·七年級統(tǒng)考期中）已知直線，A是l1上的一點，B是l2上的一點，直線l3和直線l1，l2交于C和D，直線上有一點P．(1)如果P點在C，D之間運動時，問，，有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．(2)若點P在C，D兩點的外側(cè)運動時（P點與C，D不重合），試探索，，之間的關(guān)系又是如何？（請直接寫出答案，不需要證明）【答案】(1)(2)當(dāng)點在直線上方時，；當(dāng)點在直線下方時，．【分析】（1）過點作，由“平行于同一條直線的兩直線平行”可得出，再由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得出、，再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）按點的兩種情況分類討論：①當(dāng)點在直線上方時；②當(dāng)點在直線下方時，同理（1）可得、，再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：．過點作，如圖1所示．，，，，，，．（2）解：結(jié)論：當(dāng)點在直線上方時，；當(dāng)點在直線下方時，．①當(dāng)點在直線上方時，如圖2所示．過點作．，，，，，，．②當(dāng)點在直線下方時，如圖3所示．過點作．，，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”找到相等的角．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等（或互補）的角是關(guān)鍵．【變式5】．（2023下·上海·七年級專題練習(xí)）如圖，已知直線，直線與直線，分別交于點和點，在直線上存在一點．(1)若點在點與點之間運動，那么，，有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．(2)若點在兩點的外側(cè)運動（點與點不重合），試探索，，之間的關(guān)系（請直接寫出答案）．【答案】(1)，理由見解析(2)或，理由見解析【分析】（1）過作，則，，利用平行線的性質(zhì)可得，，兩式相加即可得．（2）當(dāng)點在、兩點的外側(cè)運動時，由直線，根據(jù)兩直線平行，同位角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得：和【詳解】（1）解：，理由如下：過作，∵，，，，，即．（2）解：或，理由如下：①當(dāng)在的延長線上時，∵，∴，∵，∴；②如圖所示，當(dāng)在的延長線上時，∵，∴，∵，∴．綜上所述，或【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的相關(guān)性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．【變式6】．（2021下·上海靜安·七年級上海市市北初級中學(xué)校考期中）已知：四邊形，（如圖1），點P在直線上運動，點P和點C，D不重合，點P，A，B不在同一條直線上，若記，，分別為，，．

(1)如圖2，當(dāng)點P在線段上運動時，寫出，，之間的關(guān)系并說出理由．

(2)如果點P在線段的延長線上運動，探究，，之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）過點作，如圖1，由得，由得，則，所以；（2）如圖2，根據(jù)平行線的性質(zhì)由得，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，所以，即．【詳解】（1）．理由如下：過點作，如圖1，，，，，，；（2）如圖2，，，而，，即．

【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【變式7】．（2022下·上海·七年級專題練習(xí)）探究并嘗試歸納：(1)如圖1，已知直線a與直線b平行，夾在平行線間的一條折線形成一個角∠A，試求∠1+∠2+∠A的度數(shù)，請加以說明．(2)如圖2，已知直線a與直線b平行，夾在平行線間的一條折線增加一個折，形成兩個角∠A和∠B，請直接寫出∠1+∠2+∠A+∠B＝度．(3)如圖3，已知直線a與直線b平行，夾在平行線間的一條折線每增加一個折，就增加一個角．當(dāng)形成n個折時，請歸納并寫出所有角與∠1、∠2的總和：【結(jié)果用含有n的代數(shù)式表示，n是正整數(shù)，不用證明】【答案】(1)360°(2)540(3)【分析】（1）過作//直線，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）過作//直線，//直線，則AC//BD//直線，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：過A作AB//直線，則AB//直線，，；（2）解：過作AC//直線，BD//直線，則AC//BD//直線，，，故答案為：540；（3）解：由（1），（2）知，當(dāng)形成個折時，所有角與、的總和，當(dāng)形成個折時，所有角與、的總和，當(dāng)形成個折時，所有角與、的總和，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．題型五：根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【例5】．（2022下·上?！て吣昙壠谀┤鐖D，直線DE經(jīng)過點A，DEBC，∠B＝42°，∠C＝57°，求∠DAB、∠CAD的度數(shù)．【答案】∠DAB＝42°，∠CAD＝123°【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠DAB＝∠B，∠C+∠CAD＝180°可求得答案．【詳解】∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠B＝42°，∠CAD+∠C＝180°，∴∠CAD＝180°﹣∠C＝180°﹣57°＝123°．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內(nèi)錯角相等，③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補．【變式1】．（2022下·上海寶山·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知∠A的兩邊與∠D的兩邊分別平行，且∠D比∠A的3倍少20°，求∠D的度數(shù)．【答案】130°【分析】由∠A和∠D的兩邊分別平行，即可得∠A+∠D＝180°，又由∠D比∠A的3倍少20°，即可求得∠D的度數(shù)．【詳解】解：設(shè)∠A＝x°，則∠D＝（3x﹣20）°，∵ABDE，∴∠DGC＝∠A＝x°，∵DFAC，∴∠DGC+∠D＝180°，即x+3x﹣20＝180，解得x＝50，3x﹣20＝130，∴∠D＝130°．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是掌握由∠A和∠D的兩邊分別平行，即可得∠A+∠D＝180°．【變式2】．（2023下·上海閔行·七年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，，度，度，求∠C的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進而根據(jù)已知建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵度，度，∴，解得：，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解一元一次方程，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023下·上海靜安·七年級上海市回民中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，，是的角平分線，求的度數(shù)．

【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，從而求出，再根據(jù)角平分線的定義計算即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵是的角平分線，∴．【點睛】本題主要考查兩直線平行，同旁內(nèi)角互補的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是利用平行線的性質(zhì)求出．【變式4】．（2022下·上?！て吣昙壠谥校┤鐖D，BD∥AG∥EC，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，(1)求∠BAC的度數(shù)；(2)求∠PAG的度數(shù)．【答案】(1)96°(2)12°【分析】（1）利用兩直線內(nèi)錯角相等得到兩對角相等，相加即可求出所求的角；（2）由AP為角平分線，利用角平分線定義求出∠PAC的度數(shù)，由∠PAC?∠CAG即可求∠PAG的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵，∴∠BAG＝∠ABD＝60°，∠CAG＝∠ACE＝36°，∴∠BAC＝∠BAG+∠CAG＝96°．（2）∵AP為∠BAC的平分線，∴∠BAP＝∠CAP＝48°，∴∠PAG＝∠CAP﹣∠GAC＝12°．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行內(nèi)錯角相等，是解本題的關(guān)鍵．【變式5】．（上海普陀·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，，點P是射線上一動點（與點A不重合），，分別平分和，分別交射線于點C，D．(1)求的度數(shù)；(2)當(dāng)點P運動時，的比值是否隨之變化？若不變，請求出這個比值；若變化，請找出變化規(guī)律；(3)當(dāng)點P運動到某處時，，求此時的度數(shù)．【答案】(1)(2)不變．比值是2(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義只要證明即可；（2）不變，可以證明，；（3）想辦法證明即可解決問題．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，分別平分和，∴．（2）解：不變．理由如下：∵，∴，，又∵平分，∴，即的比值是2．（3）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于?？碱}型．【變式6】．（2023下·上海普陀·七年級統(tǒng)考期中）長江汛期來臨之前，為了便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況，防汛指揮部在筆直且平行的長江兩岸河堤上安置了兩盞激光探照燈如下圖所示．光線按順時針方向以每秒的速度從旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；光線按順時針方向以每秒的速度從旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)．

(1)如果兩燈同時開始轉(zhuǎn)動，光線和光線旋轉(zhuǎn)時間為秒，①如圖1，請用含的代數(shù)式表示光線轉(zhuǎn)動的角度，即_________°；用含的代數(shù)式表示光線轉(zhuǎn)動的角度，即_________°．②如圖2，當(dāng)光線與光線垂直，垂足為H時，求的值．(2)如果光線先轉(zhuǎn)動20秒，光線才開始轉(zhuǎn)動，在光線第一次到達之前，求光線旋轉(zhuǎn)幾秒時，與光線平行？【答案】(1)①t，；②(2)光線旋轉(zhuǎn)10秒或85秒時，與光線平行【分析】（1）①根據(jù)題意求出和即可；②過點H作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，得出，即，求出t的值即可；（2）分兩種情況討論，當(dāng)秒時，當(dāng)秒時，分別畫出圖形，進行求解即可．【詳解】（1）解：①∵光線按順時針方向以每秒的速度從旋轉(zhuǎn)，光線按順時針方向以每秒的速度從旋轉(zhuǎn)，∴；；故答案為：t，；②過點H作，如圖所示：

∵，∴，∴，，∵，∴，即．解得．（2）解：設(shè)光線旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當(dāng)秒時，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，∴時，∴，解得；當(dāng)秒時，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，解得．綜上分析可知，光線旋轉(zhuǎn)10秒或85秒時，與光線平行．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，并注意進行分類討論．【變式7】．（2021下·上?！て吣昙壠谥校?）探究：如圖1，ABCDEF，試說明．（2）應(yīng)用：如圖2，ABCD，點在、之間，與交于點，與交于點．若，，則的大小是多少？（3）拓展：如圖3，直線在直線、之間，且ABCDEF，點、分別在直線、上，點是直線上的一個動點，且不在直線上，連接、．若，則度（請直接寫出答案）．【答案】（1）見解析；（2）60°；（3）70或290【分析】（1）由可得，，，則；（2）利用（1）中的結(jié)論可知，，則可得的度數(shù)為，由對頂角相等可得；（3）結(jié)合（1）中的結(jié)論可得，注意需要討論是鈍角或是銳角時兩種情況．【詳解】解：（1）如圖1，，，，，．（2）由（1）中探究可知，，，且，，；（3）如圖，當(dāng)為鈍角時，由（1）中結(jié)論可知，，；當(dāng)為銳角時，如圖，由（1）中結(jié)論可知，，即，綜上，或．故答案為：70或290．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，難度適中，觀察圖形，推出角之間的和差關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式8】．（2021下·上海浦東新·七年級?？计谥校┱埢卮鹣铝懈黝}．(1)探究：如圖1，AB∥CD∥EF，試說明∠BCF＝∠B＋∠F．(2)應(yīng)用：如圖2，AB∥CD，點F在AB、CD之間，F(xiàn)E與AB交于點M，F(xiàn)G與CD交于點N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，則∠DNG的大小是多少？(3)拓展：如圖3，直線CD在直線AB、EF之間，且AB∥CD∥EF，點G、H分別在直線AB、EF上，點Q是直線CD上的一個動點，且不在直線GH上，連結(jié)QG、QH．若∠GQH＝70°，則∠AGQ＋∠EHQ＝度（請直接寫出答案）．【答案】(1)證明見解析(2)60°(3)70或290【分析】（1）由可得，∠B=∠BCD，∠F=∠DCF，從而可以證明結(jié)論成立；（2）由∠MFN=∠AMF+∠CNF，則可得∠CNF的度數(shù)為60°，由對頂角相等可得；（3）分兩種情況討論，即∠AGQ是鈍角與∠AGQ是銳角時．【詳解】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD．（兩直線平行內(nèi)錯角相等），同理可證，∠F＝∠DCF．∵∠BCF＝∠BCD＋∠DCF，∴∠BCF＝∠B＋∠F．（等量代換）（2）解：由探究可知：∠MFN＝∠AMF＋∠CNF，∠MFN＝115°，，∴∠CNF＝∠DNG＝115°－55°＝60°．故答案為：60°．（3）如圖3中，當(dāng)點Q在直線GH的右側(cè)時，∵AB∥CD∥EF，∴∠AGQ+∠GQC=180°，∠CQH+∠EHQ=180°，即∠AGQ+∠GQH+∠EHQ=180°，∴∠AGQ＋∠EHQ＝360°－70°＝290°，當(dāng)點Q在直線GH的左側(cè)時，由（1）的結(jié)論可得：．故答案為：70或290．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，熟練運用平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式9】．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖1，AB//CD，E是AB，CD之間的一點．(1)判定∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖2，若∠BAE，∠CDE的角平分線交于點F，直接寫出∠AFD與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系；(3)將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點G得圖3，若∠AGD的余角等于2∠E的補角，求∠BAE的大?。敬鸢浮?1)；(2)；(3)【分析】（1）作EF∥AB，如圖1，則EF∥CD，利用平行線的性質(zhì)得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，從而得到∠BAE+∠CDE=∠AED（2）如圖2，由（1）的結(jié)論得∠AFD=∠BAE，∠CDF=∠CDE，則∠AFD=（∠BAE+∠CDE），加上（1）的結(jié)論得到∠AFD=∠AED；（3）由（1）的結(jié)論得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折疊性質(zhì)得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代換得到∠AGD=2∠AED-∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，從而計算出∠BAE的度數(shù)．【詳解】（1）∠BAE+∠CDE=∠AED理由如下：作EF∥AB，如圖1∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE∴∠BAE+∠CDE=∠AED（2）如圖2，由（1）的結(jié)論得∠AFD=∠BAF+∠CDF∵∠BAE、∠CDE的兩條平分線交于點F∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE∴∠AFE=（∠BAE+∠CDE）∵∠BAE+∠CDE=∠AED∴∠AFD=∠AED（3）由（1）的結(jié)論得∠AGD=∠BAF+∠CDG而射線DC沿DE翻折交AF于點G∴∠CDG=4∠CDF∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-∠BAE∵90°-∠AGD=180°-2∠AED∴90°-2∠AED+∠BAE=180°-2∠AED∴∠BAE=60°【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．題型六：根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度【例6】．（2022下·上海·七年級期末）閱讀并填空：如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝57°，求∠4的度數(shù)．解：因為∠1＝∠3（已知），所以_______（同位角相等，兩直線平行）．所以∠2______．因為∠2＝57°（已知），所以______＝57°（等量代換）．因為∠4+_____＝180°（鄰補角的意義），所以∠4＝_____°（等式性質(zhì)）．【答案】a//b，＝∠5，∠5，∠5，123【分析】根據(jù)同位角相等，推出a//b，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠5，根據(jù)∠4+∠5＝180°即可得答案．【詳解】解：∵∠1＝∠3，∴a//b，∴∠2＝∠5，∵∠2＝57°，∴∠5＝57°，∵∠4+∠5＝180°，∴∠4＝123°，故答案為：a//b，＝∠5，∠5，∠5，123．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用性質(zhì)進行推理的能力．【變式1】．（2023下·上?！て吣昙壗y(tǒng)考期中）如圖，已知，，那么等于多少度？為什么？

解：過點E作，得（）因為（已知）（所作）所以（）．得（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）所以．（等式性質(zhì)）即．因為（已知）所以．（等式性質(zhì)）【答案】兩直線平行同旁內(nèi)角互補；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；；；；【分析】過E作，利用兩直線平行得到一對同旁內(nèi)角互補，再由，利用平行于同一條直線的兩直線平行，得到，利用兩直線平行得到又一對同旁內(nèi)角互補，兩等式相加，可得出，將度數(shù)代入即可求出的度數(shù)．【詳解】解：過點E作，得（兩直線平行同旁內(nèi)角互補），因為（已知），（所作），所以（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．得（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），所以（等式性質(zhì)）．即．因為（已知），所以（等式性質(zhì)）．故答案為：兩直線平行同旁內(nèi)角互補；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；；；；．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，屬于推理型題目，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·上海松江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點分別在的邊上，，，，求：的度數(shù)．

【答案】【分析】根據(jù)，推導(dǎo)，從而得出，，再利用推導(dǎo)出．【詳解】解：∵，，∴∴∴，又∵，∴【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023下·上海浦東新·七年級?？计谀┤鐖D，燈A射線自順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)至原位置，燈B射線自順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)至原位置，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A、燈B每秒分別轉(zhuǎn)動、，且a，b滿足．已知，且．(1)求a，b的值；(2)如果兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線第一次轉(zhuǎn)到之前，兩燈射出的光線交于點C，且，求的度數(shù)；(3)如果燈B射線先轉(zhuǎn)動20秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒．兩燈的光線互相平行？【答案】(1)，(2)(3)或【分析】（1）由非負數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果；（2）如圖1，過點作，可得，設(shè)兩燈轉(zhuǎn)動時間為秒，則，，根據(jù)角的和差關(guān)系得到關(guān)于的方程，解方程即可求解；（3）設(shè)燈轉(zhuǎn)動秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況：①在燈射線到達之前；②在燈射線到達之后；進行討論即可求解．【詳解】（1）解：，，，解得：，；（2）解：如圖，過點作，

，，設(shè)兩燈轉(zhuǎn)動時間為秒，則，，，，，，，解得，，；（3）解：設(shè)燈轉(zhuǎn)動秒，兩燈的光束互相平行，①如圖，

，，，，，在燈射線到達之前，由題意得：，解得：；②如圖，

，，，，，在燈射線到達之后，由題意得：，解得：．綜上所述，燈轉(zhuǎn)動10秒或85秒時，兩燈的光束互相平行．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、非負數(shù)的性質(zhì)、解方程等知識；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4】．（2022下·上海楊浦·七年級校考期中）已知：直線分別與直線，相交于點，，平分，，，分別為直線和線段上的點．(1)如圖，平分，若，求的度數(shù)．(2)如圖，平分交于點，于點，當(dāng)在直線上運動（不與點重合）時，探究與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)或，證明見解析【分析】（1）首先作，根據(jù)平行線的性質(zhì)，推得；然后根據(jù)，推得，據(jù)此求出的度數(shù)即可．（2）①首先判斷出，然后根據(jù)，可得，推得，再根據(jù)，推得即可．②首先判斷出，然后根據(jù)，可得，推得，再根據(jù)，推得即可．【詳解】（1）解：如圖，作，，，，，，，，平分，平分，，，，，，，，．（2）解：①如圖，，，理由如下：平分，平分，，，，，，，，．②如圖，，，理由如下：平分，平分，，，，，，，，．綜上，可得當(dāng)在直線上運動（不與點重合）時，或．【點睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①定理：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．②定理：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．③定理：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【變式5】．（2022下·上海寶山·七年級?？茧A段練習(xí)）已知AB∥CD，點M為平面內(nèi)的一點，∠AMD＝90°．(1)當(dāng)點M在如圖1的位置時，求∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系（寫出說理過程）；(2)當(dāng)點M在如圖2的位置時，則∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是（直接寫出答案）；(3)在（2）條件下，如圖3，過點M作ME⊥AB，垂足為E，∠EMA與∠EMD的角平分線分別交射線EB于點F、G，回答下列問題（直接寫出答案）：圖中與∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．【答案】(1)∠MAB+∠D＝90°；見解析(2)∠MAB﹣∠D＝90°(3)∠MAB＝∠EMD；45【分析】（1）在題干的基礎(chǔ)上，通過平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）仿照（1）的解題思路，過點M作MN∥AB，由平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）利用（2）中的結(jié)論，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖①，過點M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD（如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么它和另一條也平行）．∴∠D＝∠NMD．∵MN∥AB，∴∠MAB+∠NMA＝180°．∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB+∠DMN＝90°．∴∠MAB+∠D＝90°；（2）解：如圖②，過點M作MN∥AB，∵MN∥AB，∴∠MAB+∠AMN＝180°．∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD．∴∠D＝∠NMD．∵∠AMD＝90°，∴∠AMN＝90°﹣∠NMD．∴∠AMN＝90°﹣∠D．∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°．∴∠MAB﹣∠D＝90°．即∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是：∠MAB﹣∠D＝90°．故答案為：∠MAB﹣∠D＝90°．（3）解：如圖③，∵ME⊥AB，∴∠E＝90°．∴∠MAE+∠AME＝90°∵∠MAB+∠MAE＝180°，∴∠MAB﹣∠AME＝90°．即∠MAB＝90°+∠AME．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD．∵MF平分∠EMA，∴∠FME＝∠FMA＝∠EMA．∵MG平分∠EMD，∴∠EMG＝∠GMD＝∠EMD．∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF，∴∠FMG＝∠EMD﹣∠EMA＝（∠EMD﹣∠EMA）．∵∠EMD﹣∠EMA＝90°，∴∠FMG＝45°．故答案為：∠MAB＝∠EMD；45．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，過點M作MN∥AB是解題的關(guān)鍵．題型七：根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明【例7】．（2023下·上海楊浦·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，．試說明的理由．

【答案】見解析【分析】根據(jù)得出，再利用等量代換得出，即可判定，再利用平行的性質(zhì)得出，進而得出結(jié)論．【詳解】解：，，，，，，又，．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023下·上海奉賢·七年級校考期中）請將下列證明過程補充完整：如圖，于D，于G，，說明平分的理由．

證明：因為于D，于G（已知）所以（_________________）所以（_________________）所以（_________________）所以_________（_________________）又因為（已知）所以___________．（等量代換）所以平分．【答案】垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；兩直線平行，同位角相等；【分析】先根據(jù)垂直的定義可得，再根據(jù)平行線的判定可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)等量代換可得，最后根據(jù)角平分線的定義即可得證．【詳解】證明：∵于，于（已知），∴（垂直的定義），（同位角相等，兩直線平行），∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），（兩直線平行，同位角相等），又∵（已知），∴（等量代換），∴平分（角平分線的定義）．故答案為：垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；兩直線平行，同位角相等；．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、垂直的定義，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·上海奉賢·七年級?？计谥校┤鐖D，已知，，．說明的理由．

【答案】見解析【分析】根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，先證明，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得，結(jié)合已知條件，可得出，根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行即可證明．【詳解】∵，∴，∴，即，∵，，∴，即，∴．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023下·上海浦東新·七年級?？计谀┤鐖D，，，直線與，的延長線分別交于點E、F，試說明：．

【答案】見解析【分析】由平行線的性質(zhì)得到，進而推出，根據(jù)平行線的判定得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵，，，，∴，．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，熟記兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等和內(nèi)錯角相等，兩直線平行是解決問題的關(guān)鍵．【變式4】．（2023下·上海寶山·七年級?？计谥校┤鐖D，已知，，垂足分別為點，，試說明的理由．

【答案】見解析【分析】先證明，得到，再由，得到，由此即可證明．【詳解】證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式5】．（2023下·上海普陀·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在中，點D、G分別在邊、上，且，F(xiàn)在的延長線上，E在上，如果，說明的理由．

解：因為（已知），所以（______）所以______（______）．因為______（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）．因為（已知），所以______（等式性質(zhì)）．所以（等量代換）．【答案】同位角相等，兩直線平行，，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，，【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)解答即可．【詳解】解：因為（已知），所以（同位角相等，兩直線平行），所以（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．因為（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）．因為（已知），所以（等式性質(zhì)）．所以（等量代換）．故答案為：同位角相等，兩直線平行，，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，，．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，解題時注意：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．【變式6】．（2023下·上海楊浦·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，，，試說明的理由．

解：因為（已知），所以（______）．因為（已知），所以______（______）．因為（已知），所以（______）即．所以______．所以（______）．【答案】兩直線平行，同位角相等；；等量代換；等式性質(zhì)；；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【分析】由得到，得到，由得到，則，即可得到結(jié)論．【詳解】解：因為（已知），所以（兩直線平行，同位角相等）．因為（已知），所以（等量代換）．因為（已知），所以（等式性質(zhì)）．即．所以．所以（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【點睛】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7】．（2021下·上海浦東新·七年級上海市建平實驗中學(xué)?？计谥校?）如圖a所示，，且點E在射線與之間，請說明的理由．（2）現(xiàn)在如圖b所示，仍有，但點E在與的上方．請嘗試探索，，三者的數(shù)量關(guān)系．并說明理由．【答案】（1）見解析；（2），理由見解析【分析】（1）過點E作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到和，再根據(jù)等量代換得出結(jié)論；（2）過點E作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，表示出，從而可得三者之間的關(guān)系．【詳解】解：（1）過點E作，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）；過點E作，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，即．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，作出輔助線并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式8】．（2023下·上海松江·七年級統(tǒng)考期中）填空，并把證明過程補充完整．如圖，已知中，、、分別是、、邊上的點，點是線段上的點，且，求證：．證明：點是線段上的點，______，已知，______．請補充證明過程，并寫出過程依據(jù)【答案】鄰補角定義；同角的補角相等；其余過程見解析【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】證明：點是線段上的點，鄰補角定義，(已知，同角的補角相等，，，，，，．故答案為：鄰補角定義；同角的補角相等．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式9】．（2023下·上海普陀·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知在中，為邊上一點，，交邊于點，且，，請說明的理由．

解：因為（已知），所以_________（__________________）．即_________．因為（已知），所以_________（兩直線平行，同位角相等）．因為（已知），所以_________（等量代換）．所以（__________________）．【答案】，等式性質(zhì)，，，，內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明即可．【詳解】解：因為（已知），所以∠DBC（等式性質(zhì)）．即∠DBF．因為（已知），所以ABC（兩直線平行，同位角相等）．因為（已知）所以DBF（等量代換）．所以（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．題型八：利用平行線間距離解決問題【例8】．（2023下·上海楊浦·七年級統(tǒng)考期末）閱讀、填空并將說理過程補充完整：如圖，已知直線，點A、B在直線上，點C、D在直線上，與交于點E．與的面積相等嗎？為什么？

解：作，垂足為，作，垂足為．又因為（已知），所以______（平行線間距離的意義）．（完成以下說理過程）【答案】相等，理由見解析．【分析】作，垂足為，作，垂足為，根據(jù)平行線間間距相等得到，再根據(jù)三角形面積公式得到，進而可得．【詳解】解：相等，理由如下：作，垂足為，作，垂足為．又因為（已知），所以（平行線間距離的意義）因為，，所以，所以，所以，所以與的面積相等．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知平行線間間距相等是解題的關(guān)鍵．【變式】．（上海黃浦·七年級統(tǒng)考期中）（1）如圖1，已知直線，在直線上取兩點，為直線上的兩點，無論點移動到任何位置都有：____________（填“>”、“<”或“=”）（2）如圖2，在一塊梯形田地上分別要種植大豆（空白部分）和芝麻（陰影部分），若想把種植大豆的兩塊地改為一塊地，且使分別種植兩種植物的面積不變，請問應(yīng)該怎么改進呢？寫出設(shè)計方案，并在圖中畫出相應(yīng)圖形并簡述理由．（3）如圖3，王爺爺和李爺爺兩家田地形成了四邊形，中間有條分界小路（圖中折線），左邊區(qū)域為王爺爺?shù)?，右邊區(qū)域為李爺爺?shù)摹，F(xiàn)在準(zhǔn)備把兩家田地之間的小路改為直路，請你用有關(guān)的幾何知識，按要求設(shè)計出修路方案，并在圖中畫出相應(yīng)的圖形，說明方案設(shè)計理由。（不計分界小路與直路的占地面積）．

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)平行線間的距離處處相等，所以無論點在m上移動到何位置，總有與同底等高，因此它們的面積相等；（2）利用同底等高的三角形的面積相等即可求得設(shè)計方案；（3）連結(jié)，過點作的平行線，連結(jié)或，則或即為所修直路．【詳解】（1）∵與有共同的邊AB，又∵，∴與的高相等，即與同底等高，∴=，故答案為：=；（2）方法一：連結(jié)，將的區(qū)域用于種植大豆，的區(qū)域用于種植芝麻，理由如下：在梯形ABCD中,，則與同底等高，∴，∴，即，又由可知與同底等高，∴，∴該設(shè)計方案把種植大豆的兩塊地改為一塊地，且使分別種植兩種植物的面積不變；方法二連結(jié)，將的區(qū)域用于種植大豆，的區(qū)域用于種植芝麻，理由如下：在梯形ABCD中,，則與同底等高，∴，∴，即，又由可知與同底等高，∴，∴該設(shè)計方案把種植大豆的兩塊地改為一塊地，且使分別種植兩種植物的面積不變；（3）方法一連結(jié)，過點作的平行線：連結(jié)，即為所修直路．將四邊形的區(qū)域分給王爺爺，四邊形的區(qū)域分給李爺爺，理由如下：∵，則與同底等高，∴，則，即，又由可知與同底等高，∴，∴滿足修路方案；方法二：連結(jié)，過點作的平行線：連結(jié)，即為所修直路．將四邊形的區(qū)域分給王爺爺，四邊形的區(qū)域分給李爺爺，理由如下：∵，則與同底等高，∴，則，即，又由可知與同底等高，∴，∴滿足修路方案．【點睛】本題主要考查了兩條平行線間的距離處處相等．只要兩個三角形是同底等高的，則兩個三角形的面積一定相等．解題的關(guān)鍵還要根據(jù)等式的性質(zhì)進一步進行變形．一、單選題1．（2023下·上海·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在下列給出的條件中，能判定的是（

）

A．； B．； C．； D．.【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定條件逐一判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴，故該選項錯誤，不符合題意；B、∵，∴是的平分線，故該選項錯誤，不符合題意；C、∵，∴，故該選項正確，符合題意；D、∵，∴，故該選項錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的判定，熟知平行線的判定條件是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·上海浦東新·七年級上海市進才中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知，、、分別平分、、，則圖中與互余的角共有（

）

A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】C【分析】由平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義求得，再證明得到，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵、分別平分、，∴，，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴與互余的角有，共5個，故選：C．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義以及互余的定義，由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．3．（2023下·上海靜安·七年級上海市回民中學(xué)校考期中）如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角的大小可能（

）A．相等或互補 B．相等 C．互補 D．以上都不對【答案】A【分析】畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及鄰補角的定義進行分析．【詳解】解：如圖所示，和，和兩對角符合條件．∴，或，即兩個角相等或互補，故選：A．

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解決本題時要聯(lián)想的平行線的性質(zhì)定理，正確認識其基本圖形，就不會忽視互補的情況．4．（2023下·上海·七年級期中）如圖，，a、b被c所截，得到的依據(jù)是（）A．兩直線平行，同位角相等B．兩直線平行，內(nèi)錯角相等C．同位角相等，兩直線平行D．內(nèi)錯角相等，兩直線平行【答案】A【分析】由圖形可知和是一對同位角，且是由平行得到角相等，可知是平行線的性質(zhì)．【詳解】解：∵和是一對同位角，∴由得到是根據(jù)平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同位角相等，故選：A．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內(nèi)錯角相等，③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補，④，?．5．（2023下·上海浦東新·七年級?？计谀⒁桓比前逯械膬蓧K直角三角尺的直角頂點C按如圖所示的方式疊放在一起，其中，，，當(dāng)且點在直線的上方時，如果三角板的直角邊與邊平行，那么的度數(shù)為（

）．

A．30或60 B．60或120 C．45或60 D．30或120【答案】D【分析】分兩種情況：當(dāng)時；當(dāng)時，然后分別利用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)時，如圖：

∵，，，；當(dāng)時，如圖：

∵，；綜上所述：如果三角板的直角邊與邊平行，那么的度數(shù)為或，故選：D．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．6．（2023下·上?！て吣昙壠谥校┤鐖D，若，用含、、的式子表示x，應(yīng)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過C作，過M作，推出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，，求出，，即可得出答案．【詳解】解：過C作，過M作，∵，∴，∴，，，∴，，∴，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．明確題意，添加合適輔助線，找出所求問題需要的條件是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2023下·上海普陀·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知直線被直線所截，，且，，那么°．

【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，解得：，∴，即．故答案為：65．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程求出x是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023下·上海徐匯·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，點P是直線上的點，，，那么的度數(shù)是度．

【答案】33【分析】求出，利用平行線的性質(zhì)，即可解答．【詳解】解：，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．9．（2023下·上海寶山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線、被直線所截，如果，，那么．

【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，然后根據(jù)對頂角相等即可求解．【詳解】解：∵，，∴∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，對頂角相等，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023下·上海虹口·七年級上外附中?？计谀┤鐖D，，則∠B、∠C、∠D的關(guān)系是．

【答案】【分析】如圖，過作，證明，，，從而可得答案．【詳解】解：如圖，過作，

∵，∴，∴，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．11．（2021下·上海松江·七年級?？计谥校┤鐖D，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而過，如果第一次拐彎處的是，第二次拐彎處的角是，第三次拐彎處的是，這時道路恰好是和第一次拐彎之前的道路平行，則．【答案】/97度【分析】過B作，由推出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出和，進而求出．【詳解】解：如圖，過B作，∵，∴，∴，∵，∴，則．故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進行角的轉(zhuǎn)化和角的計算．12．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，于A點，過A點作，若，則．【答案】45°/45度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)和垂線的定義．解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．先根據(jù)補角的定義求出的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．故答案為：．13．（2023下·上?！て吣昙壗y(tǒng)考期中）如圖，已知，平分，，那么．

【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)平分，得出，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023下·上海普陀·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在梯形中，，點分別在邊上，如果，，那么．

【答案】1.8【分析】連接，由平行線的性質(zhì)可知，點，，到的距離相等，可得，，進而可求得答案．【詳解】解：連接，

∵，∴點，，到的距離相等，∴，，∴，故答案為：1.8．【點睛】本題考查平行線的之間的距離，掌握平行線之間的距離相等是解決問題的關(guān)鍵．15．（2023下·上海閔行·七年級統(tǒng)考期末）我們規(guī)定車輛在轉(zhuǎn)彎時的轉(zhuǎn)彎角是車輛原行駛路線與轉(zhuǎn)彎后路線所成的角的外角．如圖：一輛車在一段繞山公路行駛（沿箭頭方向）時，在點B、C和D處的轉(zhuǎn)彎角分別是、和，且，則、和之間的數(shù)量關(guān)系是．

【答案】【分析】根據(jù)轉(zhuǎn)彎角的定義及平行線的性質(zhì)即可得出α、β和θ三角的關(guān)系式．【詳解】根據(jù)題干中的“規(guī)定車輛在轉(zhuǎn)彎時的轉(zhuǎn)彎角是車輛原行駛路線與轉(zhuǎn)彎后路線所成的角的外角”可知，在點B、C和D處的轉(zhuǎn)彎角分別是α、β和θ，如下圖所示．

過點C作，則（兩直線平行，則同位角相等）．∵，∴，∴（兩直線平行，則內(nèi)錯角相等），又∵，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和對轉(zhuǎn)彎角名稱定義的理解，解題的關(guān)鍵是利用平行線的性質(zhì)把相關(guān)的角聯(lián)系在一起．16．（2023下·上海徐匯·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知船在觀測站的北偏東方向上，且在觀測站的北偏西方向上，那么的度數(shù)是．

【答案】/度【分析】過點作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求出答案．【詳解】解：過點作，如圖所示：

，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行內(nèi)錯角相等是解決問題的關(guān)鍵．17．（2023下·上海浦東新·七年級?？计谥校┤鐖D，直線，、、、之間的數(shù)量關(guān)系是．

【答案】【分析】過點作，，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，，，繼而可得．【詳解】解：如圖，過點作，過作

，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2021下·上海徐匯·七年級?？计谥校┮阎?，如圖，四邊形中，，點E在線段上，為線段上一點，過點作，交直線于點．將沿翻折，使點的對應(yīng)點落在線段上，當(dāng)時，的度數(shù)是．

【答案】/65度【分析】由對折的性質(zhì)及求出，再和前面方法一樣用互余計算即可．【詳解】解：，，，，由折疊有，，，，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，．故答案為：．【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)與判定及余角，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2023下·上海閔行·七年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，與互補，，試說明．解：因為與互補所以（）所以（）又因為（）所以（等式性質(zhì)）即所以（）所以（）【答案】同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；已知；；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定定理，完成填空即可求解．【詳解