北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專題2.10相交線與平行線章末八大題型總結(jié)(培優(yōu)篇)同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題2.10相交線與平行線章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的運(yùn)用】 1【題型2同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別】 2【題型3添加條件判定平行】 3【題型4由平行線的性質(zhì)求角度】 4【題型5由平行線的判定與性質(zhì)判斷多結(jié)論問(wèn)題】 5【題型6在平行線中添加推理依據(jù)進(jìn)行證明】 6【題型7利用平行線的判定及性質(zhì)求角度】 9【題型8利用平行線的判定及性質(zhì)進(jìn)行證明】 10【題型1對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的運(yùn)用】【例1】（2023下·天津薊州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，下列說(shuō)法正確的是（）A．∠1和∠4互為內(nèi)錯(cuò)角 B．∠2的同位角只有∠4C．∠6和∠7互補(bǔ) D．∠2和∠1互為鄰補(bǔ)角【變式1-1】（2023下·浙江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)課上老師用雙手表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）．從左至右依次表示（

）A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角 B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角C．內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角、同位角 D．內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角【變式1-2】（2023上·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，圖中同旁內(nèi)角的數(shù)量共有（

）A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì)【變式1-3】（2023下·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，下列說(shuō)法正確的是（

）①∠1和∠3是同位角；②∠1和∠5是同位角；③∠1和∠2是同旁內(nèi)角；④∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角

A．①② B．②③ C．①③ D．②④【題型2同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別】【例2】（2023下·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度數(shù)；（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度數(shù)；（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，請(qǐng)直接寫出∠AOC和∠BOF的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【變式2-1】（2023下·上海虹口·七年級(jí)上外附中校考期末）若∠1的對(duì)頂角是∠2，∠2的鄰補(bǔ)角是∠3，∠3的余角是∠4，若∠4=55°，則∠1＝°【變式2-2】（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）如圖，直線AB、EF相交于點(diǎn)D，∠ADC=90°．若∠ADE與∠ADC的度數(shù)之比為1:3，則∠CDF的度數(shù)是°．

【變式2-3】（2023上·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線AB和CD交于點(diǎn)O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）當(dāng)α＝30°時(shí)，則∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．（2）當(dāng)α＝60°時(shí)，射線OE′從OE開(kāi)始以12°/秒的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)射線OF′從OF開(kāi)始以8°/秒的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線OE′轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)射線OF′也停止轉(zhuǎn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多少秒射線OE′與射線OF′第一次重合？（3）在（2）的條件下，射線OE′在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，當(dāng)∠E′OF′＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出射線OE′轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為_(kāi)________秒．【題型3添加條件判定平行】【例3】（2023下·湖北孝感·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，下列條件中，不能判斷直線l1∥l

A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°【變式3-1】（2023下·黑龍江雙鴨山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，在不添加輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使AB∥

【變式3-2】（2023下·湖南益陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，下列條件中：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；⑤∠D=∠5，則一定能判定AB∥CD的條件有

【變式3-3】（2023下·山東煙臺(tái)·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=120°，添加一個(gè)條件，仍不能判定AB∥CD，添加的條件可能是（

A．∠BOE=60° B．∠DOF=30°C．∠AOF=30° D．∠BOE+∠AOF=90°【題型4由平行線的性質(zhì)求角度】【例4】（2023下·云南昆明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，在同一平面內(nèi)，∠ABC=110°，AD∥BC，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，那么∠AEB度數(shù)為【變式4-1】（2023下·北京朝陽(yáng)·七年級(jí)校考期末）如圖，a∥c,b∥d，∠1=30°，求∠3的度數(shù)．

【變式4-2】（2023下·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，∠G=∠FEH=90°，∠GEF=45°，∠H=60°，若∠AEG=30°

【變式4-3】（2023下·貴州黔南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB∥CD，AD∥BC，∠DCE=90°，點(diǎn)E在線段AB上，∠FCG=90°，點(diǎn)F在直線

(1)圖中與∠D相等的角有__________；(2)若∠ECF=25°，求∠BCD的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)C（點(diǎn)C不與B，H兩點(diǎn)重合）從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BG的方向運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，求∠BAF的度數(shù)．【題型5由平行線的判定與性質(zhì)判斷多結(jié)論問(wèn)題】【例5】（2023下·重慶云陽(yáng)·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，E在線段BA的延長(zhǎng)線上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EF∥HC，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點(diǎn)，連CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK內(nèi)部有射線GM，GM平分∠FGC．則下列結(jié)論：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠FGA=42°；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式5-1】（2023下·四川南充·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC上，DE∥BC，∠C=∠EDF，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．∠ADE=∠B B．DF∥AC C．∠BFD=∠AED D．∠B+∠CED=180°【變式5-2】（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥AB，EF是△DEC的角平分線，有下列四個(gè)結(jié)論：?①∠BDE=∠DBE；?②EF∥BD；?③∠CDE=∠ABC；?④A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④【變式5-3】（2023下·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，E在線段BA的延長(zhǎng)線上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點(diǎn)，連CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK內(nèi)部有射線GM，GM平分∠FGC．則下列結(jié)論：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③GK∥CD；④∠A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【題型6在平行線中添加推理依據(jù)進(jìn)行證明】【例6】（2023下·北京東城·七年級(jí)北京二中?？计谀┭a(bǔ)全證明過(guò)程，并在（

）內(nèi)填寫推理的依據(jù)．已知：如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，EG⊥BC于點(diǎn)G，∠E=∠1，求證：AD是∠BAC的角平分線．

證明：∵AD⊥BC，EG⊥BC∴∠EGD=∠ADC=90°（①___________）∴AD∥EG（②___________）∴∠E=∠③___________，∠1=∠BAD（④___________）∵∠E=∠1∴∠CAD=∠BAD∴AD是∠BAC的角平分線（⑤___________）【變式6-1】（2023下·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)完成證明過(guò)程和填寫上推理依據(jù)．如圖，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠4，試判斷∠ACB與∠3的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

解：∠ACB=∠3，理由如下：∵∠1+∠2=180°又∵（______）+∠2=180°（鄰補(bǔ)角定義）∴（______）=∠1（__________________）∴（______）∥AB∴∠AFE=∠4（__________________）∵∠B=∠4，∴（______）=∠B（__________________）∴EF∥∴∠ACB=∠3（__________________）【變式6-2】（2023下·重慶彭水·七年級(jí)校聯(lián)考期末）推理填空：如圖，點(diǎn)D，E，H分別在△ABC的邊AB，BC，AC上，連接DE，過(guò)點(diǎn)C作CF交DH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F且滿足∠B+∠BCF=180°；若DE∥

證明：∵DE∥∴∠1=（兩直線平行，同位角相等）∵∠1=∠3（已知）∴∠3=∠2（）∴DF∥BC（∴∠4=∠B（兩直線平行，同位角相等）∵∠B+∠BCF=180°（已知）∴∥∴∠4=（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠B=∠F（等量代換）【變式6-3】（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在下面的括號(hào)內(nèi)，填上推理的根據(jù)．如圖，點(diǎn)D，E分別為三角形ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別在BC，AB上，∠AED=∠C，∠DEF=∠B，∠EFG=90°．求證FG⊥AB．證明：∵∠AED=∠C∴DE∥BC（∴∠DEF=∠EFC（

）∵∠DEF=∠B∴∠EFC=∠B∵∠EFC+∠EFB=180°∴∠B+∠EFB=180°（

）∴DB∥EF（∴∠AGF+∠EFG=180°（

）∵∠EFG=90°∴∠AGF=90°∴FG⊥AB（

）【題型7利用平行線的判定及性質(zhì)求角度】【例7】（2023下··浙江·七年級(jí)期末）已知，AB∥CD，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G，F(xiàn)在AB上，點(diǎn)H在AB，CD之間，連接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，F(xiàn)E⊥HE，垂足為E．（1）如圖1，求證：HG⊥HE；（2）如圖2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于點(diǎn)M，求證：∠GHE＝2∠GME；（3）如圖3，在（2）的條件下，F(xiàn)K平分∠AFE交CD于點(diǎn)K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度數(shù)．【變式7-1】（2023上·貴州貴陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠1+∠2=180°,∠A=∠3．

(1)求證：AB∥CD；(2)若∠B=78°,∠BDE=2∠3，求∠DEA的度數(shù)．【變式7-2】（2023下·安徽六安·七年級(jí)校考期末）如圖1，已知點(diǎn)B和點(diǎn)C分別是AF和DE上的點(diǎn)，∠DAF=∠BCD，∠F=∠ECF．(1)試說(shuō)明：AD∥(2)如圖2，連接AC，已知AC⊥CF，∠ECF=m∠BCF．①當(dāng)m=1時(shí)，∠DAF=62°，求∠ACB的度數(shù)；②若∠ACD+∠ABC=150°，則∠D=__________．（用含m的代數(shù)式表示）【變式7-3】（2023下·浙江·七年級(jí)期末）綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)直角三角形和兩條平行線”為背景開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖，已知兩直線a,b，且a//b,△ABC是直角三角形，∠BCA=90°，操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1．若∠1=48°，求∠2的度數(shù)；（2）如圖2，若∠A=30°,∠1的度數(shù)不確定，同學(xué)們把直線a向上平移，并把∠2的位置改變，發(fā)現(xiàn)∠2?∠1=120°，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，若∠A=30°，AC平分∠BAM，此時(shí)發(fā)現(xiàn)∠1與∠2又存在新的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【題型8利用平行線的判定及性質(zhì)進(jìn)行證明】【例8】（2023下·陜西渭南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，連接BD，E是直線FD上的一點(diǎn)，∠ABC=140°，

(1)判斷BC與EF平行嗎？為什么？(2)若BD∥AE，∠BAE=110°，則BD是否平分∠ABC？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式8-1】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2.求證：AE∥PF．

【變式8-2】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)校考期末）如圖，已知BC∥AD,∠C=∠A,∠3=∠4．求證：

(1)AB(2)∠1=∠2【變式8-3】（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谥校c(diǎn)E在射線DA上，點(diǎn)F、G為射線BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足∠DBF=∠DEF，∠BDG=∠BGD，DG平分∠BDE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在F右側(cè)時(shí)，求證：BD//EF；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在F左側(cè)時(shí)，求證：∠DGE=∠BDG+∠FEG；(3)如圖3，在2的條件下，P為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DM平分∠BDG，交BC于點(diǎn)M，DN平分∠PDM，交EF于點(diǎn)N，連接NG，若DG⊥NG，∠DBF?∠DNG=∠EDN，則∠DBF的度數(shù)是多少．專題2.10相交線與平行線章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的運(yùn)用】 1【題型2同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別】 3【題型3添加條件判定平行】 8【題型4由平行線的性質(zhì)求角度】 10【題型5由平行線的判定與性質(zhì)判斷多結(jié)論問(wèn)題】 14【題型6在平行線中添加推理依據(jù)進(jìn)行證明】 19【題型7利用平行線的判定及性質(zhì)求角度】 24【題型8利用平行線的判定及性質(zhì)進(jìn)行證明】 31【題型1對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的運(yùn)用】【例1】（2023下·天津薊州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，下列說(shuō)法正確的是（）A．∠1和∠4互為內(nèi)錯(cuò)角 B．∠2的同位角只有∠4C．∠6和∠7互補(bǔ) D．∠2和∠1互為鄰補(bǔ)角【答案】D【分析】根據(jù)同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角和鄰補(bǔ)角的概念解答即可．【詳解】A、∠1和∠4互不是內(nèi)錯(cuò)角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∠2的同位角不是只有∠4，還有幾個(gè)，如∠5也是，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∠6和∠7不一定互補(bǔ)，只有c∥d才互補(bǔ)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∠2和∠1互為鄰補(bǔ)角，故此選項(xiàng)正確；【點(diǎn)睛】此題考查同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角和鄰補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角和鄰補(bǔ)角的概念解答．【變式1-1】（2023下·浙江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)課上老師用雙手表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）．從左至右依次表示（

）A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角 B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角C．內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角、同位角 D．內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角【答案】D【分析】?jī)蓷l線a、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關(guān)系的角稱為同位角；兩個(gè)角分別在截線的異側(cè)，且?jiàn)A在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為內(nèi)錯(cuò)角；兩個(gè)角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為同旁內(nèi)角．據(jù)此作答即可．【詳解】解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，可知第一個(gè)圖是內(nèi)錯(cuò)角，第二個(gè)圖是同位角，第三個(gè)圖是同旁內(nèi)角．【點(diǎn)睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，并能區(qū)別它們．【變式1-2】（2023上·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，圖中同旁內(nèi)角的數(shù)量共有（

）A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì)【答案】B【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角的定義解答即可．【詳解】解：直線AB、CD被射線PE所截，可以得到兩對(duì)同旁內(nèi)角，∠DQP與∠BPQ，∠QPO與∠PQO；直線AB、射線PE被直線CD所截，可以得到兩對(duì)同旁內(nèi)角，∠EQC與∠AOD，∠QOP與∠PQO；直線CD、射線PE被直線AB所截，可以得到一對(duì)同旁內(nèi)角，∠QOP與∠QPO；因此共有5對(duì)同旁內(nèi)角，【點(diǎn)睛】本題考查同旁內(nèi)角的定義，同旁內(nèi)角就是在截線的同一旁，在兩條被截線之間的兩個(gè)角．【變式1-3】（2023下·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，下列說(shuō)法正確的是（

）①∠1和∠3是同位角；②∠1和∠5是同位角；③∠1和∠2是同旁內(nèi)角；④∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角

A．①② B．②③ C．①③ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)同位角，內(nèi)錯(cuò)角及同旁內(nèi)角的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：兩條直線a，b被第三條直線c所截，在截線c的同旁，且在被截兩直線a，b的同一側(cè)的角，我們把這樣的兩個(gè)角稱為同位角，則∠1和∠3是同位角，∠1和∠5不是同位角，那么①正確，②錯(cuò)誤；兩條直線a，b被第三條直線c所截，在截線c的同旁，且在被截兩直線a，b之間的角，我們把這樣的兩個(gè)角稱為同旁內(nèi)角，則∠1和∠2是同旁內(nèi)角，那么③正確；兩條直線a，b被第三條直線c所截，在截線c的兩側(cè)，且在被截兩直線a，b之間的角，我們把這樣的兩個(gè)角稱為內(nèi)錯(cuò)角，則∠1和∠4不是內(nèi)錯(cuò)角，那么④錯(cuò)誤；綜上，正確的為①③，【點(diǎn)睛】本題考查同位角，內(nèi)錯(cuò)角及同旁內(nèi)角的定義，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．【題型2同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別】【例2】（2023下·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度數(shù)；（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度數(shù)；（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，請(qǐng)直接寫出∠AOC和∠BOF的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【答案】（1）∠BOF=33°；（2）∠AOC=72°；(3)∠AOC=2x=（3607）°﹣47α°，∠BOF=（3607）°【詳解】試題分析：（1）由∠AOC=76°易得∠BOD=76°，結(jié)合OE平分∠BOD可得∠DOE=∠BOE=38°，由此可得∠COE=180°-38°=142°，結(jié)合OF平分∠COE可得∠EOF=71°，最后由∠BOF=∠EOF-∠BOE即可求得∠BOF的度數(shù)；（2）設(shè)∠BOE=x，由OE平分∠BOD，∠AOC=∠BOD可得∠DOE=∠BOE=x，∠AOC=2x，結(jié)合∠BOF=36°，OF平均∠EOF可得∠COF=∠EOF=x+36°，最后由∠AOC+∠COF+∠BOF=180°即可列出關(guān)于x的方程，解方程求得x的值即可求得∠AOC的度數(shù)；（3）設(shè)∠BOE=x，則由已知條件易得∠AOC=2x，∠BOF=90°-32x，這樣結(jié)合|∠AOC﹣∠BOF|=α°即可列出關(guān)于試題解析：（1）∵∠BOD=∠AOC=76°，又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=12∠BOD=1∴∠COE=180°﹣∠DOE=180°﹣38°=142°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=12∠COE=1∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=71°﹣38°=33°．（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∴∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，∴設(shè)∠BOE=x，則∠DOE=x，故∠COA=2x，∠EOF=∠COF=x+36°，則∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°，解得：x=36°，故∠AOC=72°．（3）設(shè)∠BOE=x，∵OE平分∠BOD，∠BOD=∠AOC，∴∠DOE=x，∠COA=2x，∴∠BOC=180°-2x，∴∠COE=180°-x，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=90°-12∴∠BOF=90°﹣32∵|∠AOC﹣∠BOF|=α°，∴|2x﹣（90°﹣32解得：x=（1807）°+27α°或x=（1807當(dāng)x=（1807）°+2∠AOC=2x=（3607）°+4∠BOF=90°﹣32x=（3607）°﹣當(dāng)x=（1807）°﹣2∠AOC=2x=（3607）°﹣4∠BOF=90°﹣32x=（3607）°+【變式2-1】（2023下·上海虹口·七年級(jí)上外附中校考期末）若∠1的對(duì)頂角是∠2，∠2的鄰補(bǔ)角是∠3，∠3的余角是∠4，若∠4=55°，則∠1＝°【答案】145【分析】根據(jù)余角、鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的性質(zhì)進(jìn)行求解，即可得到答案．【詳解】解：∵∠3的余角是∠4，∠4=55°，∴∠3=90°?∠4=35°，∵∠2的鄰補(bǔ)角是∠3，∴∠2=180°?∠3=145°，∵∠1的對(duì)頂角是∠2，∴∠1=∠2=145°，故答案為：145．【點(diǎn)睛】本意考查了余角、鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┤鐖D，直線AB、EF相交于點(diǎn)D，∠ADC=90°．若∠ADE與∠ADC的度數(shù)之比為1:3，則∠CDF的度數(shù)是°．

【答案】120【分析】根據(jù)題意求得∠ADE=30°，進(jìn)而根據(jù)對(duì)頂角相等得出∠BDF=∠ADE=30°，根據(jù)∠CDF=∠BDC+∠BDF即可求解．【詳解】∵∠ADC=90°，∠ADE與∠ADC的度數(shù)之比為1:3，∴∠ADE=90°×1∵直線AB、EF相交于點(diǎn)D，∴∠BDF=∠ADE=30°，∵∠BDC=180°?∠ADC=90°，∴∠CDF=∠BDC+∠BDF=90°+30°=120°，故答案為：120．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角相等，幾何圖形中角度的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023上·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線AB和CD交于點(diǎn)O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）當(dāng)α＝30°時(shí)，則∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．（2）當(dāng)α＝60°時(shí)，射線OE′從OE開(kāi)始以12°/秒的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)射線OF′從OF開(kāi)始以8°/秒的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線OE′轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)射線OF′也停止轉(zhuǎn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多少秒射線OE′與射線OF′第一次重合？（3）在（2）的條件下，射線OE′在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，當(dāng)∠E′OF′＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出射線OE′轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為_(kāi)________秒．【答案】（1）60，75；（2）152【分析】（1）根據(jù)題意利用互余和互補(bǔ)的定義可得：∠EOC與∠FOD的度數(shù)．（2）由題意先根據(jù)α=60°，得出∠EOF=150°，則射線OE'、OF'第一次重合時(shí)，其OE'運(yùn)動(dòng)的度數(shù)+OF'運(yùn)動(dòng)的度數(shù)=150，列式解出即可；（3）根據(jù)題意分兩種情況在直線OE的左邊和右邊，進(jìn)而根據(jù)其夾角列4個(gè)方程可得時(shí)間．【詳解】解：（1）∵∠BOE=90°，∴∠AOE=90°，∵∠AOC=α＝30°，∴∠EOC=90°-30°=60°，∠AOD=180°-30°=150°，∵OF平分∠AOD，∴∠FOD=12∠AOD=1故答案為：60，75；（2）當(dāng)α=60°，∠EOF=90°+60°=150°．設(shè)當(dāng)射線OE'與射線OF可得12t+8t=150，解得：t=15答：當(dāng)射線OE'與射線OF（3）設(shè)射線OE'轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為由題意得：12t+8t=150?90或12t+8t=150+90或8t+12t=360+150?90或12t+8t=360+150+90，解得：t=3或12或21或30．答：射線OE【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)的定義，角平分線的定義，角的計(jì)算，第三問(wèn)有難度，熟記相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意要分情況討論．【題型3添加條件判定平行】【例3】（2023下·湖北孝感·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，下列條件中，不能判斷直線l1∥l

A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°【答案】A【分析】直接利用平行線的判定方法分別分析得出答案．【詳解】解：A、∵∠1=∠3，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得l1B、根據(jù)∠2=∠3，不能判斷直線l1C、∵∠4=∠5，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得l1D、∵∠2+∠4=180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可得l1【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，正確把握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（2023下·黑龍江雙鴨山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，在不添加輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使AB∥

【答案】∠EDC=∠A（答案不唯一）【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)平行線的判定定理可得：∠EDC=∠A；∠A+∠ADC=180°；∠B+∠DCB=180°都可判斷AB∥故答案為：∠EDA=∠A（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023下·湖南益陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，下列條件中：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；⑤∠D=∠5，則一定能判定AB∥CD的條件有

【答案】①③④【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐項(xiàng)分析判斷．【詳解】解：①若∠B＋∠BCD=180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可得②若∠1=∠2，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AD∥③若∠3=∠4，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AB∥④若∠B=∠5，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得AB∥⑤若∠D＝∠5，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得故答案為①③④．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，熟練掌握兩直線平行的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2023下·山東煙臺(tái)·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=120°，添加一個(gè)條件，仍不能判定AB∥CD，添加的條件可能是（

A．∠BOE=60° B．∠DOF=30°C．∠AOF=30° D．∠BOE+∠AOF=90°【答案】D【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∵OE平分∠BOD，∠BOE=60°，∴∠BOD=2∠BOE=120°∵∠D=120°∴∠BOD=∠D=120°∴AB∥CD，故B、∵OF⊥OE，∴∠FOE=90°∵∠DOF=30°∴∠DOE=∠FOE?∠DOF=90°?30°=60°∵OE平分∠BOD∴∠BOD=2∠DOE=120°∵∠D=120°∴∠BOD=∠D=120°∴AB∥CD，故C、∵OF⊥OE，∴∠FOE=90°∵∠AOF=30°∴∠BOE=180°?∠AOF?∠FOE=60°∵OE平分∠BOD∴∠BOD=2∠BOE=120°∵∠D=120°∴∠BOD=∠D=120°∴AB∥CD，故D、∵∠BOE+∠AOF=90°，∴∠FOE=90°不能判斷AB∥CD，故【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【題型4由平行線的性質(zhì)求角度】【例4】（2023下·云南昆明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，在同一平面內(nèi)，∠ABC=110°，AD∥BC，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，那么∠AEB度數(shù)為【答案】35°或55°【分析】畫(huà)出相應(yīng)的簡(jiǎn)圖，再利用平行線的性質(zhì)及角平分線的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：①如圖，∵AD∥BC，∴∠BAD=180°?∠ABC=70°，∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=1∴∠AEB=35°；②如圖，∵AD∥BC，∴∠BAD=∠ABC=110°，∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=1∴∠AEB=55°．綜上所述，∠AEB的度數(shù)為：35°或55°．故答案為：35°或55°．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用．【變式4-1】（2023下·北京朝陽(yáng)·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，a∥c,b∥d，∠1=30°，求∠3的度數(shù)．

【答案】30°【分析】根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，解答即可．【詳解】解：∵a∥c，∠1=30°，∴∠2=∠1=30°，又∵b∥d，∴∠3=∠2=30°，∴∠3的度數(shù)為30°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是對(duì)以上知識(shí)的熟練掌握．【變式4-2】（2023下·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，∠G=∠FEH=90°，∠GEF=45°，∠H=60°，若∠AEG=30°

【答案】41°【分析】由平角關(guān)系可求得∠BEH，過(guò)點(diǎn)H作HM∥AB，則【詳解】解：∵∠AEG+∠GEF+∠FEH+∠BEH=180°，∠GEF=45°，∠AEG=30°，∴∠BEH=180°?(∠AEG+∠GEF+∠FEH)=19°，過(guò)點(diǎn)H作HM∥∵AB∥∴AB∥∴∠EHM=∠BEH=19°，∠DFH=∠MHF，∵∠MHF=∠EHF?∠EHM=60°?19°=41°，∴∠DFH=41°；故答案為：41°．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平角等知識(shí)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023下·貴州黔南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB∥CD，AD∥BC，∠DCE=90°，點(diǎn)E在線段AB上，∠FCG=90°，點(diǎn)F在直線

(1)圖中與∠D相等的角有__________；(2)若∠ECF=25°，求∠BCD的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)C（點(diǎn)C不與B，H兩點(diǎn)重合）從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BG的方向運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，求∠BAF的度數(shù)．【答案】(1)∠DCG，∠ECF，∠B(2)155°(3)25°或155°【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等以及平行線的性質(zhì)，即可得到與∠D相等的角；（2）根據(jù)∠ECF=25°，∠DCE=90°，可得∠FCD=65°，再根據(jù)∠BCF=90°，即可得到∠BCD=65°+90°=155°；（3）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)C在線段BH上；點(diǎn)C在BH延長(zhǎng)線上，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠BAF的度數(shù)為25°或155°．【詳解】（1）解：∵AD∥∴∠D=∠DCG，∵∠FCG=90°，∠DCE=90°，∴∠ECF=∠DCG，∴∠D=∠ECF，∵AB∥∴∠DCG=∠B，∴∠D=∠B；∴與∠D相等的角為∠DCG，∠ECF，∠B；（2）解：∵∠ECF=25°，∠DCE=90°，∴∠FCD=65°，∵∠BCF=90°，∴∠BCD=65°+90°=155°；（3）解：分兩種情況進(jìn)行討論：①如圖a，當(dāng)點(diǎn)C在線段BH上時(shí)，點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上，此時(shí)∠ECF=∠DCG=∠B=25°，∵AD∥∴∠BAF=∠B=25°；②如圖b，當(dāng)點(diǎn)C在BH的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)F在線段AD上．∵∠B=25°，AD∥∴∠BAF=180°?25°=155°，綜上所述，∠BAF的度數(shù)為25°或155°．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．【題型5由平行線的判定與性質(zhì)判斷多結(jié)論問(wèn)題】【例5】（2023下·重慶云陽(yáng)·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，E在線段BA的延長(zhǎng)線上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EF∥HC，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點(diǎn)，連CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK內(nèi)部有射線GM，GM平分∠FGC．則下列結(jié)論：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠FGA=42°；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)平行線的判定定理得到AD∥BC，故①正確；由平行線的性質(zhì)得到∠AGK=∠CKG，等量代換得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正確；根據(jù)題意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，故③錯(cuò)誤；設(shè)∠AGM=α，【詳解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴AD∥∴∠AGK=∠CKG，∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正確；∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，∴90°?∠FGA?∠DGH=16°，∵∠FGA=∠DGH，∴90°?2∠FGA=16°，∴∠FGA=∠DGH=37°，故③錯(cuò)誤；設(shè)∠AGM=α，∴∠AGK=α+β，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK=∠AGK=α+β，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，∴37°+α=β+α+β，∴β=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④錯(cuò)誤，綜上，①②正確，共2個(gè)，【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，對(duì)頂角相等，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023下·四川南充·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC上，DE∥BC，∠C=∠EDF，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．∠ADE=∠B B．DF∥AC C．∠BFD=∠AED D．∠B+∠CED=180°【答案】D【分析】結(jié)合已知條件，利用平行線的性質(zhì)定理和判定定理逐項(xiàng)判斷即可得出答案．【詳解】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，故A選項(xiàng)結(jié)論正確，不合題意；∵DE∥BC，∴∠EDF+∠DFC=180°，又∵∠C=∠EDF，∴∠C+∠DFC=180°，∴DF∥AC，故B選項(xiàng)結(jié)論正確，不合題意；∴∠BFD=∠C，又∵DE∥BC，∴∠AED=∠C，∠C+∠CED=180°，∴∠BFD=∠AED，故C選項(xiàng)結(jié)論正確，不合題意；∵∠C+∠CED=180°，∠C不一定等于∠B，∴現(xiàn)有條件無(wú)法推出∠B+∠CED=180°，故D選項(xiàng)結(jié)論不正確，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥AB，EF是△DEC的角平分線，有下列四個(gè)結(jié)論：?①∠BDE=∠DBE；?②EF∥BD；?③∠CDE=∠ABC；?④A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】利用DE∥AB，BD平分∠ABC，EF平分∠DEC，可以判斷出①②正確；再根據(jù)∠A與∠ABC不一定相等，再利用∠A與∠CDE相等，可判斷出③不一定正確；根據(jù)EF∥BD，推出【詳解】∵DE∥∴∠ABD=∠BDE，∠ABC=∠DEC，∵BD平分∠ABC，EF平分∠DEC，∴∠ABD=∠DBE，∠DEF=∠FEC，∴∠BDE=∠DBE，∠FEC=∠DBC，∴EF∥故①②正確；∴∠A與∠ABC不一定相等，由題意可知∠A=∠CDE，∴∠CDE與∠ABC不一定相等，故③錯(cuò)誤；∵EF∥∴△BDF與△BDE是等底等高的三角形，∴S△BDF∴S四邊形故④正確，∴①②④正確．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的定義，平行線的判定及性質(zhì)，平行線間的距離處處相等等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2023下·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，E在線段BA的延長(zhǎng)線上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點(diǎn)，連CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK內(nèi)部有射線GM，GM平分∠FGC．則下列結(jié)論：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③GK∥CD；④∠A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定定理得到AD∥BC，故①正確；由平行線的性質(zhì)得到∠AGK=∠CKG，等量代換得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正確；根據(jù)平行線同旁內(nèi)角互補(bǔ)得∠D+∠DCG+∠GCK=180°，再根據(jù)題目已知∠CKG＝∠CGK，得∠D+∠DCG=2∠GKC，又根據(jù)AD∥BC，得∠D+∠DCG=2∠AGK，但根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明GD=GC，故③錯(cuò)誤；設(shè)∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=【詳解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴AD∥∴∠AGK=∠CKG，∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正確；∵AD∥∴∠D+∠DCG+∠GCK=180°，∵∠CKG＝∠CGK，∴∠D+∠DCG+180°?2∠GKC=180°，∴∠D+∠DCG=2∠GKC，又∵AD∥∴∠AGK=∠CKG，∴∠D+∠DCG=2∠AGK，要使GK∥CD，就要使∠D=∠AGK且∴就要GD=GC，但題目沒(méi)給出這個(gè)條件且利用現(xiàn)有條件也無(wú)法證明GD=GC，∴故③錯(cuò)誤；設(shè)∠AGM=α，∠MGK=β，∴∠AGK=α+β，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK=∠AGK=α+β，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，∴37°+α=β+α+β，∴β=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④錯(cuò)誤，【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，對(duì)頂角性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【題型6在平行線中添加推理依據(jù)進(jìn)行證明】【例6】（2023下·北京東城·七年級(jí)北京二中?？计谀┭a(bǔ)全證明過(guò)程，并在（

）內(nèi)填寫推理的依據(jù)．已知：如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，EG⊥BC于點(diǎn)G，∠E=∠1，求證：AD是∠BAC的角平分線．

證明：∵AD⊥BC，EG⊥BC∴∠EGD=∠ADC=90°（①___________）∴AD∥EG（②___________）∴∠E=∠③___________，∠1=∠BAD（④___________）∵∠E=∠1∴∠CAD=∠BAD∴AD是∠BAC的角平分線（⑤___________）【答案】垂直的定義，同位角相等、兩直線平行,DAC，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，角平分線的定義．【分析】根據(jù)垂直的定義、平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義逐步分析即可解答．【詳解】證明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴∠EGD=∠ADC=90°（垂直的定義），∴AD∥∴∠E=∠DAC，∠1=∠BAD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠E=∠1，∴∠CAD=∠BAD，∴AD是∠BAC的角平分線（角平分線的定義）．故答案為：垂直的定義，同位角相等、兩直線平行,DAC，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，角平分線的定義．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直的定義、平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023下·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)完成證明過(guò)程和填寫上推理依據(jù)．如圖，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠4，試判斷∠ACB與∠3的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

解：∠ACB=∠3，理由如下：∵∠1+∠2=180°又∵（______）+∠2=180°（鄰補(bǔ)角定義）∴（______）=∠1（__________________）∴（______）∥AB∴∠AFE=∠4（__________________）∵∠B=∠4，∴（______）=∠B（__________________）∴EF∥∴∠ACB=∠3（__________________）【答案】∠5；∠5，同角的補(bǔ)角相等；DE，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠AFE，等量代換；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，平行線的判定和性質(zhì)，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：∠ACB=∠3，理由如下：∵∠1+∠2=180°又∵∠5+∠2=180°（鄰補(bǔ)角定義）∴∠5=∠1（同角的補(bǔ)角相等）∴DE∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∴∠AFE=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠B=∠4∴∠AFE=∠B（等量代換）∴EF∥BC（同位角相等，兩直線平行）∴∠ACB=∠3（兩直線平行，同位角相等）．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理．【變式6-2】（2023下·重慶彭水·七年級(jí)校聯(lián)考期末）推理填空：如圖，點(diǎn)D，E，H分別在△ABC的邊AB，BC，AC上，連接DE，過(guò)點(diǎn)C作CF交DH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F且滿足∠B+∠BCF=180°；若DE∥

證明：∵DE∥∴∠1=（兩直線平行，同位角相等）∵∠1=∠3（已知）∴∠3=∠2（）∴DF∥BC（∴∠4=∠B（兩直線平行，同位角相等）∵∠B+∠BCF=180°（已知）∴∥（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴∠4=（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠B=∠F（等量代換）【答案】∠2；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；AB；CF；∠F【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠2，進(jìn)而等量代換得到∠3=∠2，由此可證明DF∥BC得到∠4=∠B，再證明AB∥CF得到∠4=∠F，即可證明【詳解】證明：∵DE∥∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）∵∠1=∠3（已知）∴∠3=∠2（等量代換）∴DF∥∴∠4=∠B（兩直線平行，同位角相等）∵∠B+∠BCF=180°（已知）∴AB∥CF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴∠4=∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠B=∠F（等量代換）故答案為：∠2；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；AB；CF；∠F．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在下面的括號(hào)內(nèi)，填上推理的根據(jù)．如圖，點(diǎn)D，E分別為三角形ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別在BC，AB上，∠AED=∠C，∠DEF=∠B，∠EFG=90°．求證FG⊥AB．證明：∵∠AED=∠C∴DE∥BC（∴∠DEF=∠EFC（

）∵∠DEF=∠B∴∠EFC=∠B∵∠EFC+∠EFB=180°∴∠B+∠EFB=180°（

）∴DB∥EF（∴∠AGF+∠EFG=180°（

）∵∠EFG=90°∴∠AGF=90°∴FG⊥AB（

）【答案】見(jiàn)解析【分析】由∠AED=∠C判定DE∥BC，得到∠DEF=∠EFC，利用等量代換得到∠B+∠EFB=180°，推出DB∥EF，則有∠AGF+∠EFG=180°，根據(jù)【詳解】解：證明：∵∠AED=∠C，∴DE∥∴∠DEF=∠EFC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠DEF=∠B，∴∠EFC=∠B，∵∠EFC+∠EFB=180°，∴∠B+∠EFB=180°（等量代換）∴DB∥∴∠AGF+∠EFG=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵∠EFG=90°，∴∠AGF=90°，∴FG⊥AB（垂線的定義）【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，垂線的定義，靈活運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)得出角的關(guān)系式解題的關(guān)鍵．【題型7利用平行線的判定及性質(zhì)求角度】【例7】（2023下··浙江·七年級(jí)期末）已知，AB∥CD，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G，F(xiàn)在AB上，點(diǎn)H在AB，CD之間，連接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，F(xiàn)E⊥HE，垂足為E．（1）如圖1，求證：HG⊥HE；（2）如圖2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于點(diǎn)M，求證：∠GHE＝2∠GME；（3）如圖3，在（2）的條件下，F(xiàn)K平分∠AFE交CD于點(diǎn)K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）40°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可；（3）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED，∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠FEH+∠H＝180°，∵FE⊥HE，∴∠FEH＝90°，∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，∴HG⊥HE；（2）過(guò)點(diǎn)M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴HP∥CD，∵GM平分∠HGB，∴∠BGM＝∠HGM＝12∠BGH∵EM平分∠HED，∴∠HEM＝∠DEM＝12∠HED∵M(jìn)Q∥AB，∴∠BGM＝∠GMQ，∵M(jìn)Q∥CD，∴∠QME＝∠MED，∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，∵HP∥AB，∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，∵HP∥CD，∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），∴∠GHE＝∠2GME；（3）過(guò)點(diǎn)M作MQ∥AB，過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，由∠KFE：∠MGH＝13：5，設(shè)∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，∵∠AFE+∠BFE＝180°，∴∠AFE＝180°﹣10x，∵FK平分∠AFE，∴∠AFK＝∠KFE＝12∠AFE即12解得：x＝5°，∴∠BGH＝10x＝50°，∵HP∥AB，HP∥CD，∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，∵∠GHE＝90°，∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，∴∠HED＝40°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)定理以及靈活構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023上·貴州貴陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠1+∠2=180°,∠A=∠3．

(1)求證：AB∥CD；(2)若∠B=78°,∠BDE=2∠3，求∠DEA的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)∠DEA=146°【分析】（1）由∠1+∠2=180°得到DE∥AC，即可得到∠A＝（2）由平行的性質(zhì)得到∠BDC+∠B=180°，求出∠3=34°即可求出答案．【詳解】（1）∵∠1+∠2=180°，∴DE∥∴∠A＝∵∠A＝∴∠3＝∴AB∥CD；（2）∵AB∥CD，∴∠BDC+∠B=180°，∵∠B=78°，∠BDE=2∠3，∴2∠3+∠3+78°=180°，∴∠3=34°，∵AB∥CD，∴∠3+∠DEA=180°，∴∠DEA=146°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023下·安徽六安·七年級(jí)?？计谀┤鐖D1，已知點(diǎn)B和點(diǎn)C分別是AF和DE上的點(diǎn)，∠DAF=∠BCD，∠F=∠ECF．(1)試說(shuō)明：AD∥(2)如圖2，連接AC，已知AC⊥CF，∠ECF=m∠BCF．①當(dāng)m=1時(shí)，∠DAF=62°，求∠ACB的度數(shù)；②若∠ACD+∠ABC=150°，則∠D=__________．（用含m的代數(shù)式表示）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①∠ACB=31°；②∠D=60°【分析】（1）先根據(jù)∠F=∠ECF證明DE∥AF，得到∠DAF+∠D=180°，進(jìn)而可證∠BCD+∠D=180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行可證AD∥（2）①由AD∥BC可得∠CBF=62°，由DE∥AF可得∠BCE=118°，進(jìn)而求出∠ECF=∠BCF=59°，結(jié)合AC⊥CF可求出②由DE∥AF可求得∠ACB=30°，進(jìn)而求出∠BCF=60°，∠BCE=60°1+m，然后根據(jù)兩直線平行同位角相等可求∠D【詳解】（1）∵∠F=∠ECF∴DE∥AF∴∠DAF+∠D=180°∵∠DAF=∠BCD∴∠BCD+∠D=180°∴AD（2）①∵AD∥BC∴∠CBF=62°∵DE∥AF∴∠BCE=180°?62°=118°∵∠ECF=∠BCF∴∠ECF=∠BCF=∵AC⊥CF∴∠ACF=90°∴∠ACB=90°?59°=31°②∵DE∥AF∴∠ACD+∠ACB+∠ABC=180°∵∠ACD+∠ABC=150°∴∠ACB=30°∵AC⊥CF∴∠ACF=90°∴∠BCF=90°?30°=60°∵∠ECF=m∠BCF∴∠ECF=60°m∴∠BCE=60°∵AD∴∠D=∠BCE=60°故答案為：60°【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023下·浙江·七年級(jí)期末）綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)直角三角形和兩條平行線”為背景開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖，已知兩直線a,b，且a//b,△ABC是直角三角形，∠BCA=90°，操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1．若∠1=48°，求∠2的度數(shù)；（2）如圖2，若∠A=30°,∠1的度數(shù)不確定，同學(xué)們把直線a向上平移，并把∠2的位置改變，發(fā)現(xiàn)∠2?∠1=120°，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，若∠A=30°，AC平分∠BAM，此時(shí)發(fā)現(xiàn)∠1與∠2又存在新的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【答案】（1）42°；（2）見(jiàn)解析；（3）∠1=∠2，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由平角定義求出∠3=42°，再由平行線的性質(zhì)即可得出答案；（2）過(guò)點(diǎn)B作BD∥a．由平行線的性質(zhì)得∠2+∠ABD=180°，∠1=∠DBC，則∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)C作CP∥a，由角平分線定義得∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，由平行線的性質(zhì)得∠1=∠BAM=60°，∠PCA=∠CAM=30°，∠2=∠BCP=60°，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵∠1=48°，∠BCA=90°，∴∠3=180°-∠BCA-∠1=180°-90°-48°=42°，∵a∥b，∴∠2=∠3=42°；（2）理由如下：過(guò)點(diǎn)B作BD∥a．如圖2所示：則∠2+∠ABD=180°，∵a∥b，∴b∥BD，∴∠1=∠DBC，∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1，∴∠2+60°-∠1=180°，∴∠2-∠1=120°；（3）∠1=∠2，理由如下：過(guò)點(diǎn)C作CP∥a，如圖3所示：∵AC平分∠BAM∴∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，又∵a∥b，∴CP∥b，∠1=∠BAM=60°，∴∠PCA=∠CAM=30°，∴∠BCP=∠BCA-∠PCA=90°-30°=60°，又∵CP∥a，∴∠2=∠BCP=60°，∴∠1=∠2．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了平移的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、角平分線定義、平角的定義等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握平移的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型8