人教版(2024)七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列專(zhuān)題2.9巧算有理數(shù)【九大題型】(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題2.9巧算有理數(shù)【九大題型】 【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1湊整法】 1【題型2拆項(xiàng)法】 2【題型3組合法】 2【題型4裂項(xiàng)相消法】 3【題型5相互轉(zhuǎn)化法】 3【題型6倒數(shù)法】 3【題型7錯(cuò)位相減法】 4【題型8利用分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算】 4【題型9利用圖形進(jìn)行簡(jiǎn)算】 4知識(shí)點(diǎn)1：湊整法多個(gè)有理數(shù)相加時(shí),如果既有分?jǐn)?shù),也有小數(shù),一般將存在數(shù)量少的形式轉(zhuǎn)化成數(shù)量多的形式,把能湊成整數(shù)的數(shù)結(jié)合在一起,可以使計(jì)算簡(jiǎn)便,這種方法簡(jiǎn)稱(chēng)湊整法?！绢}型1湊整法】【例1】（23-24七年級(jí)·上海普陀·期中）計(jì)算：?3.19+21921【變式1-1】（23-24七年級(jí)·廣東廣州·階段練習(xí)）計(jì)算：?7.3??6【變式1-2】（2024七年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：?21【變式1-3】（2024秋·廣西崇左·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：?21知識(shí)點(diǎn)2：拆項(xiàng)法先把帶分?jǐn)?shù)拆成整數(shù)和真分?jǐn)?shù)兩部分,再把整數(shù)部分和真分?jǐn)?shù)部分分別結(jié)合在一起利用交換律,結(jié)合律得出答案。【題型2拆項(xiàng)法】【例2】（23-24七年級(jí)·河南駐馬店·階段練習(xí)）計(jì)算：?5【變式2-1】（2024秋·山東德州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)+357(2)?20185【變式2-2】（23-24七年級(jí)·遼寧鞍山·階段練習(xí)）計(jì)算：?20115【變式2-3】（2024秋·山東德州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)+172(2)?20232知識(shí)點(diǎn)3：組合法觀察算式,找出算式分布規(guī)律,然后適當(dāng)分組,利用結(jié)合律將相加和為整數(shù)的結(jié)合在一起簡(jiǎn)化計(jì)算。【題型3組合法】【例3】（23-24七年級(jí)·山西太原·階段練習(xí)）計(jì)算1+2?3?4+5+6?7?8+?+2017+2018?2019?2020值為（

）A．0 B．﹣1 C．2020 D．-2020【變式3-1】（23-24七年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期中）計(jì)算：（1）?18+17+（2）+32【變式3-2】（23-24七年級(jí)·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）計(jì)算：2023?2020+2017?2014+2011?2008+……+16?13+10?7+4【變式3-3】（23-24七年級(jí)·北京·期末）1?3?5+7+9?11?13+15+?+2009?2011?2013+2015=．知識(shí)點(diǎn)4：裂項(xiàng)相消法根據(jù)算式特點(diǎn),將各項(xiàng)變?yōu)閮身?xiàng),然后把互為相反數(shù)的兩項(xiàng)相加,只剩下首項(xiàng)和末項(xiàng)相加得出結(jié)果?！绢}型4裂項(xiàng)相消法】【例4】（23-24七年級(jí)·山東威?！るA段練習(xí)）計(jì)算：(1)11×2(2)11×3(3)16【變式4-1】（23-24七年級(jí)·安徽馬鞍山·期中）計(jì)算：12×4【變式4-2】（23-24七年級(jí)·江蘇蘇州·階段練習(xí)）計(jì)算：1?1×3【變式4-3】（23-24七年級(jí)·廣東佛山·階段練習(xí)）計(jì)算：1?1知識(shí)點(diǎn)5：相互轉(zhuǎn)化法根據(jù)算式特點(diǎn),將式子中的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)，或小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，統(tǒng)一后再進(jìn)行運(yùn)算?！绢}型5相互轉(zhuǎn)化法】【例5】（23-24七年級(jí)·江蘇鹽城·開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：38×【變式5-1】（23-24七年級(jí)·浙江衢州·階段練習(xí)）計(jì)算：8×?【變式5-2】（23-24七年級(jí)·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）計(jì)算：?0.25【變式5-3】（23-24七年級(jí)·河北石家莊·開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：(1)?3÷(2)?1【題型6倒數(shù)法】【例6】（23-24七年級(jí)·陜西漢中·期末）計(jì)算?1【變式6-1】（23-24七年級(jí)·湖北襄陽(yáng)·期中）計(jì)算：(?7【變式6-2】（23-24七年級(jí)·江蘇連云港·階段練習(xí)）計(jì)算：50÷1【變式6-3】（23-24七年級(jí)·廣東東莞·階段練習(xí)）計(jì)算：13【題型7錯(cuò)位相減法】【例7】（23-24七年級(jí)·山東濱州·期中）計(jì)算：1?5+5【變式7-1】（23-24七年級(jí)·江蘇連云港·階段練習(xí)計(jì)算：1+2+【變式7-2】（23-24七年級(jí)·貴州銅仁·階段練習(xí)）計(jì)算9+9【變式7-3】（23-24七年級(jí)·廣東深圳·期中）計(jì)算（1）1+7+7（2）1+2×1【題型8利用分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算】【例8】（23-24七年級(jí)·河北石家莊·開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：36.2×1.638+6.38【變式8-1】（23-24七年級(jí)·遼寧沈陽(yáng)·期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算(1)6(2)999×1184【變式8-2】（23-24七年級(jí)·江蘇南京·階段練習(xí)）簡(jiǎn)便計(jì)算：(1)12(2)19【變式8-3】（23-24七年級(jí)·河南開(kāi)封·開(kāi)學(xué)考試）怎樣簡(jiǎn)便怎樣算(1)2021×20222022?2022×20212021；(2)1(3)2015+2016×2014(4)9【題型9利用圖形進(jìn)行簡(jiǎn)算】【例9】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·期中）看圖填空：如圖，把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為12的長(zhǎng)方形，接著把面積為12的長(zhǎng)方形等分成兩個(gè)面積為14的長(zhǎng)方形，再把面積為1(1)試?yán)脠D形揭示的規(guī)律計(jì)算：12并使用代數(shù)方法證明你的結(jié)論．(2)請(qǐng)給利用圖（2），再設(shè)計(jì)一個(gè)能求：12【變式9-1】（23-24七年級(jí)·山東青島·期中）數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對(duì)象，我們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題．下面我們來(lái)探究“由數(shù)思形，以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用．如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成7個(gè)部分，部分①是邊長(zhǎng)為1的正方形紙片面積的一半，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依次類(lèi)推．

(1)圖中陰影部分的面積為；(2)受此啟發(fā)，得到12+1(3)聯(lián)系拓廣，得到12+14+(4)遷移應(yīng)用：得到23+1【變式9-2】（23-24七年級(jí)·湖南永州·期中）【閱讀】求值1+2+2【運(yùn)用】仿照此法計(jì)算：解：設(shè)S=1+2+2將等式①的兩邊同時(shí)乘以2得：2S=2+2由②?①得：2S?S=2即：S=1+2=2(1)1+5+5(2)【延伸】如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形分成4個(gè)完全一樣的小正方形，得到左上角一個(gè)小正方形為S1，選取右下角的小正方形進(jìn)行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形

完成下列問(wèn)題：①小正方形S2022的面積等于②求正方形S1【變式9-3】（23-24七年級(jí)·山東青島·期中）曹沖稱(chēng)象是我國(guó)歷史上著名的故事，大家都說(shuō)曹沖聰明．他到底聰明在何處呢？我們都知道，曹沖稱(chēng)得是石塊而不是大象，并且確信，石塊的質(zhì)量就是大象的體重．曹沖的聰明就在于，他用化歸思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)變了；借助于船這種工具，將大象的體重轉(zhuǎn)變?yōu)橐粔K塊石塊的重量．轉(zhuǎn)變就是化歸的實(shí)質(zhì)．化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式．從字面上看，化歸就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思．例如：我們?cè)谄吣昙?jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章中引入“相反數(shù)”這個(gè)概念后，正負(fù)數(shù)的減法就化歸為已經(jīng)解決的正負(fù)數(shù)的加法了；而引入“倒數(shù)”這個(gè)概念后，正負(fù)數(shù)的除法就化歸為已經(jīng)解決的正負(fù)數(shù)的乘法了．下面我們?cè)偻ㄟ^(guò)具體實(shí)例體會(huì)一下化歸思想的運(yùn)用：數(shù)學(xué)問(wèn)題，計(jì)算19+192探究問(wèn)題：為解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過(guò)不斷地分割一個(gè)面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，并采取一般問(wèn)題特殊化的策略來(lái)進(jìn)行探究．探究一：計(jì)算12第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為12第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為12第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，……；……第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為12+1根據(jù)第n次分割圖可得等式：12探究二：計(jì)算13第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為23第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為23第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，……，……第n次分別，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為23+2根據(jù)第n次分制圖可得等式：23兩邊同除2，得13探究三：計(jì)算14(仿照上述方法，在圖①中只畫(huà)出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并寫(xiě)出探究過(guò)程)解決問(wèn)題．計(jì)算19(在圖②中只畫(huà)出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并完成以下填空)．(1)根據(jù)第n次分割圖可得等式：___________．(2)所以，19(3)拓廣應(yīng)用：計(jì)算9?19專(zhuān)題2.9巧算有理數(shù)【九大題型】 【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1湊整法】 1【題型2拆項(xiàng)法】 3【題型3組合法】 5【題型4裂項(xiàng)相消法】 7【題型5相互轉(zhuǎn)化法】 9【題型6倒數(shù)法】 11【題型7錯(cuò)位相減法】 13【題型8利用分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算】 15【題型9利用圖形進(jìn)行簡(jiǎn)算】 19知識(shí)點(diǎn)1：湊整法多個(gè)有理數(shù)相加時(shí),如果既有分?jǐn)?shù),也有小數(shù),一般將存在數(shù)量少的形式轉(zhuǎn)化成數(shù)量多的形式,把能湊成整數(shù)的數(shù)結(jié)合在一起,可以使計(jì)算簡(jiǎn)便,這種方法簡(jiǎn)稱(chēng)湊整法?！绢}型1湊整法】【例1】（23-24七年級(jí)·上海普陀·期中）計(jì)算：?3.19+2【答案】?5【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，有理數(shù)的加法交換律和結(jié)合律，熟練掌握有理數(shù)的加減混合運(yùn)算及有理數(shù)的加法的運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)加法的運(yùn)算律，將能湊整的數(shù)先湊整，得到?3.19+?6.81【詳解】解：原式=?3.19+219==?10+5=?5．【變式1-1】（23-24七年級(jí)·廣東廣州·階段練習(xí)）計(jì)算：?7.3??6【答案】4【詳解】?7.3?=3.3?7.3+6=?4+8=4．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)加減混合運(yùn)算，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，正確掌握有理數(shù)加減混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2024七年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：?21【答案】5【分析】先根據(jù)去括號(hào)法則去括號(hào)，再根據(jù)加法交換律和結(jié)合律簡(jiǎn)便計(jì)算即可．【詳解】解：?2=?2=?2=?1+5+1，=5．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加法運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)加法運(yùn)算法則和加法運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2024秋·廣西崇左·七年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算：?21【答案】5【分析】先根據(jù)去括號(hào)法則去括號(hào)，再根據(jù)加法交換律和結(jié)合律簡(jiǎn)便計(jì)算即可；【詳解】解：?2===?1+5+1=5；【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加法運(yùn)算，掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)2：拆項(xiàng)法先把帶分?jǐn)?shù)拆成整數(shù)和真分?jǐn)?shù)兩部分,再把整數(shù)部分和真分?jǐn)?shù)部分分別結(jié)合在一起利用交換律,結(jié)合律得出答案?！绢}型2拆項(xiàng)法】【例2】（23-24七年級(jí)·河南駐馬店·階段練習(xí)）計(jì)算：?5【分析】根據(jù)拆項(xiàng)法，可把整數(shù)結(jié)合在一起，分?jǐn)?shù)結(jié)合在一起，再根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案．【詳解】解：原式===0+=?11【變式2-1】（2024秋·山東德州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算：(1)+357(2)?20185【答案】(1)12(2)?2【分析】（1）依據(jù)“拆項(xiàng)法”計(jì)算即可；（2）依據(jù)“拆項(xiàng)法”計(jì)算即可．【詳解】（1）+35===12+=121（2）?2018===0+=?2．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握題目給出的“拆項(xiàng)法”是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（23-24七年級(jí)·遼寧鞍山·階段練習(xí)）計(jì)算：?20115【答案】?3【分析】根據(jù)題目中材料，將原式整理為?2011?5【詳解】解：原式===?1+=?3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)加減混合運(yùn)算，理解材料中簡(jiǎn)便運(yùn)算方法是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2024秋·山東德州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算：(1)+172(2)?20232【答案】(1)9(2)8【分析】根據(jù)拆項(xiàng)法，可把整數(shù)結(jié)合在一起，分?jǐn)?shù)結(jié)合在一起，再根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案．【詳解】（1）解：+17=17+=(17?7)+(=10+(?=9（2）?2023=(?2023?=(?2023?2024+4048)+(?=1+(?=【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，利用題干中的拆項(xiàng)法拆項(xiàng)后再利用運(yùn)算律解答是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)3：組合法觀察算式,找出算式分布規(guī)律,然后適當(dāng)分組,利用結(jié)合律將相加和為整數(shù)的結(jié)合在一起簡(jiǎn)化計(jì)算?！绢}型3組合法】【例3】（23-24七年級(jí)·山西太原·階段練習(xí)）計(jì)算1+2?3?4+5+6?7?8+?+2017+2018?2019?2020值為（

）A．0 B．﹣1 C．2020 D．-2020【答案】D【分析】根據(jù)加法的結(jié)合律四個(gè)四個(gè)一組結(jié)合起來(lái)，每一組的和都等于-4,共505組,計(jì)算即可．【詳解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+……+2017+2018-2019-2020=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+（9+10-11-12）+……+（2017+2018-2019-2020）=（-4）+（-4）+（-4）+（-4）+……+（-4）=（-4）×505＝-2020．故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，觀察出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（23-24七年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期中）計(jì)算：（1）?18+17+（2）+32【答案】（1）20（2）5【分析】先化簡(jiǎn)符號(hào)，再正數(shù)結(jié)合負(fù)數(shù)結(jié)合，最后相加．本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算．熟練掌握化簡(jiǎn)符號(hào)，加法結(jié)合律，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】（1）?18==?30+50=20．（2）解：+3=3==9?4=5．【變式3-2】（23-24七年級(jí)·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）計(jì)算：2023?2020+2017?2014+2011?2008+……+16?13+10?7+4【答案】1012【分析】合理分組：2023?2020+【詳解】2023?2020+2017?2014+2011?2008+……+13?10+7?4+1=每?jī)蓚€(gè)數(shù)為一組，結(jié)果是3；則2023?1即一共有337組；原式=3×337+1=1012．【變式3-3】（23-24七年級(jí)·北京·期末）1?3?5+7+9?11?13+15+?+2009?2011?2013+2015=．【答案】0【分析】通過(guò)觀察，每四項(xiàng)結(jié)合在一起，每一項(xiàng)結(jié)果為0，然后將原式利用加法結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算．【詳解】原式＝1?3?5+7＝0，故填：0．【點(diǎn)睛】本題考查了加法中的巧算問(wèn)題，熟練應(yīng)用加法結(jié)合律是關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)4：裂項(xiàng)相消法根據(jù)算式特點(diǎn),將各項(xiàng)變?yōu)閮身?xiàng),然后把互為相反數(shù)的兩項(xiàng)相加,只剩下首項(xiàng)和末項(xiàng)相加得出結(jié)果?！绢}型4裂項(xiàng)相消法】【例4】（23-24七年級(jí)·山東威海·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)11×2(2)11×3(3)16【答案】(1)2004(2)25(3)3【分析】（1）根據(jù)題中給出的式子找出規(guī)律1n（2）根據(jù)11×3=12×（3）將式子化為12×3【詳解】（1）解：∵1∴1∴=1?=1?=2004（2）解：∵11×3=∴1∴=====25（3）解：1====3【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解題意，得出規(guī)律1nn+1=【變式4-1】（23-24七年級(jí)·安徽馬鞍山·期中）計(jì)算：12×4【答案】1011【詳解】解：原式=1=1=1=10114048【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的乘法運(yùn)算及加減運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（23-24七年級(jí)·江蘇蘇州·階段練習(xí)）計(jì)算：1?1×3【答案】?【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會(huì)用裂項(xiàng)抵消法解答問(wèn)題．將題目中的式子變形，然后裂項(xiàng)抵消即可解答本題．【詳解】解：1=?=?=?=?=?1011【變式4-3】（23-24七年級(jí)·廣東佛山·階段練習(xí)）計(jì)算：1?1【答案】2023【詳解】因?yàn)??122=1所以原式=1=12【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的特殊運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)5：相互轉(zhuǎn)化法根據(jù)算式特點(diǎn),將式子中的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)，或小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，統(tǒng)一后再進(jìn)行運(yùn)算。【題型5相互轉(zhuǎn)化法】【例5】（23-24七年級(jí)·江蘇鹽城·開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：38×【答案】25【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】38×=38×===25．【變式5-1】（23-24七年級(jí)·浙江衢州·階段練習(xí)）計(jì)算：8×?【答案】?4【分析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算等知識(shí)，根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可求解．先把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，再進(jìn)行多個(gè)有理數(shù)乘法運(yùn)算即可求解；【詳解】）解：8×=8×=?4【變式5-2】（23-24七年級(jí)·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）計(jì)算：?0.25【答案】1000【分析】按有理數(shù)乘法法則計(jì)算即可；【詳解】解：?0.25===1000【變式5-3】（23-24七年級(jí)·河北石家莊·開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：(1)?3÷(2)?1【答案】(1)18(2)?5【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算法則及運(yùn)算順序計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）解：?3=3×=18；（2）解：?=?=?5；【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)加減乘除的運(yùn)算法則及運(yùn)算順序是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【題型6倒數(shù)法】【例6】（23-24七年級(jí)·陜西漢中·期末）計(jì)算?1【答案】?【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算；原式的倒數(shù)為13【詳解】解：原式的倒數(shù)為131===?4+3?2=?3，所以?1【變式6-1】（23-24七年級(jí)·湖北襄陽(yáng)·期中）計(jì)算：(?7【分析】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵；先計(jì)算(13【詳解】解：(1=(1=?7=?2+1?2=?5故(?78)÷(1【變式6-2】（23-24七年級(jí)·江蘇連云港·階段練習(xí)）計(jì)算：50÷1【答案】300【分析】本題考查了有理數(shù)運(yùn)算的有關(guān)知識(shí)，有理數(shù)的乘除運(yùn)算：沒(méi)有除法分配律.【詳解】解：原式的倒數(shù)為1=1==1故原式=300．【變式6-3】（23-24七年級(jí)·廣東東莞·階段練習(xí)）計(jì)算：13【答案】?【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，倒數(shù)的定義先計(jì)算原式前半部分的結(jié)果，然后根據(jù)倒數(shù)的定義求出后半部分的結(jié)果，即可求出原式的值．【詳解】（1）解：前部分：1==?2?(?1)?=?2+1+=?1后部分：?原式的倒數(shù)==?1故?7∴原式=?1【題型7錯(cuò)位相減法】【例7】（23-24七年級(jí)·山東濱州·期中）計(jì)算：1?5+5【答案】1【分析】本題考查了規(guī)律性：數(shù)字的變化類(lèi)、有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)錯(cuò)位相減法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：令S=1?5+5則5S=5?5因此5S+S=1+5所以S=1+所以1?5+==1故答案為：16【變式7-1】（23-24七年級(jí)·江蘇連云港·階段練習(xí)計(jì)算：1+2+【答案】2【分析】本題是數(shù)字類(lèi)的規(guī)律題，根據(jù)擴(kuò)大倍數(shù)，利用錯(cuò)位相減法，消掉相關(guān)值，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：可令S=1+2+2然后兩邊同乘2變成2S=2+2再讓兩式相減，因此有2S?S=2所以S=21+2+2【變式7-2】（23-24七年級(jí)·貴州銅仁·階段練習(xí)）計(jì)算9+9【答案】9【分析】令S=1+9+92+【詳解】令S=1+9+則9S=9+∴9S?S=∴S=故答案為：92010【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算問(wèn)題，掌握運(yùn)算技巧以及有理數(shù)混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24七年級(jí)·廣東深圳·期中）計(jì)算（1）1+7+7（2）1+2×1【答案】（1）72023?16；（【詳解】解：（1）令M=1+7+則7M=7+②-①得：6M=72023?1（2）令M=1+2×則13①-②：2∴M=9=9=9【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類(lèi)探究問(wèn)題．根據(jù)題意抽象概括出數(shù)字規(guī)律，熟練掌握運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．【題型8利用分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算】【例8】（23-24七年級(jí)·河北石家莊·開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：36.2×1.638+6.38【答案】100【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，利用乘法分配律簡(jiǎn)便計(jì)算即可．【詳解】解：36.2×1.638+=3.62×16.38+6.38×6.38=3.62×=3.62×10+=3.62×10+=3.62×10+6.38×10==10×10=100．【變式8-1】（23-24七年級(jí)·遼寧沈陽(yáng)·期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算(1)6(2)999×1184【答案】(1)?415【分析】（1）將63536寫(xiě)成7?136，再根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可；（2）將【詳解】解：(1)6==?42+=?415(2)原式=999×=999×100=99900.【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)的乘法分配律及其逆運(yùn)算，（1）中將帶分?jǐn)?shù)拆分成與其相近的整數(shù)加減其它分?jǐn)?shù)表示的方法，再根據(jù)乘法分配律計(jì)算很簡(jiǎn)便；（2）中要將每組乘法中的一個(gè)因式寫(xiě)成同一個(gè)數(shù)的形式，再利用乘法分配律的逆運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算，以達(dá)到簡(jiǎn)便的目的.【變式8-2】（23-24七年級(jí)·江蘇南京·階段練習(xí)）簡(jiǎn)便計(jì)算：(1)12(2)19【答案】(1)40442022(2)1【分析】（1）利用有理數(shù)的混合運(yùn)算的法則和運(yùn)算律解答即可；（2）根據(jù)先將19【詳解】（1）解：1===2+==40442022（2）解：1=19=19====1【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．靈活運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算．【變式8-3】（23-24七年級(jí)·河南開(kāi)封·開(kāi)學(xué)考試）怎樣簡(jiǎn)便怎樣算(1)2021×20222022?2022×20212021；(2)1(3)2015+2016×2014(4)9【答案】(1)0(2)21(3)1(4)1【分析】（1）根據(jù)20222022=2022×10001，20212021=2021×10001將原式變形為（2）將原式先加上164，再減去1（3）根據(jù)2016×2014=2016×2015?1，利用乘法的分配律將分子變形為2016×2015?1（3）根據(jù)n+n+1nn+1=1n【詳解】（1）解：2021×20222022?2022×20212021=2021×2022×10001?2022×2021×10001=0；（2）解：1=1=1=1=1=1=1=22?=2163（3）解：2015+2016×2014====1；（4）解：9======1【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算，熟知有理數(shù)的相關(guān)計(jì)算法則和運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．【題型9利用圖形進(jìn)行簡(jiǎn)算】【例9】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·期中）看圖填空：如圖，把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為12的長(zhǎng)方形，接著把面積為12的長(zhǎng)方形等分成兩個(gè)面積為14的長(zhǎng)方形，再把面積為1(1)試?yán)脠D形揭示的規(guī)律計(jì)算：12并使用代數(shù)方法證明你的結(jié)論．(2)請(qǐng)給利用圖（2），再設(shè)計(jì)一個(gè)能求：12【答案】(1)1?1(2)見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)圖形可知用正方形面積減去最后一個(gè)小長(zhǎng)方形面積即可求解；②設(shè)s=12+（2）用正方形的對(duì)角線將面積為1正方形分成兩個(gè)面積為12【詳解】（1）解：①由題意可知當(dāng)最后一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為1212+1∴1②設(shè)s=12s=1+1∴2s?s=1?1即s=1?1∴1（2）如圖所示，將面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為12的三角形，接著把面積為12的三角形等分成兩個(gè)面積為14的三角形，再把面積為1則12+【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的規(guī)律，數(shù)字的規(guī)律，圖形的面積，有理數(shù)的乘方；分析、總結(jié)、歸納的能力是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（23-24七年級(jí)·山東青島·期中）數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對(duì)象，我們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題．下面我們來(lái)探究“由數(shù)思形，以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用．如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成7個(gè)部分，部分①是邊長(zhǎng)為1的正方形紙片面積的一半，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依次類(lèi)推．

(1)圖中陰影部分的面積為；(2)受此啟發(fā)，得到12+1(3)聯(lián)系拓廣，得到12+14+(4)遷移應(yīng)用：得到23+1【答案】(1)1(2)63(3)1?(4)1?【分析】本題考查圖形變化的規(guī)律，數(shù)形結(jié)合思想的巧妙運(yùn)用是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)圖中三角形面積之間的關(guān)系即可解決問(wèn)題；（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想即可解決問(wèn)題；（3）利用數(shù)形結(jié)合的思想即可解決問(wèn)題；（4）根據(jù)（3）中的結(jié)論即可解決問(wèn)題；【詳解】（1）由題知，正方形每次被分割的部分是前一部分面積的一半，所以圖中陰影部分的面積與部分⑥的面積相等．又因?yàn)椴糠症俚拿娣e為：12部分②的面積為：12部分③的面積為：12…，依次類(lèi)圖，部分n的面積為12當(dāng)n=6時(shí)，12所以陰影部分的面積為164故答案為：164（2）由（1）知，12所以12故答案為：6364（3）根據(jù)（2）中的發(fā)現(xiàn)可知，12故答案為：1?1（4）由題知，原式=2令S=1+1則13①-②得，23即S=3所以原式==1?1故答案為：1?1【變式9-2】（23-24七年級(jí)·湖南永州·期中）【閱讀】求值1+2+2【運(yùn)用】仿照此法計(jì)算：解：設(shè)S=1+2+2將等式①的兩邊同時(shí)乘以2得：2S=2+2由②?①得：2S?S=2即：S=1+2=2(1)1+5+5(2)【延伸】如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形分成4個(gè)完全一樣的小正方形，得到左上角一個(gè)小正方形為S1，選取右下角的小正方形進(jìn)行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形

完成下列問(wèn)題：①小正方形S2022的面積等于②求正方形S1【答案】(1)S=5(2)①142022；②【分析】（1）根據(jù)例題，原式乘以5，然后兩式相減即可求解．（2）①根據(jù)有理數(shù)乘方的意義，表示出S1②根據(jù)（1）的方法，進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）設(shè)S=1+5+①×5，得：②?①則S=（2）①∵S1∴S2022故答案為：14②S1+S①×14①?②得：∴S=4即S1【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，理解例題的解法是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（23-24七年級(jí)·山東青島·期中）曹沖稱(chēng)象是我國(guó)歷史上著名的故事，大家都說(shuō)曹沖聰明．他到底聰明在何處呢？我們都知道，曹沖稱(chēng)得是石塊而不是大象，并且確信，石塊的質(zhì)量就是大象的體重．曹沖的聰明就在于，他用化歸思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)變了；借助于船這種工具，將大象的體重轉(zhuǎn)變?yōu)橐粔K塊石塊的重量．轉(zhuǎn)變就是化歸的實(shí)質(zhì)．化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效